S O L U Z I O N I 1 Effettua uno studo qualtatvo della funzone con partcolare rfermento a seguent aspett: f ( ) ln( ) a) trova l domno della funzone b) ndca qual sono gl ntervall n cu f() rsulta postva e quell n cu rsulta negatva c) studa l comportamento della funzone agl estrem del suo domno, determnando eventual asntot d) calcola la dervata e ndca qual sono gl ntervall n cu la funzone è crescente e quell n cu è decrescente, e determna eventual massm o mnm relatv o fless a tangente orzzontale (facoltatvo) calcola la dervata seconda e studa la concavtà della funzone f) dsegna un grafco approssmatvo g) trova l equazone della retta tangente al grafco della funzone nel punto d ascssa e a) Per determnare l domno della funzone, osservamo che essendoc un logartmo, dobbamo mporre che l suo argomento sa maggore d zero Qund l domno è dato da tutt gl > 0, coè D (0, ) b) S tratta d rsolvere la dsequazone Tale dsequazone è equvalente a ln() > 0 ( ln()) > 0 (abbamo messo n evdenza la ) La quanttà ( ln()) è postva per que valor della per cu fattor e ln() sono o entramb postv o entramb negatv Studamo dunque l segno d tal due fattor I rsultat sono rassunt qua sotto: 0 > 0 --------------------- qu la funzone non esste ln() > 0 --------------------------------- e (S not che ln() > 0 se e solo se ln() <, coè ln() < ln(e) ln(e ), da cu < e ) Se ne deduce che la funzone f() è postva per 0 < < e, e mnore per > e c) Gl estrem del domno sono due: 0 e lm f ( ) 0 lm ( ln( )) 0 In questo prmo lmte c trovamo d fronte alla forma ndetermnata 0 (- ) Rsolvamola trasformandola n una forma ndetermnata del tpo / n modo da applcare la regola d de l Hôptal (attenzone: la regola d de l Hôptal s può applcare solo con le forme ndetermnate 0/0 o / ): lm ( ln( )) 0 ln( ) lm 0 1 Non c è dunque alcun asntoto vertcale lm f ( ) lm ( ln( )) lm 0 1 1 lm 0 ( ) 0
Rsolvamo la forma ndetermnata semplcemente mettendo n evdenza la : lm ( ln( )) lm ( ln( ) ) dato che l prmo fattore, coè, tende a e l altro, coè ln(), tende a Non v sono dunque nemmeno asntot orzzontal 1 d) f ( ) 1 ln( ) ln( ) 1 1 ln( ) Dunque f ( ) > 0 se e solo se 1 ln() > 0, coè se e solo se ln() < 1 Rcordando che 1 ln(e), abbamo ottenuto che la dsequazone 1 ln() > 0 è equvalente a ln() < ln(e) e, sccome l logartmo n base e è una funzone strettamente crescente, la suddetta dsequazone è equvalente a < e Qund la dervata è postva (e la funzone è crescente) quando 0 < < e, ed è negatva (e la funzone è decrescente) quando > e: 0 e f ( ) > 0: ----------------------------- Qund la funzone ammette un massmo relatvo n e L ordnata del massmo è f(e) e e ln(e) e e e Qund l massmo ha coordnate M(e,e) Calcolamo la dervata seconda, che sarà data da 1 f ( ) (1 ln( )) Qund s avrà che f ( ) > 0 quando -1/ > 0 coè quando < 0 Dato che la funzone esste solo quando la varable è postva, ne segue che la dervata seconda è sempre negatva nel domno della funzone, qund l grafco d f avrà sempre la concavtà rvolta verso l basso e) D seguto rportamo un grafco approssmatvo della funzone
Per trovare l equazone della retta r tangente al grafco della funzone nel punto P d ascssa P e, trovamo nnanztutto l ordnata y p d tale punto Poché l punto appartene al grafco della funzone s avrà che y P f( P ) f(e ) e e ln(e ) e e ln(e) 0 Qund P ha coordnate P(e,0) La retta cercata avrà equazone y m q dove l coeffcente angolare m è dato dal valore della dervata calcolato nel punto e (sgnfcato geometrco d dervata), mentre l ntercetta q s trova mponendo che la retta pass per P Dunque: m f ( e ) 1 ln( e ) 1 ln( e) 1 1 e q y P m P 0 ( 1)e e La retta ha dunque equazone y e Ad un compto scrtto d Matematca erano present student L esto della prova scrtta è l seguente: student hanno ottenuto una votazone d 10 10 student hanno ottenuto una votazone d 1 15 student hanno ottenuto una votazone d 18 1 student hanno ottenuto una votazone d 1 8 student hanno ottenuto una votazone d 4 student hanno ottenuto una votazone d 8 1 studente ha ottenuto una votazone d 30 Calcolare l voto medo, l voto medano e la devazone standard realzzat nel compto scrtto Il modo n cu sono presentat dat, coè attraverso una tabella delle frequenze (due student hanno ottenuto 10, dec student hanno ottenuto 1, ecc), è soltanto una modaltà sntetca e pù chara d presentazone de vot ottenut nel compto A tutt gl effett essa è equvalente al fatto che vot c vengano comuncat nel modo seguente (assa meno charo): 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4 8 8 30 La medana sarà dunque data, essendo l numero d dat un numero par (), dalla meda artmetca de dat che occupano l posto 5 e 6, dopo averl mess n ordne crescente (ma lo sono gà): 18 18 M e 18 Il voto medo sarà dato dalla meda artmetca ponderata: 10 10 1 15 18 1 1 8 4 8 1 30 18,8 La varanza sarà data dalla varanza ponderata (come nel calcolo della meda, anche per la varanza è necessaro consderare pes delle frequenze perché altrment è come se stessmo assumendo che un solo studente abba avuto 10, un solo studente abba avuto 1, ecc nsomma descrveremmo un dverso nseme d dat) Dunque 1 1 Var ( ) ( (10 18,8) 10 ( 1 18,8 ) 1 (30 18,8) ) f Convene dunque costrure la tabella seguente:
frequenze f dat ( ) f ( ) 10-8,8,44 154,88 10 1-6,8 46,4 46,4 15 18-0,8 0,64 9,6 1 1, 4,84 58,08 8 4 5,,04 16,3 8 9, 84,64 169,8 1 30 11, 15,44 15,44 L ultma colonna c fornsce l valore della sommatora Qund abbamo che 1196 Var 3,9 D conseguenza la devazone standard è data da s Var 3,9 4, 89 somma 1196 3 In una localtà turstca, nel corso d una settmana del mese d Luglo, un gestore d un chosco-bar ha regstrato l numero d gelat vendut nell oraro d apertura Per gl stess gorn sono state re-gstrate le temperature massme raggunte nelle gornate I dat sono rportat nella seguente tabella: Temperatura ma () Numero d gelat vendut (y) 5 30 35 4 30 40 8 40 30 3 60 Calcolare l coeffcente d correlazone tra le varabl Temperatura massma () e Numero d gelat vendut (y), trovare l equazone della retta d regressone lneare e dre quale dovrebbe essere l numero d gelato che s dovrebbero vendere se un gorno c fosse una temperatura massma d 40 Innanztutto calcolamo valor med d temperatura e d gelat La temperatura meda è data da ed l numero medo d gelat vendut è dato da 5 4 8 30 3,5, 30 35 30 40 40 60 y 40,1 Rcordamo che l coeffcente d correlazone è dato da ( )( y r ( ) ( y Per facltare l calcolo d queste sommatore convene costrurc una tabella dove mettere dat, gl scart, l quadrato degl scart ed l loro prodotto:
y y y ( ) ( y ( )( y 5 30 -,5-10,1 6,61 114,80,55 35-0,5-5,1 0,33 3,65 3, 4 30-3,5-10,1 1,6 114,80 38, 40-0,5-0,1 0,33 0,51 0,41 8 40 0,43-0,1 0,18 0,51-0,31 30,43 9,9 5,90 86,,55 3 60 4,43 19,9 19,61 31,94 85,41 somma 45,1 somma 1,43 somma 1,14 D conseguenza abbamo che: 1,14 r 0,98 45,1 1,43 La retta d regressone lneare avrà equazone y m q, dove l coeffcente angolare m è dato da m ( )( y ( e l ntercetta q s ottene mponendo l passaggo per l barcentro M (, y ) Utlzzando la tabella n alto abbamo subto che ) Qund 1,14 m 3,88 45,1 q y m 40,1 3,88,5 66,13 La retta d regressone ha dunque equazone y 3,88 66,13 Usando la retta d regressone possamo dare una stma approssmatva del numero d gelat che s venderebbe se c fosse una temperatura d 40 C Basta sostture 40 alla varable : prevsone gelat a 40 C 3,88 40 66,13 89