Integrzione numeric Problem: pprossimre numericmente integrli definiti ANALISI NUMERICA CALCOLO NUMERICO A.A. 0-0 Prof. F. Pitolli Appunti delle lezioni sull qudrtur numeric If = f dx L intervllo di integrzione [, b] può essere nche illimitto. Si ricorre ll integrzione numeric qundo: l primitiv di f non può essere espress in form chius, d esempio f = sinx x, f = e x ; l espressione nlitic di If è complict d clcolre; i vlori di f sono noti solo in lcuni nodi x i, i = 0,...,n, d esempio qundo sono il risultto di misure sperimentli. Soluzione: pprossimre l funzione integrnd f con il polinomio interpoltore p n, costruito su un insieme opportuno di nodi x i, i = 0,...,n; quindi pprossimre If con Ip n. Esempio Un mcchin d cors percorre un giro di pist in 84 secondi. L velocità dell mcchin viene misurt con un rdr ogni 6 secondi per tutt l durt del percorso. I vlori misurti sono riportti in tbell: T s 0 6 8 4 0 6 V m/s 4 4 48 56 47 T s 4 48 54 60 66 7 78 84 V m/s 09 99 85 78 89 04 6 Qunto è lung l pist? V 70 60 50 40 0 0 0 00 90 80 70 0 6 8 4 0 6 4 48 54 60 66 7 78 84 T Formule di qudrtur interpoltorie Formul di interpolzione di Lgrnge: f = p n n+e n = fx i l i +E n f dx = n fx i l i +E n dx = n = fx i l i dx+ E n dx = n = fx i c i +R n f = S n f }{{} +R } nf {{} ւ ց Prte pprossimnte Errore di troncmento Coefficienti: c i = l i dx o resto
Se considerimo nche gli errori ǫ i sui dti si h n f = p n +E n = fx i +ε i l i +E n n n f dx = fx i l i dx+ E n dx+ ε i l i dx = n fx i c i + If = S nf+r nf+r n f E n dx+ n ε i c i = = S n f+r n f+r } n {{ f } Errore di propgzione n S n f = fx i c i R n f = c i = n R nf = ε i c i E n dx = Prte pprossimnte l i dx Coefficienti π n n+! fn+ ξ dx Resto Errore di propgzione 4 Grdo di precisione L interpolzione è estt per ogni polinomio q m di grdo m n, quindi E n = 0 = R n q m = 0, cioè l formul di qudrtur è estt per ogni polinomio q m di grdo m n. Definizione. Si dice che un formul di qudrtur h grdo di precisione ν se è estt per tutti i polinomi q m di grdo m ν, cioè R n q m = Iq m S n q m = 0, m ν. In prticolre, l formul di qudrtur è estt per i monomi x k, k = 0,,...,ν. Un formul di qudrtur interpoltori n nodi h grdo di precisione lmeno n 0. Le formule di qudrtur interpoltorie sono estte lmeno per le funzioni costnti. In prticolre, se si pone f =, si ottiene n c i = b 5 Considerimo il polinomio di grdo n+ Π = π = x x0 x x x x n dove x i, i = 0,...,n, sono i nodi dell formul di qudrtur. IΠ = Π dx > 0 n IΠ = S n Π+R n Π = c i Πx i +R }{{} n Π = R n Π =0 = R n Π > 0: esiste lmeno un polinomio di grdo n+ per il qule le formule di qudrtur interpoltorie non sono estte, quindi ν < n+. = Per le formule interpoltorie si h n ν n+ n 0 6 Scelt dei nodi nelle formule interpoltorie Differenti distribuzioni di nodi dnno origine differenti formule di qudrtur con diverso grdo di precisione. Formule di Newton-Cotes Nodi equispziti: x i = +ih i = 0,,...,n h = b n ν = n, n+ pri Grdo di precisione: ν = n+, n+ dispri Formule gussine Nodi gussini: zeri di polinomi ortogonli, d esempio i nodi di Chebyshev; non sono equispziti e sono interni ll intervllo [, b]. Grdo di precisione: ν = n+ mssimo 7
Formul del trpezio: n+ =, ν =, f C [,b] f Prte pprossimnte: x x S f = f b 0 x 0 x dx+f x x 0 x x 0 dx = f 0 p f Si pprossim f con un polinomio interpoltore di grdo che pss per i punti: x 0,f 0,x,f Resto: = f 0x x 0 + f x x 0 = f 0 +f b = = f 0 +f h =x 0 b=x f = f 0 l 0 +f l + π f ξ =! x x = f 0 x 0 x +f x x 0 x x 0 + x x 0x x f ξ R f = x x 0x x f ξ dx }{{} = h f τ τ [,b] Teorem dell medi 8 9 Formul di Cvlieri-Simpson n+ =, ν =, f C 4 [,b] Si pprossim f con un prbol polinomio di secondo grdo che pss per i punti: x 0,f 0,x,f,x,f. f f Convergenz delle formule di qudrtur Convergenz: lim n S n f = If lim n R n f = 0 Al crescere di n il polinomio interpoltore potrebbe non convergere nche l formul di qudrtur potrebbe fornire risultti inccurti. p f p 0.8 p f 0 =x x b=x 0 Fenomeno di Runge: f = +x x [ 5,5] 0.6 0.4 0. 0 0. p 4 p 0 f Prte pprossimnte: S f = h f 0 +4f +f Resto: R f = h5 90 f4 τ τ [,b] 0 0.4 5 0 x 5 = Le formule di qudrtur interpoltorie convergono in tutti quei csi in cui converge il polinomio interpoltore.
Teorem. Si f C[,b], [,b] limitto, si {S n f} un successione di formule di qudrtur interpoltorie n S n f = c i fx i tle che llor lim S n n f = If. n c i M n, Not. Per le formule di qudrtur interpoltorie coefficienti positivi si h n n c i = c i = b per cui l ipotesi del Teorem è soddisftt con M = b. Ogni successione di formule di qudrtur interpoltorie coefficienti positivi è convergente. Not. I coefficienti delle formule di Newton-Cotes sono tutti positivi se n 7, mentre sono si positivi che negtivi per n > 7. I coefficienti delle formule gussine sono tutti positivi per ogni vlore di n. Formule di Newton-Cotes generlizzte Per n > 7 i coefficienti c i delle formule di Newton-Cotes hnno segni si positivi che negtivi oltre non essere grntit l convergenz, si può vere un mplificzione degli errori sui dti, e quindi un instbilità numeric. Per evitre l uso di formule di Newton-Cotes di grdo elevto, qundo si dispone di un numero elevto di dti {x i,f i }, i = 0,...,n, si divide l intervllo di integrzione in N sottointervlli e si utilizz in ciscun sottointervllo un formul di Newton-Cotes di grdo bsso in genere di grdo o. 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. p p 4 p 0 f 0.4 5 0 5 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. p p 4 p 0 f 0.4 5 0 5 x Formul dei trpezi Formul del trpezio: n =, ν =, f C [,b] f j+ f j+ f j A j f j p f Si pprossim loclmente f con un polinomio interpoltore di grdo n = che pss per i punti: x j,f j,x j+,f j+ x 0 x j L integrle If viene pprossimto con l somm delle ree dei trpezi A j. x j+ N If = fdx = xj+ x j N N h A j = fj +f j+ x N fdx 4 x j x j+ f = f j l j +f j+ l j+ + π f ξ j =! x x j+ = f j x j x j+ +f x x j j+ x j+ x j + x x jx x j+ f ξ j ξ j [x j,x j+ ] 5
Prte pprossimnte: Formul dei trpezi xj+ x x j+ xj+ S f = f j x j x j x j+ dx+f x x j j+ x j x j+ x j dx = f j f j+ = f j x j+ x j + f j+x j+ x j = f j +f j+ x j+ x j = A j = h f j +f j+ x 0 x j x j+ x N Resto: R f = xj+ x x j x x j+ f ξ j dx }{{} = x j h f τ j Teorem dell medi τ j [x j,x j+ ] 6 In ogni sottointervllo [x j,x j + ], j = 0,...,N, si pplic l formul del trpezio con h = b N. N If = fdx = xj+ fdx = x j N = h fj +f j+ + N h f τ j τ j [x j,x j +] 7 If = N fdx = xj+ N N h = fj +f j+ + xj fdx = h f τ j = = h h f 0 +f +f +f +f +f + +f N +f N +f N +f N = h N f0 + f j +f N h Nf τ j= Formul dei trpezi: τ [,b] T N f = h N f 0 + f j +f N j= Grdo di precisione: ν = b RN T f = h f τ τ [,b] N 8 f τ j = Formul delle prbole x 0 f j x j f j+ f A j p j f j+ x j+ L integrle If viene pprossimto con l somm delle ree l di sotto dell prbol p j. If = fdx = A j = h x N xj+ x j fdx fj +4f j+ +f j+ 9
Formul di Cvlieri-Simpson n =, ν =, f C 4 [,b] Si pprossim loclmente f con un prbol polinomio di secondo grdo che pss per i punti: x j,f j,x j+,f j+,x j+,f j+ f = f j l j +f j+ l j+ +f j+ l j+ + π f ξ j =! = f j x x j+ x x j+ x j x j+ x j x j+ + +f j+ x x j x x j+ x j+ x j x j+ x j+ + f j p p f j+ f f j+ +f j+ x x j x x j+ x j+ x j x j+ x j+ + + 6 x x jx x j+ x x j+ f ξ j ξ j [x j,x j+ ] x j x j+ x j+ 0 Prte pprossimnte: S f = f j xj+ x j l j dx + f j+ + f j+ xj+ x j l j+ dx = xj+ x j l j+ dx + = f j xj+ x j x x j+ x x j+ x j x j+ x j x j+ dx + xj+ x x j x x j+ +f j+ x j x j+ x j x j+ x j+ dx + xj+ x x j x x j+ +f j+ x j x j+ x j x j+ x j+ dx = Resto: R f = 6 = }{{} xj+ Teorem dell medi x j x x j x x j+ x x j+ f ξ j dx = h5 90 f4 τ j τ j [x j,x j+ ] = h fj +4f j+ +f j+
If = fdx = xj+ xj fdx = Formul delle prbole In ogni sottointervllo [x j,x j+ ], j = 0,,...,, si pplic l formul di Cvlieri-Simpson con h = b N. If = fdx = = h xj+ x j fdx = fj +4f j+ +f j+ + h5 90 f 4 τ j τ j [x j,x j +] 4 = h fj +4f j+ +f j+ + h5 f 4 τ j = 90 = h f 0 +4f +f +f +4f +f 4 +f 4 +4f 5 +f 6 + +f N +f N +4f N +f N h 5 90 Formul delle prbole: f 4 τ j = h h 5 N f 0 +4 f j+ + f j +f N 90 f4 τ P N f = h f 0 +4 f j+ + f j +f N j= Grdo di precisione: ν = j= b RN P f = h 4 f 4 τ 80 τ [,b] Not. Per poter usre l formul delle prbole il numero di nodi N + deve essere dispri. 5 Formul dei trpezi: Se f C [,b] lim N RT N f }{{} = Convergenz delle formule dei trpezi e delle prbole h= b N Formul delle prbole: Se f C 4 [,b] lim N RP N f }{{} = h= b N lim T Nf = If lim N N RT N f = 0 b lim h 0 RT N f = lim h f τ = 0 h 0 lim P Nf = If lim N N RP N f = 0 b lim h 0 RP N f = lim h 4 f 4 τ = 0 h 0 80 6 Esempio Un mcchin d cors percorre un giro di pist in 84 secondi. L velocità dell mcchin viene misurt con un rdr ogni 6 secondi per tutt l durt del percorso. I vlori misurti sono riportti in tbell: i 0 4 5 6 7 8 9 0 4 t i 0 6 8 4 0 6 4 48 54 60 66 7 78 84 v i 4 4 48 56 47 09 99 85 78 89 04 6 Qunto è lung l pist? Trcci dell soluzione. L lunghezz dell strd percors d un mcchin che si muove velocità vt nell intervllo [t 0,t ] è dt d L = t vtdt. Quindi si può pprossimre t0 l lunghezz dell pist con un formul di qudrtur generlizzt. Formul dei trpezi: L v 0 + i= v i +v 4 = 9855 6 6 Formul delle prbole: L v 0 +4 v i+ + v i +v 5 = 9858 i= 7
Criterio di Runge Errore di propgzione Assumendo che per l errore sui dti vlg l limitzione ε i ε = 0.5, per l errore di propgzione si ottiene l mggiorzione: Rnf n n n = ε i c i ε i c i ε c i Poiché entrmbe le formule di qudrtur hnno coefficienti c i positivi si h Rnf n n ε c i ε c i = εb = 0.5 84 = 4 8 Nel cso delle formule generlizzte è possibile stimre il resto senz ricorrere l clcolo dell derivt. b Formul dei trpezi: Rh Tf = h f τ τ [,b] b Psso h If = T h f+rh Tf = T hf h f τ Psso h If = T h/ f+rt h/ f = T h/ f b Se f vri poco in [,b] f τ f σ b Rh Tf = h f τ b h f σ h f σ = 4R T h/ f 9 Psso h If T h f+4r h/ T f Psso h If = T h/ f+rt h/ f Sottrendo le due formule si ottiene Estrpolzione di Richrdson Il criterio di Runge permette di stimre il resto trmite le sole prti pprossimnti reltive i pssi h e h/. Criterio di Runge per trpezi: R T h/ f T h/ f T hf b Formul delle prbole: Rh Pf = 80 b Psso h If = P h f+rh Pf = P hf 80 Psso h b If = P h/f+rh/ P f = P h/f 80 Se f 4 vri poco in [,b] f 4 τ f 4 σ h 4 f 4 τ R P h f = b 80 b 80 h 4 f 4 τ h 4 f 4 τ 4 h f 4 σ h 4 f 4 σ = 6R P h/ f τ [,b] Criterio di Runge per prbole: R P h/ f 5 P h/ f P hf 0 L stim ottenut può essere utilizzt per ottenere un nuov pprossimzione, più ccurt, dell integrle. Estrpolzione di Richrdson per trpezi: If = T h/ f+r T h/ f T h/ f+ T h/ f T hf Estrpolzione di Richrdson per prbole: If = P h/ f+r P h/ f P h/ f+ 5 P h/ f P hf
Esercizio Esempio Qul è l errore che si commette pprossimndo l lunghezz dell pist con l formul dei trpezi? Per stimre l errrore si può utilizzre il criterio di Runge utilizzndo come pprossimzione l psso h/ l pprossimzione con psso h/ = 6 si usno tutti i nodi e come pprossimzione l psso h l pprossimzione l psso h = si usno solo gli 8 nodi i = 0,,4,...,4. Criterio di Runge per trpezi: R 9855 9846 = Estrpolzione di Richrdson: L 9855+ 9855 9846 = 9858 È possibile pplicre il criterio di Runge per l formul delle prbole? Suggerimento: Dividere l intervllo di integrzione in due sottointervlli, [0, 7] e [7,84], quindi pplicre il criterio di Runge per prbole nel primo intervllo e il criterio di Runge per trpezi nel secondo. Ie x = 0 ex dx = e.7888 Psso h = P /e x = 6 e0 +4e 0.5 +e.7886 Ie x P / e x = 0.58 0 Psso h = 4 P /4e x = [e0 +4e 0.5 +e 0.75 +e 0.5 +e ].7888 Criterio di Runge: Ie x P /4 e x = 0.7 0 4 R/4 P 5 P /4e x P / e x =.7888.7886 = 0.6 0 4 5 Estrpolzione di Richrdson: Ie x P /4 e x + 5 P /4 ex P / e x.7886 = A If A =.7888.7886 = 0.8 0 6 Formul delle prbole: function Mtlb L funzione trpzx,y L funzione trpzx,y permette di pprossimre un integrle con l formul dei trpezi. X e Y sono due vettori che contengono i nodi e i vlori nei nodi dell funzione d integrre, rispettivmente. >>X=linspce0, >>Y=expX >>trpzx,y function [I] = prbolexnodi,fnodi % I=prbolexnodi,fnodi: Approssimzione di un integrle % con l formul delle prbole nnodi = lengthxnodi; = xnodi; b = xnodinnodi; h = b-/nnodi-; I = h/fnodi+4sumfnodi::nnodi-+...... sumfnodi::nnodi-+fnodinnodi; 4 5
Formul dei trpezi: progrmm Fortrn progrm trpezi Progrmm per l pprossimzione di un integrle con il metodo dei trpezi. Input: d file - n+: numero di nodi - xnodi0:n: scisse - ynodi0:n: ordinte Vribili: - rel,b: estremi dell intervllo di integrzione - rel h: psso di integrzione - integer i: indice del ciclo do - rel sumi: vribile di ccumulzione Output: - rel Intf: integrle pprossimto implicit none rel sumi, Intf,, b, h integer nmx, n, i prmeter nmx=50 rel xnodi0:nmx, ynodi0:nmx 6 Lettur dti di input open 0,file= vlnodi.dt red 0, n if n.gt. nmx stop n>nmx red 0, xnodii, ynodii,,n close0 Inizilizzzione vribili =xnodi0; b=xnodin; h=b-/flotn; sumi=0; do i=,n- sumi=sumi+ynodii; enddo Intf=h0.5ynodi0+sumI+ynodin Stmp del risultto write, Integrle pprossimto:, Intf Fine del progrmm stop end 7 Riferimenti bibliogrfici L. Gori, Clcolo Numerico: Cp. 7 7., 7. escluse formule di Newton-Cotes perte, 7.4, 7.5 escluso metodo di Romberg, 7.9 L. Gori, M.L. Lo Cscio, F. Pitolli, Esercizi di Clcolo Numerico: 4., 4., 4.4, 4.9, 4.0, 4., 7., 7.8, 7.7, 7., 7.8, 7.4, 7.47, 7.48, 7.7, 7.8, 7.84 8