Integrali Unità Proprietà dell integrale definito.

Prerequisiti: - Clcolre limiti e derivte di fuzioi - Studire u fuzioe Quest uità è idirizzt tutte le scuole superiori. Gli Istituti Tecici e gli Istituti Professioli se e occupero el ieio, i Licei ell 5 clsse OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO U volt complett l uità, gli llievi devoo: - vere cospevolezz del teorem d iversioe - vere cospevolezz delle ozioi di itegrle defiito e di primitiv di u fuzioe - essere i grdo di elecre le primitive fodmetli - sper eucire e iterpretre l codizioe di itegrilità secodo Megoli- Cuchy - sper clcolre, i csi semplici, il vlore di u itegrle ricorredo l teorem fodmetle - sper riflettere criticmete sull codizioe di itegrilità delle fuzioi - risolvere semplici prolemi 7. Il prolem delle ree: itegrle defiito. 7. Fuzioe itegrle e teorem d iversioe. 7.3 Primitive di u fuzioe e teorem fodmetle del clcolo itegrle. 7.4 Are di u trpezoide: defiizioe. 7.5 Proprietà dell itegrle defiito. 7.6 Itegrle idefiito. 7.7 Osservzioi. 7.8 Itegrle curvilieo. Verifiche. U reve sitesi per domde e risposte. Itegrli Uità 7 Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli 7. IL PROBLEMA DELLE AREE: INTEGRALE DEFINITO 7.. Ripredimo d dove imo chiuso l precedete uità. A questo proposito cosiderimo u fuzioe rele di vriile rele f(), cotiu e provvisorimete o egtiv i u itervllo chiuso e limitto [,]. Si chim trpezoide (o rettgoloide) di se [,] reltivo ll fuzioe f(), o che sottogrfico di f() sull itervllo [,], l regioe pi T (Fig. ) delimitt dl grfico di f(), dll sse e dlle rette di equzioi = e =. I simoli: T={(,y), y f()}. FIG. Quello che imo chimto teorem fodmetle per il clcolo dell re di u trpezoide è i reltà coseguez di u ltro teorem, detto teorem d iversioe, i se l qule, per ogi fuzioe f(), esiste sotto certe codizioi u fuzioe F() tle che F ()=f(). Come si dimostr il teorem d iversioe? Quli soo le codizioi di cui si prl? E soprttutto, mmesso di cooscere f(), come si f trovre u fuzioe F() tle che F ()=f()? Soo iterrogtivi i quli cercheremo di dre u rispost elle prossime pgie. 7.. Icomicimo co qulche cosiderzioe prelimire. All formul dell re del trpezoide T di se [,] reltivo ll fuzioe f(), si giuge operdo secodo l seguete procedur, sull qule l mometo o forimo spiegzioi (ci toreremo più vti che per chirire u spetto fodmetle dell questioe): ) si suddivide l itervllo [,] i u umero di itervlli przili [i, i] (dove i=,,, ed =, =) veti tutti l medesim mpiezz Δ = ; ) si idic co i u ritrrio puto dell i-esimo itervllo [ i, i]; il vlore dell fuzioe f() i i è evidetemete f( i ); c) l figur costituit dgli rettgoli di si [ i, i] ed ltezze f( i ), dett plurirettgolo, h re S tle che: S = f( i )Δ i= ; d) il limite (per ) di S che si dimostr esistere ed essere fiito si ssume come re S del trpezoide T: S= lim f( i )Δ. i= 7..3 Descrivimo u situzioe esemplifictiv, che i defiitiv o è ltro che u uovo metodo di clcolo pprossimto di u re. Cosiderimo llor il trpezoide T (Fig. ) tle che: T= (,y), y ½. Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli L su re estt è: S(T)=4/3. L si può clcolre si ricorredo ll regol di Archimede: S(T)=4 3 4= 4 3 ; si costtdo che u fuzioe l cui derivt è, è F()= 6 3, per cui: S(T)=F() F()= 6 8= 4 3. U pprossimzioe di S(T), estt fio l 3 decimle, è evidetemete: S(T),333. FIG. Ci propoimo di determire due pprossimzioi dell re suddett medite l divisioe dell itervllo [,] u volt i =4 prti uguli e u ltr volt i =8 prti uguli, prededo ogi volt come vlori dell fuzioe y=½ quelli che ess ssume egli estremi siistri dei vri itervllii otteuti. Per =4 si h, duque (Fig. 3): I corrispodez: Pertto: =, =, =, 3 = 3. y( )=, y( )= 8, y( )=, y( 3)= 9 8. S(T) (+ 8 + + 9 8 ) = 7 8 =,785. Per =8 si h (Fig. 4): I corrispodez: FIG. 3 FIG. 4 =, = 4, =, 3= 3 4, 4=, 5 = 5 4, 6= 3, 7= 7 4. y( )=, y( )= 4, y( )= 8, y( 3)= 9 3, y( 4)=, y( 5)= 35 3, y( 6)= 9 8, y( 7)= 49 3. Pertto: S(T) 4 (+ 4 + 8 + 9 3 + + 5 3 + 9 8 + 49 3 ) = 35 3,94. Mtemtic per le scuole superiori 3

Uità 7 Itegrli Puoi otre come el secodo cso (=8) l pprossimzioe si migliore del primo (=4), che se i etrmi i csi ess è piuttosto grossol. Nel primo cso si commette iftti u errore reltivo: 4 ε r = 3,785 4% ; 4 3 el secodo u errore reltivo: 4 ε " r = 3,94 8%. 4 3 L pprossimzioe miglioreree se umetssimo il umero di prti i cui si divide l itervllo [,]. Al limite, per : S(T) 4 3. 7..4 Si duque u fuzioe f(), cotiu e provvisorimete o egtiv i u itervllo [,]. Il limite dell somm i= f( i ) Δ qudo, vle dire l re del trpezoide di se [,], reltivo ll fuzioe f(), si defiisce che itegrle defiito di f() sull itervllo [,]. Nel medesimo tempo si dice pure che l fuzioe f() è itegrile su [,]. L itegrle defiito di f() su [,] si idic co u delle scritture segueti: f()d, [,]f()d ciscu delle quli si legge: «itegrle di f()d tr e» (). I defiitiv possimo scrivere: f()d = lim f( i )Δ. i= Gli estremi, dell itervllo [,] detto itervllo di itegrzioe si chimo primo e secodo estremo di itegrzioe. L fuzioe f() si chim fuzioe itegrd. L letter che figur ell scrittur [,]f()d è dett vriile di itegrzioe. Si trtt di u vriile cosiddett mut (o pprete) gicché l itegrle, u volt clcolto, o dipede più d ess, essedo u umero e determito. Per questo motivo l posto di [,]f()d si può scrivere u quluque delle segueti forme equivleti: [,]f(t)dt, [,]f(u)du, ecceter. 7..5 L esistez dell itegrle defiito di u dt fuzioe su u determito itervllo, co l procedur prim descritt è grtit dll esistez del limite fiito dell somm più volte cosidert. Vle precismete il seguete teorem, oto come codizioe di itegrilità di Megoli-Cuchy () : TEOREMA. Ogi fuzioe rele di vriile rele, cotiu i u itervllo chiuso e limitto, è itegrile su tle itervllo. Di questo teorem o forimo l dimostrzioe. A volte, i prticolre qudo è chiro qul è l vriile d itegrzioe, si sottitede il fttore d e soo uste le scritture segueti: f(), [,]f(). Noi o le useremo. Megoli, Pietro; Bolog, 65 Bolog, 686; Cuchy, Augusti Louis; mtemtico frcese, 789-857. 4 Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli 7. FUNZIONE INTEGRALE E TEOREMA D INVERSIONE 7.. Ci possimo desso occupre del teorem d iversioe. Si, llor, f() u fuzioe rele di vriile rele, cotiu ell itervllo chiuso e limitto [,]. Per ogi [,] è determit l re del trpezoide di se [,] reltivo ll fuzioe f(). Ess è espress dll itegrle f(t)dt, dove imo preferito predere l vriile t, ivece di, come vriile di itegrzioe per evitre ogi equivoco. L re del trpezoide di se [,], vle dire f(t)dt, è u fuzioe di, che idichimo co F(), per cui: F() f(t)dt. Quest fuzioe F() si chim fuzioe itegrle di f() su [,]. I prticolre, per evideti rgioi geometriche, si h: F()= f()d =, F()= f()d =S(T), dove S(T) è l re del trpezoide di se [,] reltivo d f(). 7.. Vle il seguete teorem (3). TEOREMA D INVERSIONE. Si f() u fuzioe cotiu ell itervllo chiuso e limitto [,]. L fuzioe itegrle F() di f() è cotiu i [,] e derivile i ],[ ed h per derivt proprio f(). Vle dire: F ()=f(). DIMOSTRAZIONE. Avvertimo suito che quest dimostrzioe cocede qulcos l rigore logico dl mometo che f ffidmeto su ciò che si ituisce dll figur, metre i reltà le stesse cose potreero essere spiegte rigorosmete i modo diverso. Allor, co riferimeto ll fuzioe f(), cotiu (e provvisorimete o egtiv) ell itervllo [,] (Fig. 5), preso u geerico puto [,] ed il puto +h, sempre itero d [,], cosiderimo il rpporto icremetle di F() reltivo ll icremeto h dto d : F(+h) F(). h FIG. 5 Poiché l fuzioe f(), cotiu ell itervllo chiuso e limitto [, +h], h i quest itervllo il miimo ssoluto m() ed il mssimo ssoluto M(), dipedeti ovvimete d h, oltre che d, e poiché F(+h) F() o è ltro che l re del trpezoide di se [, +h] reltivo d f(), dll figur s ituisce che deve essere: F(+h) F() m() h F(+h) F() M() h, ossi: m() M(). h 3 Il teorem d iversioe è chimto d lcui teorem di Torricelli-Brrow. Mtemtic per le scuole superiori 5

Uità 7 Itegrli Qudo h, le fuzioi m() ed M() tedoo etrme d f(). Per cui, i virtù del teorem di cofroto, che F(+h) F() tede d f(). Come dire: h F(+h) F() lim =f(). h h F(+h) F() Siccome chirmete: lim =F ' (), llor: F ' ()=f(). h h Al fie di verificre se ti è chiro il cocetto di fuzioe itegrle ti propoimo u pio di quesiti scelt multipl co 4 ltertive di rispost, di cui u sol corrett. Devi idividure l rispost corrett e dre spiegzioe.. Si h: F()= cos t dt. Quto vle F ' (π)? [A]. [B]. [C]. [D] cos t.. Si h: f()= t l(t ) dt. Quto vle f ' (3)? [A] l( )+. [B] l + 3. [C] l. [D] l 8. 7.3 PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE E TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 7.3. Cosidert u fuzioe rele di vriile rele f(), defiit i u itervllo I, ogi fuzioe (), derivile i I (e quidi che cotiu i I) e tle che '()=f(), si dice primitiv (o tiderivt) di f() i I. L fuzioe itegrle di f() ell itervllo [,], vle dire l fuzioe f(t)dt, è pertto u pri- mitiv di f() i [,]. M che f(t)dt +k, dove k è u costte ritrri, è u primitiv di f(). Altri esempi di primitive di dte fuzioi, dove k è u costte: - si è u primitiv di cos su tutto l sse rele, m che si +k lo è; - è u primitiv di su tutto l sse rele, m che +k lo è; - e è u primitiv di e su tutto l sse rele, m che e +k lo è. 7.3. Vle il seguete teorem. TEOREMA. Se due qulsisi fuzioi, defiite i u medesimo itervllo, soo primitive di u stess fuzioe llor differiscoo l più per u costte. DIMOSTRAZIONE. Si f() u fuzioe defiit i u itervllo I e sio p() e q() due primitive di f() i I, tli che p'()=f() e q'()=f(). Ne cosegue che ell itervllo I si h: p'() q'()= e perciò: D[p() q()]=. D ltro cto, se i u itervllo l derivt di u fuzioe è ull, l fuzioe è costte i quell itervllo, i coseguez del teorem di Lgrge. Doimo cocludere perciò che: p() q() = k, dove k è u costte ritrri. [c.v.d.] 7.3.3 Ripredimo l fuzioe f() cotiu ell itervllo chiuso e limitto [,] e ricordimo che 6 Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli f(t)dt è u primitiv di f(). Ammesso che che F() si u primitiv di f(), per il teorem precedete risult: f(t)dt F()=k. Siccome, per = si h f(t)dt = e perciò k= F(), llor: f(t)dt=f() F(). D qui, per =, si ottiee: f(t)dt= F() F(). Quest formul, ode evidezire meglio il ricorso d u primitiv F() dell fuzioe f() d itegrre, si preferisce scriverl, co ugul sigificto, i questo modo: [] f()d = [F()] È ot come formul fodmetle del clcolo itegrle ed è l formul dell qule ci simo già serviti per clcolre l re di u trpezoide di dt se reltivo d u dt fuzioe. Ess, ftte le deite cosiderzioi sull itegrilità dell fuzioe f(), sitetizz l eucito di uo dei più importti teoremi dell mtemtic, oto come teorem fodmetle del clcolo itegrle (o teorem di Newto-Leiiz) (4). Giuti questo puto si cpisce che il prolem delle ree si spost: si trtt, iftti, di riuscire trovre u primitiv dell fuzioe f() d itegrre. Affroteremo questo prolem d u puto di vist più geerle, m prim voglimo ritorre sul cocetto di re di u trpezoide, si per pprofodire qulche spetto qutuque sempre livello ituitivo, compres l spiegzioe del procedimeto descritto i 7.. si per precisre meglio il ruolo e il sigificto dell itegrle defiito e sottoliere lcue proprietà. 7.3.4 Prim di procedere, fccimo otre che l formul [] tor utile el clcolo dell seguete derivt: D () f(t)dt () essedo () e () due fuzioi di e o ecessrimete due costti, metre f(t) è u fuzioe che mmette primitiv dove occorre. Iftti, mmesso che F(t) si u primitiv di f(t) rgio per cui F (t)=f(t) per l [] si h: D () f(t)dt () Per esempio: () =D [F(t)] () =D [F(()) F(())]= = F (()) () F (()) () = f(()) () f(()) (). D e t dt = e D () e D = e e. Risultto che, lmeo i questo cso, può essere ricvto che clcoldo dpprim l itegrle defiito e poi l derivt dell fuzioe otteut. Ti propoimo desso di clcolre l derivt, rispetto d, dell fuzioe f(), spedo che: 4 Ci corre l oligo di seglre che lcui utori chimo teorem fodmetle del clcolo il teorem d iversioe e cosidero u suo corollrio quello che oi imo chimto teorem fodmetle. Mtemtic per le scuole superiori 7

Uità 7 Itegrli ) f() = e t dt + ; ) f() = l t dt 7.4 AREA DI UN TRAPEZOIDE: DEFINIZIONE + ; c) f() = u du. 7.4. Ci propoimo filmete di precisre il cocetto di re di u trpezoide, che fi qui imo dto per scotto. Si llor f() u fuzioe rele di vriile rele, che seguitimo supporre cotiu e provvisorimete o egtiv i u itervllo chiuso e limitto [,]. Cosiderimo il trpezoide T di se [,] reltivo ll fuzioe f(). Ci propoimo, per l pputo, di defiire l re S di T. Immgiimo di suddividere [,] i itervlli przili di mpiezze uguli Δ= medite i puti di divisioe (Fig. 6):,,,,,, tli che: = < < < < < =. Gli itervlli przili otteuti soo questi: [,], [,],, [,]. I ciscuo di essi, per il teorem di Weierstrss, l fuzioe f() h miimo e mssimo. Idichimo i miimi ed i mssimi di f() i ciscuo dei rispettivi itervlli przili co: m, m,, m e M, M,, M. FIG. 6 Cosiderimo or le segueti somme: s = m ( ) + m ( ) + + m ( ) = m Δ + m Δ + + m Δ, S = M ( ) + M ( ) + + M ( ) = M Δ + M Δ + + M Δ. Per revità esse si scrivoo el modo seguete: s = m i Δ, S = M i Δ i= e si leggoo rispettivmete: s ugule sommtori di m i per i che vri d d e S ugule sommtori di M i per i che vri d d. L prim costituisce l somm delle ree degli rettgoli veti come si gli itervlli przili costruiti sopr e come ltezze i miimi di f() i ciscuo di quegli itervlli: l somm di tli rettgoli si chim plurirettgolo iscritto el trpezoide. L secod costituisce l somm delle ree degli rettgoli veti le stesse si dei precedeti e come ltezze i mssimi di f() i ciscuo degli itervlli przili: l somm di tli rettgoli si chim plurirettgolo circoscritto l trpezoide. S ituisce che le ree di due qulsisi plurirettgoli iscritti el trpezoide T, reltivi due diverse suddivisioi di [,], soo i geere diverse. Così pure le ree di due plurirettgoli circoscritti T. i= 8 Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli S ituisce pure, dll esme dell figur, che l re d ttriuire evetulmete l trpezoide T o è miore di quell di lcu plurirettgolo iscritto e o è mggiore di quell di lcu plurirettgolo circoscritto. Or, l vrire d, del umero degli itervlli przili i cui è suddiviso l itervllo [,], si ottegoo le due successioi ifiite (s) e (S), di termii rispettivmete: s, s,, s, ; S, S,, S,. Si dimostr che etrme queste successioi covergoo llo stesso limite, che è ssuto per defiizioe come re S di T. Duque: S = lim s = lim S. 7.4. Si può perveire ll re del trpezoide T, operdo i modo u po diverso dl precedete. U volt suddiviso l itervllo [,] i u umero di itervlli przili [i, i] (i=,,, =, =), idichimo co i u ritrrio puto dell i-esimo itervllo [i, i]. Il plurirettgolo, costituito dgli rettgoli di si [i, i] ed ltezze f( i ), h re σ tle che: σ = f( i )Δ i=. Siccome mi ed Mi soo rispettivmete il miimo ed il mssimo ssoluti di f() i [i, i], è evidetemete: m i f( i ) M i, d cui segue: m i Δ f( i )Δ M i Δ, e perciò: m i Δ f( i )Δ M i Δ. i= i= Siccome esistoo e soo uguli i limiti (per ) delle successioi estere di quest disugugliz, per il teorem di cofroto che l successioe igit tede llo stesso limite. D ltr prte, questo limite è proprio l re S del trpezoide. Pertto: i= S = lim f( i ) Δ. E questo chirisce, qutuque i modo ituitivo, il procedimeto descritto i 7... 7.4.3 Aimo supposto fior che ell itervllo [,] l fuzioe f() fosse o egtiv, oltre che cotiu. Se, ivece, è o positiv (Fig. 7), llor si defiisce trpezoide (o rettgoloide) di se [,], reltivo ll fuzioe f(), l isieme: T= (,y), f() y. A volte è chimto soprgrfico dell fuzioe f() reltivo ll itervllo [,]. Ripetedo il procedimeto esposto el cso i cui f(), si trov che l somm σ = i= f( i )Δ è o positiv, risultdo o positivi i vlori f( i ). Pertto che il limite di σ, che esprime l re S i= del trpezoide T, è o positivo. Di modo che, se idichimo co S l re del trpezoide i seso elemetre, si h: S = lim f( i ) Δ. i= Mtemtic per le scuole superiori 9

Uità 7 Itegrli FIG. 7 FIG. 8 Suppoimo, ifie, che l fuzioe si cotiu, m o ecessrimete o egtiv o o positiv ell itervllo [,]. Per fissre le idee, posto <c<, suppoimo che si f() i [,c] ed f() i [c,] (Fig. 8). Allor, si defiisce trpezoide (o rettgoloide) di se [,], reltivo ll fuzioe f(), l isieme: T = (,y), y f() se f(), f() y se f(). Ripetedo il solito procedimeto, si trov: S=S+S, dove S, S e S soo rispettivmete le ree dei trpezoidi di si [,], [,c] e [c,], reltivi ll stess fuzioe f(). Siccome el cso i esme è S> e S<, si possoo presetre i tre csi segueti: S>, S=, S<. Se, però, voglimo otteere l re S del trpezoide i seso elemetre, si h: S=S + S. E così i csi loghi. 7.5 PROPRIETÀ DELL INTEGRALE DEFINITO 7.5. Ricordimo che imo itrodotto il cocetto di itegrle defiito di u fuzioe fr e, solo ell ipotesi che si <. Adesso lo voglimo estedere che i csi = e <, che se il primo cso è già stto ffrotto qudo ci simo occupti del teorem fodmetle del clcolo itegrle. Poimo per defiizioe: f()d =, f()d = f()d. Le covezioi soo giustificte, del resto, dl sigificto geometrico dell itegrle. 7.5. Se f() è u fuzioe cotiu ell itervllo [,] e k è u costte rele, llor si h: k f()d =k f()d. Iftti, co le solite otzioi, si h: k f()d = lim k f( i )Δ = k lim f( i )Δ = k f()d 7.5.3 Se f() è u fuzioe cotiu ell itervllo [,] e c è u puto tle che <c<, llor si h: f()d = f()d + f()d. c L spiegzioe è immedit se si f ricorso l sigificto geometrico dell itegrle defiito, che se o si trtt di u dimostrzioe ver e propri (che però esiste). 7.5.4 Se f() e g() soo fuzioi cotiue ell itervllo [,], llor si h: c. Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli (f()±g())d = f()d ± g()d Co le solite otzioi, si h, iftti: (f()±g())d = lim ( f( i )±g( i ))Δ = lim ( f( i )Δ ± g( i )Δ) = i= i= i= = lim f( i )Δ ± lim g( + i )Δ i= Δ i i=. = f()d ± g()d Quest ultim proprietà, lett d destr siistr, h u immedit ppliczioe proprio l clcolo delle ree. Suppoimo, precismete, di dover clcolre l re S(R) dell regioe R di pio delimitt, ell itervllo [,], dlle due curve di equzioi y=f() e y=g(), tli che f() g(). Eee, si h: S(R)= (f() g())d Se le due fuzioi f() e g() fossero etrme positive i [,] (Fig. 9) o ci sreero prolemi spiegre l relzioe precedete.. FIG. 9 FIG. Se, l cotrrio, l positività di f() e di g() i [,] o sussiste (Fig. ) si può supporre di operre u trslzioe delle due curve di mpiezz h positiv ell direzioe dell sse y. I se quest trslzioe le equzioi delle due curve diveto: y=f()+h, y=g()+h. Se h è scelto i modo che ell itervllo [,] risulti f()+h> e g()+h>, llor: e d qui segue suito l relzioe precedete. S(R)= (f()+h)d (g()+h)d Ti propoimo di risolvere i segueti esercizi utilizzdo le proprietà dell itegrle defiito:. Clcolre l re dell regioe fiit di pio, delimitt dlle prole di equzioi: y= +, y= 3.. L rett e l prol di equzioi rispettivmete: y= +, y= delimito u regioe fiit di pio. Clcolre l su re. 7.6 INTEGRALE INDEFINITO 7.6. Come imo detto, il prolem del clcolo di u itegrle defiito è ricodotto quello dell Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli ricerc di u primitiv di u fuzioe. Quidi è su quest ricerc che v post l ttezioe. Or, come c è u tell delle derivte fodmetli, llo stesso modo e esiste u delle primitive fodmetli. L qule, prte lcui ecessri dttmeti, è tutto sommto quell stess delle derivte fodmetli, lett però dopo ver sostituito l itestzioe DERIVATA co FUNZIONE e l itestzioe FUNZIONE co PRIMITIVA e dopo ver scmito le reltive coloe (T.). QUADRO DELLE PRIMITIVE FONDAMENTALI FUNZIONE PRIMITIVA FUNZIONE PRIMITIVA FUNZIONE PRIMITIVA ( ) si + + cos l l cos si cos t e e + t si TAB. U reve cosiderzioe rigurdte le primitive di /. I quest fuzioe chirmete è u qulsisi umero rele o ullo. U su primitiv, perciò, o può essere l che, per <, o è defiit i R. U primitiv di / è ivece l. Di ftto: se > llor l = l e duque: D l =D l = ; se < llor l = l( ) e duque: D l =D l( ) = =. 7.6. Sppimo che due primitive di u stess fuzioe differiscoo l più per u costte, codizioe però che il domiio dell fuzioe si costituito d u solo pezzo o, come si dovree dire correttmete, se tle domiio è coesso. Ciò sigific che, se F() è u primitiv di f(), l più geerle primitiv di f(), ossi l isieme delle primitive di f(), è F()+k, co k prmetro rele ritrrio. Or, l più geerle primitiv di u fuzioe f() si chim itegrle idefiito di f() e si idic, per logi l modo di scrivere l itegrle defiito, co l scrittur: che si legge: «itegrle di f() d» (5). Si h pertto: I prticolre: f()d f()d =F()+k. cos d = si +k, + d = t +k, 3 d = 3 +k. Ci occuperemo più dettglitmete degli itegrli idefiiti ell prossim uità. M desso voglimo cocludere co u curiosità. 5 Come per l itegrle defiito, volte si sottitede il fttore d e si scrive: f(). Noi o lo fremo. Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli Se l fuzioe F() è u primitiv di u cert fuzioe f(), l su rppresetzioe grfic, i u pio crtesio ortogole (Oy), è costituit dll curv di equzioe y=f(). Siccome ogi curv di equzioe y=f()+k si ottiee dll precedete trsldol di u segmeto lugo k ell direzioe dell sse y (el verso positivo se k>, i quello egtivo se k<), possimo cocludere che l rppresetzioe grfic dell itegrle idefiito di f() è costituit dll isieme delle curve prllele (Fig. ) di equzioe y=f()+k, quluque si k R. 7.7 OSSERVAZIONI. FIG. Alcue osservzioi importti sull itegrilità delle fuzioi. Qulor l fuzioe f() o fosse cotiu i u determito itervllo [,] m presetsse ivi qulche puto di discotiuità (i ogi cso u umero fiito di discotiuità), l re sotto il suo grfico, reltivmete quell itervllo, si può clcolre ugulmete come somm di ree reltive d itervlli i cui f() è cotiu. A titolo di esempio cosiderimo l seguete fuzioe, costte trtti (Fig. ): se f()= { se < Ess è cotiu ell itervllo [,] tre che el puto, dove preset u discotiuità. L re A sotto il suo grfico si può cosiderre come somm delle ree reltive u ll itervllo [,] e l ltr ll itervllo [,]. Si h evidetemete: A=+=3. Ache desso, pur o essedo f() cotiu i [,], coveimo di scrivere: A = f()d. E pertto: f()d FIG. = 3. ESERCIZI.. Co riferimeto ll fuzioe f() il cui grfico è rppresetto i figur, diseg il grfico dell fuzioe itegrle F() = [,] f(t)dt.. Clcol: Mtemtic per le scuole superiori 3

Uità 7 Itegrli 4 ) f()d 4 se spedo che f()= { se > Esistoo superfici illimitte cui compete u re fiit. Predimo l rigurdo l fuzioe (Fig. 3): y=. Nell itervllo [,+ [ ess è cotiu. Di coseguez, comuque si pred t> risult itegrile i [,t]. Di ftto, dopo ver verificto che u primitiv dell fuzioe è /, si h: t d = [ ] = t. Possimo costtre che: lim ( t + t ) =. Ciò utorizz d ffermre che l fuzioe i esme è itegrile i [,+ [. t ; ) ( +) d ; c) ( + +) d. Aimo così u superficie illimitt cui corrispode u re fiit. I questo cso si poe per defiizioe: + t d = lim t + d. - - FIG. 3 V ridito che quest defiizioe h sigificto solo se il limite esiste ed è fiito, i prtic se è u umero rele. Se, l cotrrio, co riferimeto d u geeric fuzioe f(): lim f()d t + o è u umero rele, l fuzioe f() o è itegrile i [,+ [ ed ll superficie illimitt o si può ttriuire u re fiit. Così, per esempio, o è itegrile i [,+ [ l fuzioe /. Iftti, u volt costtto che per > u su primitiv è l, si h: Gli itegrli dei tipi segueti: + f()d t lim t + d = lim [l ] t = lim l t =+. t + t +, f()d t +, f()d per i quli vlgoo cosiderzioi loghe quelle su esposte, el cso i cui sio fiiti si dicoo itegrli geerlizzti (o impropri). ESERCIZI.. Stilire se soo itegrili ei rispettivi itervlli le segueti fuzioi: ) f()= 4 i [, + [ ; ) f()= i [, + [ ; c) f()=e i [, [ ; d) f()= i [, + [. +, 4 Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli. Si cosideri l fuzioe: f()= α, dove α è u prmetro rele. Clcolre l re sotto il grfico dell fuzioe ell itervllo [, t], co t>. Esistoo vlori di α per i quli h vlore fiito il sottogrfico dell fuzioe reltiv ll itervllo [, + [? L situzioe descritt i termii ituitivi ll iizio di questo prgrfo 7.7, or che soo stti itrodotti gli itegrli impropri, può essere propost i modo più formle. Si h iftti l seguete defiizioe, dovut Cuchy: Si f() u fuzioe cotiu i u itervllo [,], slvo u puto c itero d esso. Se esistoo e soo fiiti i segueti limiti: t lim e lim, t c t c t llor si poe per defiizioe: t f()d = lim + lim. t c t c t Cosiderimo per esempio l seguete fuzioe: f() = { per < per Costtimo che f() è cotiu ell itervllo [,], slvo che el puto, dove preset u discotiuità o elimiile. Ioltre, dopo ver verificto che l fuzioe è u primitiv dell fuzioe h: t lim t d, costtimo che si = lim [ ] t t = = lim [( t) ( )] = t lim d t + t = lim t + [ ] t = lim t + [ t ] = 3. Cosicché si h: f()d = + 3 = 7. Questo itegrle è il vlore dell re evidezit i figur (Fig. 4), dove è rppresett l fuzioe f(). Are fiit, pertto, m di u superficie evidetemete illimitt. FIG. 4 L precedete defiizioe può essere estes fcilmete l cso i cui f() è cotiu i u itervllo [,], slvo che i u umero fiito di puti c, c,, c. Bst suddividere l itervllo [,] i itervlli przili, i oguo dei quli ci si uo ed u solo puto di discotiuità, pplicre d ogi itervllo l defiizioe precedete e sommre ifie i vlori umerici otteuti. ESERCIZIO. Si cosideri l seguete fuzioe f(): Mtemtic per le scuole superiori 5

Uità 7 Itegrli Stilire se esiste: ) f() = per ; ) f() = { per > f()d. 7.8 INTEGRALE CURVILINEO (6) 7.8. Fi qui imo sempre ssocito u re ll itegrle defiito e questo potree idurre credere che effettivmete l itegrle defiito rppreseti solo ed esclusivmete u re. No è così, m vremo modo di vedere questo i mier rticolt ell uità 74. Qui, odimeo, voglimo forire u prim geerlizzzioe del cocetto di itegrle. Suppoimo llor ssegt el pio u lie curv γ (Fig. 5). Scelti ritrrimete su di ess u puto P (puto origie) ed u puto U (puto uità) rest fissto su γ quello che si chim u riferimeto curvilieo. I questo modo, d ogi puto P di γ è ssocito u umero rele s, il cui vlore ssoluto è l misur dell rco PP di γ rispetto ll rco PU; s si ssume ugule se P coicide co P, positivo se P si trov sull semicurv di origie P coteete U, egtivo egli ltri csi. Il umero rele s si defiisce sciss curvilie di P. FIG. 5 Ammettimo desso che d ogi puto P dell rco AB di γ si ssocit u grdezz z. Possimo legittimmete supporre che z si fuzioe di s: z=f(s). Immgiimo or di suddividere l rco AB di γ i u umero di rchi elemetri Δs e di predere l somm: f(s)δs. i=i Il limite di quest somm, qudo tede d ifiito, vle dire l somm degli ifiiti elemeti ifiitesimi f(s)δs, si chim itegrle curvilieo lugo l rco AB. Se sa ed sb soo rispettivmete le scisse curviliee di A e B, l itegrle è idicto co l scrittur seguete: 6 Questo prgrfo è rivolto solmete ll idirizzo Trsporti e Logistic dell Istituto Tecico, settore Tecologico (C). 6 Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli s B f(s)ds s A. Si poe il prolem di clcolre questo itegrle qudo s è espress medite le coordite crtesie (,y) di P. Per questo è ecessrio vere le equzioi prmetriche dell curv γ. Se esse soo le segueti equzioi: =(t), y=y(t), l teori spieg che risult: s A s B β f(s)ds = f((t),y(t)) ['(t)] +[y'(t)] dt, α dove α, β soo i vlori di t corrispodeti rispettivmete i puti A, B, estremi dell rco. 7.8. U cso prticolre di itegrle curvilieo è quello che esprime l lughezz L di u rco di curv pi γ. Eee, l lughezz dell rco AB di u curv pi è: s B β L = ds = ['(t)] +[y'(t)] dt s A α essedo ovvimete =(t), y=y(t) le equzioi prmetriche di γ ed α, β i vlori di t corrispodeti rispettivmete i puti A, B, estremi dell rco. A titolo di esempio, ci propoimo di clcolre l lughezz dell rco AB dell prol di equzioe crtesi y=, spedo che A e B ho scisse rispettivmete e. Servoo zitutto le equzioi prmetriche dell prol. Soo le segueti: =t, y= t. Pertto: ' (t)= e y ' (t)=t. Bisog cooscere desso quli vlori di t corrispodoo i puti A e B ssegti. Si trov fcilmete che essi soo rispettivmete e. Cosegue d tutto ciò che l lughezz L dell rco AB dell prol è l seguete: L= +t dt. Siccome, come puoi verificre d solo, u primitiv dell fuzioe +t è l fuzioe: l ( + t + t) + t + t, si h: L = [ l ( + t + t) + t + t ] = 5 + 5 l +,8. + Questo semplice esercizio f compredere quto si complicto clcolre u itegrle curvilieo. Se proprio ce è l ecessità si suggerisce pertto l uso di u idoeo softwre mtemtico. Qulche cso semplice tuttvi c è, come il clcolo dell lughezz di u circoferez. I reltà, l formul di tle lughezz è ot, m qui voglimo ritrovrl medite il clcolo itegrle. Si llor u circoferez di rggio ssegto R. Assumimo come riferimeto crtesio (Oy) u sistem moometrico ortogole co l origie el cetro dell circoferez. L equzioe di quest è llor l seguete: +y =R. U su form prmetric, che è ciò che oi serve, è l seguete: =R cos t, y=r si t, co t<π. Mtemtic per le scuole superiori 7

Uità 7 Itegrli Pertto: = R si t, y = R cos t. L lughezz L dell circoferez è perciò: π L = R (si t + cos t) dt = R [t] π = πr. VERIFICHE. Clcolre l derivt, rispetto d, dell fuzioe f(), spedo che (. -6):. f() = e t dt. 3. f() = e t dt. / [R. e ] [R. 3 e 3 ] 3. f() = si t dt. [R. si si ] 3 4. f() = (t t)dt. [R. 6 6] 3 5. f() = t t dt. R. 3 t 3 t ] 6. f() = dt +t. [R. + ] Clcolre i segueti itegrli defiiti ricorredo l teorem fodmetle del clcolo itegrle e teedo presete l tell delle primitive fodmetli (. 7-5): 7. d π/ 9. cos d π/3. cos d π/6 3. d / 5. d Questioi vrie. [R. 3 ] [R. ] [R. [R. 3 ] e 8. d π. si d. e d 3 l ] 4. + d [R. π 6 ] [R. ] [R. ] [R. e ] [R. π 4 ] 6. È dt l fuzioe f()= 3 +4.. A) Trccire il grfico. B) Clcolre l derivt. C) L fuzioe è derivile i ogi puto del suo domiio? 3. A) Clcolre f()d. 8 Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli B) Spiegre i mier esuriete perché l fuzioe f() o mmette primitiv ell itervllo [,3]. 7. I u pio crtesio ortogole (Oy) è ssegt l curv di equzioe y=/ 3. Stilire se l regioe pi, situt el semipio, compres tr l curv e il suo sitoto orizzotle h u re (fiit) o o. [R. Si trtt di clcolre lim t d t + 3 8. I u pio crtesio ortogole (Oy) è ssegt l curv di equzioe y=/. Stilire se l regioe pi, situt el semipio, compres tr l curv e il suo sitoto orizzotle, h u re (fiit) o o. [R. Si trtt di clcolre lim t d t + 9. I u pio crtesio ortogole (Oy) è ssegt l curv di equzioe y= +. Stilire se l regioe pi compres tr l curv e il suo sitoto orizzotle h u re (fiit) o o. [R. Si trtt di clcolre lim ( lim d + + )]. Spiegre i mier esuriete perché si h: ) d + = t 3 ; ) d + = π 6 ; c) d = π. 3 3/3. Qule relzioe sussiste fr l re del sottogrfico dell fuzioe f()= + reltivo ll itervllo [,] e l re del cerchio di rggio uitrio?. È ssegt l fuzioe: y = + +.. A) Trccire il grfico. B) Clcolre l derivt. C) L fuzioe è derivile i ogi puto del suo domiio?. A) Clcolre [,] yd. B) Stilire se l fuzioe ssegt mmette o o primitiv ell itervllo [,]. 3. Dell fuzioe rele di vriile rele f() si s che, per ogi rele, risult: f ' ()= dove è u costte.. A) Spiegre perché l fuzioe è defiit e cotiu su tutto l sse rele. B) Quli soo tutte le possiili fuzioi f()?. A) Determire l fuzioe f() spedo, i prticolre, che è: [,] f()d=, f ' ()=. 4. Dell fuzioe rele di vriile rele f() si s che, per ogi rele, risult: f " ()=, dove è u costte.. A) Spiegre perché l fuzioe è defiit, cotiu e derivile su tutto l sse rele. B) Quli soo tutte le possiili derivte f () dell fuzioe?. A) Determire f() spedo, i prticolre, che è: [,] f()d=, f ' ()=, f " ()=. 3/5 4/5 ] ] 5. L derivt dell fuzioe: + f() = e t dt Mtemtic per le scuole superiori 9

Uità 7 Itegrli è l fuzioe: f () = e e, e essedo e l se dei logritmi turli. Eseguire tutti i pssggi ecessri giustificre l ffermzioe. 6. L derivt dell fuzioe: f() = dt l t dove > e l idic il logritmo turle, è l fuzioe: l( f () = ) l() l(). Eseguire tutti i pssggi ecessri giustificre l ffermzioe. 7. Il seguete limite: ( e t )dt lim, si dove e l se dei logritmi turli, vle. Eseguire tutti i pssggi ecessri provrlo. 8. Nell figur 6 è rppresett l fuzioe f() ell itervllo [,]. Cosidert l fuzioe F() = f(t) dt, cofrotre i segueti vlori per stilire se il primo di essi è mggiore, ugule o miore del secodo, foredo esurieti spiegzioi delle relzioi trovte: ) F(), F(); ) F(), F( ); 3) F(), F(/); 4) F() F(), F() F( ). FIG. 6 FIG. 7 9. Nell figur 7 è rppresett l fuzioe f() ell itervllo [,]. Si s che l re dell regioe A è / e quell dell regioe B è /5. Clcolre: f(t) dt. 3. I u pio crtesio ortogole (Oy) è ssegt l curv di equzioe y=, dove è u itero positivo. Si pred su di ess il puto P di sciss e si idichi co A il puto dell sse vete l stess sciss di P e co B il puto dell sse y vete l stess ordit di P. Clcolre il rpporto fr l miore e l mggiore delle regioi i cui l curv ssegt divide il rettgolo OAPB. [R. /] 3. È dt l fuzioe f() tle che: + per f() = { per < ) Clcolre l re del sottogrfico dell fuzioe reltiv ll itervllo [,]. Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli ) Determire l fuzioe itegrle F(), co F()= f(t)dt. 3. È dt l fuzioe f() tle che: [R. ) 3 + l 4 ; ) F() = { + per ] 3 + l per < k per f() = { 8 k per < 4 ) Clcolre per qule vlore del prmetro rele k l re del sottogrfico dell fuzioe reltiv ll itervllo [,4] è ugule 8+4 l. ) Per tle vlore di k, determire l fuzioe itegrle F(), co F()= f(t)dt. 33. È dt l fuzioe f() tle che: per f() = { per > ) Clcolre l re del sottogrfico dell fuzioe reltiv ll itervllo [,]. [R. ) k=3, ) ] ) Determire l fuzioe itegrle F(), co F()= f(t)dt. [R. ) ; ) F() = { 3 3 per 4 3 ] per > 34. Il rgioier Ftozzi ogi domeic mtti f ore di joggig lugo u percorso di dt e ritoro, che ll dt preset u trtto AB pieggite e u trtto BC i slit: i due trtti soo ugulmete lughi. Il rgioier Ftozzi mtiee u velocità medi di km/h i piur, di,5 km/h i slit e di,5 km/h i disces. ) Clcolre l velocità medi teut dl rgioier Ftozzi sull itero percorso di dt e ritoro. ) Clcolre l lughezz del trtto AB e il tempo impiegto percorrerlo. c) Determire l fuzioe v=v(t), co t, dell velocità teut dl rgioier Ftozzi elle ore i cui f joggig, teedo presete che t è misurto i ore e v i km/h. d) Clcolre l re sotto il grfico dell fuzioe v=v(t) reltiv ll itervllo [,] e spiegre il sigificto fisico. [R. ) 6 3 km/h; ) 3 3 35. È ssegt l fuzioe: f() = e ( ), essedo e il umero di Nepero. ) Rppresetrl il u pio riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oy). ) Stilire se h vlore fiito il sottogrfico dell fuzioe reltiv ll itervllo ], ]. 36. Soo ssegti il grfico G (Fig. 8) dell fuzioe y=f() e le segueti fuzioi: y = l +, y = +, y = t. 5 km, h; ] 3 Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli ) U di esse è u primitiv dell fuzioe f(): determirl ) Clcolre l re dell regioe fiit di pio delimitt dl grfico G, dll sse e dll rett di equzioe =. FIG. 8 FIG. 9 37. Soo ssegti il grfico G (Fig. 9) dell fuzioe y=f() e le segueti fuzioi: y = 4 (3 + )( )3, y = ( ), y = ( ). ) U di esse è u primitiv dell fuzioe f(): determirl ) Il grfico G preset u cetro di simmetri C: determirlo e scrivere l equzioe y=g() dell trsformt di y=f() i se ll trslzioe che port C ell origie O del sistem di riferimeto. c) Clcolre l re dell regioe fiit di pio delimitt di grfici delle fuzioi y=f() e y=g(). 38. Trovre u primitiv dell fuzioe: f() = +. [Attezioe! Bisog distiguere due situzioi, secodo che si oppure <] 39. Si l fuzioe: ) Verificre che si h: f() = ) Clcolre u primitiv dell fuzioe f(). 4. Si l fuzioe: ( + ). 3 3 f() = D ( + ( + ) ) +. f() = 4. ) Determire i umeri A, B, C i modo che risulti ideticmete: f() = A + B + + C +. ) Clcolre u primitiv dell fuzioe f(). 4. Si l fuzioe: f() =, co < < π. + si ) Verificre che soo sue primitive tutte e tre le fuzioi segueti: [R. ) A = 4, B = 4, C = ; ) l 4 + t ] Mtemtic per le scuole superiori

Uità 7 Itegrli cos () = + si, () = si cos, c() = + t ( ). ) Le fuzioi (), (), c(), essedo primitive di u medesim fuzioe i u domiio coesso, differiscoo l più per u costte: verificrlo. [R. ) ; ) () = () = c() + ] UNA BREVE SINTESI PER DOMANDE E RISPOSTE. DOMANDE. Fuzioe primitiv e fuzioe itegrle di u fuzioe soo o o cocetti equivleti? È vero che due primitive di u stess fuzioe soo i ogi cso due fuzioi uguli? 3 È vero che le due fuzioi e ed e e, dove e è il umero di Nepero, soo primitive di u stess fuzioe? 4 È vero che u primitiv di / è l? 5 È vero che è 4 l derivt rispetto d dell fuzioe t dt? 6 Si f() u qulsisi fuzioe itegrile ell itervllo [,]. Ammesso che si [,]f()d=, è vero o è flso che è certmete [,] [f()] d=? 7 È vero che u fuzioe cotiu i u itervllo [,] è si derivile si itegrile i tle itervllo? 8 Si α u quluque umero rele positivo e l α esprim l re sottes dl grfico di u prticolre fuzioe su u dto itervllo. Qule può essere u tle fuzioe? Qule l itervllo? RISPOSTE.. Soo cocetti distiti. Primitiv di u fuzioe è u fuzioe l cui derivt coicide co l fuzioe dt. Fuzioe itegrle di u fuzioe è u prticolre primitiv dell fuzioe. Precismete, se f() è u fuzioe cotiu ell itervllo [,], l fuzioe itegrle di f() i [,] è l fuzioe F()= [,]f(t)dt, dove [,].. No. Due primitive di u stess fuzioe, defiite i u medesimo itervllo, differiscoo (l più) per u costte. 3. Sì. Iftti le due fuzioi, defiite su tutto l sse rele, differiscoo soltto per u costte. 4. No. U primitiv di / è l. 5. No. L derivt è, iftti: () D (), cioè 8. 6. È flso. Bst cosiderre l fuzioe f()=: si può vedere che il primo itegrle è, per cui =; che il secodo itegrle è ugule, m =4. 7. È flso. Nel seso che l fuzioe è certmete itegrile, m o ltrettto certmete derivile. + se Bsti pesre ll fuzioe f()= { se < 8. U fuzioe è / e l itervllo è [, α]. Si costt iftti fcilmete che si h: d = l α. α Mtemtic per le scuole superiori 3