QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica

Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Diprtimento di Mtemtic G. Zmpieri Anlisi Vettorile.. 21/22 Quderno # 1 - Novembre 21...........

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 1 PREFAZIONE Questo quderno rccoglie le dispense di un prte del corso di Anlisi vettorile e serie di funzioni che ho svolto nell nno ccdemico 21/2. Si trtt di un corso di nlisi mtemtic per studenti del secondo nno di fisic, preceduto, nel primo nno, d Clcolo differenzile ed integrle e d Funzioni di più vribili, entrmbi indispensbili ll comprensione del mterile qui presentto. Ho cercto di entrre nello spirito del nuovo ordinmento didttico, semplificndo, dove possibile, l trttzione e cercndo di legrl ll fisic. Non ho però rinuncito lle dimostrzioni che sono qusi sempre svolte, lmeno in csi prticolri. Credo inftti che un cert profondità si indispensbile gli studenti di fisic del secondo nno il cui interesse per l mtemtic è nturle dto lo stretto legme fr le due discipline inconcepibile efficci dell mtemtic nelle scienze dell ntur, o Principio di Wigner ). Inoltre penso che un percorso ttrverso le idee, diversmente dll esposizione di un cssett degli ttrezzi, fciliti l comprensione. Ringrzio gli studenti che mi hnno posto frequenti domnde iutndomi nell esposizione dell mteri non solo dl punto di vist mtemtico. INDICE CAP. I: CURVE E FORME DIFFERENZIALI 1. Curve rettificbili...p. 2 2. Curve regolri, prmetro d rco...p. 8 3. Lunghezz di curve pine crtesine e polri...p. 8 4. Cmmini...p. 9 5. Integrli curvilinei l differenzile d rco...p.1 6. Esercizi...p.11 7. Preliminri lle forme differenzili: spzio dule...p.14 8. Forme differenzili...p.15 9. Integrli curvilinei...p.17 1. Primitive, omotopie e connessione semplice...p.2 11. Esercizi svolti...p.27 CAP. II: SUPERFICI E TEOREMI DI STOKES E GAUSS 12. Teorem di Green...p.33 13. Are di superfici...p.38 14. Opertori differenzili e integrli superficili...p.41 15. Teorem di Stokes...p.46 16. Il nstro di Möbius...p.49 17. Potenzile vettore, connessione superficile semplice...p.51 18. Teorem dell divergenz di Guss...p.55 19. Esercizi ed esempi svolti...p.57 Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

2 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Cp. I: Curve e Forme Differenzili 1. Curve rettificbili. Un ppliczione φ : I R n, con I intervllo di R si dice curv prmetric) in R n. Ci interessernno solo le curve continue, cioè considereremo sempre φ continu. Inoltre ci interesserà il cso in cui I =[, b] intervllo comptto, nche se quello che diremo vrà ovvie estensioni d intervlli di ltro tipo. L immgine φ[, b]) è dett sostegno dell curv e v distint dll curv stess; si pensi ll curv come l moto di un punto e l sostegno come ll triettori del moto. Già sppimo che il seguente limite in t [, b] viene detto vettore derivto in t, purchè esist φ t ) := lim t t φt) φt ) t t R n. 1.1) Nturlmente, se esiste ovunque ponimo φ :[, b] R n,t φ t). Definimo l integrle dell curv continu φ :[, b] R n per componenti, cioè b b ) b φt) dt := φ 1 t) dt,..., φ n t) dt 1.2) dove φt) =φ 1 t),...,φ n t)). Per l linerità dell integrle, si verific subito che v b φt) dt = b dove v R n e il puntino denot il prodotto sclre. v φt) dt 1.3) Proposizione 1.1. Si φ :[, b] R n un curv continu. Allor b b φt) dt φt) dt. 1.4) Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 3 Dimostrzione. Siv := b φt) dt. Sev = l 1.4) è ver. Si quindi v. Usndo l 1.3) e l disuguglinz di Schwrz bbimo v 2 = v b φt) dt = b Dividendo per v si h l tesi. v φt) dt b v φt) dt b b v φt) dt = v φt) dt. Considerimo φ :[, b] R n curv continu e si S = {t,t 1,...,t N } un suddivisione di [, b] cioè un suo sottoinsieme finito con = t <t 1 <...<t N = b. Nell seguente definizione usimo l notzione L S := N φti ) φt i 1 ). 1.5) i=1 Si trtt dell lunghezz dell poligonle in R n che h per vertici i punti φt ), φt 1 ),..., φt N ), ed è dett poligonle inscritt nell curv. Definizione 1.2. Dt un curv continu φ :[, b] R n ponimo Lφ) :=sup S L S l vrire di S fr tutte le suddivisioni di [, b]. Dicimo che φ è rettificbile se Lφ) < + e Lφ) è dett lunghezz dell curv. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

4 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Interpretndo cinemticmente l curv, si h che l su lunghezz è l strd percors. Così d esempio φ :[,π] R, t sen t è un curv rettificbile di lunghezz 2 e non 1). Il sostegno è[, 1] m è percorso due volte. Definizione 1.3. Si f :[, b] R R un funzione continu e considerimo l curv φ :[, b] R 2, t t, ft)). Quest curv in R 2 si dice curv crtesin y = fx). Il suo sostegno è il grfico di f. Esempio 1.4. Fccimo vedere che se l funzione f :[, b] R è continu e convess llor l curv crtesin y = fx) è rettificbile. Dicimo m := min{fx) :x [, b]} < + per l compttezz dell intervllo e l continuità dif. SeS è un qulunque suddivisione di [, b], llor L S f) m)+fb) m)+b ) dove destr si h l lunghezz di un spezzt con lti prlleli gli ssi. Quindi il sup S L S è finito. y x Esempio 1.5. Vedimo or un esempio di curv non rettificbile. Considerimo l curv crtesin y = fx) con f :[, 1] R, f) =, e fx) =x cosπ/x) perx. Il sostegno intersec l rett y = x nell origine e per π/x) =2nπ, ovvero x =1/2n con n =1, 2,... Intersec invece l rett y = x per x =1/2n+1), n =, 1, 2,... Considero l poligonle Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 5 inscritt ottenut con l suddivisione S m = { 1, m +1, 1 } m...,1 2, 1. L lunghezz dei segmenti dell poligonle è mggiore di quell delle loro proiezioni sull sse y. Usndo questo ftto, ed escludendo il segmento dell poligonle che h un estremo nell origine, bbimo m 1 L Sm k + 1 ) m m 1 k +1 k k=1 k=1 k=1 k+1 k dx m+1 x = 1 per m + come noto dll teori dell serie rmonic). y dx x = lnm +1) + x Proposizione 1.6. Si φ :[, b] R n un curv continu e p :[c, d] [, b] un omeomorfismo cioè funzione biiettiv e continu ssieme ll invers). Allor φ è rettificbile se e solo se lo è φ p ed in tle cso Lφ) =Lφ p). Dimostrzione. Bst ricordre che p è strettmente crescente o strettmente decrescente. In entrmbi i csi si può stbilire un corrispondenz biunivoc fr le suddivisioni di [, b] e quelle di [c, d] in modo che suddivisioni corrispondenti bbino l stess poligonle inscritt. Se p è strettmente crescente ll suddivisione {t,...,t N } di [, b] ssocimo l {τ,...,τ N }, con τ := p 1 t ),...,τ N := p 1 t N ), che è un suddivisione di [c, d]. Se invece p è decrescente bst porre τ := p 1 t N ),...,τ N := p 1 t ). Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

6 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Proposizione 1.7. Si φ :[, b] R n un curv continu e rettificbile, inoltre sino φ 1 := φ [, c], φ 2 := φ [c, b] con < c < b. Allor φ 1,φ 2 sono rettificbili e Lφ) = Lφ 1 )+Lφ 2 ) l lunghezz è dditiv). Dimostrzione. SiS 1 suddivisione di [, c] es 2 di [c, b]. Allor S = S 1 S 2 è suddivisione di [, b] esihl S1 + L S2 = L S Lφ). Perciò L S1 e L S2 sono superiormente limitte e φ 1 e φ 2 sono rettificbili. Pssndo l sup su S 1 si h Lφ 1 )+L S2 Lφ). Il sup su S 2 dà quindi Lφ 1 )+Lφ 2 ) Lφ). Dimostrimo or l disuguglinz invers. Si S suddivisione di [, b]. Aggiungendo c bbimo S 1 suddivisione di [, c] e S 2 di [c, b] tli che S {c} = S 1 S 2. Per l disuguglinz tringolre L S L S1 + L S2 Lφ 1 )+Lφ 2 ). Pssndo l sup su S si h Lφ) Lφ 1 )+Lφ 2 ). Definizione 1.8. Si φ :[, b] R n un curv continu rettificbile. Si dice funzione lunghezz d rco l λ :[, b] R, t Lφ [, t]). Proposizione 1.9. L lunghezz d rco è crescente: t 1 <t 2 b = λt 1 ) λt 2 ). Dimostrzione. Usndo l dditività dell lunghezz d rco Proposizione 1.7) bbimo λt 2 ) λt 1 )=Lφ [, t 2 ]) Lφ [, t 1 ]) = Lφ [t 1,t 2 ]). Risultto fondmentle è il seguente Teorem 1.1. Ogni curv φ :[, b] R n di clsse C 1 è rettificbile e si h Lφ) = b φ t) dt. 1.6) Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 7 Dimostrzione. S i S = {t =, t 1,...,t N = b} un suddivisione di [, b]. Usndo l Proposizione 1.1 si h N tk N L S = φ t) dt k=1 t k 1 k=1 Così in prticolre φ è rettificbile e Lφ) b tk t k 1 φ t) dt = Si ft) := t φ τ) dτ e λ come nell Definizione 1.8. b φ t) dt. φ t) dt. 1.7) Fccimo vedere che λ è derivbile e λ t) =f t) = φ t) per ogni t [, b]; d ciò bbimo λ = f che conclude l dimostrzione. Fissimo t [, b]. Si h> tle che t + h [, b] se t = b non esiste un tle h eci si ferm qui). Allor usndo l suddivisione {t, t + h} dell intervllo [t, t + h] bbimo φt + h) φt) Lφ [t, t + h]) = λt + h) λt). Usndo questo risultto per un prim mggiorzione e poi l 1.7) per un second, bbimo φt + h) φt) h λt + h) λt) h 1 h t+h t φ τ) dτ = ft + h) ft) h. 1.8) Vedremo che ciò vle nche per h< e llor per h il membro estrem sinistr tende φ t) e quello estrem destr pure per definizione di f. Il teorem dei crbinieri ci permette quindi di concludere che λt + h) λt) lim h h = φ t). Ci rest d vedere solmente che 1.8) vle nche per h< qundo t>): φt + h) φt) Lφ [t + h, t]) λt) λt + h) λt + h) λt) h = = h h h 1 h t t+h φ τ) dτ = 1 h t+h t φ τ) dτ = ft + h) ft) h. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

8 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 2. Curve regolri, prmetro d rco. Un curv φ :[, b] R n di clsse C 1 e con φ t) per ogni t [, b] si dice regolre. In tl cso dl teorem precedente bbimo λ t) = φ t) per ogni t e λ : [, b] [,Lφ)] è un diffeomorfismo cioè è un funzione biiettiv e di clsse C 1 ssieme ll funzione invers λ 1. L nuov curv ψ := φ λ 1 è un riprmetrizzzione dell curv φ; l nuov vribile indipendente si dice prmetro d rco e si indic spesso con s. Derivndo l ψλt)) = φt) sihψ λt))λ t) =φ t). Quindi, ricordndo che λ t) = φ t) echelφ) =Lψ) Proposizione 1.6), trovimo ψ s) =1, s [,Lψ)], 2.1) il vettore tngente è quindi un versore se si consider il prmetro d rco. 3. Lunghezz di curve pine crtesine e polri. Come già detto nell Definizione 1.3, curv crtesin pin) y = fx) è l curv φ : t t, ft)). Se f C 1 [, b]; R) llor si h l seguente formul per l lunghezz Lφ) = b φ t) dt = b Osservimo nche che le curve crtesine sono sempre regolri: 1+f x) 2 dx 3.1) φ t) = 1+f x) 2. Pssimo or coordinte polri ρ, θ legte lle crtesine dlle relzioni x = ρ cos θ, y = ρ sen θ. Indichimo con e 1,e 2 ) l bse cnonic di R 2, con u := cos θe 1 + sen θe 2 il versore rdile e con w := sen θe 1 + cos θe 2 quello trsverso che h il verso tle che u,w) si poss ottenere dll bse cnonic con un rotzione). Allor per φ C 1 e con ovvio significto dei simboli φt) =xt) e 1 + yt) e 2 = ρt) cos θt) e 1 + sen θt) e 2 )=ρt) ut), Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 9 φ t) =ρ t) ut)+ρt) θ t) wt), φ t) = ρ t) 2 + ρt) 2 θ t) 2. Quindi, se un curv φ è dt in equzione polre ρ =ˆρθ), per t = θ bbimo l seguente formul per l su lunghezz Lφ) = b ) 2 dˆρ +ˆρθ) dθ 2 dθ. 3.2) 4. Cmmini. Si dice cmmino un curv continu γ :[, b] R n di clsse C 1 trtti, cioè per cui esiste un suddivisione S = {t k : k =,...,N}, = t <t 1 <... < t N = b, tle che γ [t k 1,t k ] si di clsse C 1 per k =1,...,N. H senso prlre quindi di vettore tngente γt), nche se in t k, k =1,...,N, si h un vettore tngente sinistro γ t k ) e uno destro γ t + k ) in generle diversi. Se inoltre per ogni k si h che γ t) per ogni t [t k 1,t k ], il cmmino si dice regolre curv continu regolre trtti). Il punto γ) è l origine e γb) è l estremità del cmmino. Un cmmino chiuso, cioè con γ) = γb), si dice circuito. Il cmmino γ :[, b] R n si dice semplice se γ è iniettiv; un circuito γ :[, b] R n si dice circuito semplice se γ) = γb) è l unic eccezione ll iniettività, cioè seγ [, b[ è iniettiv. Infine, un cmmino in D R n è un cmmino con sostegno in D, cioè un funzione γ :[, b] D. Si γ :[, b] R n un cmmino, Ŝ un qulunque suddivisione di [, b], e S = Ŝ S con S come sopr nell definizione di cmmino). Allor poichè ogni trtto C 1 è rettificbile Teorem 1.1) bbimo N LŜ L S L γ [t k 1,t k ] ) N = k=1 k=1 tk t k 1 γ t) dt. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

1 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Quindi γ è rettificbile ed essendo l lunghezz dditiv Proposizione 1.7) si h Lγ) = b γ t) dt, 4.1) intendendo l somm degli integrli estesi i trtti di clsse C 1. Si dice che il cmmino γ :[, b] R n è equivlente l cmmino γ :[c, d] R n se esiste un diffeomorfismo, cioè un funzione biiettiv e di clsse C 1 ssieme ll invers, p :[c, d] [, b] con pc) = e pd) =b tle che γ = γ p e nturlmente si h p τ) > per ogni τ [c, d]). L relzione tr cmmini così introdott è un equivlenz, cioè è riflessiv, simmetric e trnsitiv. Cmmini equivlenti hnno l stess orientzione ; invece se esiste un diffeomorfismo p come sopr m con uc) =b e ud) = llor u τ) < e il sostegno è percorso in verso opposto. Dto un cmmino γ :[, b] R n dicimo suo opposto il cmmino γ :[, b] R n, τ γ + b τ). Inoltre se <c<b, γ 1 := γ [, c], γ 2 := γ [c, b], llor scriveremo γ = γ 1 + γ 2. 5. Integrli curvilinei l differenzile d rco. Si γ :[, b] D R n un cmmino e f : D R un funzione continu. Dicimo llor integrle curvilineo l differenzile d rco di f esteso γ il numero rele γ fds:= b fγt)) γ t) dt. 5.1) Notimo che per f = 1 si h γ ds = Lγ). Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 11 Proposizione 5.1. L integrle curvilineo l differenzile d rco γ fdsè invrinte pssndo d γ d un cmmino equivlente ed nche cmbindo l orientzione. Dimostrzione. Sip :[c, d] [, b] un diffeomorfismo. Se p > bbimo γ fds= = b d c d c f γt) ) γ t) dt = f γ pτ)) ) γ pτ)) p τ) dτ = f γ p)τ) ) γ p) τ) dτ = fds che è l prim prte dell tesi. Inoltre, se p < γ p fds= γ d = c b f γt) ) γ t) dt = c d f γ pτ)) ) γ pτ)) p τ) dτ = f γ pτ)) ) γ pτ)) p τ) dτ = d c f γ p)τ) ) γ p) τ) dτ = γ p fds. Esempio 5.2. Gli integrli curvilinei l differenzile d rco sono importnti in Meccnic. Ad esempio le coordinte x G,y G,z G ) del bricentro di un curv mterile filo, st flessibile) omogene γ in R 3 sono x G := 1 Lγ) γ xds, y G := 1 Lγ) γ yds, z G := 1 Lγ) γ zds. 5.2) 6. Esercizi. Esercizio 6.1. Mentre l ruot dell biciclett rotol senz striscire, un punto del suo bordo, dicimo l vlvol, descrive l cicloide φ :[, 2π] R 2, t Rt sen t, 1 cos t). In quest formul R>è l lunghezz del rggio dell ruot e t è un opportuno ngolo. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

12 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Dopo un giro completo cioè per t = 2π), qunt strd h percorso l vlvol? In ltri termini: qunto è lung l cicloide? Rispost: 8R. Così, se d esempio R =1/2 m,sih che il centro dell ruot percorre 2πR = π m, circ 3, 14 m, e l vlvol 8R =4m. Esercizio 6.2. L crdiode è l curv dt dll equzione polre ρ = 21 + cos θ) dove > e θ [ π, π]. Clcolre l lunghezz. Rispost: 16. Esercizio 6.3. Clcolre l lunghezz dell curv φ :[,π/2] R 3, t 2 cos t, 3 cos t cos3t), 3 sen t sen3t)). Rispost: 2 1. Esercizio 6.4. Clcolre l integrle curvilineo xy ds esteso l qurto di ellisse γ : γ [,π/2] R 2, t 2 cos t, sen t). Rispost: 14/9. Esercizio 6.5. Clcolre l integrle curvilineo γ 1+x2 +3y ds dove γ è l rco di prbol di equzione y = x 2 per x [, 3]. Rispost: 39. Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 13 Esercizio 6.6. Determinre il bricentro dell cicloide vedi Esercizio 6.1 ed Esempio 5.2). Rispost: πr, 4R/3). Esercizio 6.7. In Ottic diffrzione di Fresnel) si incontr l clotoide t γ : R R 2,t cos u 2) t du, sen u 2) ) du. Il nome dell curv è legto Cloto, l Prc che filv lo stme dell vit. Clcolndo l lunghezz di un rco γ [, b], scoprire il significto di t. L curv h limiti finiti per t ±. Si trtt di integrli impropri convergenti nche se gli integrndi non tendono zero. L seguente figur mostr il grfico di senx 2 ) Verificre che l clotoide h limiti finiti trsformndo l integrle di sen u 2),fr1e per >1, con l sostituzione v = u 2, poi per prti considerndo un primitiv di sen v, infine pssndo l limite per +. Per ltr vi si può dimostrre che γt) 2π/4, 2π/4) per t + integrli di Fresnel). L clotoide descrive nche l velocità del bricentro di un st su un pino senz ttrito soggett d un forz costnte perpendicolre; si pensi d un fuoco d rtificio L su un lgo ghiccito. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

14 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 7. Preliminri lle forme differenzili: spzio dule. Si R n ) il dule di R n cioè lo spzio vettorile delle ppliczioni lineri R n R, dette forme lineri su R n. Nturlmente l somm di due forme lineri T, F è definit d T + F)x) :=T x)+fx), inoltre il prodotto per lo sclre R è F)x) := Fx). Considerimo l bse cnonic di R n,e 1,...,e n ), e si e i : Rn R, x x i = e i x l proiezione i-esim, con i {1,...,n}. Dt un form linere T R n ) e x R n,si h T x) =T n i=1 x ie i )= n i=1 x it e i )= n i=1 T e i)e i x). Quindi T = n i=1 T e i)e i e vedimo che e 1,...,e n )è un bse del dule dett bse cnonic. Si : R n R n ),v v l funzione definit d trmite: v x) :=v x. Poichè v + w) x) =v + w) x = v x + w x = v x)+w x), si h che v + w) = v + w,e nlogmente v) = v, quindi l funzione è linere. L immgine di e i trmite quest funzione è proprio l proiezione e i già vist prim. Usndo l bse cnonic e 1,...,e n ) del dule, un form linere T si scrive in un solo modo come T = T i e i dove T i = T e i ), queste sono le componenti di un vettore T R n esiht = T, inftti T x) = i T ie i x) = i T i x i = T x. Abbimo quindi che l ppliczione : R n R n ) è biiettiv e ssoci vettori forme che hnno le stesse componenti nelle bsi cnoniche di R n e del dule rispettivmente. Essendo biiettiv e linere, si dice che èunisomorfismo fr R n e il suo dule R n ). Si può definire l norm, il modulo, di un form come il modulo del vettore corrispondente. Per i lettori mtemticmente più esigenti quest ultim frse può diventre: l isomorfismo conserv l norm se considerimo su R n l norm euclide v = v v e sul dule l norm opertorile T := sup u 1 T u), inftti v = sup u 1 v u = v. Le proiezioni sono funzioni lineri e quindi de i x )=e i preferimo qui l notzione de i x ) invece di e i ) x )). Ciò suggerisce l notzione dx i := e i che useremo nel seguito. Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 15 Osservzione. In Meccnic Quntistic si usno le seguenti notzioni dovute Dirc: x>, v >, detti ket, per i vettori x, v, dello spzio di prtenz; <v, detto br, per il vettore v nello spzio dule; <v x >, detto brcket, per il vlore v x) div su x, ovvero per il prodotto sclre v x. Inoltre con è l funzione qui denott con. 8. Forme differenzili. Definizione 8.1. Si dice form differenzile linere), definit su un perto D R n, un ppliczione ω : D R n ). Considerndo l bse cnonic di R n ), in ogni x D bbimo ωx) = n i=1 w i x) dx i, ωx) = wx), 8.1) le funzioni w i : D R,x w i x) si dicono coefficienti dell form differenzile ω. Ci interessno le forme differenzili continue cioè con coefficienti continui; inoltre un form differenzile srà dett di clsse C k se tli sono i suoi coefficienti. All form differenzile ω è ssocito il cmpo vettorile che h le stesse componenti nelle bsi cnoniche di R n ) edir n rispettivmente): w : D R n, x w 1 x),...,w n x)), e si h w = ω, cioè w x) =ωx) in ogni punto. Se f : D R è un funzione di clsse C 1 sull perto D, llor è definit l form differenzile f differenzile di f che qui preferimo indicre con df : df : D R n ), x df x) = n i fx) dx i. 8.2) i=1 Tli forme differenzili si dicono differenzili estti Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

16 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Definizione 8.2. Un form differenzile ω : D R n ) si dice estt o integrbile se esiste un funzione f : D R di clsse C 1 tle che ω = df e in tle cso f si dice primitiv di ω. L trduzione di quest definizione nei termini del cmpo vettorile w ssocito ω èche questo si un grdiente: ω è estt se e solo se esiste f C 1 D; R) tle che wx) = fx), x D. 8.3) L primitiv f si dice nche potenzile del cmpo vettorile. Proposizione 8.3. Se D è un perto connesso di R n e ω : D R n ) è estt, llor esiste un unic primitiv f di ω meno di costnti dditive. Dimostrzione. Sino f,g primitive. Allor df = ω = dg dà df g)x)h = per ogni h R n e x D, l funzione f g è costnte vendo differenzile nullo in un perto connesso per un teorem noto). Teorem 8.4. L form differenzile ω : D R n ), di clsse C 1 sull perto D di R n, si estt. Allor i suoi coefficienti w i soddisfno l seguente condizione: i w j = j w i, i,j =1,...,n. 8.4) Dimostrzione. Se esiste f tle che ω = df llor w j = j f per j =1,...,n. Il teorem di Schwrz ci dà i w j = i j f = j i f = j w i. Definizione 8.5. Un form differenzile ω : D R n ) di clsse C 1 si dice chius se soddisf l condizione 8.4) che è necessri per l integrbilità. Si noti che 8.4) sono uguglinze fr funzioni, devono quindi vlere in ogni punto del dominio. Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 17 Esempio 8.6. Fccimo vedere un esempio di form differenzile chius m non estt: ω : R 2 \{} R 2 ), ωx, y) = y x 2 + y 2 dx + x x 2 dy. 8.5) + y2 È definit sul pino senz un punto. Per vedere che è chius bst verificre l condizione y ) y x 2 + y 2 = ) x x x 2 + y 2. Supponimo per ssurdo che si estt. Allor ω = df e, considerndo l circonferenz γ :[, 2π] R 2 \{}, t cos t, sen t), si h il seguente rgionmento che port ll contrddizione = 2π: =f1, ) f1, ) = fγ2π)) fγ)) = = 2π ωγt))γ t)) dt = 2π 2π d 2π f γ)t) dt = dt sen t cos cos 2 t + sen 2 sen t)+ t df γt))γ t)) dt = ) t cos 2 t + sen 2 t cos t dt =2π. 9. Integrli curvilinei. Definizione 9.1. Si γ :[, b] D un cmmino in un perto D R n curv continu C 1 trtti) e ω : D R n ) un form differenzile continu). Si dice integrle di ω sull curv γ il numero γ ω := b ωγt)) γ t) ) dt. 9.1) Nell 9.1) l solito intendimo l somm degli integrli sui trtti C 1. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

18 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Definizione 9.2. Si γ :[, b] D un cmmino nell perto D R n e w : D R n un cmpo vettorile continuo. Si dice integrle di w sull curv γ il numero γ w dγ := b wγt)) γ t) dt. 9.2) In Fisic gli integrli curvilinei sono importnti. Per esempio nel cso in cui w si un cmpo di forze posizionli, l 9.2) dà il lvoro lungo il cmmino γ. Se wx) = ωx), per ogni x D, llor γ ω := b n w i γt))dx i γ t) ) dt = i=1 b n w i γt))γ it) dt = i=1 γ w dγ. 9.3) Esempio 9.3. Considerimo l seguente form differenzile: ω : R 2 R 2 ),x, y) ydx+xy dy, che non è chius poichè 2 y =1 y = 1 xy)pery 1. Considerimo nche il qurto di circonferenz percorso in verso ntiorrio γ :[,π/2] R 2, t cos t, sen t). Allor γ ω = ydx+ xy dy) = γ [ ] π sen t cos t 2 = 2 1 2 π 2 π 2 [sen t sen t) + cos t sen t cos t] dt = [ cos 3 t dt 3 ] π 2 = π 4 + 1 3. Nel seguente enuncito usimo l notzione γ = γ 1 + γ 2 introdott ll fine dell Sezione 4. L dimostrzione è bnle, bst ricordre l dditività dell integrle ordinrio. Proposizione 9.4. Sino γ = γ 1 + γ 2 cmmini nell perto D R n, ω : D R n ) form differenzile continu, e w : D R n cmpo vettorile continuo. Allor γ ω = ω + ω, γ γ 1 2 γ w dγ = w dγ 1 + w dγ 2. 9.4) γ γ 1 2 Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 19 Nell prossim Proposizione riprendimo il concetto di equivlenz fr cmmini introdotto nell Sezione 4. Gli integrli curvilinei restno invriti nelle clssi di equivlenz. Invece cmbino segno se pssimo l cmmino opposto, differenz degli integrli curvilinei l differenzile d rco che non dipendono nemmeno dll orientzione, come bbimo visto nell Proposizione 5.1. Proposizione 9.5. Sino γ, γ cmmini equivlenti nell perto D R n e ω : D R n ) un form differenzile continu. Allor γ ω = γ ω, γ ω = γ ω. 9.5) Nturlmente vlgono nche formule nloghe per i cmpi vettorili. Dimostrzione. Per l Proposizione 9.4 dditività) bst considerre curve C 1 i cmmini sono C 1 trtti). Si ω = w, γ :[, b] D, γ = γ p :[c, d] D, llor γ ω = = b d c d c wγt)) γ t)dt = wγpτ))) γ pτ))p τ) dτ = w γ p)τ) ) γ p) τ) dτ = ω γ come volevmo dimostrre. Ricordndo or che γ :[, b] D, τ γ+b τ), bbimo γ ω = = b b wγt)) γ t)dt = b b w γτ)) γ) τ)dτ = wγ + b τ)) γ + b τ)dτ = w γτ)) γ) τ)dτ = γ ω. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

2 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Proposizione 9.6. Si γ :[, b] D cmmino nell perto D R n e ω : D R n ) form differenzile continu. Allor γ ω Lγ) mx { ωx) : x γ [, b]) }. 9.6) Dimostrzione. Siw il cmpo vettorile ssocito ω, cioè w = ω. Abbimo b b ω γ = wγt)) γ t) dt wγt)) γ t) b dt wγt)) γ t) dt mx wγt)) b γ t) dt = Lγ) mx { ωx) : x γ [, b]) } t [,b] vedi l 1.6) e l second formul in 8.1). 1. Primitive, omotopie e connessione semplice. Nel seguente teorem usimo il concetto di circuito introdotto nell Sezione 4. Teorem 1.1. Si D un perto connesso di R n e ω : D R n ) form differenzile continu. Allor sono equivlenti: ) γ b) γ ω =per ogni circuito γ in D; ω dipende solo dgli estremi γ) e γb) per ogni cmmino γ :[, b] D; c) ω è estt. Se ω è estt, f : D R è un primitiv, x,x D e γ è un qulsisi cmmino in D con origine x ed estremo x, llor f x) =f x )+ γ ω. Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 21 Dimostrzione. Fremo vedere ) = b) = c) = ). Assumimo ) e sino γ 1 :[, b] D, γ 2 :[c, d] D cmmini con γ 1 ) =γ 2 c) eγ 1 b) =γ 2 d). Definimo γ :[, b + d c] D trmite γ [, b] =γ 1 e γ [b, b + d c] =γ 2 p con pt) =b + d t. Il cmmino γ è un circuito, inftti γb + d c) =γ 2 p)b + d c) =γ 2 c) =γ 1 ) =γ). L ipotesi ) e l Proposizione 9.5 dnno: = γ ω = ω + γ 1 γ 2 p ω = ω + ω = γ γ 1 2 γ 1 ω γ 2 ω poichè γ 2 p è equivlente γ 2. Abbimo quindi provto b): γ 1 ω = γ 2 ω. Dobbimo or fr vedere che b) implic l esistenz di f C 1 D; R) tle che ω = df. Fissimo un punto x D. Poichè D è un perto connesso, dto comunque x D esiste un poligonle γ x :[, b] D con γ x ) =x e γ x b) =x. Ponimo fx) := γ x ω, quest è un buon definizione dell funzione f : D R grzie ll ipotesi b) si noti che x è fissto e che il vlore fx) non dipende dll scelt dell poligonle che congiunge x x). Dimostrimo che f è un primitiv per ω. Fissimo nche x D e i {1,...,n} e fccimo vedere che esiste l derivt przile i fx) edè ugule l coefficiente dell form differenzile: i fx) =w i x). Poichè D è perto, esiste un pll pert Bx; r) D, e x + he i Bx; r) per ogni h ] r/2,r/2[. Si γ x :[b, b +1] D, t x +t b)he i che h per sostegno il segmento di estremi x,x+ he i. Abbimo fx + he i )= ω = ω + ω = fx)+ γ + γ γ x x x = fx)+ b+1 b γ x b+1 w i x +t b)he i ) hdt= fx)+ b ) ω γ x t) γ t)) dt = x h w i x + τe i ) dτ dove, nell ultimo pssggio, simo pssti ll vribile τ =t b)h.. L funzione τ w i x + τe i )è continu in ] r/2,r/2[ e il teorem fondmentle del clcolo ci dice che h fx + he i )è derivbile in h =, cioè esiste i fx), e si h i fx) =w i x). Essendo x un qulsisi punto di D, bbimo provto che f è un primitiv di ω che quindi è estt. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

22 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Provimo infine c) = ). Si df = ω e γ :[, b] D un circuito. Sino = t < t 1 <...<t N = b tli che γ k := γ [t k 1,t k ] C 1 per ogni k =1,...,N. Allor γ ω = = N k=1 N k=1 γ k ω = tk t k 1 N k=1 tk t k 1 wγt)) γ t) dt = N d dt fγt)) dt = k=1 N k=1 tk t k 1 fγt)) γ t) dt = [ fγtk )) fγt k 1 )) ] = fγb)) fγ)) = poichè γ) = γb) essendo γ un circuito. Il seguente teorem dà un condizione sufficiente di integrbilità di un form differenzile su un perto stellto D. Diremo nell enuncito cos intendimo con tle ggettivo, or vvicinimoci l concetto pensndo che si un insieme D che bbi un punto d cui si ved tutto D. Teorem 1.2. Si D un perto stellto di R n, cioè esiste x D tle che il segmento [x,x]:={x + tx x ):t [, 1]} D per ogni x D, e si ω : D R n ) form differenzile di clsse C 1 chius. Allor ω è estt e un primitiv è fx) := 1 w x + tx x )) x x ) dt 1.1) dove w è il cmpo vettorile su D ssocito ω, cioè w = ω. In prticolre sono stellti i convessi di R n : un insieme D è convesso se dti comunque x,y D si h che il segmento [x,y] D. Un pll è convess, il pino senz il semisse negtivo delle scisse, R 2 \{x, ) : x }, è stellto m non è convesso. Per dimostrre il teorem precedente bbimo bisogno del seguente teorem, importnte in molte questioni, di cui riportimo l enuncito senz dimostrzione. Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 23 Teorem 1.3. Derivzione sotto il segno di integrle). Si F :[, b] A R m,dove [, b] è un intervllo comptto cioè chiuso e limitto) di R e A è un perto di R n, un funzione continu. Allor fx) := b F t, x) dt è continu in A. Se inoltre esistono le derivte przili F x i t, x), i =1,...,n, e sono funzioni continue di t, x) in [, b] A, llor f è di clsse C 1 in A e le sue derivte przili sono x i b F t, x) dt = b F x i t, x) dt, i =1,...,n. Dimostrzione del Teorem 1.2. Per il teorem di derivzione sotto il segno di integrle, l funzione f definit d 1.1) è di clsse C 1 poichè cosìè l funzione integrnd [, 1] D R, t, x) w x + tx x )) x x ), inoltre lo stesso teorem ci dice che per vere i f possimo portre l opertore i sotto il segno di integrle. Per semplicità di notzioni trttimo il cso in cui x = m è chiro che il cso generle è del tutto nlogo. Per i =1,...,n bbimo: i fx) = 1 n w j tx)x j dt = x i j=1 1 n i w j tx) tx j dt + j=1 1 w i tx) dt. Or usimo l condizione di chiusur i w j = j w i, e poi integrimo per prti: 1 n 1 1 ) i fx) = j w i tx)tx j dt + w i tx) dt = j=1 t w itx) tdt+ 1 [ ] t=1 1 1 + w i tx) dt = w i tx) t w i tx) dt + w i tx) dt = w i x). t= Abbimo quindi i f = w i che è quello che volevmo provre. Incidentlmente, si osservi che f C 2. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

24 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Un conseguenz immedit del Teorem 1.2 è che ogni form differenzile chius è loclmente estt, cioè Corollrio 1.4. Si ω : D R n R n ) form differenzile di clsse C 1 chius sull perto D di R n. Fissto comunque x D esiste un suo intorno perto U D tle che ω U si estt. Per U bst inftti prendere un pll pert Bx) D che è convess. Il Teorem 1.2 è interessnte e di fcile dimostrzione m voglimo trttre il problem nche per perti più generli, che non sino necessrimente stellti. Sppimo che ω è integrbile su un perto connesso D qundo γ ω = per ogni circuito γ in D. Prticolri circuiti sono le curve costnti il cui sostegno è un punto) e ovvimente γ ω = per tli circuiti. L ide che voglimo precisre è pprossimtivmente l seguente: se D è tle che ogni circuito in esso si deformbile con continuità d un punto circuito costnte), llor vremo che su un tle insieme ogni form chius è estt. Diremo che i circuiti α,β sono omotopi in D se α si può trsformre in β con un deformzione continu restndo sempre in D. Precismente bbimo l seguente definizione che rigurd curve continue α :[, 1] D che sono chiuse cioè con α) = α1) non è qui rilevnte considerre curve di clsse C 1 trtti). Definizione 1.5. Le curve continue chiuse α,β :[, 1] D, nell perto D R n,si dicono omotope in D se esiste un funzione continu dett omotopi) h :[, 1] [, 1] D tle che i) ht, ) = αt), eht, 1) = βt), per ogni t [, 1]; e inoltre ii) h,λ)=h1,λ) per ogni λ [, 1]. Si pensi d un fmigli di curve h λ definite d h λ t) =ht, λ). Al vrire di λ un curv si trsform nell ltr in modo continuo e ogni stdio dell deformzione è un curv Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 25 chius. Nell Definizione 1.5 si considerno curve definite su [, 1], il cso generle si riport subito questo con trsformzioni ffini, non insistimo su questo fcile punto. L omotopi è un relzione di equivlenz. Inftti l riflessività si prov considerndo l omotopi ht, λ) =αt), l simmetri con ht, λ) =ht, 1 λ), dove h è omotopi fr α e β; infine, in quest ultim ipotesi, e se k è un omotopi fr le curve chiuse β e γ, llor l seguente funzione è un omotopi fr α e γ: { ht, 2λ) per λ [, 1/2] h k :[, 1] [, 1] D, t, λ) kt, 2λ 1) per λ ]1/2, 1] ed è continu perché perλ =1/2 sihht, 21/2)) = βt) =kt, 21/2) 1). 1.2) Omettimo l dimostrzione del seguente: Teorem 1.6. Si D un perto di R n e si ω : D R n ) form differenzile di clsse C 1 chius. Seα e β sono circuiti omotopi in D llor ω = ω. 1.3) α Definizione 1.7. Un perto connesso D R n si dice semplicemente connesso se ogni curv continu chius in D è omotop d un curv costnte brevemente: omotop d un punto). β Proposizione 1.8. Ogni perto stellto D R n è semplicemente connesso. Dimostrzione. S i x D un punto come nell enuncito del Teorem 1.2 cioè un punto d cui si vede tutto D), e si φ :[, 1] D un curv continu chius. Allor ht, λ) =1 λ)φt)+λx è omotopi fr φ e il circuito costnte [, 1] D, t x. Il seguente risultto fondmentle è un conseguenz immedit del Teorem 1.1 e del Teorem 1.6 che non bbimo dimostrto, in compenso bbimo dimostrto il Teorem 1.2 che è un cso prticolre notevole Proposizione 1.8). Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

26 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Corollrio 1.9. Si D R n un perto semplicemente connesso. Ogni form differenzile di clsse C 1 e chius ω : D R n ) è estt. Esempio 1.1. Il pino senz un punto, d esempio R 2 \{}, non è semplicemente connesso. Inftti bst considerre l form differenzile 8.5) che è chius m non estt vedi Esempio 8.6). Esercizio 1.11. Considerimo l trsformzione x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, fr coordinte polri e coordinte crtesine nel pino. Provre che per ρ> è loclmente invertibile. Provre nche che, dett ρx, y),θx, y) ) un invers locle, si h dθx, y) =ωx, y) con ω come in 8.5) form differenzile chius m non estt di cui x, y) θx, y) è un primitiv locle. In prticolre un primitiv nel semipino x> è rctny/x) mentre rccosx/ x 2 + y 2 )è primitiv per y< si considerino nche i semipini x<e y>). Possimo nche lvorre nell perto stellto che si ottiene eliminndo il semisse negtivo delle x dove un primitiv è θx, y) = 2 rctn y x + x 2 + y 2, x, y) R2 \{x, ) : x }. 1.4) Si noti che tutte queste funzioni coincidono nell intersezione dei loro domini. Omettimo di dimostrre il seguente ftto molto intuitivo. Esempio 1.12. R 3 \{} è semplicemente connesso così come R n \{} per n 3). Esempio 1.13. R 3 privto di un rett, esempio R 3 \{sse z}, non è semplicemente connesso. Inftti bst considerre l form differenzile ωx, y, z) = y x 2 + y 2 dx + x x 2 dy. 1.5) + y2 Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 27 11. Esercizi svolti. Esercizio 11.1. Si D := {x, y, z) R 3 : x> 1} e considerimo l form differenzile ω : D R 3) ωx, y, z) := A y ) 1+x + B sen2x) dx+cy cos z + H ln1 + x)) dy+ Ky 2 sen z ) dz. i) Per quli costnti reli A, B, C, H, K l form è estt? ii) Clcolre un primitiv di ω qundo è estt. Soluzione. i) Essendo D un perto semplicemente connesso, l form ω che è di clsse C 1 è estt se e solo se è chius cioè se e solo se ω 1 y x, y, z) = ω 2 x, y, z) x ω 2 z x, y, z) = ω 3 x, y, z) y ω 3 x x, y, z) = ω 1 x, y, z) z A 1+x = H 1+x Cy sen z =2Ky sen z = H = A K = C/2 L form quindi è estt se e solo se ωx, y, z) = A y ) 1+x + B sen2x) dx+cy cos z + A ln1 + x)) dy Cy2 sen z dz 2 11.1) con A, B, C R rbitrrie. ii) Poichè D è prodotto di intervlli, possimo clcolre un primitiv f integrndo Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

28 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 11.1) lungo l poligonle,, ), x,, ), x, y, ), x, y, z)) x y z fx, y, z) = w 1 ξ,, ) dξ+ w 2 x, η, ) dη+ w 3 x, y, ζ) dζ = x = B sen2ξ) dξ+ = [ B2 ] ξ=x cos2ξ) + ξ= y Cη + A ln1 + x)) dη 1 2 [ C 2 η2 + Aη ln1 + x) ] η=y η= + z [ C 2 y2 cos ζ Cy 2 sen ζdζ= ] ζ=z = 1 B cos2x)+b + Cy 2 +2Ay ln1 + x)+cy 2 cos z Cy 2) = 2 =Ay ln1 + x)+b sen 2 x + C 2 y2 cos z. ζ= = Esercizio 11.2. Si ωx, y) = 2 x + lnx + y)+ x ) dx + x + y x x + y dy. i) Trovre il dominio D cioè il mssimo insieme del pino dove h senso. ii) L form ω : D R 2 ) è chius? È estt? iii) Si clcoli l integrle curvilineo di ω sul cmmino γ dto dll equzione x 2 + y 2 = 2 nel primo qudrnte, orientto nel verso delle y decrescenti. Soluzione. i) Il dominio D è il semipino perto x + y>. ii) Essendo il dominio convesso, l form è estt se e solo se è chius. L condizione di chiusur è verifict, inftti: 2 ω 1 x, y) = 1 x + y x x + y) 2 = 1ω 2 x, y). Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 29 iii) Per rispondere si può prmetrizzre il cmmino come γ :[,π/2] D, t 2 cos t + π/2), sen t + π/2) ) = 2 sent), cost) ), m conviene scegliere un ltro cmmino con gli stessi estremi, in prticolre il segmento, poichè sppimo che l integrle curvilineo dipende solo dgli estremi Teorem 1.1). Possimo nche trovre un primitiv f di ω e poi clcolre l differenz fr i vlori di f nell estremo e nell origine di γ ω = f 2, ) f, 2). 11.2) γ Sceglimo quest ultim strd. Non essendo D prodotto di intervlli, non possimo quest volt usre l stess tecnic dell Esercizio 11.1 perché quelle poligonli possono uscire d D. Provimo invece nel seguente modo: cerchimo un primitiv in y di ω 2 x, y), che è x lnx + y) +gx) con g funzione rbitrri di clsse C 1 ; imponimo poi l condizione f x x, y) =ω 1x, y) lnx + y)+ x x + y + g x) =2x + lnx + y)+ x x + y d cui g x) =2x che dà gx) =x 2 + c con c costnte rbitrri. Abbimo trovto l primitiv fx, y) =x lnx + y)+x 2. Quindi 11.2) dà ω = 2 ln 2+)+2 ln + 2) =2+ 2ln 2. γ Osservzione. Il metodo usto nell esercizio precedente può essere descritto con l seguente proposizione di immedit verific: si ωx, y) :=w 1 x, y)dx + w 2 x, y)dy un form differenzile C 1 su un perto D del pino; supponimo di ver trovto due funzioni h, k C 2 D) tli che i) y h w 2, ii) y k, iii) x k w 1 x h; llor h + k è un primitiv di ω. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

3 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Esercizio 11.3. Si f C 1 ], + [; R), c R e si consideri l form differenzile ω : R 2 \{, )} R 2 ) ωx, y) := xfx 2 + y 2 ) cy ) x 2 + y 2 dx+ y + cx x 2 + y 2 dy. i) Per quli funzioni f C 1 ], + [; R) e costnti c R l form ω è chius? ii) Per quli funzioni f C 1 ], + [; R) e costnti c R l form ω è estt? Usre il seguente ftto: un form chius è estt in R 2 \{, )} se e solo se il suo integrle sul circolo unitrio γt) =cost, sen t),t [, 2π] è nullo). iii) Clcolre le primitive di ω qundo è estt. Soluzione. i) Detti w i i coefficienti dell form differenzile ω, sih w 1 y = y xf x 2 + y 2) cy ) x 2 + y 2 =xf x 2 + y 2) 2y c x2 + y 2 2y 2 x 2 + y 2 ) 2 = =2xyf x 2 + y 2) y 2 x 2 + c x 2 + y 2 ) 2 w 2 x = x ) y + cx x 2 + y 2 = c x 2 + y 2) 2xy + cx) x 2 + y 2 ) 2 = 2xy + c y 2 x 2) x 2 + y 2 ) 2. L form differenzile ω è chius se e solo se w 1 y = w 2 x 2xyf x 2 + y 2) = 2xy x 2 + y 2 ) 2 per ogni x, y) R 2 \{, )}. Equivlentemente, se e solo se per ogni x, y) R 2 \{, )} f x 2 + y 2) 1 = x 2 + y 2 ) 2 f t) = 1 t 2 per ogni t>. Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 31 In definitiv, l form ω è chius se e solo se esiste R tle che ft) = 1 t +, t>. 11.3) ii) L integrle di ω sul circolo unitrio è 2π ω = [cos tf1) c sen t) sen t) + sen t + c cos t) cos t] dt= γ = 2π [ f1) + 1) cos t sen t + c] dt=2πc = c =. Quindi ω è estt se e solo se c = ed esiste R tle che vlg l 11.3); in tl cso si h ωx, y) = x + ) x x 2 + y 2 dx+ y x 2 dy. 11.4) + y2 iii) Cerchimo un primitiv F con l tecnic vist nell esercizio precedente. Un primitiv in y di ω 2 x, y) è y x 2 + y 2 dy = 1 2 lnx2 + y 2 )+gx) con g funzione rbitrri di clsse C 1. Imponimo poi l condizione F x x, y) =ω 1x, y) x x 2 + y 2 + g x) =x + x x 2 + y 2 d cui g x) =x che dà gx) =x 2 /2+c con c costnte rbitrri. Abbimo trovto F x, y) = 2 x2 +ln x 2 + y 2, x, y) R 2 \{, )}, 11.5) che è un primitiv su tutto R 2 \{, )}. Potevmo nche trovre un primitiv sull perto R 2 \{x, ) : x } che èil dominio dell form senz il semisse x < ) integrndo lungo il cmmino in figur. Percorrimo l sse x d 1, ) ρx, y), ), con ρx, y) = x 2 + y 2, cioè il segmento Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

32 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile σ : [, 1] R 2 \{, )}, t 1 + tρx, y) 1), ), e poi l rco di circonferenz d ρx, y), ) x, y) cioè γ :[, 1] R 2 \{, )}, t ρx, y) costθx, y)), sentθx, y))) dove θx, y) ] π, π[ è l funzione in 1.4). F x, y) = σ ω + γ ω = 1 1 + ρ costθ)+ ρ costθ) ρ 2 = [ 1 + tρ 1)) + ) ρθ sentθ)) + ρ sentθ) ρ 2 t + t22 ρ 1) ) ρ 1)+ln1+tρ 1)) ρ2 2 ) 1+tρ 1) 1 + tρ 1)) 2 ρ 1) dt+ ) ρθ costθ) dt= ] t=1 sen 2 tθ) = t= = 2 ρ2 1)+lnρ 2 ρ2 sen 2 θ = 2 x2 + y 2 1) + ln x 2 + y 2 2 y2 che coincide con l F x, y) in 11.5) meno di un costnte dditiv. L formul così trovt per l primitiv funzion in reltà nche nei punti x, ), x <, che vevmo escluso, e dà un primitiv in tutto il dominio dell form: R 2 \{, )}. Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 33 Cp. II: Superfici e Teoremi di Stokes e Guss 12. Teorem di Green. Un curv φ :[, b] R n di clsse C 1 e con φ t) per ogni t [, b] si dice regolre. Sppimo che queste curve si possono riprmetrizzre con un diffeomorfismo crescente pssndo l prmetro d rco. Un curv continu di clsse C 1 trtti si dice cmmino e un cmmino si dice regolre se tli sono i suoi trtti. Un circuito regolre γ :[, b] R n è un cmmino regolre chiuso, cioè con γ) = γb), e si dice semplice se l restrizione γ [, b[ è iniettiv. L integrle curvilineo di un form differenzile continu) ω esteso un cmmino regolre è l somm degli integrli curvilinei sui trtti C 1 che lo compongono. D ltr prte, su ciscun trtto C 1, l integrle curvilineo non cmbi se pssimo l prmetro d rco. Quindi per circuiti regolri semplici, che ci interessno nel seguito, si può prlre di integrli curvilinei estesi i sostegni orientti per cui useremo l notzione +Γ ω := γ ω, dove +Γ è il sostegno orientto del circuito regolre semplice γ. Qui ci interessno i circuiti regolri pini γ = γ 1,γ 2 ) : [, b] R 2. Indichimo con T t) :=γ t)/ γ t) il versore tngente e con Nt) :=γ 2t), γ 1t))/ γ t) il versore normle che bbimo qui scelto fr i due versori ortogonli T t) in modo che l coppi ordint Nt),Tt)) si otteng dll cnonic e 1,e 2 ) con un rotzione propri. In ltri termini, se considerimo i corrispondenti vettori di R 3, Ñt) :=N 1t),N 2 t), ) e T t) := Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

34 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile T 1 t),t 2 t), ), llor il loro prodotto esterno dà il terzo versore dell bse cnonic di R 3 come mostr il seguente determinnte formle Ñt) T t) = det e 1 e 2 e 3 γ 2 t) γ t) γ 1 t) γ t) γ 1 t) γ t) γ 2 t) γ t) = e 3. Dicimo dominio regolre pino ogni comptto chiuso e limitto) D R 2 che si l chiusur di un perto connesso l cui frontier D si unione di un numero finito di sostegni di circuiti regolri semplici. Per definizione di dominio regolre pino) mmettimo inoltre l possibilità di scegliere ognuno di tli circuiti γ i in modo che Nt) punti sempre fuori di D nei punti non ngolosi. Allor dicimo che ogni curv sostegno orientto) +Γ i di D è orientt coerentemente D e ll orientzione del pino il verso di percorrenz così fissto lsci D solo ll sinistr). Dt un form differenzile continu) ω :Ω R 2 ) su un perto Ω D, ponimo + D ω := i +Γ i ω. Si dimostr fcilmente che il sostegno φ[, b]) di un curv regolre è di misur n- dimensionle null. L frontier D di un dominio regolre D h misur null essendo unione finit di sostegni di curve regolri. Questo risultto grntisce che D si misurbile elementrmente, cioè ll Peno Jordn. Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 35 Osservzione. Chi non vesse fmilirità con l teori dell misur, prend per buon l esistenz degli integrli doppi di funzioni continue estesi un comptto misurbile D di R 2. Simo or in grdo di vedere il Teorem di Green. Si D R 2 un dominio regolre pino, e P, Q funzioni vlori reli di clsse C 1 in un perto Ω D. Allor D Q x P ) dx dy = y + D P x, y) dx + Qx, y) dy). 12.1) Come conseguenz immedit dell 12.1) si h l seguente formul per l re di D ottenut ponendo Qx, y) =x e P x, y) = y: red) = 1 2 + D ydx+ xdy). 12.2) Non dimostrimo il teorem nell mssim generlità. Ci ccontentimo di provre l 12.1) nel cso in cui Q ed è un dominio regolre normle rispetto ll sse x, cioè D = {x, y) R 2 : x b, αx) y βx)} 12.3) Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

36 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile con α, β :[, b] R funzioni di clsse C 1 e α β. Usndo l formul di riduzione degli integrli doppi bbimo P b ) βx) P b x, y) dx dy = x, y) dy dx = P x, βx)) P x, αx))) dx. D y αx) y D ltr prte, ponendo γ α t) :=t, αt)), γ β t) :=t, βt)), e osservndo che è nullo il contributo dei segmenti verticli l seguente integrle, bbimo b P x, y) dx = P x, y) dx + P x, y) dx = P x, αx)) P x, βx))) dx. + D γ γ α β Ovvimente l dimostrzione si estende subito domini regolri che si possono decomporre in un numero finito di domini regolri normli rispetto ll sse x. Si fnno dei tgli prlleli ll sse y e si osserv che gli integrli curvilinei lungo i tgli si cncellno coppie. Osservimo infine che il suddetto rgionmento permette di provre l 12.1) nche per Q sed è un dominio normle rispetto d entrmbi gli ssi crtesini. Esempio 12.1. Con il teorem di Green clcolimo il seguente integrle doppio } I = x 2 y 2 dx dy con D := {x, y) R 2 : x2 2 + y2 b 2 1,,b >. D 12.4) Usimo l 12.1) con P eqx, y) =x 3 y 2 /3 Q dx dy = Qx, y) dy cioè x 2 y 2 x 3 y 2 dx dy = dy. D x + D D + D 3 Possimo prmetrizzre l ellisse + D con il circuito regolre semplice γ :[, 2π] R 2, t cos t, b sen t). Si osservi che il verso di percorrenz è corretto poichè lsci D sinistr verso ntiorrio). Abbimo quindi x 3 y 2 I = dy = 1 2π cos t) 3 b sen t) 2 b cos tdt= 3 b 3 3 3 3 + D 2π cos 4 t sen 2 tdt= = 4 3 b 3 3 π 2 cos 4 t 1 cos 2 t ) dt = 4 3 b 3 3 3π 16 5π ) = π3 b 3. 32 24 Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 37 Esempio 12.2. Con il teorem di Green clcolimo l re dell ellisse D in 12.4). Usimo l formul 12.2) prmetrizzndo + D come nell esempio precedente red) = 1 2 + D ydx+ xdy)= = 1 2 2π [ b sen t sen t)+ cos t b cos t)] dt = 1 2 2π bdt= πb. Esempio 12.3. Con il teorem di Green clcolimo il seguente integrle doppio I = D x +2y) dx dy 12.5) con D R 2 limitto dll sse x e dll cicloide φ :[, 2π] R 2,t t sen t, 1 cos t). Usimo l 12.1) con Q ep x, y) = xy y 2 D P y dx dy = + D P x, y) dx cioè D x +2y) dx dy = + D xy y 2 ) dx. Tenendo conto del ftto che il segmento di sse x dà contributo nullo perchè lì y =,e che l curv φ è orientt in modo opposto + D bbimo = 2π I = φ xy y 2 ) dx = xy y 2 ) dx = φ [ t sen t)1 cos t)+1 cos t) 2 ] 1 cos t) dt =...=5π +3π 2. Esempio 12.4. Con il teorem di Green clcolimo il seguente integrle doppio I = D 1 1+x dx dy con D := { x, y) R 2 : x 1,x 2 y x }. 12.6) Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

38 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Usimo l 12.1) con con Q ep x, y) = y/1 + x) D P y dx dy = + D P x, y) dx cioè D 1 dx dy = 1+x + D y 1+x dx. L regione D è rcchius dlle due prbole y = x 2 e x = y 2 l prim v orientt nel senso delle x crescenti, l second in quello delle x decrescenti. Quindi I = 1 x 2 1 1+x dx x 1 1+x dx = x 2 1+1 1+x dx + 1 t 1+t 2 2tdt= 1 = x 1+ 1 ) 1 dx +2 1+x t 2 +1 1 1+t 2 dt = [ x 2 2 ] 1 [ ] 1 x + log 1 + x) +2 t rctn t = 5 π 2 log 2. 13. Are di superfici. Si D un comptto di R 2, chiusur di un perto connesso, che si nche misurbile ll Peno Jordn vedi l Osservzione prim del Teorem di Green). Dicimo superficie prmetric) in R 3 di clsse C k,dovek 1, un funzione S : D R 3,u, v) Su, v) di clsse C k. Cioè esiste Ω perto di R 2 tle che Ω D e S è l restrizione D di un funzione di clsse C k su Ω. Dto u,v ) D considerimo i vettori di R 3 S u u,v ), S v u,v ), S u u,v ) S v u,v ), 13.1) Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 39 l ultimo vettore essendo il prodotto esterno dei primi due. Se γ =γ 1,γ 2 ):] ε, ε[ D è un curv C 1 con γ) = u,v ), llor l curv Γ := S γ è gicente sull superficie e pss per il punto Su,v ). Il vettore tngente quest curv in t =è Γ ) = S u u,v ) γ 1) + S v u,v ) γ 2), ed è un combinzione linere dei primi due vettori in 13.1). Se questi due vettori sono linermente indipendenti è llor nturle dire pino tngente ll superficie in Su,v ) il pino per quel punto d essi generto. Il terzo vettore è detto invece vettore normle ll superficie in Su,v ) essendo ortogonle i primi due. Il modulo del vettore normle è l re del prllelogrmm individuto di primi due vettori in 13.1), qundo è diverso d zero è definito il versore normle νu,v ):= S u u,v ) S v u,v ) S u u,v ) S v u. 13.2),v ) Si dice re dell superficie S : D R 3 di clsse C 1 il numero nonnegtivo D S u u, v) S v u, v) du dv. 13.3) Se l superficie è dt in form crtesin dll equzione z = fx, y) con f : D R, f C 1, cioè sesx, y) =x, y, fx, y)), llor l re è ) 2 ) 2 f f 1+ + dx dy. 13.4) x y D Inftti, S x S y = det e 1 e 2 e 3 1 f/ x 1 f/ y = f x e 1 f y e 2 + e 3. 13.5) Esempio 13.1. Clcolimo l re dell sfer x 2 + y 2 + z 2 = r 2. Come primo psso clcolimo l re dell su porzione dt in form crtesin dll equzione z = fx, y) Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

4 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile dove f : D = {x, y) : x 2 + y 2 <r} R, x, y) r 2 x 2 y 2. Si trtt di un funzione di clsse C 1 con f x = x r2 x 2 y, 2 f y = y r2 x 2 y, 2 si noti che l disuguglinz strett <rè necessri). L formul 13.4) dà ) 2 ) 2 f f dx dy 1+ + dx dy = r D x y D r2 x 2 y = 2 2π ) ρ = r r2 ρ dρ dθ =2πr [ ] ρ= r 2 ρ 2 =2πr ) r 2 2 + r. 2 ρ= Pssndo l limite per r si h 2πr 2 e quindi l re dell sfer 4πr 2. Usndo invece l seguente rppresentzione prmetric, e quindi l 13.3), non occorre fre lcun limite S : D =[, 2π] [,π] R 3, φ, θ) r sen θ cos φe 1 + r sen θ sen φe 2 + r cos θe 3. Con semplici clcoli si h 13.6) S S φ, θ) φ, θ) = r sen θ Sφ, θ), 13.7) φ θ nel punto x = Sφ, θ) è un vettore prllelo d x m di verso opposto si ricordi che θ [,π]). Con l scelt che bbimo ftto dell prmetrizzzione possimo quindi pensre di vere l orientzione entrnte nell pll ; nturlmente scmbindo i ruoli di φ e θ vremmo l normle uscente. Il modulo del vettore in 13.7) è r 2 sen θ che è nullo per θ =eθ = π, cioè i poli dell sfer sostegno di S). Quest mncnz di regolrità i poli è nturlmente legt lle vribili φ, θ. Per l re ritrovimo il vlore fmilire S S 2π π ) φ, θ) φ, θ) φ θ dφ dθ = r 2 sen θdθ dφ =4πr 2. D Universitá di Torino

Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 41 Si S : D R 3 superficie di clsse C 1, e si R : E R 3 un superficie equivlente S cioè esist un diffeomorfismo g : E D tle che R = S g l solito g è l restrizione l comptto misurbile E di un diffeomorfismo fr perti di R 2 ). Indicto con u, v) = Uξ,η),Vξ,η)) = gξ,η) il cmbio di vribili, bbimo R ξ = S U u ξ + S V v ξ, R η = S U u η + S V v η, R ξ R S η = u S ) U V v ξ η U ) V η ξ R ξ R S η = u S ) det g 13.8) v con g ξ,η) mtrice Jcobin. Per il teorem sul cmbimento di vribili per gli integrli multipli, e per l 13.8), bbimo quindi S S u, v) u, v) D u v du dv = = S S gξ,η)) E u v gξ,η)) det g ξ,η) dξ dη = = R R ξ,η) ξ η ξ,η) dξ dη. Ciò dimostr il seguente ftto E Proposizione. L re di un superficie di clsse C 1 non cmbi se l riprmetrizzimo con un diffeomorfismo. 14. Opertori differenzili e integrli superficili. Nel seguito Ω srà sempre un perto di R 3. Dicimo cmpo sclre un funzione f :Ω R e cmpo vettorile un F :Ω R 3. Quderni Didttici del Diprtimento di Mtemtic

42 Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile Grdiente di un cmpo sclre f di clsse C 1 è il cmpo vettorile continuo f :Ω R 3, x, y, z) f x e 1 + f y e 2 + f z e 3. 14.1) L opertore è un funzione fr insiemi di funzioni, e mnd un cmpo sclre di clsse C 1 su Ω, in un cmpo vettorile continuo; in simboli : C 1 Ω; R) C Ω; R 3 ) e si h = e 1 x + e 2 y + e 3 z. 14.2) continuo Divergenz di un cmpo vettorile F = 3 i=1 F ie i, di clsse C 1,è il cmpo sclre div F :Ω R, x, y, z) F 1 x + F 2 y + F 3 z. 14.3) L opertore div : C 1 Ω; R 3 ) C Ω; R) sipuò pensre come prodotto sclre formle F := div F. Rotore di un cmpo vettorile F di clsse C 1,è il cmpo vettorile continuo rot F :Ω R 3, x, y, z) F3 y F ) 2 F1 e z 1 + z F ) 3 F2 e x 2 + x F ) 1 e y 3. M èpiù semplice ricordrlo come prodotto esterno formle fr 14.2) e F : rot F = F = det e 1 e 2 e 3 1 2 3. F 1 F 2 F 3 L opertore rot : C 1 Ω; R 3 ) C Ω; R 3 ), differenz dei precedenti, h senso solo per R 3. Un cmpo vettorile F C 1 si dice solenoidle se div F, si dice invece irrotzionle se rot F. Un cmpo vettorile F C si dice conservtivo se è un grdiente, cioè se esiste un cmpo sclre f di clsse C 1, detto potenzile di F, tle che F = f. Se il potenzile f è di clsse C 2, dl teorem di Schwrz sull uguglinz delle derivte seconde miste si Universitá di Torino