QUADRATURA NUMERICA CALCOLO DI AREE E VOLUMI. A. Murli a.a. 2002/2003 CALCOLO DELL AREA DI UNA FIGURA NEL PIANO

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1 QUADRATURA NUMERICA CALCOLO DI AREE E VOLUMI CALCOLO DELL AREA DI UNA FIGURA NEL PIANO F A Area ( F ) = Area(E) + Area( D ) + Area( C ) +Area( B ) + Area(A) A è un rettangolo, quindi Area(A) = Prodotto dei lati di A PROBLEMA: Come calcolare le aree di B,C,D ed E?

2 Il calcolo delle aree di B,C,D, ed E può essere ricondotto al calcolo dell area dellafigurasottesadaunacurva: Se y=f(x) è la funzione che rappresenta la curva, a tale figura R si dà il nome di RETTANGOLOIDE ed inoltre Area ( R ) = I ( f ) = f ( x ) dx b a PROBLEMA: Come calcolare l area di un RETTANGOLOIDE?

3 ESEMPI: Area(R) Area(U)= f(a) (b-a) Area(R) Area(V) = f(m) (b-a) FORMULA RETTANGOLARE FORMULA DEL PUNTO MEDIO ESEMPI: S Area(R) Area(T) = ( b a) [f(a)+f(b)] 2 Area(R) Area(S)= ( b a) [f(a)+ 4f(m)+f(b)] 6 FORMULA TRAPEZOIDALE FORMULA DI SIMPSON

4 ESEMPIO: SOMMA DI RIEMANN a=t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 =b L approccio più naturale per il calcolo di un integrale è quello di approssimare con combinazioni lineari della funzione integranda FORMULE DI QUADRATURA

5 Formula Rettangolare Formula del Punto Medio Formula Trapezoidale Formula di Simpson Somme di Riemann sono tutte combinazioni lineari della funzione integranda, ovvero FORMULE DI QUADRATURA A1, A2,..., An x 1, x 2,..., x n sono detti pesi o coefficienti sono detti nodi Ω ESEMPIO: Calcolo dell area del cerchio Ω di raggio 1 in un sistema aritmetico floating-point con β=10 e t=5 ( Area(Ω) = π = 3, ) D B PQ = 2 Dividiamo il cerchio Ω in un quadrato B, ed in 4 calotte circolari. Area(Ω) = Area(B)+4Area(D) MA Area(B)= 2 PQ = 2 Come calcolare l area delle calotte?

6 AREA DELLA CALOTTA CIRCOLARE D Per la simmetria della calotta D Area(D) = Area(V) + Area(W) = 2Area(V). D W V s V è la porzione di piano compresa tra il semiasse positivo delle y, il semiasse positivo delle x e l arco di circonferenza s. AREA DELLA CALOTTA CIRCOLARE D Per la simmetria della calotta D Area(D) = Area(V) + Area(W) = 2Area(V). D W V s Per determinare l equazione dell arco di circonferenza s, consideriamo la semicirconferenza, nel semipiano delle y positive, centrata nell origine, di equazione: y = 1 2 x ( 1 x 1) y 2 2 ( x + y = 1) (1,0) x

7 AREA DELLA CALOTTA CIRCOLARE D Per la simmetria della calotta D Area(D) = Area(V) + Area(W) = 2Area(V). D W V s Per determinare l equazione dell arco di circonferenza s, consideriamo la semicirconferenza, nel semipiano delle y positive, centrata nell origine, di equazione: L equazione dell arco di circonferenza s, si ottiene spostando verso il basso di 2/2 la circonferenza centrata nell origine, y = 1 2 x ( 0 x y 2 / 2) P M=O Q=( 2/2,0) s x AREA DELLA CALOTTA CIRCOLARE D Per la simmetria della calotta D Area(D) = Area(V) + Area(W) = 2Area(V). D W V s Quindi per avere l equazione dell arco di circonferenza s, è sufficiente sottrarre 2/2, ottenendo: f(x) = y = 1 2 x 2 2 ( 0 x 2 / 2) x 2 Area(D)/2 = Area(V)= I[f] = 2 dx 2 = π 2 8 =

8 APPLICHIAMO LA FORMULA TRAPEZOIDALE V T 0 Q = 2 / I[f] Q[f] = f(0) + f x Ma il valore esatto di I[f] è I[f]= I[f] IN GENERALE Q[f] ERRORE = I[f] Q[f] PROBLEMA: Quanto vale L errore? ERRORE = I[f] Q[f] = x x x 10 0

9 CONSIDERIAMO ANCORA IL CERCHIO Ω Ω Su ogni calotta abbiamo applicato due volte la Formula Trapezoidale PROBLEMA: QUANTO VALE L ERRORE SU Ω? ERRORE COMMESSO SU Ω L esatto valore di Area(Ω) è Area(Ω)= π Il valore approssimato di Area(Ω) con la Formula Trapezoidale è Area(Ω) 2+8( x 10 0 ) = x 10 1 ERRORE (Ω) =π-2, ,8484= x 10 0

10 DEFINIZIONE: La differenza E[f] = I[f] - Q[f] = b n f(x)dx a i = 1 A f(x i i ) è detta ERRORE DI DISCRETIZZAZIONE della FORMULA DI QUADRATURA Q[f] INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELL ERRORE DI DISCRETIZZAZIONE E[f] Q[f] a I[f] b I[f] = Q[f]+E[f]

11 PROBLEMA: Come ridurre L ERRORE DI DISCRETIZZAZIONE di una FORMULA DI QUADRATURA? Relativamente all esempio dell area della semicalotta circolare V....: V T 0 Q = 2 / 2 Applicando la FORMULA TRAPEZOIDALE sull intero intervallo [0, 2 / 2 ] si è ottenuto: I[f] = x 10 0 Q[f] = x 10 0 E[f]= x 10-1

12 Applicando invece la FORMULA TRAPEZOIDALE nei due sottointervalli 0, e,, si ottiene Errore E 2 [f] T 1 T / 2 2 Q 2 [f]=area(t 1 )+Area(T 2 )= 2 2 f(0) + f + f x f E 2 [f]= π x x 10-1 Ricordando che E[f]= x 10-1 si ha E 2 [f] 1 4 E[f] DIMEZZANDO L AMPIEZZA DEGLI INTERVALLI L ERRORE SI E RIDOTTO DI CIRCA 4 VOLTE!

13 Un modo per ridurre l errore di discretizzazione di una formula di quadratura è quello di applicarla più volte su sottointervalli di ampiezza più piccola ESEMPIO f((a+b)/2) f(b) f(a) a T 1 T 2 (a+b)/2 b Formula trapezoidale su 1 sottointervallo Formula trapezoidale su 2 sottointervalli Dimezzando ancora l ampiezza dei sottointervalli Errore E 4 [f] v = Q 4 [f] = Area(T 1 )+ Area(T 2 )+ Area(T 3 )+ Area(T 4 ) = 0 T 1 T 2 T 3 T 4 2/ f(0) + f f f /4 3 2/ x 10 0 π 2 0 E 4 [f]= x x

14 Ricordando ancora che E[f] = x 10-1 E 2 [f]= x 10-1 si ha E 4 [f] 1 4 E 2 [f] 1 16 E[f] DIMEZZANDO L AMPIEZZA DEGLI INTERVALLI L ERRORE SI E RIDOTTO ANCORA DI 4 VOLTE! IDEA: FORMULE COMPOSITE a b Applicare la FORMULA TRAPEZOIDALE su m sottointervalli di [a,b].

15 DEFINIZIONE: Suddiviso l intervallo [a,b] in m sottointervalli [t 0,t 1 ], [t 1,t 2 ],..., [t (m-1),t m ] di uguale ampiezza h=(b-a)/m mediante gli m+1 punti a = t 0 < t 1 <... < t m = b SI DEFINISCE T m [f] la somma T m [f] = 2 h FORMULA TRAPEZOIDALE COMPOSITA f(t h h [f(t 0 )+f(t 1 )] [f(t (m-1) )+f(t m )] = 2 m ) f(tm ) f(t + j) 2 j= 1 2 L esempio precedente ha messo in luce che raddoppiando il numero dei sottointervalli l errore della formula si riduce di circa quattro volte. PROBLEMA: E sempre possibile RIDURRE l ERRORE riducendo l ampiezza h dei sottointervalli?

16 TEOREMA IPOTESI f(x) funzione integrabile T m [f] formula trapezoidale composita su [a,b] E m [f]=i[f]-t m [f], errore di discretizzazione di T m [f] h=(b-a)/m, ampiezza dei sottointervalli di [a,b] T m [f] = f(t 0 ) h 2 m + j= 1 1 f(t j ) + f(t m ) 2 TESI La famiglia T m [f] m=1,2,. è CONVERGENTE cioè lim m 8 E m [f]=0 Dimostrazione: t t j j 1 f(x)dx Applichiamo la formula base T[f] nell intervallo [t j-1,t j ] (b a) 2m [ f(t ) + f(t )] j 1 j Sommando su tutti gli intervalli [t j-1,t j ], si ottiene 1 2 (b a) (b a) ( f(t ) f(t ) m m = j 1 + j) j= 1 2m T [f] = (b a) m m f(t j 1) + f(t j) j= 1 m j= 1 m SOMME DI RIEMANN

17 Poichè f(x) è integrabile tutte le somme di Riemann convergono, quindi lim m m j= 1 (b a) m m (b a) m f(t j 1) = lim f(t j) = f(x)dx= m j= 1 b a I[f] ricordando che in generale E m =I-T m, abbiamo lim m E m [] f = I [] f lim T [] f = m m 1 = I[] f 2 I[] f = 0 2 C.V.D. L errore di discretizzazione è stato definito come E[f]=I[f]-Q[f] MA I[f] NON E NOTO PROBLEMA: Come determinare una stima calcolabile dell errore di discretizzazione E m [f] della Formula Trapezoidale Composita T m [f]?

18 ESEMPIO:Come stimare l errore di discretizzazione? Indichiamo con T m [f] la Formula Trapezoidale Composita su [a,b] con m sottointervalli. Per l errore di T m [f] vale: E m [f] = I[f]-T m [f] Indichiamo con T 2m [f] la Formula Trapezoidale Composita su [a,b] con 2m sottointervalli. Per l errore di T 2m [f] vale: E 2m [f] = I[f]-T 2m [f] ESEMPIO:Come stimare l errore di discretizzazione? E m = I-T m E 2m = I-T 2m errore di T m [f] errore di T 2m [f] Sottraendo E m [f] da E 2m [f], otteniamo E 2m -E m =I-T 2m -( I-T m ) = I-T 2m -I+T m = T m -T 2m E 2m [f]-e m [f]=t m [f]-t 2m [f] (A)

19 ESEMPIO:Come stimare l errore di discretizzazione? E m = I-T m E 2m = I-T 2m errore di T m [f] errore di T 2m [f] E 2m [f]-e m [f]=t m [f]-t 2m [f] (A) E m [f] 4E 2m [f] (B) Sostituendo (B) in (A), e passando ai valori assoluti,... Ricordando che raddoppiando i sottointervalli l errore diventa circa un quarto, ESEMPIO:Come stimare l errore di discretizzazione? T m [f]-t 2m [f] = E m [f]-e 2m [f] 4E 2m [f]-e 2m [f] T m [f]-t 2m [f] 3 E 2m [f] STIMA CALCOLABILE DELL ERRORE E 2m [f] T m [f]-t 2m [f] / 3

20 Nota Dalla definizione segue che l errore di dicretizzazione, può essere POSITIVO E[f] Q[f] I[f] a b I[f]>Q[f] E[f]>0 Nota Dalla definizione segue che l errore di dicretizzazione, può essere NEGATIVO E[f] Q[f] I[f] a b I[f]<Q[f] E[f]<0

21 Nota Solitamente con errore si intende, la distanza tra approssimazione e soluzione esatta. Di norma le distanze sono POSITIVE. Per questo motivo spesso sarà UTILE ed OPPORTUNO ottenere una STIMA del MODULO dell ERRORE DI DISCRETIZZAZIONE. OSSERVAZIONE: Se la Formula Trapezoidale Composita T m è già stata calcolata, utilizzando la formula T 2m, si hanno 2 VANTAGGI: Un miglioramento dell accuratezza dovuto all aumento del numero dei nodi. RIDUZIONE DELL ERRORE DI DISCRETIZZAZIONE la funzione integranda è valutata solo nei punti medi degli m sottointervalli di T m RISPARMIO SULLE VALUTAZIONI DI FUNZIONE

22 RISPARMIO SULLE VALUTAZIONI DI FUNZIONE Sia [a,b] l intervallo di integrazione. Per il calcolo di T m sono utilizzati i nodi: * Nodi di T m a * * * * * * b RISPARMIO SULLE VALUTAZIONI DI FUNZIONE Sia [a,b] l intervallo di integrazione. Per il calcolo di T 2m sono utilizzati i nodi: * Nodi di T m o Nodi di T 2m o o o o o o o o o o o a * * * * * * b

23 RISPARMIO SULLE VALUTAZIONI DI FUNZIONE Sia [a,b] l intervallo di integrazione. * Nodi di T m o Nodi di T 2m o* o o* o o* o * o o * o o o* a b DEFINIZIONE: Una coppia di formule di quadratura (T m [f],t 2m [f]), in cui l insieme dei nodi della prima formula è contenuto nell insieme dei nodi della seconda formula è detta: COPPIA DI FORMULE INNESTATE ESEMPIO: Se m è un qualsiasi numero naturale la coppia di Formule Trapezoidali Composite (T m [f],t 2m [f]), è una coppia di FORMULE INNESTATE.

24 PROBLEMA: Progettare un ALGORITMO per il CALCOLO di I[f] = b f(x)dx a corretto a meno di una tolleranza fissata TOL con la Formula Trapezoidale Composita. SOLUZIONE: Si dimezza progressivamente l intervallo [a,b], applicando la Formula Trapezoidale Composita su un numero crescente di sottointervalli,finché: La stima dell errore è minore di TOL. OPPURE Si è raggiunto un numero massimo di valutazioni per la funzione integranda MAXVAL (in questo caso si avvisa con un messaggio di errore IFLAG.)

25 DEFINIZIONE: Un INTEGRATORE AUTOMATICO è una ROUTINE che a,b f(x) TOL MAXVAL RICHIEDE IN INPUT una gli estremi massimo tolleranza funzionenumero TOL MAXVAL dell intervallo integrabile di f(x) valutazioni [a,b] per la f(x) INTEGRATORE AUTOMATICO DEFINIZIONE: Un INTEGRATORE AUTOMATICO è una ROUTINE che a,b f(x) TOL MAXVAL FORNISCE IN OUTPUT una stima messaggio,iflag, dell errore Q[f] di dell integrale per dicretizzazione informare I[f] l utente E[f] se è stata raggiunta la tolleranza TOL. INTEGRATORE AUTOMATICO Q[f] E[f] IFLAG

26 DEFINIZIONE: Un INTEGRATORE AUTOMATICO è una ROUTINE che FASE DI INPUT a,b f(x) TOL MAXVAL INTEGRATORE AUTOMATICO FASE DI OUTPUT Q[f] E[f] IFLAG ESEMPIO DI ROUTINE PER IL CALCOLO APPROSSIMATO DI UN INTEGRALE procedure Trapez1 (input:a,b,tol,f,maxval; output:int,err,iflag) /* SCOPO: calcolo di un intergrale definito con la formula trapezoidale composita a meno di una tolleranza assegnata. */ /* SPECIFICHE: */ var: a,b,tol,int,err,h,x,oldint,sum real var: Maxval,Iflag,m,fval integer external function f real /* ESECUZIONE: */ m:=2 h:=(b-a)/m x:=(a+b)/m oldint:=h*(f(a)+f(b)) Int:=oldint/2+h*f(x) fval:=3 Err:= Int-oldint /3 /* ciclo di iterazione principale con test sull errore */ while (Err > Tol and fval<maxval) do

27 m:=2*m h:=h/2 sum:=0 /* calcolo della formula trapezoidale composita su m punti medi */ for k=1,m,2 x:=a+k*h sum:=sum+f(x) fval:= fval+1 endfor oldint:= Int Int:=oldint/2+h*sum /* stima dell errore */ Err:= Int-oldint /3 endwhile /* definizione della variabile Iflag */ if (fval<maxval) then Iflag:=0 else Iflag:=1 endif Return Int,Err,Iflag end Trapez1 ESEMPIO: VOGLIAMO CALCOLARE I[f] = 5 5 (3e x 2 + 1)dx UTILIZZANDO LA PRECEDENTE ROUTINE

28 APPROSSIMAZIONE DI I[f] SU 5 SOTTOINTERVALLI ( T 5 [f] ) 4 Grafico di f(x)=3e -x^ o o o o o o In giallo tratteggiato l area calcolata. APPROSSIMAZIONE DI I[f] SU 10 SOTTOINTERVALLI ( T 10 [f] ) 4 3 o Grafico di f(x)=3e -x^ o o o o o o o o o o In giallo tratteggiato l area calcolata.

29 PARTIZIONAMENTO UNIFORME DELL INTERVALLO DI INTEGRAZIONE Intervalli troppo larghi nella parte centrale di [a,b] (INSUFFICIENTE) Intervalli troppo stretti verso gli estremi di [a,b] (INUTILE) ALGORITMI NON ADATTATIVI PROBLEMA: E possibile PROGETTARE un ALGORITMO che SI ADATTA alla funzione?

30 SOLUZIONE: PARTIZIONAMENTO NON UNIFORME DELL INTERVALLO DI INTEGRAZIONE ALGORITMI ADATTATIVI ALGORITMI ADATTATIVI STRATEGIA 1: infittire dove l errore è massimo in modulo. E 1 E 2 PASSO 1 E 1 E 2 E 3 a=x 0 x 2 b=x 1 a=x 0 x 3 x 2 b=x 1 L errore massimo in modulo è E 1, in corrispondenza dell intervallo [x 0,x 2 ], Suddividiamo [x 0,x 2 ] in [x 0,x 3 ] e [x 3,x 2 ]. (CONTINUA...)

31 CONTINUA: ALGORITMI ADATTATIVI STRATEGIA 1: infittire dove l errore è massimo in modulo. E 1 E 2 E 3 PASSO 2 E 1 E 2 E 3 E 4 a=x 0 x 3 x 2 b=x 1 a=x 0 x 3 x 2 x 4 b=x 1 L errore massimo in modulo è E 3, in corrispondenza dell intervallo [x 2,x 1 ]. Suddividiamo [x 2,x 1 ] in [x 2,x 4 ] e [x 4,x 1 ]. (CONTINUA...) CONTINUA: ALGORITMI ADATTATIVI STRATEGIA 1: infittire dove l errore è massimo in modulo. E 2 E 3 E 2 E 3 E 1 E 4 PASSO 3 E 1 E 4 E 5 a=x 0 x 3 x 2 x 4 b=x 1 a=x 0 x 3 x 5 x 2 x 4 b=x 1 L errore massimo in modulo è E 2, in corrispondenza dell intervallo [x 3,x 2 ]. Suddividiamo [x 3,x 2 ] in [x 3,x 5 ] e [x 5,x 2 ]. ( e così via...)

32 ALGORITMI ADATTATIVI STRATEGIA 2: infittire finchè non si è soddisfatta la tolleranza locale (TOL ), esaminando l intervallo più a sinistra Prossimo intervallo da esaminare [x o,x 2 ]. E 1 E 2 PASSO 1 E 1 E 2 E 3 a=x 0 x 2 b=x 1 a=x 0 x 3 x 2 b=x 1 TOLLERANZA LOCALE NON SODDISFATTA Cosa si intende con TOLLERANZA LOCALE? Suddividiamo [x 0,x 2 ] in [x 0,x 3 ] e [x 3,x 2 ]. (CONTINUA...) CONTINUA: Prossimo intervallo da esaminare [x o,x 3 ]. ALGORITMI ADATTATIVI STRATEGIA 2: infittire finchè non si è soddisfatta la tolleranza locale (TOL ), esaminando l intervallo più a sinistra E 1 E 2 E 3 PASSO 2 E 1 E 2 E 3 E 4 a=x 0 x 3 x 2 b=x 1 x 4 a=x 0 x 3 x 2 b=x 1 TOLLERANZA LOCALE NON SODDISFATTA Suddividiamo [x 0,x 3 ] in [x 0,x 4 ] e [x 4,x 3 ]. (CONTINUA...)

33 CONTINUA: ALGORITMI ADATTATIVI STRATEGIA 2: infittire finchè non si è soddisfatta la tolleranza locale (TOL ), esaminando l intervallo più a sinistra Prossimo intervallo da esaminare [x o,x 4 ]. E 2 E 3 E 4 E 2 E 3 E 4 E 1 PASSO 3 E 1 x 4 a=x 0 x 3 x 2 b=x 1 TOLLERANZA LOCALE SODDISFATTA x 4 a=x 0 x 3 x 2 b=x 1 L intervallo [x o,x 4 ] non viene più esaminato. Si passa ad esaminare il successivo più a sinistra. (CONTINUA...) CONTINUA: ALGORITMI ADATTATIVI STRATEGIA 2: infittire finchè non si è soddisfatta la tolleranza locale (TOL ), esaminando l intervallo più a sinistra Prossimo intervallo da esaminare [x 4,x 3 ]. E 2 E 3 E 4 E 2 E 3 E 4 E 1 PASSO 4 E 1 x 4 a=x 0 x 3 x 2 b=x 1 TOLLERANZA LOCALE SODDISFATTA x 4 a=x 0 x 3 x 2 b=x 1 L intervallo [x 4,x 3 ] non viene più esaminato. Si passa ad esaminare il successivo più a sinistra. ( e così via...)

34 ALGORITMI ADATTATIVI DUE POSSIBILI STRATEGIE STRATEGIA 1 ADATTATIVA GLOBALE Si suddivide l intervallo dove è massima la stima del modulo dell errore. STRATEGIA 2 ADATTATIVA LOCALE Si suddivide l intervallo più a sinistra fino al raggiungimento dell accuratezza richiesta. STRATEGIA 1 ADATTATIVA GLOBALE Si calcolano preliminarmente Q [a,b] ed una stima del modulo di E [a,b]. Al primo passo Se E [a,b] TOL Altrimenti l algoritmo termina e Q [a,b] è l approssimazione di I[f]. si divide [a,b] in due sottointervalli, [a,m] e [m,b]. Si calcolano poi Q [a,m] Q [m,b] E [a,m] E [m,b]

35 STRATEGIA 1 ADATTATIVA GLOBALE E [a,b] > TOL Al secondo passo Se E [a,m] + E [m,b] TOL Altrimenti l algoritmo termina e Q [a,m] +Q [m,b] è l approssimazione di I[f]. si ricerca l intervallo dove la stima dell errore è massima in modulo e lo si divide in due ulteriori sottointervalli. Si calcolano poi, in tali sottointervalli, le stime del modulo dell errore e dell integrale. STRATEGIA 1 ADATTATIVA GLOBALE L intervallo [a,b] si trova suddiviso in una partizione di n sottointervalli [c j,d j ]. Al n-esimo passo Se E[c,d TOL j j j ] l algoritmo termina e l approssimazione di I[f] è, j altrimenti si ricerca l intervallo dove la stima dell errore è massima in modulo e lo si divide in due ulteriori sottointervalli. Q[c,d Si calcolano poi, in tali sottointervalli, le stime del modulo dell errore e dell integrale. j j ]

36 STRATEGIA 1 ADATTATIVA GLOBALE In generale l algoritmo termina quando La stima del modulo dell errore è non superiore a TOL. j E [c,d ] j j TOL OPPURE STRATEGIA 1 ADATTATIVA GLOBALE In generale l algoritmo termina quando Si è raggiunto un numero massimo di valutazioni per la funzione integranda MAXVAL. NUMVAL = MAXVAL NUMERO DI VALUTAZIONI EFFETTUATE

37 STRATEGIA 1 ADATTATIVA GLOBALE In generale l algoritmo termina quando Si è raggiunto un numero massimo di valutazioni per la funzione integranda MAXVAL. In questo caso si avvisa l utente di tale circostanza con un messaggio di errore: IFLAG STRATEGIA 1 ADATTATIVA GLOBALE In ogni caso, quando termina, l algoritmo fornisce come stima di I[f], l ultima approssimazione data da: I[f] j Q [ j j c,d ]

38 STRATEGIA 2 ADATTATIVA LOCALE Si calcolano preliminarmente Q [a,b] ed una stima del modulo di E [a,b]. Al primo passo Se E [a,b] TOL Altrimenti l algoritmo termina e Q [a,b] è l approssimazione di I[f]. si divide [a,b] in due sottointervalli, [a,m] e [m,b]. Si calcolano poi Q [a,m] Q [m,b] E [a,m] E [m,b] STRATEGIA 2 ADATTATIVA LOCALE E [a,b] > TOL Al secondo passo Se E [a,m] TOL / 2 TOLLERANZA RELATIVA LOCALE si aggiunge Q [a,m] al valore della variabile INTEG. La variabile INTEG al termine dell algoritmo contiene l approssimazione dell INTEGRALE

39 STRATEGIA 2 Al secondo passo Se E [a,m] TOL / 2 ADATTATIVA LOCALE E [a,b] > TOL TOLLERANZA RELATIVA LOCALE si aggiunge Q [a,m] al valore della variabile INTEG. si aggiunge E [a,m] al valore della variabile ERROR. La variabile ERROR al termine dell algoritmo contiene l approssimazione dell ERRORE STRATEGIA 2 ADATTATIVA LOCALE E [a,b] > TOL Al secondo passo Se E [a,m] TOL / 2 si aggiunge Q [a,m] al valore della variabile INTEG, si aggiunge E [a,m] al valore della variabile ERROR, si esamina l intervallo [m,b]. Altrimenti si divide [a,m] in due sottointervalli, in tali sottointervalli si calcolano le approssimazioni dell errore e dell integrale. TOLLERANZA RELATIVA LOCALE

40 STRATEGIA 2 ADATTATIVA LOCALE Si esamina l intervallo [c,d] più a sinistra disponibile Al generico passo Se E [c,d] TOL d c b a si aggiunge Q [c,d] al valore della variabile INTEG, si aggiunge E [c,d] al valore della variabile ERROR, si esamina l intervallo successivo [c,d ]. Altrimenti si divide [c,d] in due nuovi sottointervalli, in tali sottointervalli si calcolano le approssimazioni dell errore e dell integrale. TOLLERANZA RELATIVA LOCALE STRATEGIA 2 ADATTATIVA LOCALE In generale l algoritmo termina quando La stima del modulo dell errore nell intervallo più a destra [d,b], è non superiore alla TOLLERANZA RELATIVA LOCALE b d E [d,b] TOL b a OPPURE

41 STRATEGIA 2 ADATTATIVA LOCALE In generale l algoritmo termina quando Si è raggiunto un numero massimo di valutazioni per la funzione integranda MAXVAL, NUMVAL = MAXVAL NUMERO DI VALUTAZIONI EFFETTUATE STRATEGIA 2 ADATTATIVA LOCALE In generale l algoritmo termina quando Si è raggiunto un numero massimo di valutazioni per la funzione integranda MAXVAL In questo caso si avvisa l utente di tale circostanza con un messaggio di errore: IFLAG

42 STRATEGIA 2 ADATTATIVA LOCALE In ogni caso, quando termina, l algoritmo fornisce come stima di I[f], l ultima approssimazione data da I[f] INTEG STRATEGIA ADATTATIVA GLOBALE Si suddivide l intervallo dove è massima la stima del modulo dell errore. Abbiamo una riduzione uniforme dell errore su tutto l intervallo [a,b]. Ad ogni passo è necessario gestire tutti i sottointervalli.

43 STRATEGIA ADATTATIVA GLOBALE Si suddivide l intervallo dove è massima la stima del modulo dell errore. Tutte le informazioni degli intervalli da esaminare sono conservate in una LISTA STRATEGIA ADATTATIVA GLOBALE Si suddivide l intervallo dove è massima la stima del modulo dell errore. LISTA: La lista è ordinata secondo le stime DECRESCENTI dei moduli degli errori QUINDI Il prossimo intervallo da suddividere è nella TESTA DELLA LISTA

44 STRATEGIA ADATTATIVA GLOBALE Si suddivide l intervallo dove è massima la stima del modulo dell errore. LISTA: Testa della lista Nodo della lista STRATEGIA ADATTATIVA GLOBALE Si suddivide l intervallo dove è massima la stima del modulo dell errore. LISTA: Ogni nodo della lista contiene le informazioni su: Intervallo, stima dell integrale, stima dell errore, indirizzo del nodo successivo nella lista (LINK). NODO DELLA LISTA [p,q] Q [p,q] E [p,q] LINK NUOVO NODO

45 STRATEGIA ADATTATIVA GLOBALE Si suddivide l intervallo dove è massima la stima del modulo dell errore. ESEMPIO: riordinamento della lista L intervallo da esaminare è [ X 3,X 4 ] Testa della lista [a,x 1 ] [x 1,x 2 ] [x 2,x 3 ] [x 3,x 4 ] [x 4,b] STRATEGIA ADATTATIVA GLOBALE Testa della lista Si suddivide l intervallo dove è massima la stima del modulo dell errore. ESEMPIO: riordinamento della lista Il link da eliminare è [a,x 1 ] [x 1,x 2 ] [x 2,x 3 ] [x 3,x 4 ] [x 4,b]

46 STRATEGIA ADATTATIVA GLOBALE Testa della lista Si suddivide l intervallo dove è massima la stima del modulo dell errore. ESEMPIO: riordinamento della lista Il link da eliminare è [a,x 1 ] [x 1,x 2 ] [x 2,x 3 ] [x 3,x 4 ] [x 4,b] STRATEGIA ADATTATIVA LOCALE Si suddivide l intervallo più a sinistra Procedendo verso destra si scartano i sottointervalli in cui è stata raggiunta la tolleranza relativa locale In caso di arresto dell algoritmo per IFLAG non è fornita un approssimazione di I[f] su tutto [a,b].

47 STRATEGIA ADATTATIVA LOCALE Si suddivide l intervallo più a sinistra Tutte le informazioni degli intervalli da esaminare sono conservate in una PILA STRATEGIA ADATTATIVA LOCALE Si suddivide l intervallo più a sinistra PILA: Il prossimo intervallo da esaminare è nel TOP DELLA PILA QUINDI L algoritmo si arresta quando la PILA E VUOTA

48 STRATEGIA ADATTATIVA LOCALE Si suddivide l intervallo più a sinistra PILA: Errore accettabile Prossimo intervallo da esaminare TOP della PILA a X 1 X 2 X 3 X 4 b Altri intervalli da esaminare [a,x 1 ] [x 1,x 2 ] [x 2,x 3 ] [x 3,x 4 ] [x 4,b] STRATEGIA ADATTATIVA LOCALE Si suddivide l intervallo più a sinistra PILA: Intervallo, Ogni nodo della pila contiene le informazioni su: stima dell integrale, stima del modulo dell errore. NODO DELLA PILA [p,q] Q [p,q] E [p,q]

49 ENTRAMBE LE STRATEGIE HANNO BISOGNO DI UNA PROCEDURA QE(c,d,f,Q,E) [c,d] f QE Q [c,d] [f] E [c,d] [f] La quale ricevuti in input un intervallo [c,d] contenuto in [a,b], ed una funzione integrabile f, fornisce in output le stime di I[f] ed E[f] sull intervallo [c,d] ottenute mediante una COPPIA DI FORMULE INNESTATE. T 1 [f] = ESEMPIO di procedura QE con la Formula Trapezoidale Composita. h [f(c) 2 h + f(d)] c + d T 2 [f] = f(c) + f + f(d) 4 2 E 2 [f] T 1 [f]-t 2 [f] /3 h=d-c

50 ESEMPIO di procedura QE con la Formula Trapezoidale Composita. procedure QE(input: c,d,f; output: Q,E) h:=(d-c) fc:=f(c) fd:=f(d) fm:=f((c+d)/2) t1:=h*(fc+fd)/2 t2:=h*(fc+fm+fd)/4 E:= t1-t2 /3 Q:=t2 return Un algoritmo ADATTATIVO LOCALE basato sulla Formula Trapezoidale Composita begin ADAPT read A,B,TOL,NMAX IFAIL:=0 INTEG:=0 ERROR:=0 QE(A,B,f,Q,E) NVAL:=3 A,B,Q,E pila N:=1 while (N 0 AND NVAL<NMAX) do C,D,Q,E pila N:=N-1 if (E<TOL*(D-C)/(B-A)) then INTEG:=INTEG+Q ERROR:= ERROR+E

51 CONTINUA: Un algoritmo ADATTATIVO LOCALE Basato sulla Formula Trapezoidale Composita else M:=(C+D)/2 QE(C,M,F,QS,ES) NVAL:=NVAL+3 QE(M,D,F,QD,ED) NVAL:=NVAL+3 M,D,QD,ED pila N:=N+1 C,M,,QS,ES pila N:=N+1 endif endwhile CONTINUA: Un algoritmo ADATTATIVO LOCALE Basato sulla Formula Trapezoidale Composita end ADAPT if (NVAL>=NMAX) then IFAIL:=1 endif print INTEG,ERROR,IFAIL

52 MATLAB E LA QUADRATURA Matlab rende disponibile la funzione QUAD per il calcolo di integrali definiti. QUAD è basata su un algoritmo adattativo locale e sulla formula di SIMPSON COMPOSITA. MATLAB E LA QUADRATURA QUAD (fun,a,b,tol,graf) fun a,b tol graf funzione integranda. Deve essere presente in un FILE di nome Fun.m estremi di integrazione. tolleranza (opzionale). Se non specificata TOL=10-3. intero (opzionale).se GRAF=1 viene mostrato il grafico della funzione con i nodi utilizzati.

53 MATLAB ESEMPIO: I[f] 2π = E LA QUADRATURA sin( x) dx = 0 Creazione del file fun.m contenente la funzione integranda 4 function y = fun(x) y = abs(sin(x)) return end ESEMPIO: I[f] MATLAB 2π = 0 E LA QUADRATURA sin( x) QUINDI dx >> a=0; >> b=2* ; >> res=quad( fun,a,b); res= = 4

54 Domanda: Sia assegnata una tolleranza TOL, da voler rispettare sull intero intervallo [a,b]. Che tolleranza dobbiamo rispettare sul generico sottointervallo [c,d]? Risposta: Affinché una tolleranza TOL, sia rispettata sull intero intervallo [a,b], è sufficiente che su ogni sottointervallo [c,d] sia rispettata una tolleranza TOL, proporzionale all ampiezza del sottointervallo stesso, ovvero una TOLLERANZA RELATIVA LOCALE

55 Esempio: Scegliamo il sottointervallo [a,m], dove m è il punto medio di [a,b]. m-a L ampiezza di [a,m] è META dell ampiezza di [a,b], b-a a m b m-a = (b-a) / 2 Esempio: Scegliamo il sottointervallo [a,m], dove m è il punto medio di [a,b]. L ampiezza di [a,m] è META dell ampiezza di [a,b], la TOLLERANZA RELATIVA LOCALE su [a,m] sarà la META della tolleranza su [a,b] TOL = TOL / 2

56 In generale Scegliamo un sottointervallo [c,d], dell intervallo [a,b]. Il rapporto tra le ampiezze di [c,d] e [a,b] è d c b a d-c b-a a c d b d-c = (b-a) d c b a In generale Scegliamo un sottointervallo [c,d], dell intervallo [a,b]. Il rapporto tra le ampiezze di [c,d] e [a,b] è d c b a la TOLLERANZA RELATIVA LOCALE su [c,d] sarà TOL = TOL d c b a