Scheda - Integrali indeniti

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1 Scheda - Integrali indeniti Ricordiamo un pò di teoria.. Il calcolo delle primitive di una funzione Immaginiamo di avere una funzione, ad esempio f() = 2 e di voler calcolare un'altra funzione F () che, quando la derivo, mi fornisce la funzione f(). Una funzione che ha questa caratteristica si chiama primitiva di f(). Dopo averci pensato un pò, ci può venire in mente la funzione F () = 2 E sembra quasi che abbiamo risolto completamente il problema che avevamo ma poi ci ricordiamo che la derivata di una costante additiva è zero e quindi capiamo che le primitive che possiamo trovare sono tante.. F 1 () = 2 ; F 2 () = 2 +1; F 3 () = 2 +3; F 4 () = 2 12; Se volessimo raggruppare tutte le funzioni che sono primitive di f(), potremmo scriverle in questa forma: F () = 2 dove con C intendiamo una qualsiesi costante additiva. L'insieme di tutte le primitive di una funzione f() si chiama integrale indenito di f() e si indica con la seguente scrittura: f() Quindi, riprendendo l'esempio di prima possiamo scrivere che l'insieme di tutte le primitive della funzione f() = 2 si possono scrivere così: 2 oppure, utilizzando la notazione matematica, possiamo scrivere che 2 = 2 1

2 Integrali delle principali funzioni elementari 1 = ; a = a+1 a + 1 ; 1 = log ; e = e ; sin = cos ; cos = sin ; Le due proprietà di linearità degli integrali La prima proprietà aerma che se all'interno di un integrale è presente una costante moltiplicativa k, essa può essere portata fuori dal segno di integrale: k f() = k f() La seconda proprietà aerma che, se all'interno di un integrale è presente una somma, allora l'integrale della somma equivale alla somma degli integrali: f() + g() = f() + g() Esempi di integrali immediati 3 Se guardo la tabella degli Integrali delle funzioni elementari, mi accorgo subito che tale integrale appartiene alla famiglia: a 2

3 quindi posso risolvere l'esercizio applicando la formula in cui a = 3, ovvero scrivo: 3 = = 4 4 ; Esempi di applicazioni delle proprietà di linearità: il trasporto di una costante moltiplicativa fuori dal segno di integrale 2 2 Se guardo la tabella degli integrali delle funzioni elementari, mi accorgo che l'integrale che voglio calcolare, non appartiene a nessuna delle famiglie che sono riportate. Allora devo lavorare un pò sul mio integrale in modo da poterlo riscrivere in una forma che possa essere associabile alle famiglie di integrali elementari. Così, mi accorgo che il 2 che sta davanti ad 2 è una costante moltiplicativa e quindi, posso portarla fuori dal segno di integrale, scrivendo: 2 2 = 2 2 Adesso, se mi concentro solo sull'integrale (e tralascio il 2 che sta fuori a moltiplicare) mi accorgo subito che tale integrale appartiene alla famiglia: a quindi posso risolvere l'esercizio applicando la formula in cui a = 2, ovvero scrivo: 2 2 = = = 23 3 Esempi di applicazioni delle proprietà di linearità: una somma equivale alla somma degli integrali ( 2 + ) l'integrale di Se guardo la tabella degli integrali delle funzioni elementari, mi accorgo che l'integrale che voglio calcolare, non appartiene a nessuna delle famiglie che sono riportate. Allora devo lavorare un pò sul mio integrale in modo da poterlo riscrivere in una forma che possa essere associabile alle famiglie di 3

4 integrali elementari. Così, mi accorgo che, usando la seconda proprietà di linearità, posso spezzare in due l'intagrale e scrivere: ( 2 + ) = 2 + Adesso, procedendo come ho fatto prima, utilizzo le formule degli integrali elementari per risolvere tali integrali e scrivo: 2 + = = Integrazione per decomposizione Immaginiamo di voler calcolare il seguente integrale indenito ( ) Bisogna procedere in modo da decomporre l'integrale (mediante le due proprietà di linearità), no ad ottenerne delle parti su cui possiamo applicare le formule degli integrali fondamentali. Allora usiamo la seconda proprietà in modo da spezzare la somma in due parti: ( ) = Adesso usiamo la prima proprietà in modo da portare fuori dal segno di integrale le costanti che moltiplicano, ovvero: = Adesso, applico le formule degli integrali indeniti: = =

5 Esercizio 1 Calcola i seguenti integrali indeniti: a) b) c) d) e) ( 5) f) g) + 5 log h) i) l) ( ) (4 + 2 ) Esercizio 2 Calcola i seguenti integrali indeniti: a) c) e) g) i) m) 2 (2 + 3) ( 3 + 1) ( 1)( + 2) log b) d) f) h) l) n) ( + 2) ( + 1) ( ) Integrali delle principali funzioni composte Ricordando la formula della derivata di una funzione composta ed usandola in senso inverso, possiamo scrivere le seguenti formule che ci serviranno per integrare le funzioni composte: f() a f () = f()a+1 a + 1 5

6 f () = logf() ; f() f () e f() = e f() ; f () sinf() = cosf() ; f () cosf() = sinf() ; Esempi di applicazioni degli integrali delle funzioni composte Esempio ( 3 + 2) 2 Ci accorgiamo subito che, indicando con f() = 3 + 2, possiamo riscrivere l'integrale così: f () f() a E quindi possiamo utilizzare la formula degli integrali delle funzioni composte, ovvero: f() a f () = f()a+1 = a ( 3 + 2) 2 = (3 + 2) 3 3 Esempio 2 sin 2 Ci accorgiamo subito che, indicando con f() = 2, il fattore non è proprio la derivata di 2. Per esserlo gli manca un fattore 2, ma per quanto riguarda i fattori moltiplicativi possiamo farli comparire noi grazie alla proprietà di linearità e quindi possiamo scrivere: sin 2 = sin 2 in modo da essere in grado di usare la seguente formula f () sinf() = cosf() ; 6

7 E quindi scriviamo: sin 2 = 1 2 ( cos2 ) = 1 2 cos2 Esercizio 3 Calcola i seguenti integrali indeniti utilizzando le formule di integrazione delle funzioni composte: a) 5( 4) 4 c) 2(2 + 5) 6 e) g) i) 4e 4 m) e ( 4) 5 (2 + 5) log( ) log(2 5) e 4 e b) d) f) h) l) n) ( + 3) ( + 3) (2 4( ) ) log( 2 + ) log( 4 + 1) 3e 3 1 e e e3+1