Elementi di Dinamica Sismica

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1 Contenuti: Aspetti generali della dinamica delle strutture e dei terreni Sistemi ad un grado di libertà Spettri di risposta Sistemi anelastici Sistemi a piùgradi di libertà Sistemi continui Esercitazioni

2 1. Aspetti generali della dinamica delle strutture e terreni Azione dinamica: azione variabile con il tempo che induce in una struttura con massa non trascurabile un moto tale che le forze di inerzia (Fi massa x accelerazione) non possono essere trascurate rispetto alle altre forze. Classificazione delle azioni dinamiche (in relaz. alla forma): 1 armonica Macchina rotante Periodiche: più armoniche Motori Non Periodiche: impulsivi di lunga durata Scoppio di una bomba Terremoto

3 1. Aspetti generali della dinamica delle strutture e terreni Classificazione delle azioni dinamiche (in relazione alla descrizione): deformazioni DETERMINISTICHE: Noto istante per istante Il valore dell azione ANALISI spostamenti sollecitazioni tensioni spostamenti ALEATORIE: Note istante per istante Le caratteristiche probabilistiche dell azione ANALISI deformazioni sollecitazioni tensioni

4 1. Aspetti generali della dinamica delle strutture e terreni Proprietà dinamiche delle strutture: -Massa Entità e distribuzione si assumono costanti durante l eccitazione dinamica - Meccanismo di accumulo e rilascio dell energia di deformazione - Meccanismo di dissipazione dell energia K M C

5 . Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL) Si consideri un oscillatore elementare di massa m, rigidezza k e coefficiente di smorzamento viscoso c. x(t) u(t) + x g (t) spostamento assoluto... x(t) u(t) + x g (t) velocità assoluta x(t) u(t) + x g (t) accelerazione assoluta Dato un sistema di riferimento inerziale fisso e rappresentata l eccitazione sismica come uno spostamento orizzontale del suolo x g (t), il sistema oscillerà con uno spostamento relativo u(t) rispetto al terreno. Spostamento, velocità ed accelerazione assoluti del sistema sono espressi dalle relazioni in figura.

6 . Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL) Le forze in gioco sono: (i) la forza di richiamo elastico, (ii) la forza resistente viscosa e (iii) la forza di inerzia. Applicando la seconda legge di Newton, si ottiene l equazione del moto del sistema: m& x F i c u& ku mx &

7 . Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL) Riscrivendo l accelerazione assoluta come somma dell accelerazione relativa più l accelerazione del terreno, e dividendo tutto per la massa, l equazione del moto può essere riscritta nella forma: u & + Elementi di Dinamica Sismica m u& + c u& + k u m & ξ ω u& +ω u x& g ω T ξ k m π ω pulsazione periodo c rapporto mω propria naturale di [rad/sec] vibrazione [sec] critico di smorzament o Il periodo naturale di vibrazione ed il rapporto critico di smorzamento sono caratteristiche dinamiche intrinseche del sistema (non dipendono dall azione). Il periodo di vibrazione T rappresenta il tempo impiegato dalla struttura (non smorzata) per compiere un intera oscillazione. Il rapporto critico di smorzamento ξ porta in conto le capacità dissipative in campo elastico del sistema. x g

8 . Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL) Per ξ > 1, la struttura disturbata dal suo stato di quiete (u(0) 0), ritorna nella sua configurazione iniziale senza oscillazioni. Per ξ < 1, il sistema, disturbato dal suo stato di quiete, oscilla con ampiezze decrescenti, con pulsazione e periodo pari a: ω D ω (1 ξ ) T D T (1 ξ ) Per le strutture in c.a. e muratura si assumono comunemente rapporti critici di smorzamento intorno al 5%; per quelle in acciaio intorno al %. Da ciò si ricava che, per le strutture usuali, il termine (1-ξ ) risulta molto prossimo ad 1, per cui l influenza dello smorzamento sui parametri caratteristici della risposta dinamica del sistema risulta trascurabile.

9 . Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL) La soluzione dell equazione del moto, assumendo ωω D, può essere scritta nella forma (integrale di Duhamel): u(t) 1 ω && x g ( τ) e ξω(t τ) senω(t τ) dτ derivando si ottiene: u(t) & && x g ( τ) e ξω(t τ) cosω(t τ) dτ ξ ω u(t) ed infine: & x ω u(t) ωξ u(t) &

10 . Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL) Determinato u(t), e nota la rigidezza k del sistema, è possibile definire, in ogni istante di tempo, una forza statica equivalente : F s k u(t) che applicata staticamente alla struttura produce gli stessi effetti (spostamenti, sollecitazioni, ecc.) calcolati risolvendo l equazione del moto. La forza statica equivalente F s può anche essere calcolata come prodotto fra la massa del sistema m ed un accelerazione a(t) generalmente indicata con il termine di pseudoaccelerazione: F s k u(t) m ω u(t) m a(t) Analogamente si può definire una pseudovelocità v(t) pari a : v(t) ω u(t)

11 . Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL) Quando lo smorzamento ξ è nullo, la pseudoaccelerazione coincide con l accelerazione assoluta del sistema. Analogamente, quando lo smorzamento ξ è nullo, la pseudovelocità coincide con la velocità relativa del sistema: v(t) u(t) & && x g ( τ) e ξω(t τ) cosω(t τ) dτ ξ ω u(t) & x ω u(t) ωξ u(t) & a(t)

12 . Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL) Quando lo smorzamento è abbastanza piccolo (0-0%), l approssimazione continua a funzionare bene se si fa riferimento ai valori massimi della risposta (1), a patto che il periodo non sia troppo elevato: Confronto fra accelerazione e pseudoaccelerazione massima (1) Nell istante in cui si verifica il massimo spostamento si ha la massima accelerazione e velocità nulla. Nell istante in cui si ha la massima velocità si ha spostamento circa nullo

13 Valutazione del fattore di smorzamento Esistono diverse metodologie per il calcolo dei fattori di smorzamento. - Metodo del decremento logaritmico - Metodo dell ampiezza di banda... m y+ cy+ ky p( t) c ξ m ω Al fine di semplificare la trattazione, si farà riferimento ai metodi che si prestano alla valutazione del fattore di smorzamento associato al modo fondamentale di vibrazione di una struttura.

14 Smorzamento: metodo del decremento logaritmico È noto che un sistema dotato di smorzamento, perturbato all istante di tempo t0, oscilla seguendo una legge del tipo u(t) ± A e ξ ωt 1 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8-1 U 1 U T D 0 0,5 1 1,5,5 3

15 Smorzamento: metodo del decremento logaritmico Si definisce decremento logaritmico, e lo si indica con δ, il logaritmo naturale del rapporto: δ ln U U n n+ 1 Tale grandezza permette di valutare la rapidità con cui si attenua l ampiezza dell oscillazione di un sistema in oscillazioni libere e dotato di smorzamento

16 Ai fini pratici possiamo ipotizzare che 1 1 t e A U ω ξ ) ( 1 D T t t e A e A U + ω ξ ω ξ T D T D t t e e U U + ω ξ ω ξ )] ( [ T D U U ω ξ δ 1 ln 4 π δ δ π δ ξ + Smorzamento: metodo del decremento logaritmico

17 Smorzamento: metodo del decremento logaritmico δ π ξ δ π ξ 1 ξ 0 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Valore approssimato Valore esatto È importante notare che fino a valori di ξ prossimi a 0,3 la formulazione approssimata e quella esatta forniscono valori coincidenti ξ

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19 3. Spettri di risposta Generalmente non è necessario calcolare F s in ogni istante di tempo, ma basta conoscere la massima forza agente sul sistema durante il sisma, essendo quella che indurrà le massime sollecitazioni: F s k u m a da cui deriva il concetto di spettro di risposta elastico. Lo spettro di risposta elastico S e (T,ξ) è un diagramma che fornisce il valore massimo della risposta di sistemi elastici ad 1-GL in funzione del loro periodo proprio di vibrazione e del loro rapporto critico di smorzamento. Generalmente come parametri di risposta si utilizzano lo spostamento relativo, la pseudo-velocità e la pseudoaccelerazione. Quindi, per una data eccitazione sismica, gli spettri di risposta elastici riassumono il comportamento di tutti i sistemi elastici ad 1-GL con periodo variabile fra 0 e e rapporto critico di smorzamento fissato.

20 3. Spettri di risposta K 0 K i+1 <K i K i K 0 K 0 K i+1 <K i K i Mcost. M 0 0 K 0 M i+1 >M i M i Mcost. M Kcost. T Figura tratta da: Progetto sismico di strutture nuove in c.a. ai sensi dell Ordinanza n. 374, a cura di R. Marnetto, L. Massa e M. Vailati T0 T i π Mi K i

21 3. Spettri di risposta a - a k- a i- s - s k- s k (t) s i- T k T T i Figura tratta da: Progetto sismico di strutture nuove in c.a. ai sensi dell Ordinanza n. 374, a cura di R. Marnetto, L. Massa e M. Vailati

22 3. Spettri di risposta v v 1 v 3 S d v T 1, ξ T, ξ T 3, ξ S v ω S d S a ω S d S a /PGA 5 4 % 15% S d /PGD % 10% 0% 5% T(sec) T(sec)

23 3. Spettri di risposta Componente E-W della registrazione di Gemona del terremoto del Friuli (1976) (a) Storia delle accelerazioni, velocità e spostamenti del terreno, (b) Spettro di risposta elastico delle pseudoaccelerazioni normalizzato rispetto all accelerazione di picco del terreno, (c) Spettro di risposta elastico delle pseudovelocità normalizzato rispetto alla velocità di picco del terreno, (d) Spettro di risposta elastico degli spostamenti normalizzato rispetto allo spostamento massimo del terreno.

24 3. Spettri di risposta Componente E-W della registrazione di Sturno del terremoto Campano-Lucano (1980) (a) Storia delle accelerazioni, velocità e spostamenti del terreno, (b) Spettro di risposta elastico delle pseudoaccelerazioni normalizzato rispetto all accelerazione di picco del terreno, (c) Spettro di risposta elastico delle pseudovelocità normalizzato rispetto alla velocità di picco del terreno, (d) Spettro di risposta elastico degli spostamenti normalizzato rispetto allo spostamento massimo del terreno.

25 3. Spettri di risposta Componente vert. della registrazione di Sturno del terremoto Campano-Lucano (1980) (a) Storia delle accelerazioni, velocità e spostamenti del terreno, (b) Spettro di risposta elastico delle pseudoaccelerazioni normalizzato rispetto all accelerazione di picco del terreno, (c) Spettro di risposta elastico delle pseudovelocità normalizzato rispetto alla velocità di picco del terreno, (d) Spettro di risposta elastico degli spostamenti normalizzato rispetto allo spostamento massimo del terreno.

26 3. Spettri di risposta Sa/PGA T>>T T 0 per valori del periodo prossimi a zero (strutture molto rigide) l accelerazione massima del sistema tende a quella del terreno; per piccoli aumenti del periodo si ha una notevole amplificazione della accelerazione massima. Al 5% di smorzamento, l amplificazione massima si attesta intorno a.5 nell intervallo 0.sec e 0.8 sec circa; per valori del periodo superiori a quelli predominanti del sisma (strutture flessibili) l accelerazione massima del sistema tende rapidamente a zero.

27 3. Spettri di risposta Sd/PGD T>>Tc T 0 per strutture rigide lo spostamento relativo del sistema risulta inferiore a quello del terreno, al limite tende a zero per periodi prossimi a zero; per strutture con periodo intermedio (nel caso in esame 1-.5 sec) lo spostamento relativo del sistema risulta amplificato rispetto a quello del terreno; per strutture molto flessibili lo spostamento relativo del sistema tende a quello del terreno.

28 3. Spettri di risposta Sa/PGA Sd/PGD all aumentare dello smorzamento la risposta massima del sistema si riduce. L entità di tale riduzione varia a seconda del periodo del sistema (e delle caratteristiche del sisma). Comunque, l effetto tende a scomparire per T 0 e T.

29 3. Spettro di risposta Utilizzando lo spettro di risposta elastico è possibile ricondurre lo studio di un problema dinamico (determinazione dei massimi effetti prodotti dal sisma su una struttura) ad un problema statico: F s k S De m ω S De m S Ae F W m S W S g s Ae Ae C

30 4. SISTEMI ANELASTICI

31 4. Sistemi anelastici Sistema elastico non smorzato (c 0) L energia immessa dal sisma nella struttura (area abc), attraverso il moto del terreno, viene accumulata dal sistema sottoforma di energia elastica di deformazione e di energia cinetica. Durante il moto si verifica un continuo scambio fra le due forme di energia ed il sistema continua ad oscillare, attorno alla posizione originaria, con ampiezza costante. Sistema anelastico non smorzato (c 0) Cerniera plastica All atto dell inversione del moto (raggiungimento dello spostamento massimo), solo parte dell energia di deformazione accumulata (area cdef) si trasforma in energia cinetica (area efg), poiché la restante parte (area cdeg) è stata dissipata, sottoforma di calore, dalla cerniera plastica. Le oscillazioni del sistema risultano smorzate ed esso ritorna rapidamente nella sua posizione di quiete.

32 4. Sistemi anelastici Sotto certe ipotesi (...), oscillatore elastico ed oscillatore anelastico, aventi il medesimo periodo di vibrazione iniziale, esibiscono lo stesso spostamento massimo a seguito del sisma (u ). Medesime prestazioni ( livelli di sicurezza) sotto sisma possono essere ottenute facendo affidamento (i) su livelli di resistenza elevati (F se_ ), con oscillazioni in campo elastico della struttura o (ii) sulla capacità del sistema di subire escursioni in campo plastico dissipando energia (duttilità), ammettendo in tal caso livelli di resistenza molto più bassi (F s_y ). Costi inferiori

33 4. Sistemi anelastici La risposta sismica di sistemi anelastici può essere studiata seguendo due approcci diversi: 1. Considerando un sistema elastico equivalente: K eq c eq m K o K eq W d W s m u& + c eq u& + k eq u m& x g u c eq m k eq Wd π W s k eq u F y. Utilizzando un modello non lineare per il legame costitutivo del materiale: F s (u) c m F u m u& + cu& + F (u) m& s x g

34 4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari u & + ωξ u& + F s(u) m & x g ω k m ξ c mω Oscillatore semplice elasto-plastico soggetto ad azione sismica E facile dimostrare che la risposta dell oscillatore elasto-plastico tende a coincidere con quella di un oscillatore identico ma a comportamento mento indefinitamente elastico, nell ipotesi di: (i) sistema molto deformabile, (ii) sistema molto rigido.

35 4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari sistemi molto deformabili (sia elastici che elasto-plastici) sistemi molto rigidi (sia elastici che elasto-plastici) d u d xg d x d u d x x xg+ u 0 u xg + dt dt dt dt dt F s m S Ae m ω u S x De g 4π m T u F s 4π m T 0 x g g 0 x x u g d x dt 0 d dt x g F u x x 0 s m & x g g

36 4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari Quanto detto finora, in aggiunta all evidenza di numerosi studi di carattere numerico e sperimentale, consente di correlare la risposta (in termini di spostamento e forza massima) di un sistema elastico con la risposta di un sistema anelastico avente lo stesso periodo iniziale T o. Bisogna distinguere tre casi: (1) Strutture che hanno un periodo iniziale T o maggiore del periodo dominante del sisma (0.1sec < T av < 0.3sec per terreni rigidi, T av > 1sec per terreni molto soffici); () Strutture molto rigide, che hanno un periodo proprio iniziale T o molto prossimo a zero; (3) Strutture che hanno un periodo proprio iniziale T o nell intorno del periodo dominante del sisma.

37 4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari (1) T o > T av il massimo spostamento raggiunto dal sistema anelastico risulta mediamente uguale a quello raggiunto dal corrispondente sistema elastico. u a u e x g F s,e k u e k S De m S Ae µ u u a y u u e y S u De y F s,y Fs,e m SAe k uy µ µ S Aa Fs,a Fs,y SAe m m µ...e l accelerazione spettrale pari a quella del sistema elastico divisa per la duttilità. Resta quindi definito un fattore di riduzione della forza R µ

38 4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari () To 0 le accelerazioni massime raggiunte dai due sistemi (elastico ed anelastico) risultano all incirca pari all accelerazione massima del terreno..... F s,a & S S Fs,e m xg Aa Ae F < F F Fs, y s,a s,y s,a k u y u k µ a k u e u a u e u a µ u e...conviene progettare il sistema anelastico in modo che rimanga in campo elastico. Il fattore di riduzione della forza risulta quindi R 1

39 4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari (3) To < Tav sistema elastico e sistema anelastico presentano stessa energia di deformazione in corrispondenza del rispettivo spostamento massimo... 1 ( F F ) ( u u ) F ( u u ) s,e s,y e y s,y a e F s,e F s,y u u e y µ u u a y u a µ u µ 1 e F s,y F s,e µ 1 S Aa S Ae µ 1...Il fattore di riduzione della forza del sistema anelastico rispetto alla massima del sistema elastico risulta proporzionale alla radice quadrata della duttilità.

40 4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari R µ 1 S Ae Rµ R 1 S Aa Forze di progetto per un sistema anelastico Spettro elastico diviso per un fattore di riduzione della forza (R) funzione della duttilità della struttura e dipendente dal periodo di vibrazione iniziale del sistema.

41 5. SISTEMI AD PIÙ GRADI DI LIBERTA

42 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Le strutture tipiche dell ingegneria civile non sono schematizzabili come semplici oscillatori elementari ad 1-GL. Nel caso, ad esempio, di edifici multipiano, con solai rigidi nel piano, è possibile concentrare le masse nei piani, assumendo come gradi di libertà dinamici gli spostamenti orizzontali, secondo due direzioni ortogonali, e la rotazione attorno all asse verticale di ciascuna massa di piano. Il comportamento nello spazio di un edificio di N piani è descritto da 3N gradi di libertà dinamici, che si riducono ad N se si opera nel piano. Elemento fondamentale della dinamica dei sistemi elastici ad N-GL è la individuazione dei modi di vibrare del sistema, in numero pari al numero di gradi di libertà del sistema. In ciascun modo, tutte le masse oscillano con la medesima pulsazione ed in fase, mantenendo immutati i rapporti tra le ampiezze. La risposta di una struttura elastica ad una qualsiasi forzante esterna o perturbazione iniziale può comunque essere espressa attraverso una combinazione lineare di modi di vibrare.

43 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà (a) Schematizzazione di un edificio a 5 piani con solai rigidi nel piano (5-GL), (b) modello a masse concentrate, (c) modi di vibrare del sistema Modi di vibrare Analisi modale

44 Fine lezione

45 Equazioni del moto per sistema non smorzato in oscillazioni libere: M U&& + KU 0 U(0) U(0) & Elementi di Dinamica Sismica 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà U U& 0 0 m 0 M 0 0 Forma della soluzione (definizione di modo di vibrare): m nn k... K... k 11 n k1n d1(t) U(t) k nn dn(t) U(t) iωt Φ e ( K ω M) Φ 0 T Φ [ φ φ ] 1 n Le soluzioni dell equazione del moto diverse da quella banale Φ 0 sono tutte e sole quelle che soddisfano la relazione: K ω M 0 Equazione di grado n in ω Monitoraggio Strutturale: Prof. Felice Carlo Ponzo Univ. degli studi della Basilicata

46 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà La soluzione del problema agli autovalori fornisce le pulsazioni dei modi di vibrare del sistema (ω ). Gli autovettori ad essi associati (Φ ) rappresentano le forme modali del sistema, definite a meno di una costante. K π ω M 0 ( ω T K - M) ω Φ 0 1,...n ω E possibile dimostrare che gli autovettori associati a due pulsazioni distinte (ω ω i ) risultano ortogonali rispetto alla matrice delle masse e delle rigidezze, cioè: Φ T i MΦ 0 i Φ T i KΦ 0 i

47 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Esempio 1: struttura intelaiata a tre piani, con impalcati rigidi e pianta quadrata Modello D (3-GL) Modello 3D (9-GL) Modello 3D_dirX (3-GL)

48 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà La soluzione dell equazione del moto di un sistema ad N-GL può comunque essere espressa come combinazione lineare dei modi di vibrare del sistema: U(t) n Φ y i 1 i i(t) le funzioni del tempo y i (t) rappresentano le incognite del problema e vengono dette coordinate principali. Sostituendo l espressione della soluzione nelle equazioni del moto: n M U & + KU 0 [ M Φ && y + K Φ y ] 0 i 1 i i i i Premoltiplicando per Φ i e sfruttando la proprietà di ortogonalità: T T Φ M Φi & y i+φ K Φi y i 0...

49 ....ponendo quindi: Elementi di Dinamica Sismica 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà m * T * T Φ M Φi k Φ K Φi si ottiene: * * m & y + k y 0 ovvero: && y +ω y 0 * * essendo ω k m il quadrato della pulsazione del -mo modo di vibrare del sistema.

50 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Introducendo i modi di vibrare si è trasformata l equazione del moto da un sistema di equazioni differenziali accoppiate ad un sistema di n equazioni differenziali indipendenti (una per ogni modo), ad un solo grado di libertà y (t): M U&& + KU 0 && y +ω y 0 1,...n Determinate le n coordinate principali y (t), la risposta totale del sistema si ottiene sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti : U(t) n Φ y i 1 i i(t) Da un punto di vista operativo, ciò corrisponde a vedere la struttura come un insieme di n sistemi ad 1-GL che concorrono, in misura diversa, a definire la risposta totale del sistema.

51 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà I contributi dei modi di vibrare alla risposta totale del sistema non sono tutti uguali. Generalmente, il contributo è maggiore per i modi con periodo di vibrazione alto, diminuendo progressivamente per i modi con periodo di vibrazione basso. Generalmente, quindi, non è necessario portare in conto tutti quanti i modi per determinare, con sufficiente approssimazione, la risposta totale della struttura. Al limite, se il primo modo risulta essere preponderante sugli altri, è possibile approssimare il comportamento di un sistema ad N-GL con quello di un sistema ad 1-GL, avente periodo pari a quello del primo modo di vibrare della struttura.

52 In presenza di sisma: M U& + x& & g Elementi di Dinamica Sismica 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà CU& + KU M R & x g C matrice di smorzamento viscoso C storia delle accelerazioni del terreno (accelerogramma) R vettore di trascinamento, che fornisce i coseni direttori dei gradi di libertà rispetto alla direzione dell azione sismica c c 11 n c c 1n nn α M+β K α β f( ω, 1, ω, ξ1, ξ ) Problema D (sisma_dirx) Problema 3D (sisma_xy)

53 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Esprimendo la soluzione dell equazione del moto come combinazione dei modi di vibrare del sistema (*) : U(t) n Φ y i 1 i i(t) (*) I modi di vibrare sono una caratteristica intrinseca del sistema, non dipendono dall azione: restano quelli calcolati in oscillazioni libere è possibile disaccoppiare le equazioni del moto: M U& + CU& + KU M R & x g & y ξ & + && ω y ω y π xg + Il termine π viene detto coefficiente di partecipazione modale e misura l importanza di ciascun modo alla risposta totale del sistema. Il coefficiente di partecipazione modale si esprime come: M R T π T Φ M Φ Φ

54 La soluzione di ciascuna delle n equazioni del moto: x g && & & & + + y y y π ω ω ξ si ottiene dalla soluzione dell equazione del moto dell oscillatore elementare: g x u u u & & & & & +ω ω ξ + amplificata del fattore π : u (t) (t) y π Il vettore dei gradi di libertà del sistema, al -mo modo, risulta quindi: (t) u (t) y (t) U Φ π Φ 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Elementi di Dinamica Sismica

55 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà La soluzione totale è sovrapposizione dei contributi modali: U(t) n π 1 Φ u (t) ~ Φ Z ~ Φ 1 φ n φ φ n n φn Z(t) y1(t) yn(t) E possibile quindi definire n sistemi di forze statiche equiv.: F s (t) K U(t) ~ K Φ Z(t) ~ K Φ π y (t) ~ M Φ ω π pseudoaccelerazione y (t) ~ M Φ π a (t) spostamento con cui ricavare, tramite analisi statica, reazioni e sollecitazioni agenti nella struttura al generico istante di tempo t, per ciascun modo di vibrare. 1 modo modo 3 modo 4 modo 5 modo Distribuzione schematica delle forze statiche equivalenti associate ai diversi modi

56 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Ad esempio, il taglio totale alla base di un edificio multipiano è pari alla somma delle forze statiche equivalenti relative agli n modi: V b (t) n i f (t) R i 1 s T F s (t) forza al piano i-mo T n (R 1 ( Φ T M Φ M Φ ) ) ω u (t) n m ~ 1 ω u (t) Il termine: m ~ ( Φ ( Φ T T M R) M Φ ) (*) n m ~ 1 tutti gli n modi M tot m n < 1 m ~ solo i primi m modi α M tot α <1 α 0. min 8 ha le dimensioni di una massa ed è solitamente indicato come massa efficace della struttura al modo -mo, poiché può essere interpretato come la quota parte della massa totale della struttura eccitata dal -mo modo di vibrare. T (*) se si sono normalizzati i modi di vibrare ( Φ M Φ 1 )

57 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Se non si è interessati al comportamento nel tempo del sistema, ma solo alla risposta massima, si può utilizzare lo spettro di risposta. Ad esempio, il vettore dei massimi spostamenti relativi ed il massimo taglio alla base, in corrispondenza del -mo modo, risultano: U (t) π Φ u (t) U Φ π S De (T, ξ ) V b (t) m ~ a (t) V b m ~ S Ae (T, ξ )

58 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà I massimi modali sono in valore assoluto. Inoltre, essi non sono contemporanei fra loro. Pertanto, la risposta globale del sistema non può essere ottenuta semplicemente sommando i massimi modali dedotti con lo spettro di risposta. Si ricorre a tecniche di combinazione modale derivanti da analisi probabilistica: SRSS E (Σ i E i ) 1/ se (Ti-T)/Ti > 0.1 CQC E (Σ i Σ ρ i E i E ) 1/ se (Ti-T)/Ti 0.1 E è il valore totale della componente di risposta sismica E i è il valore della medesima componente dovuta al modo i E è il valore della medesima componente dovuta al modo ρ i (8ξ (1 + β i ) β i 3/ ) / ((1 -β i ) + 4ξ β i (1 + β i ) ) ξ è il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente β i è il rapporto tra le frequenze dei modi i- (β i ω i /ω ).

59 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Analisi modale con spettro di risposta di un edificio multipiano

60 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Esempio 1: struttura intelaiata ad N piani: influenza sui modi di vibrare della regolarità della struttura in pianta

61 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Esempio : struttura intelaiata ad N piani: influenza sui modi di vibrare della struttura di irregolarità in pianta conseguenti ad una non coincidenza fra centro di massa e centro di rigidezza

62 5. Sistemi elastici a più gradi di libertà Esempio 3: struttura intelaiata ad N piani: influenza sui modi di vibrare della struttura di irregolarità in pianta conseguenti ad una non coincidenza fra centro di massa e centro di rigidezza

63 1. Concetti di base di dinamica delle strutture 1.4 Sistemi elastici ad N-GL Esempio: Analisi di un sistema a -GL con spettro di risposta 1. Modello strutturale, matrici di massa e di rigidezza h EJ p m, EJ t m, EJ t EJ p v 1 v F,v h 4m m 1 tonsec /m K 900 ton/m M m 0 0 m h EJ p v& & g EJ p k 1 EJ 3 h p K k k k 4k T U { v v } R T { 1 1} 1

64 1. Concetti di base di dinamica delle strutture 1.4 Sistemi elastici ad N-GL Esempio: Analisi di un sistema a -GL con spettro di risposta. Calcolo autovalori e autovettori K λ M k λm k k 4k λm m λ 6 k m λ+ 4 k 0 λ ( 3± 5) (k m) λ (k m), λ 5.36 (k m) ω k m 6.1rad/sec ω.9 k m 68.7 rad/sec T 1 π sec T π sec ( k 0.763k) v1 k v 0 ( 4k 0.763k) v 0 k v1+ T Φ { } Φ { } T 1

65 1. Concetti di base di dinamica delle strutture 1.4 Sistemi elastici ad N-GL Esempio: Analisi di un sistema a -GL con spettro di risposta 3. Normalizzazione autovettori Φ T 1 M Φ { } m m T Φ 1 N { } Φ T M Φ { } m m Φ T N { } 1 modo modo

66 1. Concetti di base di dinamica delle strutture 1.4 Sistemi elastici ad N-GL Esempio: Analisi di un sistema a -GL con spettro di risposta 4. Coefficienti di partecipazione modale T π1 Φ1 M R { } T π Φ M R { } π 1 +π Mtot

67 1. Concetti di base di dinamica delle strutture 1.4 Sistemi elastici ad N-GL Esempio: Analisi di un sistema a -GL con spettro di risposta 5. Risposta massima modale Sa (m/sec) Spettro elastico NI (zona 1_suolo A) T sec SA m/sec T 0.09 sec SA 6.5 m/sec 4 3 ξ 5% 1 PGA 0.35g Periodo (sec) U&& π1 SA1 Φ1 m/sec U&& π SA Φ m/sec

68 1. Concetti di base di dinamica delle strutture 1.4 Sistemi elastici ad N-GL Esempio: Analisi di un sistema a -GL con spettro di risposta 6. Forze statiche equivalenti F M v1 ton F M v ton modo modo

69 1. Concetti di base di dinamica delle strutture 1.4 Sistemi elastici ad N-GL Esempio: Analisi di un sistema a -GL con spettro di risposta 7. Effetti (sollecitazioni, reazioni, ecc.) massimi 9.89 T Vb 1 R F1 6.1 { 1 1} 16.01ton 1.1 T Vb R F 1.79 { 1 1} 0.69 ton SRSS V + b (Vb1 ) (Vb ) ton 9.89 T Mb 1 H F1 6.1 M b H T F { 8 4} tm { 8 4} 1.64 tm SRSS M + b (Mb1 ) (Mb ) tm

70 5. SISTEMI CONTINUI

71 6. Sistemi continui Elementi di Dinamica Sismica Vi sono casi in cui non è possibile individuare masse ed elasticità concentrate in numero finito (sistemi a n GL) e occorre fare riferimento a modelli continui. TRAVE DEFORMABILE A TAGLIO v(x, t) p(x, t) dx p(x, t) X dv T T+ T x m(x), A s (X), G dx.. Ft m(x) v(x,t) dx Rigidezza tagliante: K s (x) G A s (x) Per piccoli spostamenti: γ dv / dx v (x, t) da cui: T(x) -G A s (x) v (x, t)

72 6. Sistemi continui Per la scrittura dell equazione del moto si impone l equilibrio alla traslazione verticale: T T T x.. dx m( x) v( x, t) dx+ p( x, t) dx 0.. m( x) v( x, t) s t x [ K ( x) v'( x, t) ] p( x, ) Nel caso di travi a sezione costante: mv( x, t) Ks v''( x, t) p( x, t) Nel caso di oscillazioni libere, ponendo: si ottiene quindi:.. v( x, t) dx c Elementi di Dinamica Sismica s v''( x, t) 0.. c s K m dovec s ha dimensioni di una velocità. s

73 6. Sistemi continui Elementi di Dinamica Sismica TRAVE DEFORMABILE A SFORZO ASSIALE n(x, t) dx n(x, t) u(x, t) X N N + N x m(x), A(X), E dx.. Ft m(x) u(x,t) dx Rigidezza estensionale: K N (x) E A s (x) èpari allo sforzo N che produce una deformazione e unitaria Per piccoli spostamenti: ε du / dx u (x, t) da cui: N(x) EA s (x) u (x, t)

74 6. Sistemi continui Per la scrittura dell equazione del moto si impone l equilibrio alla traslazione orizzontale: N Elementi di Dinamica Sismica N N x.. dx m( x) u( x, t) dx+ n( x, t) dx 0.. m( x) u( x, t) N t x [ K ( x) u'( x, t) ] n( x, ) mu( xt KN u xt n xt Nel caso di travi a sezione costante:, ) ''(, ) (, ).. Nel caso di oscillazioni libere, ponendo: si ottiene quindi:.. u( x, t) dx c N u''( x, t) 0 c N K m N

75 6. Sistemi continui l equazione del moto èformalmente identica per entrambi le condizioni:.. v( x, t) dx c Elementi di Dinamica Sismica TAGLIO s v''( x, t) 0.. SFORZO ASSIALE u( x, t) dx c N u''( x, t) 0 La soluzione si ottiene per separazione delle variabili, ponendo: v(x,t) φ(x) y(t) Da cui:.. φ(x) y(t) c φ (x) y(t) 0 c φ''( x) φ( x).. La costante ω deve essere y( t) necessariamente negativa ω altrimenti la soluzione non è y( t) accettabile perchédivergente.

76 6. Sistemi continui La soluzione dell equazione nelle incognite x e t viene ricondotta alla soluzione delle seguenti due equazioni differenziali: ω φ' '( x) + φ( x) c 0 && y( t) + ω y( t) Trattandosi di equazioni differenziali lineari del secondo.. ordine e a coefficienti costanti, ponendo gω/c, si ottengono le seguenti soluzioni: Condizioni al contorno: Elementi di Dinamica Sismica Risposta in spostamento (x) φ(x) A 1 sin(gx) + A cos(gx) y(t) B 1 sin(ωt) + B cos(ωt) y& (0) ω y(0) y 0.. B 1 ; B y(0) y(0) y 0 0 Risposta nel tempo (t)

77 6. Sistemi continui Elementi di Dinamica Sismica Mensola deformabile a taglio x L Si analizza la risposta al variare di x fornita dall equazione: φ(x) A 1 sin(gx) + A cos(gx) Le costanti A i si ricavano dalle seguenti condizioni: φ(0) spostamento nullo all incastro φ (L) taglio nullo all estremo libero (T(L)-GA s φ (L)y(t)) Il sistema ammette infinite soluzioni, cioè sono infiniti i valori di A i che soddisfano le assegnate condizioni al contorno

78 6. Sistemi continui Mensola deformabile a taglio Dalla condizione φ(0) 0si ottiene A 0 Considerado che: Elementi di Dinamica Sismica φ (x) g A 1 cos(gx) φ (L)g A 1 cos(gl) 0 Se si esclude il caso banale di assenza di moto A 1 0, la precedente condizione èverificata, qualunque sia il valore di A 1, per: gl ( -1) π/ g ( -1) π/l Esistono pertanto infinite soluzioni, ottenibili al variare di, conseguenza del fatto che il sistema continuo possiede infiniti gradi di libertà, che assumono la forma φ(x) A 1 sin(gx) + A cos(gx) Con la costante A 1 arbitraria π φ ( x) A1 sin ( 1) x L

79 6. Sistemi continui Elementi di Dinamica Sismica Mensola deformabile a taglio π φ ( x) A1 sin ( 1) x L Fornisce le infinite forme modali o autofunzioni possedute dal sistema Ricordando che g ω / c s si ottengono anche i valori delle infinite pulsazioni ω i e degli infiniti periodo di vibrare T : ω ( πcs 1) L ω ( 1) π L K m s T π ω T 4L ( 1) m K s