Ricorrenza. Un allevatore compra una coppia di conigli appena nati. Dopo due. mesi i conigli sono in grado di riprodursi, dando vita ad un altra

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1 Ricorrenza Il problema dei conigli Un allevatore compra una coppia di conigli appena nati. Dopo due mesi i conigli sono in grado di riprodursi, dando vita ad un altra coppia di conigli; questa può riprodursi dopo altri due mesi. Supponendo che nessun coniglio muoia, qual è il numero totale delle coppie di conigli dopo N mesi? Ogni coppia presente in un mese è presente anche il mese successivo, mentre quelle presenti due mesi prima fanno aumentare di uno il numero di coppie. La successione del numero di coppie è 1, 1, =, + 1 = 3, 3 + = 5,... e, in generale u n+1 = u n + u n 1 con u 0 = 1 e u 1 = 1

2 Si può affrontare il problema al calcolatore in due modi mettere tutti i numeri in un vettore (se non sono troppi) applicare la formula spostando n Esempio 1 u[0]=1 u[1]=1 per n che va da a N u[n]=u[n-1]+u[n-] ripeti Esempio unm=1 unm1=1 per n che va da a N un = unm1 + unm unm = unm1 unm1 = un ripeti

3 Formula di Binet Cerco una successione come quella di Fibonacci ma fatta a potenza che implica e che ha due soluzioni q N = q N 1 + q N q = q + 1 q 1 = e q = 1 5 allora qualunque successione della forma u N = c 1 q1 N + c q N avrà ancora la stessa relazione di ricorrenza. In particolare con c 1 = e c = 5 5 trovo u 0 = 1 e u 1 = 1 Poiché q < 1, per N il contributo di q N scompare e u N c 1 q N 1 e u N /u N+1 α = ( 5 1)/

4 Polinomi ortogonali Molti polinomi sono importanti per la Fisica. Spesso li caratterizza una relazione di ricorrenza che permette anche di calcolarli. 1. Polinomi di Legendre (armoniche sferiche) P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x (N + 1)P N+1 = (N + 1)xP N (x) NP N 1 (x) 1 = 1 hx + h N=0 P N(x)h N. Polinomi di Hermite (oscillatore armonico) H 0 (x) = 1, H 1 (x) = x H N+1 = xh N (x) N H N 1 (x) 3. Polinomi di Laguerre (atomo di idrogeno) L a 0 (x) = 1, La 1 (x) = 1 + a x (N + 1)L a N+1 = (N a x) La N (x) (N + a) L a N 1 (x) 4. Polinomi di Chebychev (approssimazioni) T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x T N+1 = x T N (x) T N 1 (x) T n ( cos(x) ) = cos(nx)

5 Integrali dei polinomi dx P n (x)p m (x) = δ nm n + 1 dx e x H n (x)h m (x) = δ nm n n! π dx e x L a n (x)la m (x) = δ nm dx T n(x)t m (x) 1 x = δ nm π Γ(n + a + 1) n! o δ nm π se n è 0

6 Funzioni associate di Legendre Sono importanti nel calcolo delle armoniche sferiche, funzioni che entrano nella soluzione dei problemi quantistici a simmetria sferica Y m l (θ, φ) = (l + 1) 4π (l m)! (l + m)! P l m (cos(θ))e imφ P m l sono le funzioni associate di Legendre. Per m = 0 sono i polinomi di Legendre. Posso calcolarle tramite una relazione di ricorrenza 1. P m m (x) = ( 1)m (m 1)!!(1 x ) m/. P m m+1 (x) = (m + 1)xP m m (x) 3. (l m)pl m (x) = (l 1)xPl 1 m (x) (l + m 1)P m l (x)

7 Funzioni di Bessel e ricorsione inversa Le funzioni di Bessel sferiche possono essere definite da j 0 (x) = sin(x)/x j 1 (x) = sin(x)/x cos(x)/x j n+1 (x) = n + 1 j n (x) j n 1 (x) x Se x è piccolo, (n + 1)/x è grande Cosa succede in una ricorrenza in cui Cerco la risposta in una ricor- con K molto grande? renza della forma che ha soluzione che dà circa e quindi u n+1 = Ku n u n 1 q n+1 = Kq n q n 1 q Kq + 1 = 0 q ± = (K ± q + = K K 4)/ q = 1 K u n = A + q+ n + A q n Se A + = 0, basta un piccolo errore numerico perché la soluzione corrispondente a q + prevalga comunque: dopo la prima iterazione dovrei avere u 1 = A q n, ma in realtà

8 ho introdotto un errore che, per i numeri in doppia precisione, è dell ordine di Quello che ho ottenuto è quindi u 1 = A q + Errore Posso scrivere l errore numerico come Errore = εq + dove per semplicità posso assumere che A + e A siano entrambi vicini ad uno. Trascurando altri errori numerici, dopo n 0 iterazioni i due errori saranno uguali A /K n 0 = εkn 0 n 0 = log(ε/a )/log(k) Per valori più grandi di n 0 il secondo termine prevale e, per n molto più grandi, il primo termine può essere trascurato. Per ovviare a questo inconveniente parto da u n e faccio la ricorsione all indietro u 0 = A + /q n + + A /q n che fa prevalere il termine che dipende da q In pratica considero la formula inversa j n 1 (x) = n + 1 x j n (x) j n+1 (x) con valori iniziali j N (x) e j N 1 (x) casuali e N n Imponendo il giusto valore di j 0 (x) troverò anche j n (x).

9 Esercizi 1) Considero il potenziale generato da una distribuzione di carica così fatta: ρ = ρ 0 cos 4 (θ) r < R 0 e ρ = 0 altrimenti attorno alla direzione di un certo asse. Il potenziale sull asse è allora l=0 R0 V (z) = 1 π r dr sin(θ)dθ 4πε π ρ 0 cos 4 (θ) dφ 0 z 1 (r /z) cos(θ) + (r /z ) V (z) = ρ 0 R l dxx 4 P ε 0 z (l + 3)z l l (x) 1 Fare un grafico dell andamento di ε 0 V (z)/ρ 0 al variare di z includendo i vari termini di multipolo e prendendo R 0 = 1 cm ) Scrivere un programa che calcoli i polinomi di Chebychev. 3) Calcolare numericamente la normalizzazione dei polinomi.