Prova scritta di metà corso mercoledì 2 maggio 2012

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1 Prova scritta i metà corso mercoeì maggio 01 Laurea in Scienza e Ingegneria ei Materiai anno accaemico Istituzioni i Fisica ea Materia - Prof. Lorenzo Marrucci Tempo a isposizione: 1 ora e 55 minuti Uso egi appunti o i ibri: NON AMMESSO; uso ea cacoatrice: AMMESSO Nota: per asciare un margine i recupero interno a questo compito, i totae ei punti a isposizione è fissato a 3 invece che a 30, ma i voto massimo i questo scritto ai fini ea meia per i voto finae resta comunque 30/30. 1) Un nastro eastico i massa m 10 g, unghezza 30 cm, arghezza 10 cm e spessore trascurabie viene tenuto boccato e teso ai suoi ue estremi e ato più ungo (figura 1). In tai conizioni i nastro si comporta come una normae cora tesa, boccata ai suoi estremi (potete consieraro tae per e omane a- ). Posto in osciazione, osservate che i punto centrae e nastro compie osciazioni armoniche i ampiezza cm che si ripetono esattamente ogni 0.1 s. Cacoate a frequenza angoare (a) ee osciazioni e (b) a veocità massima i osciazione e punto centrae e nastro. Sapeno che tae osciazione corrispone aa terza frequenza naturae (moo normae) i osciazione e sistema, cacoate a forza F (c) con cui i nastro è mantenuto teso e energia totae () e sistema urante osciazione. Supponete infine che venga boccato e tenuto teso anche i ato corto e nastro, in moo a formare una membrana eastica rettangoare boccata ungo tutto i perimetro (come per una specie i tamburo i forma rettangoare, figura ). Assumeno che a tensione ea membrana (efinita come forza per unità i unghezza F F/) sia a stessa in tutte e irezioni, eterminate espressione ee sue frequenze caratteristiche i osciazione (e). [punti: a 3; b 3; c 4; 3; e 3]. [Nota: per a omana (e) potete ragionare anche per anaogia e per simmetria, senza erivazioni compete i imostrazione ei risutati] x x y y Figura 1 reativa a omane (a-) Figura reativa a omana (e) ) Scrivete un saggio i ameno mezza pagina ma non otre una pagina su una ee seguenti ue tracce, a vostra sceta (ma NON ENTRAMBE). [punti: 8] a. Sorgenti ocaizzate i one in 1D e in 3D. b. Discutere i motivo per cui i numero i iverse stazioni raio FM presenti ne intervao i frequenze a esse estinato (bana 87,5-108 MHz), in una eterminata ocaità, non può superare un imite massimo. Provate anche a stimare orine i granezza i questo massimo. ATTENZIONE: a prova continua aa pagina seguente...

2 secona pagina Prova scritta i metà corso /5/01 Istituzioni i Fisica ea Materia Prof. Lorenzo Marrucci 3) TEST (vae 1 punto per ogni omana, 8 punti in totae) COGNOME e NOME: MATRICOLA: a) Si cacoi a probabiità (a1) i ottenere un totae i 9 tirano ue ai e a probabiità (a) eo stesso risutato totae conizionata a fatto che i primo ao abbia ato un risutato maggiore i 3. [Nota: gi stuenti egi orinamenti 539 e N39 non evono risponere a questa omana]: b) Si assuma che a temperatura i un certo posto abbia una istribuzione gaussiana con meia µ 30 C e eviazione stanar (o scarto quaratico meio) σ 5. Quai sono e probabiità che a temperatura a un ato momento sia: (b1) inferiore a 30 C; (b) inferiore a 5 C; (b3) inferiore a 0 C. [Nota: gi stuenti egi orinamenti 539 e N39 non evono risponere a questa omana]: c) La potenza totae irraggiata a un corpo nero è P SσT 4, ove S è a superficie esterna e corpo, σ W/(m K 4 ) è a costante i Stefan-Botzmann e T è a temperatura assouta e corpo. La misura ea superficie e corpo fornisce i vaore S 4.00±0.0 m, mentre a temperatura misurata e corpo risuta pari a 0±0.5 C (attenzione ae scae i temperatura!). Assumeno che e incertezze sue misure siano i tipo massimo e che a costante σ abbia errore trascurabie, scrivete a potenza irraggiata a corpo con a sua incertezza [Nota: gi stuenti egi orinamenti 539 e N39 non evono risponere a questa omana]: ) Un osciatore smorzato presenta un moto che in notazione compessa è escritto a seguente anamento: x(t) A exp(αt), con α ( 0.+50i) s 1. Cacoate quante osciazioni osciatore compie a istante iniziae a istante in cui a sua ampiezza osciazione si è riotta i un fattore 10: e) Un ona è ata a tempo t 0 a espressione seguente: ξ(x) A/(x +a ) con A 10 cm e a cm e a tempo t 1 s a quea seguente: ξ(x) A/(x +ax+a ). Determinare i verso i propagazione e a veocità e ona: f) Numerate ne orine i unghezza ona crescente e seguenti regioni eo spettro eettromagnetico: [raggi X] [microone] [raggi infrarossi] [uce visibie] [raggi gamma] [one raio] [raggi utravioetti] g) Scrivete espressione matematica e campo eettrico i un ona eettromagnetica armonica piana i unghezza ona λ, ampiezza E 0 e fase iniziae nua che viaggia nea irezione ea bisettrice e piano xy, poarizzata come asse z (se ne espressione introucete atri simboi, evono essere comunque espressi in funzione i quei ati): h) Un ona sonora armonica (veocità e suono 340 m/s) i frequenza 680 Hz incie su un muro perfettamente rigio ortogonae aa irezione i propagazione e viene rifessa. A quae istanza minima a muro (escueno a istanza nua) aria resta e tutto ferma?

3 Souzione e esercizio 1 a) I perioo ee osciazioni e punto centrae e nastro è T 0.1 s, quini a frequenza cicica è ν 1/T 10 Hz e a frequenza angoare è a seguente: frequenza angoare:! "# " T b) 6.8 ra/s L osciazione e punto centrae e nastro è un moto armonico, che può essere escritto con espressione!(t) Acos ("t +# ) La veocità è quini v(t)! "# Asin ( #t +$ ) t i cui massimo (in vaore assouto) corrispone a caso in cui i seno vae ±1, per cui veocità massima: v max ωa 1.6 m/s c) Le frequenze ei moi normai i osciazione e risonatore formato a nastro teso sono ν n nν 0 n /() ove è a veocità ee one su nastro. Ne nostro caso n 3, per cui si ha ν 3 /3 /(3T) m/s (questa reazione può essere anche ricavata parteno aa reazione sue unghezze ona possibii ne risonatore nλ). La veocità è a sua vota egata aa forza F i tensione e nastro (non usiamo i simboo T per non confonera con i perioo i osciazione) aa reazione F! F m / a cui otteniamo forza i tensione e nastro: F m v 0 4m 9T 1.6 N ) L energia per unità i unghezza ee one su nastro è ata aa seguente espressione:

4 E x 1! $ "# ' % & "t ( ) + 1 F $ "# ' % & "x ( ) I nastro si trova in un moo normae i osciazione che è un ona stazionaria, per cui si ha (irettamente in notazione reae)!(x,t) Asin( kx)cos ("t +# ) ove a fase entro i seno è stata posta uguae a zero per soisfare a conizione a contorno ξ(x0)0, aveno posto origine e asse x in corrisponenza i uno egi estremi boccati e nastro. La secona conizione a contorno fissa i vaori possibii i k (e quini i ω), ossia k n! " k n! " # k n! ove ne caso nostro n 3. Cacoiamo ora e erivate i ξ e sostituiamo ne espressione ea ensità i energia, trovano così: E x 1! " A sin ( kx)sin "t ( ) + 1 Fk A cos kx ( )cos "t Integrano ora su tutto i nastro, e teneno conto e espressione trovata sopra i k, si ottiene energia totae (non è necessario fare una meia ne tempo):! E $ E tot ' " # x % & x 1 ( ) A sin )t 0 ( ) sin kx ( ) ' ( )x + 1 Fk A cos )t 0 ( ) cos kx ' ( )x 1 4 ( ) A sin ()t) Fk A cos ()t) 1 4 ( ) A 1 4 m) A m * T A Quini si ha Energia totae: E tot 1 4 m! A m " e) T A 47 mj Con i nastro teso ao stesso moo in tutte e irezioni equazione ee one iventa biimensionae. Per anaogia con i caso 3D e ata a simmetria nee ue irezioni x e y in cui si estene i nastro, possiamo assumere che equazione sia a seguente:! "!x +! "!y # 1! "!t 0 (1) ove a veocità sarà ata aa stessa espressione i prima, ossia 0 F! F m / F m / () F! s () ove ne utima espressione (che è inipenente aa forma ea membrana) abbiamo introotto i simboo ρ s per inicare a ensità i massa per unità i area ea membrana.

5 L equazione ee one D ammette come souzioni one piane D, ma queste non soisfano e conizioni a contorno, ossia che i nastro è boccato ne suo perimetro rettangoare. Le conizioni a contorno sono:!(x 0, y,t) 0,!(x, y 0,t) 0,!(x, y,t) 0,!(x, y,t) 0 (3) Possiamo provare a generaizzare in D ona stazionaria, che sappiamo essere aatta a soisfare questo tipo i conizioni. Per tentativi si può capire abbastanza facimente che unica generaizzazione che funziona è quea ottenuta a prootto i ue one stazionarie, ossia:!(x, y,t) A c sin( k x x +" x )sin( k y y +" y )e #i$t (4) Sostitueno questa espressione ne equazione (1), si vee che a souzione funziona a patto che vaga a soita reazione i ispersione, che in questo caso è a seguente: k x + k y! "! v 0 k x + k y (5) Le conizioni a contorno (3) mi impongono! x! y 0 (in moo a annuare i campo in x 0 o y 0) e k x n x!, k y n y! (6) ove n x e n y sono ue numeri interi positivi (in moo a annuare i campo anche in x e y ). Sostitueno queste utime espressioni nea (5) otteniamo espressione richiesta ee frequenze possibii i osciazione ea membrana: frequenze caratteristiche ea membrana:! " n x + n y ove a veocità è ata aa (). E interessante notare che queste frequenze non sono i mutipi interi i una frequenza fonamentae, come ne caso 1D. Questo vae anche quano e sono uguai (membrana i forma quarata). Per questo motivo i suoni che si generano a tai membrane non sono armonici, ma sono sori, come ne caso e tamburo. I moi i osciazione ea membrana per n x e n y che variano a 1 a 4 sono mostrati nea figura a fianco (nea figura i ue ati ea membrana sono i uguae unghezza, ma a geometria ei moi resta a stessa anche ne caso i ue unghezze iverse).

6 SOLUZIONI secona pagina Prova scritta i metà corso /5/01 Istituzioni i Fisica ea Materia Prof. Lorenzo Marrucci 4) TEST (vae 1 punto per ogni omana, 8 punti in totae) a) Si cacoi a probabiità (a1) i ottenere un totae i 9 tirano ue ai e a probabiità (a) eo stesso risutato totae conizionata a fatto che i primo ao abbia ato un risutato maggiore i 3. [Nota: gi stuenti egi orinamenti 539 e N39 non evono risponere a questa omana]: N(casi fav. 1+9) 4 (3+6, 4+5, 5+4, 6+3) P(9) 4/36 1/9 P(9 1>3) 3/18 1/6 b) Si assuma che a temperatura i un certo posto abbia una istribuzione gaussiana con meia µ 30 C e eviazione stanar (o scarto quaratico meio) σ 5. Quai sono e probabiità che a temperatura a un ato momento sia: (b1) inferiore a 30 C; (b) inferiore a 5 C; (b3) inferiore a 0 C. [Nota: gi stuenti egi orinamenti 539 e N39 non evono risponere a questa omana]: P(T<30 Cµ) 50% P(T<5 µ σ) 16% P(T<0 Cµ σ).5% c) La potenza totae irraggiata a un corpo nero è P SσT 4, ove S è a superficie esterna e corpo, σ W/(m K 4 ) è a costante i Stefan-Botzmann e T è a temperatura assouta e corpo. La misura ea superficie e corpo fornisce i vaore S 4.00±0.0 m, mentre a temperatura misurata e corpo risuta pari a 0±0.5 C (attenzione ae scae i temperatura!). Assumeno che e incertezze sue misure siano i tipo massimo e che a costante σ abbia errore trascurabie, scrivete a potenza irraggiata a corpo con a sua incertezza [Nota: gi stuenti egi orinamenti 539 e N39 non evono risponere a questa omana]: T 0 C 93 K δp/p δs/s + 4 δt/t 0.5%+0.7% 1.% δp 0 W P SσT ±0 W ) Un osciatore smorzato presenta un moto che in notazione compessa è escritto a seguente anamento: x(t) A exp(αt), con α ( 0.+50i) s 1. Cacoate quante osciazioni osciatore compie a istante iniziae a istante in cui a sua ampiezza osciazione si è riotta i un fattore 10: α ( γ+iω) e γδt 1/10 Δt n(10)/γ 11.5 s numero osciazioni Δt/T ωδt/(π) 91.6 e) Un ona è ata a tempo t 0 a espressione seguente: ξ(x) A/(x +a ) con A 10 cm e a cm e a tempo t 1 s a quea seguente: ξ(x) A/(x +ax+a ). Determinare i verso i propagazione e a veocità e ona: ξ(x,t) A/[(x t) +a ] A/(x tx+ t +a ) verso negativo a/t cm/s f) Numerate ne orine i unghezza ona crescente e seguenti regioni eo spettro eettromagnetico: [raggi X] [microone] [raggi infrarossi] [uce visibie] [raggi gamma] [one raio] [raggi utravioetti] g) Scrivete espressione matematica e campo eettrico i un ona eettromagnetica armonica piana i unghezza ona λ, ampiezza E 0 e fase iniziae nua che viaggia nea irezione ea bisettrice e piano xy, poarizzata come asse z (se ne espressione introucete atri simboi, evono essere comunque espressi in funzione i quei ati): E x E y 0 e E z E 0 cos(k x x+k y y ωt) con k x k y k! e ω πc/λ " h) Un ona sonora armonica (veocità e suono 340 m/s) i frequenza 680 Hz incie su un muro perfettamente rigio ortogonae aa irezione i propagazione e viene rifessa. A quae istanza minima a muro (escueno a istanza nua) aria resta e tutto ferma? si crea un ona stazionaria con unghezza ona λ /ν 0.5 m istanza minima λ / 5 cm