Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico Corso di Psicometria - Modulo B

Transcript

1 Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico Corso di Psicometria - Modulo B Dott. Marco Vicentini marco.vicentini@unipd.it Rev. 15/12/2010

2 Da lunedì 6/12 a giovedì 20/01/2011 Lunedì, ore , aula Bassi- F Martedì, ore , aula Ef- 1 Mercoledì, ore , aula Ef- 1 Giovedì, ore , aula Ef- 1 Ricevimento: martedì, ore 9.00, Lab B08 si prega di inviare una mail Esame: Frequentanti Sessioni ordinarie

3 Cristante, Lis, Sambin (2001). Statistica per psicologi. Giunti, Firenze. in particolare capitolo IV- V Per approfondire: Cristante, Lis, Sambin (1991). Problemi di statistica per psicologi. Domeneghini, Padova. Vidotto, Xausa, Pedon (1996). Statistica per psicologi. Il Mulino, Bologna. Keppel, Saufley, Tokunaga (2001). Disegno sperimentale e analisi dei dati in psicologia. EdiSES, Napoli.

4 Relazioni tra variabili La correlazione lineare Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson Il calcolo della covarianza Il calcolo della correlazione Analisi correlazionale Il significato di R 2 Correlazione parziale e correlazione multipla

5

6 Per correlazione si intende la misura di una relazione tra due variabili tale che a ciascun valore della prima variabile corrisponda con una certa regolarità un valore della seconda. Non si tratta di un rapporto di causa ed effetto ma semplicemente della tendenza di una variabile a variare assieme ad un'altra.

7 Scopo dell analisi di correlazione lineare bivariata è studiare la relazione tra due variabili quantitative Xe Y. L analisi di correlazione bivariata è una metodologia simmetrica in cui si considerano le variabili X e Y sullo stesso piano causale.

8 Metodi asimmetrici vs. metodi simmetrici I metodi asimmetrici vengono utilizzati per studiare relazioni di tipo causa ed effetto tra le variabili. Es. il ricercatore ipotizza a priori una relazione causale tra le due variabili: una viene considerata dipendente e l altra indipendente (ad es. Analisi di Regressione). Nei metodi simmetrici non viene ipotizzata una relazione causale tra le variabili. Non esiste quindi la suddivisione tra variabile dipendente e variabile indipendente, ma le due variabili vengono considerate sullo stesso piano (ad es. Analisi di Correlazione).

9

10

11 X Y Due variabili sono legate da una relazione causale diretta quando un mutamento nella variabile causa produce un mutamento nella variabile effetto Ad esempio: - I fenomeni fisici: accendere il riscaldamento aumenta la temperatura di un appartamento

12 X Y Due variabili sono legate da una relazione causale reciproca (o retroazione, simultaneità, mutua relazione) quando un mutamento nella variabile causa produce un mutamento nella variabile effetto e viceversa, anche in tempi differenti. Ad esempio: prezzo domanda; identificazione e partecipazione nei gruppi

13 Z X Y Presenza di covariazione in assenza di causazione. La covariazione fra due variabili è provocata da una terza variabile che agisce causalmente sulle prime. Ad esempio: Numero di pompieri e dimensione dell incendio Cicogne sui camini e numero di figli per famiglie Gelati consumati e voti al partito dei pensionati

14 Z X Y Si ha relazione causale indiretta tra due variabili X e Y quando il loro legame causale è mediato da una terza variabile Z, detta interveniente. Ad esempio: Razza e quoziente di intelligenza, mediato da istruzione

15 Z X Y Si ha relazione causale condizionata, o interazione, quando la relazione tra due variabili cambia a seconda del valore assunto da una terza. Ad esempio: Età e ascolto di musica classica, solo in interazione con livello culturale.

16 Se scegliamo un gruppo di fenomeni sociali senza precedente conoscenza di causazione o di non- causazione fra essi, il calcolo dei coefficienti di correlazione non ci farà avanzare di un passo nella direzione della comprensione delle cause in opera [ Fisher, 1925 ]

17

18 Scala nominale Coefficiente di contingenza C Scala ordinale Coefficiente di correlazione r s di Spearman Coefficiente di correlazione τ di Kendall Scala intervallo Coefficiente di correlazione r xy prodotto- momento di Pearson

19 Scala intervallo Una variabile dicotomizzata Coefficiente di correlazione biseriale Scala intervallo Entrambi le variabili dicotomizzate Correlazione tetracorica

20 Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais - Pearson misura il tipo e l intensità della relazione lineare tra due variabili X e Y. Esso si indica: con la lettera greca ρ se viene calcolato su tutta la popolazione oggetto dell indagine; con la lettera r se viene calcolato su un campione rappresentativo della popolazione.

21 Il coefficiente di correlazione lineare varia sempre tra - 1 e 1 Il valore assoluto di r, che varia tra 0 e 1, da informazioni sulla forza della relazione lineare: è massimo (assume valore 1) quando esiste una perfetta relazione lineare tra le due variabili. tende a ridursi al diminuire dell intensità della relazione lineare e assume il valore 0 quando essa è nulla.

22 Il segno di r (+ o - ) da informazioni sul tipo di relazione: il segno positivo indica che le due variabili aumentano o diminuiscono assieme (relazione lineare positiva) il segno negativo indica che all aumentare di una variabile l altra diminuisce e viceversa (relazione lineare negativa)

23 I valori che può assumere r : r = - 1 : perfetta relazione lineare negativa r = 0 : assenza di relazione lineare r = +1 : perfetta relazione lineare positiva

24

25 Covarianza e correlazione

26 Il coefficiente di correlazione (Bravais- Pearson) è definito come: r = Varianza che x e y hanno in comune covarianz s X s Y Variabilità x Variabilità y Il grado in cui le variabili x y variano assieme La varianza spiega la deviazione di un punteggio dalla sua media

27 Il coefficiente di correlazione (Bravais- Pearson) è definito come: Dove: cov XY s X s Y r XY = cov XY s X s Y è la covarianza tra X e Y; è la deviazione standard di X è la deviazione standard di Y

28 La covarianza esprime l intensità con cui due variabili variano assieme : Dove: X Y N cov XY = n # i=1 è la media di X; è la media di Y; ( X i " X) ( Y i "Y) n "1 è la numerosità del campione

29 La covarianza può anche essere riscritta come: cov XY = " XY # " X" Y n #1 n

30 Ricordo che la deviazione standard esprime la variabilità dei dati rispetto alla media: s X = Dove: X N n # i=1 ( X i " X) 2 n "1 è la media di X; = n # i=1 è la numerosità del campione $ n X 2 i "&# % i=1 n "1 X i ' ) ( 2 n

31 Da cui si deduce che la correlazione è definita anche come: r XY = n "( X i! X) Y i!y n i=1 n " i=1 ( ) "( X i! X) 2 Y i!y i=1 n " i=1 ( ) 2

32 La correlazione lineare tra due variabili X e Y è altresì riscrivibile come: Dove: r XY!Z Z r = ix iy XY n Coefficiente di correlazione Zix Ziy Punto z relativo al valore i della variabile X Punto z relativo al valore i della variabile Y Zix Ziy Prodotto dei punti z dei due valori associati delle variabili X e Y

33 r XY =!Z ix Z iy n Z X = X! X s X Z Y = Y!Y s Y r XY = # ( X " X) ( Y "Y) ( ) s x s y n "1

34 Utilizzando le formule semplificate, è possibile definire r come: r XY = cov XY s X s Y,cov XY = " XY # " X" Y n n #1,s X = " X 2 # " X ( ) 2 n n #1 r XY = n # n &# n & n! X i Y i "%! X i (%! Y i ( $ ' $ ' i=1 n # n & 2 n! X i "%! X i ( $ ' i=1 i=1 i=1 2 i=1 n # n & 2 n! Y i "%! Y i ( $ ' i=1 i=1 2 da Cristante et al., p. 380

35

36 Supponiamo di avere misurato la statura di 10 bambini di età compresa tra 6 e 12 anni e di riportare i dati su una tabella: Età Statura

37 Statura (cm) Riportando i valori su un diagramma di dispersione otterremo il grafico: Eta (anni) Età Statura

38 Partendo dai dati in tabella possiamo procedere con il calcolo della correlazione tra le variabili età e statura. Procediamo prima con il calcolo della covarianza, poi delle deviazioni standard, ed infine della correlazione. r XY = cov XY s X s Y

39 Età Statura (X) (Y) cov XY = n =10 eta = stat = n # i=1 ( X i " X) ( Y i "Y) n " =132.3 = 8.7

40 cov XY = Età Statura (X) (Y) X = 8.7 Y =132.3 n # i=1 ( X i " X) ( Y i "Y) n "1 X i - X Y i - Y (X i - X) (Y i - Y)

41 cov XY = Età Statura (X) (Y) X = 8.7 Y =132.3 n # i=1 ( X i " X) ( Y i "Y) n "1 cov XY = X i - X Y i - Y (X i - X) (Y i - Y) "1 = 23.66

42 Età Statura (X) (Y) XY n 854 = cov XY =! X = 87! Y =1323! XY =11723 cov XY = " XY # " X" Y n n #1 87# " "1 = 23.66

43 Dopo aver calcolato la covarianza, possiamo procedere con il calcolo delle deviazioni standard per le due variabili: s X = n # i=1 ( X i " X) 2 n "1 = n # i=1 X i 2 " $ & % n "1 n # X i i=1 n ' ) ( 2

44 Età Statura (X) (Y) X i - X (X i - X) s X = " X = 87 n # i=1 ( X i " X) 2 n "1 "( X i # X ) 2 = 38.1 s X = #1 = 2.06

45 Età Statura (X) (Y) Y i - Y (Y i - Y) s Y = " Y =1323 n # i=1 ( Y i "Y) 2 n "1 "( Y i #Y ) 2 = s Y = #1 =11.65

46 Età Statura (X) (Y) X 2 Y n = s X = " X = 87 " X 2 = 795 s x = n # i=1 X i 2 " $ & % n "1 795 # ( 87) #1 n # X i i=1 n ' ) ( =

47 Età Statura (X) (Y) X 2 Y n = s Y = n # i=1 " Y =1323 " Y 2 = s y = Y i 2 " $ & % n " # ( 1323) #1 n # Y i i=1 n ' ) ( 2 =11.65

48 Abbiamo ora tutti gli elementi per calcolare la correlazione tra età e statura: r XY = cov XY s X s Y = ( 2.06) ( 11.65) = Tale valore indica una correlazione positiva molto forte (in quanto prossima a +1). r =

49 Utilizzando la formula semplificata, è possibile calcolare r anche: r XY = n # n &# n & n! X i Y i "%! X i (%! Y i ( $ ' $ ' i=1 # n n! 2 X i "%! X i i=1 $ i=1 & ( ' i=1 2 i=1 # n n! 2 Y i "%! Y i i=1 $ i=1 & ( ' 2

50 Età Statura (X) (Y) XY X 2 Y n =10! X = 87! Y =1323! X 2 = 795! Y 2 =176255! XY =11723 r XY = r XY = n X 2 n! XY " X! "! X!! Y ( ) 2 n Y 2 ( ) 2 =! "! Y 10 #11723" 87# # 795" #176255" = # =

51

52 10 soggetti di età superiore ai 60 anni sono stati sottoposti ad un test di abilità motorie con i seguenti risultati: soggetto età (anni) Abilità motorie soggetto 1 età 60 abilità 40 (anni) motorie X Y

53 Abilità motorie Eta (anni) Abilità età (anni) motorie

54 Si calcoli la correlazione tra età e punteggio di abilità motorie. X Y Σ= Σ= Σ= XY Possiamo procedere con il calcolo della covarianza tra X e Y: cov XY = " XY # " X" Y n #1 n

55 Si calcoli la correlazione tra età e punteggio di abilità motorie. X Y Σ= Σ= Σ= XY cov XY = cov XY = " XY #! X = 733! Y = 203! XY =14325 " X" Y n n #1 733# " "1 = "61.66

56 Sapendo che: r XY = cov XY s X s Y Si procede ora con il calcolo delle deviazioni standard campionarie di X e Y: s X = n # i=1 X i 2 " $ & % n "1 n # X i i=1 n ' ) ( 2 s Y = n # i=1 Y i 2 " $ & % n "1 n # Y i i=1 n ' ) ( 2

57 È necessario procedere con il calcolo delle sommatorie dei quadrati: X Y X 2 Y 2 XY ! X = 733! Y = 203! X 2 =! Y 2 =! XY =14325 Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=

58 È necessario procedere con il calcolo delle sommatorie dei quadrati: X Y X 2 Y 2 XY ! X = 733! Y = 203! X 2 = 54183! Y 2 = 5019! XY =14325 Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=

59 Calcoliamo le deviazioni standard s X = s Y = " X 2 # " Y 2 # n #1 n #1 (" X) 2 ("Y) 2 n n = 7.10 = 9.99

60 Da cui deriva: r XY = cov XY s X s Y = " # 9.99 = "0.869 Si deduce che tra le variabili età e abilita motorie vi è una correlazione negativa.

61 Si calcoli la correlazione tra età e punteggio di abilità motorie. X Y r XY = n! XY " X! "! X n X 2!! Y ( ) 2 n Y 2 ( ) 2! "! Y

62 Innanzitutto procediamo calcolando le sommatorie dei quadrati e del prodotto: X Y X 2 Y 2 XY Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=

63 Innanzitutto procediamo calcolando le sommatorie dei quadrati e del prodotto: X Y X 2 Y 2 XY ! X = 733! Y = 203! X 2 = 54183! Y 2 = 5019! XY =14325 Σ= Σ= Σ= Σ= Σ=

64 A questo punto possiamo calcolare la correlazione tra le variabili:! X = 733! Y = 203! X 2 = 54183! Y 2 = 5019! XY =14325 r XY = r XY = r XY = n X 2 n! XY " X! "! X!! Y ( ) 2 n Y 2 ( ) 2 =! "! Y 10 #14325" 733# # 54183" # 5019 " 203 = 2 " = "0.869

65 Il coefficiente di correlazione indica una forte correlazione negativa tra età e abilità motorie. Abilità motorie Eta (anni) r XY =!0.869

66 Si calcoli il coefficiente di correlazione tra il punteggio ottenuto ad un test di abilita di lettura (X) e il numero di ore a settimana dedicate alla lettura (Y): id Abilità Lett. (X) Ore (Y) Ore (Y) Abilità di Lettura (X)

67 Per il calcolo del coefficiente di correlazione si utilizzi la formula semplificata: X Y X 2 Y 2 XY

68 Per il calcolo del coefficiente di correlazione si utilizzi la formula semplificata: X Y X 2 Y 2 XY ! X = 49! Y = 80! X 2 = 455! Y 2 =1138! XY = 632

69 Per il calcolo del coefficiente di correlazione si utilizzi la formula semplificata:! X = 49! Y = 80! X 2 = 455! Y 2 =1138! XY = 632 r XY = r XY = r XY = n X 2 n! XY " X! "! X!! Y ( ) 2 n Y 2 ( ) 2 =! "! Y 7# 632 " 49 #80 7# 455" #1138"80 = = 0.455

70 Il coefficienti di correlazione indica la presenza di una associazione lineare media tra abilità di lettura e ore dedicate alla lettura. 25 Ore (Y) r XY = Abilità di Lettura (X)

71 Si calcoli il coefficiente di correlazione tra le due variabili riportate in tabella: X Y

72 Si calcoli il coefficiente di correlazione tra le due variabili riportate in tabella: X Y X 2 Y 2 XY n =! X =! Y =! X 2 =! Y 2 =! XY =

73 Si calcoli il coefficiente di correlazione tra le due variabili riportate in tabella: X Y X 2 Y 2 XY n = 7! X = 928! Y = 202! X 2 =124982! Y 2 = 8148! XY = 27093

74 Si calcoli il coefficiente di correlazione tra le due variabili riportate in tabella: n = 7! X = 928! Y = 202! X 2 =124982! Y 2 = 8148! XY = r XY = r XY = r XY = n X 2 n! XY " X! "! X!! Y ( ) 2 n Y 2 ( ) 2 =! "! Y 7# 27093" 928# 202 7# " #8148" 202 = = 0.147

75 r XY =

76

77 Un valore molto basso di r non deve essere interpretato senza prima aver visto il diagramma di dispersione La correlazione tra variabili non deve (mai) essere interpretata in termini di causa effetto: X causa Y; Y causa X; sia X che Y sono causate da una terza variabile La presenza di valori outlier può modificare sostanzialmente il coefficiente r

78 Statura (cm) Eta (anni) Eta (anni) r XY = r XY = Statura (cm)

79 Cosa fare in caso di dati mancanti? Età Statura Escludere la rilevazione: r XY = Sostituire il dato mancante con la media: Y = r XY = 0.961

80 Il coefficiente r è utilizzato anche per studiare la affidabilità di un reattivo psicologico (test): - Misurazione ripetuta di una scala di misura: Affidabilitá test- retest - Split half: Affidabilità interna di una scala - Correlazione tra due serie di giudizi: Affidabilità tra i giudici

81 Solitamente vi è un accordo sull interpretazione del valore assoluto di r: > 0.95: correlazione eccessiva : valutare l ipotesi di collinearità > 0.90: correlazione molto alta : le due misure si potrebbero riferire ad un medesimo costrutto / oggetto di indagine > 0.70: correlazione buona : due misure indipendenti di un medesimo oggetto di indagine < 0.30: correlazione scarsa : solo su una popolazione vi sono effetti significativi < 0.10: correlazione assente : il coefficiente misurato indicare una correlazione poco più che casuale

82

83 La presenza di una correlazione contribuisce a spiegare una parte della variabilità dei dati di una data variabile. Ovviamente altre variabili non considerate potrebbero spiegare la parte rimanente di variabilità dei dati. Si può valutare la forza di una correlazione semplicemente elevando al quadrato il coefficiente di correlazione. Il risultato sarà la porzione di varianza di y associato alla variabile x, ossia r 2

84 Applicando la formula al coefficiente di correlazione calcolato per la relazione tra abilità di lettura e le ore dedicate alla lettura (r = 0.455) si avrà: r 2 = (.455) 2 =.207 Questo vuol dire che il 21% della varianza media dell abilita di lettura (X) è spiegata dal numero di ore a settimana dedicate alla lettura (Y).

85 Possiamo rappresentare il grado in cui una variabile spiega o predice un altra variabile con un diagramma di Venn Var x Var y Proporzione di varianza in comune

86 Se calcoliamo r 2 al coefficiente di correlazione individuato per la mancanza di abilità verbale e le ore di assenza a lezione (r=0.82) si avrà r 2 = 0.67 Var x Var y Il 67% della varianza osservata per la mancata abilità di lettura è spiegata dalle ore di assenza a lezione.

87 Varianza non spiegata o varianza residua È possibile calcolare il grado in cui due variabili non sono associate attraverso la proporzione di varianza residua: Varianza residua = 1- r 2 La correlazione tra l abilità di lettura e le ore dedicate alla lettura lascia una porzione di varianza non spiegata para a: Varianza residua = 1 - (0.455) 2 = = 0.79 ossia il 79% della varianza dell abilità di lettura non è spiegabile dalle ore dedicate alla lettura.

88 Valutare la significatività di una correlazione

89 Nella maggior parte dei casi il coefficiente di correlazione prodotto- momento di Pearson viene calcolato su un campione rappresentativo della popolazione. La correlazione è calcolata sulla base dei dati ottenuti da un campione. È possibile chiederci se una relazione lineare è presente anche tra le due popolazioni. A tal fine si procedere con la verifica delle ipotesi Obiettivo della verifica di ipotesi: capire se esiste una correlazione statisticamente significativa tra le due variabili X e Y.

90 FORMULAZIONE DEL PROBLEMA H 0 : non c è una significativa correlazione lineare tra le variabili X e Y (ρ = 0) H 1 : esiste una significativa correlazione lineare tra le variabili X e Y (ρ 0) Andiamo quindi a chiederci se i due campioni sono espressioni di popolazioni con una correlazione ρ 0. Il metodo più semplice è quello di confrontare il coefficiente calcolato r con il valore critico tabulato nelle tavole statistiche.

91 Valori critici per il coefficiente di correlazione (r) prodotto-momento Come usare la tavola. Per trovare il valore critico di r individuare la riga sulla colonna sinistra della tavola che corrisponde al numero di gradi di libertà (df r ), relativi a r, quindi leggete il valore critico di r per il livello di significatività prescelto a df r =.05 =.01 df r =.05 = a df r = n -2 (dove n = il numero dei punteggi vari). Questa tavola è ripresa e semplificata, su autorizzazione della Biometrika Trustees, dalla Tavola 13 del testo Biometrika tables for statisticians (3rd ed., Vol. 1) a cura di E.S. Pearson e H.O. Hartley. Cambridge University Press, NY, 1970.

92 Nell esempio precedente il coefficiente è uguale a r =.455, i gradi di libertà 5 (N- 2), per α.= 05. Il valore critico di r riportato dalla tavola.75 Il valore di r calcolato è > r critico? Se il valore di r calcolato è > r critico, possiamo respingere l'ipotesi nulla e dire che esiste una relazione significativa tra le due variabili. In questo caso

93 Per verificare la significatività statistica di un coefficiente di correlazione si ricorrere solitamente al test t di Student. La condizione di validità per poter applicare i test t di Student è che le variabili X e Y abbiano una distribuzione (approssimativamente) normale bivariata.

94 La distribuzione t di Student, pubblicata nel 1908 da W.S. Gosset, con parametro n (gradi di libertà) governa la variabile aleatoria t = z " 2 n dove z e χ 2 sono due variabili aleatorie indipendenti che seguono rispettivamente la distribuzione normale standard e la distribuzione chi quadrato χ 2 (n) con n gradi di libertà.

95 Questa ha code più alte, fianchi più stretti e varianza maggiore rispetto alla Gaussiana standard. All aumentare dei gradi di libertà la distribuzione "t" di Student tende rapidamente alla Gaussiana standard t " z n #1 Normal t gdl=1 t gdl=2 t gdl=5

96 Distribuzione t 10 t 10 ( =0.05,bi-)= Valori critici della distribuzione t di Student, ipotesi bidirezionale. df α = 0.05 α = z

97 In generale, la verifica delle ipotesi consiste nell analizzare le differenze tra i risultati osservati e quelli attesi calcolando la distanza tra i due valori. La verifica richiede questi passaggi: 1. Definire l ipotesi nulla 2. Definire l ipotesi alternativa 3. Selezionare un livello di significatività 4. Calcolare i gradi di libertà = N Prendere una decisione in merito all ipotesi nulla

98 Nel caso in cui sia vera l ipotesi nulla (ρ =0), la statistica test: t = r 1! r 2 n! 2 dove: r è il coefficiente di correlazione calcolato sul campione, n è la numerosità del campione è distribuita come una t di Student con n- 2 gradi di libertà.

99 Se il valore di probabilità p associato alla statistica osservata t è maggiore del valore critico (che solitamente è fissato in 0.05) si accetta H 0 e quindi si conclude che non c è una correlazione lineare statisticamente significativa tra le due variabili X e Y. In caso contrario si rifiuta H 0.

100 Trovo il valore critico e lo confronto con il valore calcolato calcolato > critico significativo Rifiuto H 0

101 H 0 H 1 H 1 NON c è relazione c è relazione Valore critico c è relazione Valore critico

102 Abilità Lett. (X) Ore (Y) Ad esempio: Il coefficiente di correlazione per tra abilità di lettura e le ore dedicate alla lettura: r = Il numero di osservazioni: n = 7. t = t = r n! 2 = 1! r ! 2 =1.14 1! È possibile ricavare t cric dalle tavole della distribuzione di probabilità.

103

104 Poiché (t 5 = 1.14) < (t crit = 2.57) dobbiamo rigettare l ipotesi alternativa H 1, e accettare H 0. Ne deriva quindi che la correlazione le abilità di lettura e le ore dedicate alla lettura è statisticamente non significativa.

105 E se mi chiedessi come faccio a scriverlo nella tesi?! Devono essere specificati: la numerosità del campione; il valore di r; la presenza (o assenza) di una relazione statisticamente significativa; il valore del p osservato; il tipo di test utilizzato (a una coda o a due code). La ricerca ha riscontrato la assenza di una correlazione lineare, statisticamente significativa, le abilità di lettura e le ore dedicate alla lettura (r=0.45, n=7, p<0.05, due code).

106 H 0 non può essere rifiutata se il t calcolato è inferiore al t critico. In caso contrario H 0 verrà rifiutata in favore di H 1 e si dirà che il coefficiente di correlazione nella popolazione è statisticamente diverso da 0.

107

108 In molti casi la covariazione di due variabili X e Y è influenzata dal fatto che, contemporaneamente, varia una terza variabile Z. Ad esempio: lo sviluppo intellettuale e le caratteristiche del disegno infantile sono influenzate dall età È possibile calcolare la correlazione tra due variabili eliminando l influenza di una terza.

109 Z X Y La covariazione fra due variabili può essere provocata da una terza variabile che agisce causalmente sulle prime.

110 Il coefficiente di correlazione parziale è definito come: r XY,Z = r XY! r XZ r YZ ( 2 1! r )( 2 XZ 1! r ) YZ Si legge come correlazione tra le due variabili X e Y una volta eliminata Z.

111 Età Z Sviluppo Intellettuale X Sviluppo motorio Y r XY = r XZ = r YZ = Possiamo concludere che tra sviluppo intellettuale e sviluppo motorio vi sia un rapporto di causazione reciproca? r XY,Z = r XY! r XZ r YZ ( 2 1! r )( 2 XZ 1! r ) YZ

112 Età Z Sviluppo Intellettuale X Sviluppo motorio Y r XY = r XZ = r YZ = r XY,Z = 0.587! 0.834" ( 1! ) 1! ( ) =!0.02 Si noti come dopo l eliminazione dell influenza della variabile Z, il coefficiente di correlazione sia sensibilmente variato. Questo indica che la correlazione tra sviluppo intellettuale e sviluppo motorio è significativamente incrementata dall influenza della variabile età.

113 Si parla di correlazione multipla quando si voglia determinare la correlazione tra una variabile Z e due variabili X e Y che variano contemporaneamente: r Z,XY = r 2 XZ + r 2 YZ! 2r ZX r ZY r XY 2 1! r XY

114 Resa scolastica Z Sviluppo Intellettuale X Continuità applicazione Y r XY = r XZ = r YZ = r Z,XY = 0.916

115 I prossimi argomenti saranno