Le spettroscopie magnetiche impulsate e la trasformata di Fourier

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1 Le spettroscopie magnetiche impulsate e la trasformata di Fourier 1

2 Le forme di riga lorenziane ricavate dalle equazioni di Bloch o dalla matrice densità assumono una radiazione di intensità B 1 costante (spettroscopie in onda continua, CW). Cosa succede se la radiazione viene inviata ad impulsi (per periodi brevi)? Descrizione vettoriale Descrizione con matrice densità 2

3 Un impulso di radiazione contiene frequenze in un intervallo attorno alla frequenza ω rad della radiazione B B 1 1 ( t) = B1 cos( ωradt) per t τ p ( t) = per - t eτ t + p L analisi di Fourier fornisce il contenuto in frequenze dell impulso: B + ( ω) cos( ω t) iωt = rad e dt ω rad ω B ( ω) = ( ωrad ) ( ω rad ω) τ p B1 sin ω τ p ( x) sinc = sin ( x) x 3

4 Descrizione vettoriale dell esperimento impulsato: Nel sistema di assi rotanti la magnetizzazione risente del campo magnetico B efficace d dt γ ( B ) = eff Nel sistema rotante la magnetizzazione precede con frequenza ω -ω, cioè come se sentisse un campo statico (parallelo a z) pari a: B z ( ω ω) = Il campo B totale è la somma di B z e del campo della radiazione, lungo x γ B eff = B i ˆ 1 + ( ω ω) k ˆ γ B eff = B 2 2 ω ω = B1 + B γ 4

5 La magnetizzazione subisce un moto di precessione attorno alla direzione di B eff Se consideriamo di essere in condizioni di risonanza: ω = ω, le equazioni del moto della magnetizzazione (equazioni di Bloch) si semplificano. Se a t = z = z, si ottiene che: z ' ' y x = = = z z cosω t 1 sinω t 1 ω 1 = γb 1 Cioè la magnetizzazione precede attorno alla direzione x, come se non sentisse il campo B. La magnetizzazione ruota nel piano zy. 5

6 L angolo di rotazione è dato da β = ωτ 1 p Si definiscono Impulso π/2 (9 ) un impulso di radiazione di durata tale da ruotare la magnetizzazione di π/2 Impulso π (18 ) un impulso di radiazione di durata tale da ruotare la magnetizzazione di π 6

7 Quali sono le durate/intensità tipiche di impulsi di radiazione: Per NR, considerando 1 H gli impulsi durano normalmente alcuni microsecondi: γ = τ B p Hz T = 1µ s = π 1 2 γτ p T impulso di π/2 (Notare la differenza con i campi B che sono di 4-2 T) 7

8 8 Se l impulso di radiazione è molto più breve dei rilassamenti di spin, al termine dell impulso si ottiene una magnetizzazione (di non-equilibrio): = = = z x z y Dopo impulso π/2: La magnetizzazione dopo l impulso, inizia un moto di precessione con smorzamento delle componenti x,y e ripristino della componente z. Dopo un impulso π/2: ( ) ( ) = = = sin cos T t z z T t z x T t z y e e t e t ω ω Dopo impulso π: z z x y = = = oscillazioni smorzate

9 9

10 Se l impulso non è risonante (ω ω ), la magnetizzazione precede attorno al campo efficace B eff. B eff = B 2 2 ω ω = B1 + B γ Al termine di un impulso di π/2 la magnetizzazione non ha solo componente y, ma anche x e in parte anche z B Beff B 1 1

11 In generale, è preferibile diminuire gli effetti di off-resonance cioè rotazioni della magnetizzazione diverse tra pacchetti in risonanza (ω = ω ) e fuori risonanza (ω ω ). Si vuole quindi che: B 1 ω ω >> γ Cioè: B eff B 1 B eff = B 2 2 ω ω 1 + γ Questo si ottiene con intensità di radiazione elevate e impulsi molto brevi. Se ω è l intervallo delle frequenze di risonanza in uno spettro, allora la condizione sopra si traduce in: Per un impulso di 9 ω ω B1 >> γ π γ B1τ p = 2 π 1 2 γτ p >> ω γ quindi τ p << π 2 ω 11

12 Esempio In NR del 1 H in soluzione, si hanno variazioni delle frequenze di risonanza fino a circa 2 ppm. A 4 Hz questo significa: ω = Hz = 8 KHz Quindi gli impulsi di 9 dovranno essere di durata π τ p < = 2µs 2 ω (In effetti si usano impulsi di 5-1 µs) Queste considerazioni sono equivalenti all analisi della larghezza di banda di un impulso mediante la trasformata di Fourier. ω rad ω Per irradiare tutte le frequenze dello spettro in modo uniforme (uguale B 1 ), si vuole che 2/τ p >> ω 12

13 Si definiscono: Impulsi non selettivi ( hard pulses o strong pulses ) impulsi, brevi e intensi, usati per eccitare tutte le frequenze dello spettro Impulsi selettivi ( soft pulses o selective pulses ) impulsi lunghi e poco intensi, usati per eccitare solo una piccola parte dello spettro 13

14 La variazione della magnetizzazione trasversale (y) è il dato sperimentale. Il segnale misurato dopo un impulso viene detto FID (Free Induction Decay) : FID Il segnale in funzione del tempo s(t) (il FID) viene trasformato in una Intensità in funzione della frequenza S(ω) mediante la trasformata di Fourier: S + iωt ( ω) = s( t) e dt 14

15 Lo spettro di risonanza magnetica ad impulsi (NR o EPR) è la trasformata di Fourier del FID: S s + ( ω) = s( t) 1 2π + e iωt dt iωt ( t) = S( ω) e dω Trasformata diretta, FT Trasformata inversa, IFT s(t) FT S(ω) IFT 15

16 16 ( ) ( ) = = = i T t i z z i T t i i z y i T t i i z y e e t e t sin cos,,,,, ω ω Se la magnetizzazione è data dalla somma di varie componenti ( pacchetti di spin ) ciascuno con la sua frequenza di precessione ω, il FID è una somma di oscillazioni smorzate La trasformata di Fourier mostra diversi picchi FT

17 Per la formula di Eulero e ia = cos( A) + isin( A) + F( k) = f ( x)cos(2πkx) dx i f ( x)sin(2πkx) dx + Si definisce la trasformata coseno come E la trasformata seno come + F c ( k) = f ( x)cos(2πkx) dx + F s ( k) = f ( x) sin(2πkx) dx Da cui: F( k) = F ( k) if ( k) c s 17

18 La trasformata di Fourier ha una parte reale ed una parte immaginaria: S + iωt ( ω) = s( t) e dt = s( t) cos( ωt) dt i s( t) sin( ωt)dt + + trasformata coseno trasformata seno 18

19 La trasformata di Fourier ha una parte reale ed una parte immaginaria: S + iωt ( ω) = s( t) e dt = s( t) cos( ωt) dt i s( t) sin( ωt)dt + + trasformata coseno trasformata seno La parte reale rappresenta la componente di assorbimento, la parte immaginaria rappresenta la dispersione. Assorbimento Dispersione + iωt ( ω) = Re s( t) e dt = s( t) cos( ωt) + iωt ( ω) = Im s( t) e dt = s( t) sin( ωt)dt + + dt 19

20 Trasformata di Fourier Una funzione periodica può essere espressa come serie di funzioni seno e coseno (serie di Fourier): I coefficienti sono: Es: 2

21 Per una funzione anche non periodica f(t), si definisce la trasformata di Fourier F(ν) come: F( ν ) + 2πiνt = f ( t) e dt Si definisce anche la trasformata inversa di Fourier f ( t) + 2πiνt = F( ν ) e dν I due domini che definiscono le variabili t e ν, dette variabili coniugate, sono tali per cui il loro prodotto vale 1 ed è adimensionale. La trasformata di Fourier F(ν) fornisce lo spettro cioè le frequenze contenute nel segnale f(t) 21

22 Parte reale: assorbimento Fourier Transform Parte immaginaria: dispersione 22

23 La Trasformata di Fourier di una oscillazione smorzata è una funzione Lorenziana centrata sulla frequenza di oscillazione e di larghezza inversamente proporzionale al tempo di decadimento: FT FT 23

24 Esempi di coppie di Trasformate Funzione costante Trasformata di Fourier x t -5 5 K Un segnale costante nel tempo contiene solo la frequenza zero! ν Fuunzione Delta di Dirac Trasformata di Fourier -5 5 X t Un impulso contiene tutte le frequenze! -5 5 x ν 24

25 1 Funzione Coseno 6 Trasformata di Fourier (parte reale) x K Una funzione coseno contiene una frequenza ben definita (±ω ). La sua trasformata è funzione pari Funzione Seno x Trasformata di Fourier (parte immaginaria) K Una funzione seno contiene una frequenza ben definita (±ω ). La sua trasformata è funzione dispari 25

26 Funzione Esponenziale x Trasformata di Fourier parte Reale Parte Immaginaria -5 5 k Una funzione esponenziale ha come trasformata una funzione complessa Parte reale: funzione lorenziana (spettro di assorbimento) Parte immaginaria: funzione dispersiva 26

27 Un FID è il prodotto di funzioni oscillanti (es: coseno) e di un esponenziale: f ( t) = cos( ω t) e La trasformata di Fourier del FID è calcolabile usando il "teorema di convoluzione", che afferma: La trasformata di Fourier di un prodotto di funzioni è uguale alla convoluzione delle trasformate La CONVOLUZIONE di due funzioni f(x) e g(x) è definita dalla formula: + y ( x) = f ( x) g( x) = f ( t) g( x t) dt t T 2 27

28 Risulta particolarmente semplice la convoluzione di una funzione qualsiasi con la funzione delta di Dirac. Per definizione vale: E quindi la convoluzione tra una funzione qualsiasi f(x) e una delta di (irac (centrata sul valore x ) è il valore della funzione f(x ). 28

29 La trasformata del FID è una funzione lorenziana (trasformata dell esponenziale) centrata alla frequenza della oscillazione (convoluzione con una delta di Dirac che è la trasformata della funzione coseno). Esempio per FID che contiene due frequenze: 29

30 Spettroscopie magnetiche : impulsate o CW? La spettroscopia EPR frequentemente si attua in modo CW, ma anche in modo impulsato. otivo: difficoltà tecniche per ottenere impulsi non selettivi in EPR (estensione degli spettri molto ampia), tempi di rilassamento di spin elettronico molto brevi. La spettroscopia NR viene effettuata sempre in modalità impulsata. I rilassamenti sono normalmente lunghi e l estensione degli spettri ( larghezza spettrale ) è contenuta, che consente di ottenere impulsi non selettivi e la eccitazione di tutto uno spettro simultaneamente 3

31 Le spettroscopie in onda continua e impulsata forniscono entrambe il dato spettroscopico (spettro di assorbimento e di dispersione). Il metodo impulsato, eccita tutte le frequenze insieme e la rivelazione è simultanea nel FID. ( acquisizione multicanale ). Per aumentare il rapporto segnale/rumore (S/N) basta ripetere N volte la sequenza Impulso-FID, (attendendo tra una scansione e l altra un tempo > T1) Col metodo impulsato si possono eseguire esperimenti con sequenze di impulsi multipli che forniscono molte informazioni aggiuntive La tecnica impulsata richiede hard pulses, che si ottengono facilmente per NR in soluzione ma non per NR in stato solido ( ω ~ Hz) o per EPR ( ω fino a GHz) Il metodo CW richiede la scansione di varie frequenze in condizioni di equilibrio (soluzioni stazionarie delle equazioni di Bloch) con tempi lunghi di acquisizione. 31

32 Spettroscopia EPR: è in molti casi una spettroscopia CW con scansione del campo magnetico. La radiazione di intensità costante inviata in sul campione ha una frequenza fissa ν rad e la condizione di risonanza si ottiene al valore di campo magnetico: hv rad = geµ BB B ris = hvrad g µ e B B ris 32

33 L esperimento impulsato più semplice prevede una impulso di radiazione (indicato come RF) π/2 seguito dalla registrazione del FID (acquisizione) Lo spettro si ottiene dalla trasformata di Fourier del FID Esistono tuttavia molti esperimenti con un maggiore numero di impulsi ed eventi : sono dette sequenze di impulsi 33

34 SEQUENZE di impulsi: Esperimenti nei quali si inviano molti impulsi al campione, con diversa fase, angolo di rotazione e distanza temporale (delays). Spesso si considerano anche impulsi a diversa frequenza di radiazione. Si rappresentano schematicamente come rettangoli Esempio di sequenza complessa!! 34

35 Come si realizzano fasi diverse degli impulsi? Si attua uno spostamento della fase (shift) della radiazione (π/2) x t (π/2) y t 35

36 Come si realizzano impulsi di π/2 e π? Ci sono due possibilità (spesso si usa la prima) 1) Raddoppiando la DURATA (a parità di intensità) dell impulso π/2 si ottiene impulso π π/2 π t 2) Raddoppiando la INTENSITA (a parità di durata) dell impulso π/2 si ottiene impulso π π π/2 t 36

37 L ECO DI SPIN La sequenza di eco di spin è costituita da un impulso di 9 seguito, ad un ritardo τ da un impulso 18. Per vedere l effetto dei due impulsi, si può considerare come evolve la magnetizzazione data da un insieme di spin con una singola frequenza di Larmor (un singolo pacchetto di spin ). Al tempo 2τ la magnetizzazione è ritornata alla posizione successiva al primo impulso di 9 37

38 Effetto di un impulso π (lungo x) sulla magnetizzazione trasversale cioè nel piano x,y: 38

39 Se la magnetizzazione è data dalla somma di più gruppi di spin con diverse frequenze di Larmor: le magnetizzazioni dovute ai diversi pacchetti di spin si defasano dopo il primo impulso di 9 (che le porta su y) 39

40 le magnetizzazioni dovute ai diversi pacchetti di spin vengono rovesciate dall impulso di 18 : Dopo un tempo τ dall impulso π le componenti della magnetizzazione si rifocalizzano 4

41 Il segnale rifocalizzato è detto eco di spin (spin-echo) In forma grafica semplificata: Eco di spin L impulso π viene perciò detto impulso di rifocalizzazione. 41

42 L eco a due impulsi viene detto eco di Hahn. Eco di Hahn Un altra sequenza di eco viene detta eco stimolato, o eco a tre impulsi Eco stimolato nella quale l impulso di inversione viene sostituito da due impulsi di π/2 separati dal tempo T. L eco si ottiene ad un tempo τ dopo l ultimo impulso. 42

43 Valori tipici per I tempi di rilassamento ipendono da T e dalla fase Per NR in soluzione T secondi (millisecondi-secondi) T secondi (secondi-minuti) Per NR in stato solido T secondi (microsecondi) T secondi (millisecondi-minuti) Per EPR in soluzione T secondi (nanosecondi-microsecondi) T secondi (microsecondi-millisecondi) Per EPR in stato solido T secondi (picosecondi-microsecondi) T secondi (microsecondi-millisecondi) Come si misurano i tempi di rilassamento? Sequenze di impulsi 43

44 isura del T 2 dalla larghezza di riga Lorenziana: Righe NON lorenziane Y γb T ( ω ) 2 1+ T ω Spesso però le righe spettroscopiche sono la sovrapposizione di molte righe vicine ( allargamento inomogeneo ). Le differenze di frequenze di risonanza derivano da variabilità delle interazioni locali o da imperfezioni strumentali. Il T2 NON si determina dalla larghezza di riga. 44

45 isura del T 2 con esperimenti a impulsi: 1) Decadimento dell eco di Hahn π/2 π τ τ t τ τ t τ τ t τ τ t 45

46 Riportando in grafico l intensità dell eco di Hahn in funzione del tempo τ si ottiene una curva di decadimento esponenziale: La costante di tempo del decadimento esponenziale è il T 2. 46

47 isura del T 2 : 2) Sequenza di Carr-Purcell-eiboom-Gill (CPG) In questa sequenza si misurano le intensità degli echi rifocalizzati dai successivi impulsi π. Il decadimento della intensità degli echi è di tipo esponenziale, con costante di tempo T 2. Si noti che gli impulsi di π vengono inviati su +y. In questo modo eventuali imperfezioni negli impulsi (ad es: non perfettamente π) non vengono successivamente accumulate 47

48 isura del T 1 : Sequenza di Inversion recovery: π-t-π/2-acq Z Z Z Z B 1 Y Y B 1 Y Y X X X X A) Impulso π iniziale B) attesa tempo T C) Impulso π/2 D) FID (acq) Il primo impulso inverte la magnetizzazione. Dopo un tempo di attesa T variabile, l impulso π/2 porta la magnetizzazione dall asse Z al piano X,Y dove viene rivelata, ad esempio come FID 48

49 isura del T 1 : Inversion recovery: π-t-π/2-acq π π/2 t FID tempo π π/2 t + t tempo π π/2 t + 2 t FID π π/2 tempo t + 3 t FID 49 tempo

50 FT 5

51 Esempio di esperimento di Inversion Recovery in NR 51

52 Riportando in grafico l intensità della magnetizzazione dopo l impulso π/2 (FID) o l intensità dello spettro, in funzione del tempo T, si ottiene una curva di ripristino della magnetizzazione lungo Z di tipo esponenziale: La costante di tempo del decadimento esponenziale è il tempo di rilassamento longitudinale T 1. 52