MENTE. per le vacanze INVALSI. Libro-Quaderno di MATEMATICA. con esercizi sul modello. S. Lattes & C. Editori SpA - Vietata la vendita e la diffusione

Transcript

1 M. VITTONE ALLENA MENTE Libro-Quaderno di MATEMATICA per le vacanze con esercizi sul modello INVALSI 2

2

3 M. VITTONE ALLENA MENTE Libro-Quaderno di MATEMATICA per le vacanze con esercizi sul modello INVALSI 2

4 Progetto grafico e copertina Gandini & Rendina (Milano) Impaginazione Edit3000 (Torino) Coordinamento prestampa Gianni Dusio info@latteseditori.it I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i paesi. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le riproduzioni effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da: AIDRO Corso di Porta Romana,108 - Milano segreteria@aidro.org sito web: Per i casi in cui non è stato possibile ottenere il permesso di riproduzione, a causa della difficoltà di rintracciare chi potesse darlo, si è notificato all Ufficio della proprietà letteraria, artistica e scientifica che l importo del compenso è a disposizione degli aventi diritto. Le immagini del testo (disegni e/o fotografie) che rappresentano marchi o prodotti presenti sul mercato hanno un valore puramente didattico di esemplificazione. Questo volume è stato realizzato tenendo conto di quanto stabilito dal D.M. n. 547 del 07/12/1999 ( Gazzetta Ufficiale - Serie speciale n. 51 del 02/03/2000) circa le norme avvertenze tecniche per la compilazione dei libri di testo per la scuola dell obbligo. Nomi e marchi citati sono generalmente depositati o registrati dalle rispettive case produttrici. Proprietà letteraria riservata 2011 S. Lattes & C. Editori SpA - Torino Prima edizione 2011 Stampato in Italia - Printed in Italy per conto della casa editrice da Vincenzo Bona SpA - Torino ristampa anno

5 INDICE Unità 1 Le frazioni e i numeri decimali 1. I numeri razionali... 2 Le applicazioni... 3 Per gioco Dalla frazione ai numeri decimali... 4 Le applicazioni Frazione generatrice di un numero decimale... 6 Le applicazioni Come si approssima un numero decimale... 7 Le applicazioni... 7 L angolo del problema... 9 Scheda di verifca Unità 2 Rapporti e proporzioni 1. Che cos è un rapporto Le applicazioni Per gioco Che cos è una proporzione Le applicazioni Proprietà delle proporzioni Le applicazioni Calcolo del termine incognito Le applicazioni Le percentuali Le applicazioni L angolo del problema Scheda di verifca Unità 3 Area di fgure piane 1. Superfcie e area di una fgura piana Le applicazioni Area del rettangolo e area del quadrato Le applicazioni Area del parallelogramma Le applicazioni Area del rombo Le applicazioni Area del triangolo Le applicazioni Area del trapezio Le applicazioni Area dei poligoni regolari Le applicazioni L angolo del problema Scheda di verifca Unità 4 Il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide 1. Il teorema di Pitagora Le applicazioni Per gioco Il teorema di Pitagora e i problemi di geometria Le applicazioni Per gioco I teoremi di Euclide Le applicazioni L angolo del problema Scheda di verifca Unità 5 Le funzioni e la loro rappresentazione 1. Che cos è una funzione Le applicazioni... 50

6 INDICE 2. Sistema di riferimento cartesiano Le applicazioni Rappresentazione cartesiana delle funzioni Le applicazioni Per gioco L angolo del problema Scheda di verifca Unità 6 Proporzionalità diretta e proporzionalità inversa 1. Grandezze direttamente proporzionali Le applicazioni Grandezze inversamente proporzionali Le applicazioni Per gioco L angolo del problema Scheda di verifca Unità 7 Le trasformazioni geometriche 1. Che cos è una trasformazione geometrica Le applicazioni Per gioco La traslazione Le applicazioni La rotazione Le applicazioni La simmetria centrale Le applicazioni Il ribaltamento e la simmetria assiale Le applicazioni L angolo del problema Scheda di verifca Unità 8 La circonferenza e il cerchio 1. La circonferenza e i suoi elementi Le applicazioni Angoli al centro e angoli alla circonferenza Le applicazioni Posizione di una retta rispetto a una circonferenza Le applicazioni Posizioni reciproche di due circonferenze Le applicazioni Il cerchio e i suoi elementi Le applicazioni Area del cerchio Le applicazioni L angolo del problema Scheda di verifca Prove modello INVALSI Prova n Prova n Prova n Matematica per divertirsi Geometria nascosta Cruciverba aritmetico Cruciverba geometrico Soluzioni

7 Unità 1 Le frazioni e i numeri decimali I numeri razionali 2 Dalla frazione ai numeri decimali 3 Frazione generatrice di un numero decimale 4 Come si approssima un numero decimale

8 1 I NUMERI RAZIONALI QUEL CHE DEVI SAPERE Nell insieme N dei numeri naturali non sempre si può eseguire la divisione tra due numeri interi. Per esempio le divisioni: 18 : 9 = 2 15 : 3 = 5 20 : 2 = 10 hanno il quoziente nell insieme N, mentre le divisioni: 3 : 5 = 3 11 : 13 = 11 8 : 9 = non hanno il quoziente nell insieme N e possono essere scritte sotto forma di frazione. L insieme formato da tutte queste frazioni si chiama insieme dei numeri razionali positivi e si indica con Q +. Poiché tutti i numeri naturali possono anche essere scritti sotto forma di frazione (basta scrivere 1 al denominatore, per esempio 4 = 4 ), possiamo dire che l insieme N è un sottoinsieme di Q + e si scrive N Q + 1. Eseguendo la divisione a : b = a (dove a e b sono due numeri naturali diversi da zero) si b possono ottenere tre tipi di numeri razionali: i numeri naturali ( 12 4 = 3, 9 3 = 3); i numeri decimali limitati; i numeri decimali illimitati. Numeri razionali Frazioni apparenti Frazioni non apparenti Numeri naturali Numeri decimali limitati illimitati periodici semplici periodici misti 2

9 UNITÀ 1 LE FRAZIONI E I NUMERI DECIMALI LE APPLICAZIONI 1 Indica, segnando con una crocetta, quali delle seguenti divisioni hanno il quoziente nell insieme N e quali nell insieme Q + : N Q + N Q : 10 = 5 : 8 = : 6 =... 9 : 11 = : 7 = : 32 =... 6 : 9 = : 8 =... 2 Completa la tabella inserendo in modo corretto i seguenti numeri: 19,3 30, , , 7 174,3 8 24, , ,3 54,6 32 Numero naturale Numero decimale limitato 19,3 periodico semplice Numero decimale illimitato periodico misto PER GIOCO Un tronco d albero è stato tagliato a fette per fini scientifici. Qual è la frazione che manca? soluzioni a pag

10 2 DALLA FRAZIONE AI NUMERI DECIMALI QUEL CHE DEVI SAPERE Numeri naturali Si ottengono dalle frazioni apparenti: 3 3 = = = 3 Numeri decimali limitati Si ottengono dalle frazioni decimali cioè quelle frazioni il cui denominatore è 10 o una potenza di 10: 5 10 = 0, = 0, = 0,042 e dalle frazioni ordinarie, cioè non decimali, il cui denominatore, scomposto in fattori primi, contiene il 2 o il 5 o entrambi: 35 = 4, = 1, = 0, Numeri decimali illimitati periodici semplici Si ottengono dalle frazioni ordinarie il cui denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene né il 2 né il 5: periodo periodo periodo 5 9 = 0, 5 = 0, 27 3 = 0,, Numeri decimali illimitati periodici misti Si ottengono dalle frazioni ordinarie il cui denominatore, scomposto in fattori primi, contiene il 2 o il 5 insieme ad altri fattori: 8 = 0, antiperiodo periodo antiperiodo 5 = 0, periodo 4

11 UNITÀ 1 LE FRAZIONI E I NUMERI DECIMALI LE APPLICAZIONI 1 Stabilisci, senza eseguire il calcolo, se le seguenti frazioni generano un numero naturale, decimale limitato o decimale illimitato (periodico semplice o misto): decimale limitato Completa la tabella indicando il periodo e l antiperiodo dei seguenti numeri decimali periodici: Numero Periodo Antiperiodo 14, ,0 8 14, , , , , , 4 5

12 3 FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE QUEL CHE DEVI SAPERE Per trasformare un numero decimale limitato in una frazione, si scrive a numeratore il numero naturale che si ottiene togliendo la virgola (senza scrivere gli zeri) e a denominatore si scrive 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato: 0,43 = ,643 = Per trasformare un numero decimale periodico semplice in una frazione, si scrive a numeratore la differenza fra tutto il numero dato, senza la virgola, e la sua parte intera e a denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo: = = , = , Per trasformare un numero decimale periodico misto in una frazione, si scrive a numeratore la differenza fra tutto il numero dato, scritto senza la virgola, e tutta la parte che precede il periodo, senza la virgola e a denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo: 6,4 37 = = , = 9900 = LE APPLICAZIONI 1 Trasforma in frazione i seguenti numeri decimali: 15,34 = ,5 =... 0,036 =... 19,1216 =... 2 Trasforma in frazione i seguenti numeri decimali periodici: 53, = = , 6 = , 18 =... 88, 46 =... 3 Trasforma in frazione i seguenti numeri decimali periodici misti: 7, = =... 6,2 34 = ,56 3 =... 61,2 61 =... 6

13 4 COME SI APPROSSIMA UN NUMERO DECIMALE UNITÀ 1 LE FRAZIONI E I NUMERI DECIMALI QUEL CHE DEVI SAPERE Un numero decimale può avere molte cifre dopo la virgola e, nel caso di numeri periodici, addirittura infinite. Per eseguire i calcoli con i numeri decimali è necessario tenere conto solo di alcune cifre decimali. Si considerano quindi dei valori approssimati. A seconda delle cifre considerate dopo la virgola si parla di approssimazione: ai decimali (0,1) se si considera la prima cifra dopo la virgola; ai centesimi (0,01) se si considerano le prime due cifre dopo la virgola; ai millesimi (0,001) se si considerano le prime tre cifre dopo la virgola. Per approssimare correttamente un numero decimale è necessario verificare il valore della prima cifra trascurata: se questa ha valore minore o uguale a 5 ci si ferma alla cifra dei decimali voluta senza mo d i ficarla; se questa ha valore maggiore di 5 si aumenta di una unità la cifra dei decimali cui ci si ferma. Nel primo caso si parla di approssimazione per difetto, nel secondo di approssimazione per eccesso. Per esempio, se si vuole approssimare ai decimi il numero 5,328 si scrive: 0,1 5,328 5,3 cifra < 5 Se si vuole approssimare ai centesimi il numero 7,348 si scrive: 0,01 7,348 7,35 cifra > 5 approssimazione per difetto perché la prima cifra trascurata (2) è minore di 5 e non si modifica nulla approssimazione per eccesso perché la prima cifra trascurata (8) è maggiore di 5 e si aggiunge 1 unità alla cifra dei centesimi (in questo caso) LE APPLICAZIONI 1 Completa la tabella approssimando ai decimi i seguenti numeri decimali e indica con una crocetta il tipo di approssimazione: Numero Approssimazione ai decimi Approssimazione per difetto 6,748 6,7 22,396 16, ,326 Approssimazione per eccesso 7

14 2 Completa la tabella approssimando ai centesimi i seguenti numeri decimali e indica con una crocetta il tipo di approssimazione: Numero 11, , , ,36 95 Approssimazione ai centesimi Approssimazione per difetto Approssimazione per eccesso 3 Completa la tabella approssimando ai millesimi i seguenti numeri decimali e indica con una crocetta il tipo di approssimazione: Numero 4, , , ,78653 Approssimazione ai millesimi Approssimazione per difetto Approssimazione per eccesso 4 Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali e approssima questi ultimi ai decimi: 2 15 = 0,13 0, = = = = =... 5 Svolgi i seguenti calcoli e approssima il risultato ai centesimi: (1,6 + 3,04) 0,6 =... (2 0,5 + 0,75) 3,6 =... 6 Approssima ai centesimi i numeri decimali, svolgi i calcoli e approssima il risultato ai decimi: (0, , ,5) 3 (0, , , 1 ) = (0, ,5) + (0, ,4 3 ) =... 8

15 L angolo del problema 1 Calcola il valore approssimato ai decimi della seguente espressione: 9,2 (0, 3 + 3, 5 1, 2 ) 1,5 1, 3 + 0,6 = TI DO UNA MANO! Trasformiamo in frazione tutti i numeri decimali: ( ) Semplifichiamo dove possibile: 46 5 ( Svolgiamo i calcoli: 9 ) = = (... 9 )... [4,5] 2 Calcola il valore approssimato ai centesimi della seguente espressione: (0, ,1 5 ) : (0,8 5 0,1 6 ) + 1 0, 4 PROVA DA SOLO! [1,23] 9

16 Scheda di verifica 1 L insieme Q + è un sottoinsieme di N. Vero Falso 2 I numeri decimali illimitati periodici misti si ottengono: A dalle frazioni apparenti. B dalle frazioni ordinarie il cui denominatore non contiene il 2 o il 5. C dalle frazioni ordinarie il cui denominatore contiene solo il 2 o il 5. D dalle frazioni ordinarie il cui denominatore contiene il 2 o il 5 o entrambi, più altri fattori. 3 Indica quale, tra le seguenti frazioni, genera un numero decimale illimitato periodico semplice: A 7 C B D Quale frazione corrisponde al numero decimale 12,53? A 1253 C B D Quale frazione corrisponde al numero periodico semplice 31, 15? A 3115 C B D Quale frazione corrisponde al numero periodico misto 1,5 6? 141 A C B UN PROBLEMA D Calcola il valore approssimato ai decimi della seguente espressione. Esegui l esercizio trasformando i numeri decimali in frazione: [0,4 8 5 : (2 0,1 6 ) + 0, 13 ] : 1,1 10 soluzioni a pag. 121

17 Unità2 Rapporti e proporzioni Che cosõv un rapporto 2 Che cosõv una proporzione 3 Propriet0 delle proporzioni 4 Calcolo del termine incognito 5 Le percentuali

18 1 CHE COS È UN RAPPORTO QUEL CHE DEVI SAPERE Dati due numeri a e b (con b 0) si dice rapporto tra i due numeri il quoziente ottenuto dividendo il primo numero per il secondo. Si può indicare in tre modi diversi: come divisione come frazione come numero decimale antecedente a : b 8 : 3 si legge rapporto 8 a 3 conseguente a b 8 3 antecedente conseguente si legge rapporto otto terzi 2, 6 si legge rapporto 2,6 periodico Si dice rapporto inverso o reciproco il quoziente ottenuto dividendo il conseguente per l antecedente: b : a oppure b a Ricorda che 7 : 4 = 1,75. Se scambiamo i termini otteniamo un altro valore: 4 : 7 = 0,5714 Quindi, in un rapporto non si deve mai scambiare lõordine dei termini. LE APPLICAZIONI 1 Calcola il rapporto e il rapporto inverso fra le seguenti coppie di numeri naturali: a b a b = 1, b a 4 5 = 0,... 2 Collega con una freccia ogni rapporto con il proprio inverso:

19 UNITÀ 2 RAPPORTI E PROPORZIONI 3 Calcola il rapporto e il rapporto inverso fra le seguenti coppie di frazioni: Rapporto Rapporto inverso 14 5 e e e e e : = = : 14 5 = Calcola il valore dell antecedente in ciascuno dei seguenti rapporti: x 4 = 2 x = 4 2 = 8 x 14 = 2 x =... x 15 = 5 x = x = 4 x =... x 6 = 3 x = x... = 10 x = Calcola il valore del conseguente in ciascuno dei seguenti rapporti: 25 x = 5 x = 25 : 5 = 3 14 x = 2 x = x = 4 x = x = 14 x = x = 18 x = x = 4 x =... PER GIOCO Quale numero deve essere messo al posto del punto interrogativo? soluzioni a pag

20 2 CHE COS È UNA PROPORZIONE QUEL CHE DEVI SAPERE Una proporzione è l uguaglianza di due rapporti. Si scrive: e si legge a sta a b come c sta a d. a : b = c : d Per esempio, la proporzione 16 : 4 = 20 : 5 si legge 16 sta a 4 come 20 sta a 5. In essa i quattro numeri 16, 4, 20 e 5 sono i termini della proporzione che assumono nomi differenti a seconda della loro posizione: 16 : 4 = 20 : 5 16 : 4 = 20 : 5 estremi medi antecedenti conseguenti Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali. Per esempio 32 : 8 = 8 : 2 Il numero 8 prende il nome di medio proporzionale. LE APPLICAZIONI 1 Completa la seguente tabella: Proporzione Antecedenti Conseguenti Medi Estremi Valore del rapporto 40 : 10 = 48 : e e e e : 2 = 76 : 4 90 : 10 = 54 : 6 90 : 30 = 30 : : 6 = 9 : 3 2 Scrivi tre proporzioni aventi come rapporto rispettivamente 6, 10 e 14:... 3 Scrivi una proporzione che abbia come medi 12 e 30:... 4 Scrivi una proporzione che abbia come estremi 5 e 8:... 14

21 3 PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI UNITÀ 2 RAPPORTI E PROPORZIONI QUEL CHE DEVI SAPERE Proprietà fondamentale delle proporzioni In ogni proporzione il prodotto degli estremi è sempre uguale al prodotto dei medi: Per esempio: a : b = c : d a d = b c 16 : 2 = 24 : = 2 24 = 48 Questa proprietà è utile per verifcare se quattro numeri formano una proporzione. Proprietà dell invertire Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione. Per esempio, data la proporzione: 20 : 2 = 40 : 4 applicando la proprietà si ottiene: 2 : 20 = 4 : 40 che è ancora una proporzione perché il prodotto dei medi (20 4 = 80) è uguale al prodotto degli estremi (2 40 = 80). Proprietà del permutare Se in una proporzione si scambiano fra loro i medi, o gli estremi, o entrambi si ottengono ancora delle proporzioni. Per esempio: 14 : 18 = 7 : 9 cambio dei medi (14 9 = 18 7 = 126) 14 : 7 = 18 : 9 9 : 7 = 18 : 14 cambio degli estremi (9 14 = 7 18 = 126) ] ] 9 : 18 = 7 : 14 cambio di medi ed estremi (9 14 = 18 7 = 126) ] ] ] ] ] ] Proprietà del comporre In ogni proporzione la somma del 1 e del 2 termine sta al 1 o al 2 termine, come la somma del 3 e del 4 termine sta al 3 o al 4 termine. Per esempio: 6 : 3 = 8 : termine (6 + 3) : 6 = (8 + 4) : 8 (6 + 3) : 3 = (8 + 4) : 4 Proprietà dello scomporre In ogni proporzione (con gli antecedenti maggiori dei rispettivi conseguenti) la differenza fra il 1 e il 2 termine sta al 1 o al 2 termine come la differenza fra il 3 e il 4 termine sta al 3 o al 4 termine. Per esempio: 16 : 8 = 14 : termine (16 8) : 16 = (14 7) : 14 (16 8) : 8 = (14 7) : 7 15

22 LE APPLICAZIONI 1 Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni verifca se i seguenti numeri, presi nell ordine dato, formano una proporzione: 2, 6, 3, 9 prodotto dei medi 6 3 = prodotto degli estremi 2 9 = I due prodotti sono uguali quindi i quattro numeri formano la proporzione 2 : 6 = 3 : 9 18, 4, 12, , 12, 8, , 10 14, 14 20, , 18 28, 14 6, Applica la proprietà dell invertire alle seguenti proporzioni: 6 : 3 = 2 : 1 3 : 6 = 1 : : 6 = 12 : : 28 = 4 : : 49 = 1 : : 10 = 7 : Applica la proprietà del permutare alle seguenti proporzioni, scambiando prima i medi poi gli estremi: 21 : 7 = 15 : 5 5 : 7 = 15 : : 15 = 7 : : 4 = 32 : : 20 = 2 : : 30 = 5 : : 1 4 = 1 24 :

23 UNITÀ 2 RAPPORTI E PROPORZIONI 4 Applica la proprietà del comporre alle seguenti proporzioni: (9 + 18) : 9 = (2 + 4) : 2 27 : 9 = 6 : 2 9 : 18 = 2 : : 28 = 8 : : 27 = 15 : : 6 10 = : : 7 6 = 3 14 : Applica la proprietà dello scomporre alle seguenti proporzioni: (5 2) : 2 = (15 6) : 6 3 : 2 = 9 : 6 5 : 2 = 15 : : 3 = 14 : : 5 = 36 : : 8 3 = 3 4 : : 1 2 = 3 10 : Verifica le seguenti uguaglianze e trasformale in proporzioni: 540 = : 45 = 12 : = = = = = Determina il 4 termine della proporzione, della quale sono dati nell ordine i primi tre termini: = : 120 = : 80 = 75 : ; 80; ; 22; ; 24; ; 9 7 ; ; 8 5 ;

24 4 CALCOLO DEL TERMINE INCOGNITO QUEL CHE DEVI SAPERE Se in una proporzione uno dei termini è incognito, cioè sconosciuto, lo si può calcolare applicando in modo opportuno la proprietà fondamentale delle proporzioni: se il termine incognito è un estremo lo si calcola moltiplicando i medi e dividendo per l altro estremo: 3 6 x : 3 = 6 : 2 x = = 9 2 se il termine incognito è un medio lo si calcola moltiplicando gli estremi e dividendo per l altro medio: 8 : x = 16 : 4 x = = 2 se il termine incognito è medio di una proporzione continua si calcola estraendo la radice quadrata del prodotto degli estremi: 36 : x = x : 9 x x = 36 9 x 2 = 324 proprietà fondamentale x = 324 = 18 LE APPLICAZIONI 1 Calcola il valore del termine incognito nelle seguenti proporzioni: x = = : 10 = x : : x = x : 9... x : 32 = 24 : Risolvi le seguenti proporzioni: 24 : x = 12 : , 5 : x = x : 0, ( : 5 2) 3 = x : ( ) 3 Risolvi le seguenti proporzioni applicando le proprietà del comporre e dello scomporre: 1 : 3 = 4 : : 9 = 10 : : 3 = 25 :

25 5 LE PERCENTUALI UNITÀ 2 RAPPORTI E PROPORZIONI QUEL CHE DEVI SAPERE Frasi come: Tutto in saldo al 40%, Quella banca pratica un interesse del 3% signifcano che ogni 100 di spesa se ne risparmiano 40 oppure che per ogni 100 che si hanno sul conto ne guadagniamo 3. I valori 40% e 3% si leggono 40 per cento e 3 per cento e vengono defniti percentuali. Sono equivalenti alle scritture e 3 che vengono chiamate tasso percentuale. 100 Calcolare il 40% di un numero signifca moltiplicare quel numero per In generale, per risolvere i problemi che contengono percentuali, si utilizza la proporzione: t : 100 = p : T dove t è il tasso percentuale, p il valore della percentuale e T il totale su cui si calcola la percentuale. Per esempio, se vogliamo sapere quanto costa una maglietta da 25 con uno sconto del 10% possiamo scrivere: : 100 = x : 25 x = = 2,5 valore dello sconto 100 La maglietta costerà 22,5 cioè il prezzo intero diminuito dello sconto: 25 2,5 = 22,5 LE APPLICAZIONI 1 Trasforma in percentuali i seguenti rapporti: si calcola il rapporto, che è pari a 0,03 poi si moltiplica il numero per 100 e si ottiene 3 che è il valore della percentuale, cioè 3%

26 2 Esprimi la percentuale delle parti colorate nelle seguenti fgure: Le caselle colorate sono 5 su un totale di 16. Si scrive il rapporto 5 16 = 0,3125. Si moltiplica per 100 e si ottiene la percentuale 31,25% Matteo ha acquistato una felpa il cui prezzo è di 32,5. Presentando la tessera club del negozio ha ottenuto uno sconto del 30%. Quanto ha pagato Matteo per la felpa? 30% di 32,5 =... che equivale allo sconto. Il prezzo scontato è: 32,5... =... 4 La classe 2 a H ottiene uno sconto comitiva di 36 pari al 25% sul prezzo del biglietto del treno. Quanto spende la classe? Utilizzando la proporzione t : 100 = p : T si ottiene:... 20

27 L angolo del problema 1 Il perimetro di un rettangolo è 234 cm. Sapendo che il rapporto fra i due lati è 5 8, calcola la loro misura. TI DO UNA MANO! Indichiamo con a e b la misura dei due lati. Se il rapporto a b vale 5 possiamo scrivere la proporzione: 8 a : b =... Sapendo che il semiperimetro è uguale alla somma dei due lati a + b, otteniamo: a + b = 234 : 2 =..., quindi a + b =... Applichiamo la proprietà del comporre alla precedente proporzione: (a + b) : a = (5 + 8) : 5 da cui, sostituendo ad a + b il valore... si ricava: a =... Successivamente, applicando di nuovo la proprietà del comporre, si ottiene: b =... La misura dei due lati è:... 2 Il rapporto fra due numeri è 17 e la loro somma è 110. Calcola i due numeri. 5 PROVA DA SOLO! [45 cm; 72 cm] [85; 25] 21

28 Scheda di verifica 1 Nella proporzione a : b = c : d i termini a e d sono detti: A medi C antecedenti B estremi D conseguenti 2 Quale, tra le seguenti coppie di numeri, ha rapporto 2? A 1; 4 C 1; 2 B 6; 3 D 4; 3 3 Qual è il valore del termine incognito nella proporzione 9 : x = 15 : 5? A 1 C 3 B 2 D 4 4 Qual è il valore del termine incognito nella proporzione 3 : 9 = 5 : x? A 5 C 15 B 10 D 20 5 Qual è il valore del termine incognito nella proporzione 20 : x = x : 80? A 40 C 60 B 50 D 70 6 A quanto corrisponde il 37% di 936? A 3,952 C B 9,36 D 346,32 7 A quale numero decimale corrisponde la percentuale del 9%? A 0,09 C 0,009 B 0,9 D 9 UN PROBLEMA 8 La somma delle misure di due segmenti vale 140 cm. Il loro rapporto è 9 5. Quanto sono lunghi i due segmenti? 22 soluzioni a pag. 121

29 Unità 3 Area di fgure piane 1 Superfcie e area di una fgura piana 2 Area del rettangolo e area del quadrato 3 Area del parallelogramma 4 Area del rombo 5 Area del triangolo 6 Area del trapezio 7 Area dei poligoni regolari

30 1 SUPERFICIE E AREA DI UNA FIGURA PIANA QUEL CHE DEVI SAPERE Ogni fgura geometrica piana occupa una porzione chiusa di piano che si defnisce superfciedellafgura. La misura della superfcie di una fgura geometrica si defnisce areadellafgura. L area di una fgura è un numero che dipende dall unità di misura. Due o più fgure geometriche si dicono equivalenti se hanno la stessa area. LE APPLICAZIONI 1 In ciascun piano rappresentato, colora la superfcie della fgura disegnata: 2 Scrivi il valore dell area di ciascuna superfcie colorata, calcolata rispetto all unità di misura u di volta in volta indicata: u u u A =... A =... A =... u u u A =... A =... A =... u u u A =... A =... A =... 24

31 UNITÀ 3 AREA DI FIGURE PIANE 3 Accanto a ciascuna fgura è indicato il valore dell area. Rappresenta sul disegno l unità di misura rispetto alla quale è stata calcolata: A = 15 u A = 24 u A = 27 u A = 16 u A = 28 u A = 11 u 4 Stabilisci quali di queste fgure sono equivalenti e spiega perché: A B C D 5 Disegna una fgura equivalente a quella data: 25

32 6 Disegna due figure equivalenti la cui area sia 20 quadretti: 7 Calcola l area del rettangolo considerando come unità di misura il quadretto e disegna il triangolo equivalente a 1 del rettangolo: 2 8 Calcola l area dell ottagono rispetto all unità di misura u e disegna un quadrato equivalente 9 a 13 dell ottagono: u 26