INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE ESERCITAZIONI DI ANALISI C SETTIMANA 11 INTEGRALI TRIPLI

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1 INTGRALI TRIPLI Il teorema di riduione assume due diverse forme in, che però ci riconducono sempre ad integrali in due dimensioni da trattare come già visto precedentemente INTGRAZION PR FILI Si dice che è un dominio normale rispetto al piano, se y ed esistono due funioni continue tali che, y, y,,,,,, è la proieione di sul piano, cioè se y y y y Se è un dominio normale rispetto al piano allora la funione,,,,,,,, f y ddyd B y ddy sempio: ddyd B y f y d è continua e con y y,, : In questo caso la proieione di sul piano è il cerchio di centro l origine e raggio, la variabile è limitata da, e da, y y B, y su y,, mentre y y Abbiamo perciò y y d e così l integrale triplo su diventa l integrale doppio che calcoliamo con la tecnica, già vista, del passaggio a coordinate polari: y 8 ddyd ddy dd d d INTGRAZION PR STRATI Si dice che è un insieme semplice rispetto all asse, se esiste un intervallo chiuso e limitato I a, b e una famiglia I di sottoinsiemi misurabili di, ottenuti intersecando con i piani per ogni I Se è un insieme semplice rispetto a allora la funione b,, è continua e,, U f y ddy f y ddyd U d a sempio: lo stesso integrale appena visto può servire a mostrare la tecnica di integraione per strati Abbiamo infatti e le seioni y y, sono corone circolari Riscrivendo sia la funione che le seioni in coordinate polari nel piano, abbiamo cos, sin, e f,,, quindi : U d d d d

2 Allora si ha: ddyd d SRCIZI Calcolare e ddyd con y y,,,, Questo tipo di dominio è il più semplice possibile: si tratta di un parallelepipedo Il calcolo dell integrale triplo si riconduce al calcolo di tre integrali semplici e ddyd ye d dy d ye dy d y e dy d y e d e d e e Calcolare il volume di ddyd, y,, y, y e l integrale Il volume può essere visto come integrale della funione f, y y sull insieme La proieione di sul piano è,, y y V ddyd y ddy y dy d d L integrale assegnato, invece, può essere calcolato per fili: y ddyd d dy d dy d 5 d d D, y, y, Si disegni D e si calcoli Sia ddyd D Conviene passare a coordinate cilindriche di asse centrate nel punto,,

3 cos y sin Con questa trasformaione abbiamo D,,,, Si tratta di un solido ottenuto dalla rotaione attorno ad un asse parallelo all asse passante per il punto, della funione La funione integranda rimane identica, il determinante jacobiano vale e l integrale da calcolare diventa D D ddyd dd d,, dove D Dato che D dd d d dobbiamo calcolare d log log, y, y,, Disegnate e Considerate l insieme calcolate l integrale y ddyd Si tratta della metà situata dalla parte delle positive di un tronco di cono, il cono di vertice,, con apertura tagliato dai due piani e Il dominio è semplice rispetto a : infatti e le seioni dell insieme con i piani perpendicolari a sono,,,,, perciò possiamo 8 integrare per strati Per ogni strato U dd d d diventa e l integrale

4 8 8 y ddyd y ddy d U d d 5 Considerate l insieme y y y calcolate il volume di e l integrale ddyd L insieme è la regione esterna al cilindro paraboloide 5 y,, 5, Disegnate, y, delimitata dal piano e dal, che ha vertice in,,5 ed è rivolto verso il basso Il calcolo del volume si può fare per strati perché si tratta di un dominio semplice rispetto a : infatti e, 5,,, Allora 5 5 U d d d d V ddy d U d d 8 L integrale della funione assegnata si può calcolare per fili, y y 5 e, e, y 5 y Passando a coordinate polari f cos, sin, cos e così abbiamo:, 5,, 5 5 y ddyd d ddy cos d d d 5 5 cos 5 dd 5 d cos d sin cos 8 6 COORDINAT SFRICH Risulta utile talvolta, quando la simmetria della regione di integraione è sferica, il passaggio alle coordinate sferiche, definito dalla funione vettoriale sin cos y sin sin cos

5 La matrice Jacobiana della funione è J sin cos cos cos sin sin y y y sin sin cos sin sin cos cos sin det J,, sin e quindi il determinante jacobiano è 6 Calcolare il volume dell insieme ddyd y y,, : e l integrale L insieme è un guscio sferico e il suo volume si calcola in modo elementare come differena 8 fra i volumi delle due sfere: V R R Il calcolo dell integrale assegnato è immediato con la trasformaione in coordinate sferiche, perché la regione diventa il parallelepipedo,,,, Inoltre la funione da integrare risulta un prodotto di funioni in una sola variabile e l integrale quindi si semplifica nel prodotto di tre integrali semplici: ddyd cos sin ddd 5 cos d cos sind d 7 Detto D il dominio definito da si calcoli ddyd D D y y y,,,,, Il dominio D è costituito dalla regione, nel semispaio con positiva, delimitata inferiormente dalle superfici della semisfera y e del cono y, la cui generatrice forma un angolo di con l asse di simmetria, e delimitata superiormente dal piano Risulta particolarmente indicata la sostituione con coordinate polari sferiche In questo modo il dominio D diventa D,,,,, la funione cos 5

6 f sin cos, sin sin, cos sin cos, il determinante jacobiano è sin e ddyd d d d D l integrale: cos sin cos sin cos cos sin cos d d sin cos d d cos d d sin tan sin tan sin cos 9 cos Calcolate la misura di e l integrale ddyd 8 Considerate l insieme, y,, y,,, y, y L insieme è individuato dal guscio sferico di centro l origine e raggi e, e dai coni le cui rette generatrici formano con l asse angoli di ampiea e e con vertice in,, Ne risulta un solido di rotaione, una sorta di ciambella che ha per seione un settore di corona circolare Il passaggio a coordinate sferiche ci permette di semplificare molto l aspetto dell insieme, che diventa un parallelepipedo Infatti,,,, Il volume di perciò risulta: sin sin 7 cos 7 V ddyd d d d d d d La funione da integrare ha una forma molto semplice in coordinate sferiche: ddyd ddd d d d cos sin tan log log log cos 6