COMPLESSITA COMPUTAZIONALE ESERCITAZIONI (I PARTE) Tutor: Francesca Piersigilli

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1 COMPLESSITA COMPUTAZIONALE ESERCITAZIONI (I PARTE) Tutor: Fracesca Piersigilli

2 ANALISI DI ALGORITMI Aalizzare u algoritmo sigifica prevedere le risorse che esso richiede: MEMORIA TEMPO Per fare ciò assumeremo che le istruzioi dell algoritmo vegoo eseguite ua dopo l altra seza possibilità di eseguire operazioi i maiera cocorrete.

3 Isertio sort (I) Per otteere u array ordiato basta costruirlo ordiato, iseredo gli elemeti al posto giusto fi dall iizio. Si agisce sull array, i modo tale che i primi k elemeti risultao essere sempre ordiati

4 Isertio sort (II) Scelta di progetto i ogi istate, le prime K celle (umerate da 0 a K-1) costituiscoo parte dell array ordiato; le successive N-K celle costituiscoo la parte residua dell array origiale. ORDINATO DA ORDINARE

5 Isertio sort (III) Come cosegueza della scelta di progetto fatta, i ogi istate il uovo elemeto da iserire si trova ella cella successiva alla fie del uovo array, cioè la (K+1)-esima (il cui idice è K)

6 Calcolo Complessità INSERTION SORT (I) alizziamo i dettaglio l algoritmo Isertio Sort. azitutto dobbiamo aver presete il codice dell algoritmo: or (j = 1; j < ; j++) { //: umero di elemeti che il vettore cotiee it i, x; i = j-1; x = A[j]; //A[j]: elemeto j-esimo del vettore A while (i >=0 && A[i] > x) { A[i + 1] = A[i]; i--; } A[i+1] = x;

7 Calcolo Complessità INSERTION SORT (II) ISTRUZIONI for (j = 1; j < ; j++) { it i, x; i = j-1; x = A[j]; while (i >=0 && A[i] > x) { COSTO c 1 0 c 2 c 3 c 4 NUMERO DI VOLTE CHE AVVIENE L ESECUZIONE Σ t j i--; } A[i+1] = x; } A[i + 1] = A[i]; c 5 c 6 c 7 Σ (t j -1) Σ (t j -1) -1

8 Calcolo Complessità INSERTION SORT (III) Dove t j è il umero di volte che l istruzioe viee eseguita per quel determiato valore di j. Quidi possiamo dire che la complessità computazioale dell algoritmo Isert Sort è data da: T() = *c 1 + (-1)*c 2 + (-1)*c 3 + Σ t j *c 4 + Σ (t j -1)*c Σ (t j -1)*c 6 + (-1)*c 7

9 Calcolo Complessità INSERTION SORT (IV) Notare che il tempo di esecuzioe dell algoritmo è la somma dei tempi di esecuzioe di ciascua istruzioe eseguita; u istruzioe che costa c i per essere eseguita e che viee elaborata volte, cotribuirà co c i * al totale del tempo di esecuzioe. Per calcolare T(), cioè il tempo di esecuzioe di INSERTION SORT, si sommao i prodotti delle coloe dei costi e delle volte che l istruzioe viee eseguita.

10 Calcolo Complessità INSERTION SORT (V) ipedeza dall iput: che per iput della stessa dimesioe (cioè dello stesso, questo caso umero di elemeti), il tempo di esecuzioe i u algoritmo può dipedere da quale tipo di iput è dato. er esempio, i INSERTION SORT il caso migliore è uado l array è già ordiato: per ogi j, si trova che [i] < x, quado i ha il suo valore iiziale di j-1.

11 Calcolo Complessità INSERTION SORT (VI) Caso migliore : Quidi t j = 1 per j = 1, 2,,, co u tempo di esecuzioe el caso migliore pari a: T() = *c 1 + (-1)*c 2 + (-1)*c 3 + *c 4 + (-1)*c 7 = = *(c 1 +c 4 ) + (c 2 +c 3 +c 7 )*(-1) = Σ t j = Σ 1 = (c 1 +c 2 +c 3 +c 4 +c 7 )* + (c 2 +c 3 +c 7 ) a*+b * a, b dipedoo dai costi c i a b Complessità Lieare

12 Calcolo Complessità INSERTION SORT (VII) aso peggiore: INSERTION SORT il caso peggiore è quado l array è rdiato i ordie iverso (decrescete): i questo caso isoga cofrotare ogi elemeto A[i] co tutto il ottoarray, così che t j = j per j =1, 2,, : 1 t j = Σ j = *(+1) 2 2 =1 (t j -1) = Σ (j-1) = *(-1) 2

13 alcolo Complessità INSERTION SORT (VIII) aso peggiore el caso peggiore il tempo di esecuzioe di u algoritmo di INSERTION ORT è: (+1)-4 (-1) () = *c 1 + (-1)*c 2 + (-1)*c 3 + *c 4 + *c (-1) + *c 6 + (-1)*c 7 = 2 = *c 1 + *c 2 c 2 + *c 3 c * + * - 2*c c 5 c 5 c * - * + 2 * - * + *c 7 c 7 = c 4 c 5 c 6 = ( + + )* 2 +(c 1 +c 2 +c c 7 )*-c 2 -c 3-2c 4 -c a * 2 + c 6 c 4 c 4 c 5 c 6 c 4 b *+ c

14 Calcolo Complessità INSERTION SORT (IX) Caso peggiore a* 2 + b* + c Abbiamo complessità computazioale quadratica. I geere si prede i cosiderazioe il caso peggiore, i modo tale che esiste ua garazia che l algoritmo o potrà mai impiegare tempi maggiori.