TECNICA DIVIDE ET IMPERA

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1 TECNICA DIVIDE ET IMPERA 1. Itroduzioe Data l istaza di u problema, la strategia del divide-et-impera suggerisce di partizioarla i k sotto-istaze i modo da otteere k uove istaze per lo stesso problema di parteza ma di dimesioi ridotte. Queste uove istaze vao risolte e ifie le k soluzioi otteute vao ricombiate i modo da avere ua soluzioe per l istaza di parteza. Se le istaze otteute dalla partizioe soo acora relativamete gradi, allora la strategia può essere riapplicata. I questo modo vegoo geerate istaze sempre più piccole, fio ad otteere istaze sufficietemete piccole da poter essere risolte seza ulteriori partizioameti. Poichè gli algoritmi basati sul divide et impera producoo sotto-istaze dello stesso tipo dell istaza origiale è aturale descriverli facedo uso della ricorsioe. Uo schema geerale è il seguete: DIVIDE-ET-IMPERA INPUT l istaza P del problema IF la dimesioe di P è piccola THEN risolvi P direttamete e sia SOL la sua soluzioe Dividi P i k istaze P 1, P,... P k FOR i = 1 TO k DO ivoca DIVIDE-ET-IMPERA(P i per otteere la soluzioe SOL i per P i Combia le soluzioi SOL 1, SOL,... SOL k per otteere la soluzioe SOL per P OUTPUT SOL. Ovviamete ci soo molti dettagli, tutt altro che margiali, che lo schema o teta di specificare: Come partizioare l istaza da risolvere? Come ricombiare le soluzioi otteute? Quado l istaza può riteersi sufficietemete piccola da poter essere risolta seza ricorrere ad ulteriori partizioameti? Questa tecica o è legata ad ua particolare applicazioe e può, sostazialmete, essere applicata ad ogi tipo di problema (di ricerca, di ottimizzazioe ecc., ache se o sempre forisce soluzioi efficieti. Nelle sezioi che seguoo e vedremo diverse applicazioi. Possiamo tuttavia fare alcue importati cosiderazioi. U primo aspetto riguarda il metodo da seguire per calcolare la complessità di algoritmi di questo tipo. Se co T ( idichiamo il tempo che il procedimeto appea illustrato impiega per risolvere u istaza di dimesioe, si avrà la seguete relazioe di ricorreza: O(1 k i=1 T ( i + D( + C( se è piccolo altrimeti dove D( è il tempo richiesto per partizioare l istaza metre C( è il tempo ecessario a combiare isieme le k soluzioi otteute per avere la soluzioe al problema di parteza. La risoluzioe di ua relazioe di ricorreza o è sempre agevole ed azi, esistoo molti casi i cui la trattazioe è alquato difficile. Fortuatamete le relazioi di ricorreza che risultao dall applicazioe della tecica del divide et impera appartegoo quasi sempre alla stessa classe di relazioi di ricorreza o sue semplici variati. Nella stragrade maggioraza degli algoritmi coosciuti, l istaza viee bipartita (i.e. k =, ioltre per motivi di efficieza, quado possibile, si teta di mateere i sottoproblemi bilaciati (i.e. otteere sottoproblemi approssimativamete della stessa dimesioe. Per quato detto, le equazioi di ricorreza che più comuemete vegoo fuori soo del tipo: O(1 se è piccolo T ( + D( + C( altrimeti 1

2 TECNICA DIVIDE ET IMPERA Più i geerale, suppoedo che u problema di dimesioe geeri a sottoproblemi di dimesioe b e che dividere i sottoproblemi e combiare le soluzioi richiede tempo O(f(, la relazioe di ricorreza corrispodete a questo sceario è ( T ( a T + O(f( b U metodo iformale ma efficace per risolvere quest equazioe è dato dall albero delle chiamate ricorsive. La radice dell albero ha costo O(f( ed ha a figli, ciascuo di costo O ( f ( b. Ciascuo di questi figli ha a sua volta a figli, ciascuo di costo O ( f ( b. I geerale a livello j dell albero ci soo a j odi e ciascuo di questi ha costo O ( f ( b. Il costo di ogi foglia j è Θ(1 e la profodità dell albero è al più b poiché = 1. Si può otteere la soluzioe dell equazioe sommado i b b costi dei livelli iteri dell albero di ricorsioe ed il costo delle al più a b = b a foglie. Vale a dire T ( b ( ( a j O f b j + b a. ESEMPIO 1. Si cosideri il seguete sceario di Divide et Impera: Dividi l iput i due parti di ugual dimesioe, idividua ua delle parti e risolvila ricorsivamete. Restituisci la soluzioe di quella parte come soluzioe del problema spededo tempo costate per l operazioe di divisioe e idividuazioe (questo è lo sceario tipico dell algoritmo RICERCA BINARIA per la ricerca i isiemi ordiati. Per quato detto l algoritmo corrispodete a questo sceario ha u tempo di esecuzioe T ( che soddisfa la ricorreza ( T ( T + O(1 si ha quidi O(1 + O(1 = O 1 + O(1 = O( ESEMPIO. Si cosideri il seguete sceario di Divide et Impera: Dividi l iput i due parti di ugual dimesioe e risolvile ricorsivamete. Combia i due risultati ella soluzioe al problema spededo tempo lieare per l operazioe di ricombiazioe e divisioe (questo è lo sceario tipico dell algoritmo MERGE- SORT per l ordiameto. Per quato detto l algoritmo corrispodete a questo sceario ha u tempo di esecuzioe T ( che soddisfa la ricorreza ( T ( T + O( si ha quidi ( j O j + O( = O + O(O( ESEMPIO 3. Si cosideri lo stesso sceario dell esempio ma co tempo O( per l operazioe di divisioe e ricombiazioe. La ricorreza che viee fuori è allora ( T ( T + O( si ha pertato j O ( j j +O( = O ( j +O( = O ( ( + 1 +O( = O( ESEMPIO 4. Si cosideri lo stesso sceario dell esempio ma co tempo quadratico per l operazioe di divisioe e ricombiazioe. La ricorreza che viee fuori è allora ( T ( T + O ( si ha pertato ( ( j O j + O( = O j + O( = O(

3 TECNICA DIVIDE ET IMPERA 3. Il Problema MASSIMO VALORE DI SOTTOVETTORI Dato u vettore V di iteri, defiiamo sottovettore di V ua qualuque sequeza o vuota di elemeti cosecutivi del vettore e valore del sottovettore la somma dei suoi elemeti. Cosideriamo quidi il seguete problema: Dato u vettore V di iteri, determiare il valore massimo tra i valori dei suoi sottovettori. Ad esempio per il vettore 4 10 } 5 {{ 1 7 } la soluzioe è U algoritmo di forza ( bruta restituisce il valore massimo dopo aver calcolato i valori di tutti i sottovettori di V. U vettore di elemeti ha + = + distiti sottovettori di cosegueza co u simile approccio il meglio che ci si può aspettare è ua complessità temporale O(. L implemetazioe che segue, calcolado i modo accorto i valori dei diversi sottovettori, garatisce proprio questa prestazioe. MAX-VALORE: INPUT u vettore V di iteri SOL FOR i = 1 TO DO somma 0 FOR j = i TO DO somma somma + V [j] IF somma > SOL THEN SOL somma OUTPUT SOL. Nulla ci dice che debbao ecessariamete essere calcolati i valori di tutti i sottovettori di V. Quello che descriveremo ora è u algoritmo basato sulla tecica del divide et impera che risolve il problema i O( tempo. Qualora il vettore V abbia u uico elemeto allora il problema è baalmete risolvibile (i.e. la soluzioe è l uico valore V[1]. Assumiamo quidi. I base allo schema della tecica partizioiamo il vettore V i due sottovettori V S e V D di dimesioi e rispettivamete e risolviamo i due sottoproblemi così otteuti. Siao SOL1 e SOL le soluzioi ai due sottoproblemi (i.e. SOL1 è il valore massimo per i sottovettori di V S metre SOL è il valore massimo per i sottovettori di V D. Al fie di risolvere il problema o basta calcolare il valore max{sol1, SOL} i quato, così facedo, si trascurerebbe il cotributo che possoo dare alla soluzioe i valori di tutti quei sottovettori che hao parte dei loro elemeti i V S e parte i V D e ulla vieta che il sottovettore di valore massimo per V sia proprio tra questi. L algoritmo deve quidi restituire max{sol1, SOL, SOL3}, dove SOL3 è il valore massimo per quei sottovettori che cotegoo sia elemeti di V S che elemeti di V D. Allo scopo di calcolare SOL3 otiamo che SOL3 = maxsi + maxdes dove maxsi è il valore massimo per quei sottovettori di V S che termiao co l elemeto fiale di V S metre maxdes è il valore massimo per quei sottovettori di V D che iiziao co l elemeto iiziale di V D. I valori degli sottovettori di V S che ci iteressao possoo essere calcolati facilmete scorredo il vettore V S da destra verso siistra, i modo aao, scorredo il vettore V D da siistra verso destra possiamo calcolare gli valori dei sottovettori di V D. Lo pseudo-codice dell algoritmo appea descritto è il seguete: L algoritmo MAX-VALORE1, essedo ricorsivo, prede i iput il vettore V degli iteri e il primo e l ultimo idice del sottovettore di V su cui vogliamo risolvere il problema. Quidi la prima chiamata sarà MAX-VALORE1(V, 1,. MAX-VALORE1 INPUT il vettore V co iteri, primo idice i e l ultimo idice j IF i = j THEN SOL V [i] m i+j SOL1 MAX-VALORE1(V, i, m SOL MAX-VALORE1(V, m + 1, j maxsi V [m] si V [m] FOR k = m 1 TO i (step 1 DO si si + V [k]

4 4 TECNICA DIVIDE ET IMPERA IF si > maxsi THEN maxsi si maxdes V [m + 1] des V [m + 1] FOR k = m + TO j DO des des + V [k] IF des > maxdes THEN maxdes des SOL3 maxsi + maxdes SOL max{sol1, SOL, SOL3} OUTPUT SOL. Per calcolare il tempo T ( richiesto dall algoritmo per risolvere u istaza di dimesioe possiamo procedere come segue: il tempo D( richiesto per partizioare l istaza di dimesioe è Θ(1 metre il tempo C( ecessario a ricombiare isieme le soluzioi otteute è Θ(. Di cosegueza: Θ(1 if = 1 T ( + Θ( altrimeti che risolta da Θ( Per il problema i esame è i realtà oto u semplice algoritmo che lo risolve i O( tempo, l algoritmo usa ua tecica differete: la programmazioe diamica. Pesare di poter risolvere il problema seza esamiare tutti gli iteri preseti el vettore è ovviamete impossibile, Ω( è quidi u limite iferiore alla complessità temporale del problema. L algoritmo basato sulla la programmazioe diamica è quidi ottimo. 3. Il Problema DISTANZA MINIMA TRA PUNTI Descriveremo ora u altro problema che può essere risolto efficietemete co u algoritmo basato sullo stile di programmazioe che stiamo descrivedo, dove il modo giusto di fodere le soluzioi dei sottoproblemi che vegoo via-via geerati richiede u certo igego. Il problema che cosideriamo è molto semplice da euciare: Dati puti sul piao, determiare la coppia a distaza miima. Comiciamo co u pò di otazioe. Deoteremo l isieme di puti co P = {p 1, p,... p } dove p i ha coordiate (x i, y i e per due puti p i e p j i P co dist(p i, p j idicheremo la distaza euclidea tra i due (vale a dire dist(p i, p j = (xi x j + (y i y j. Nel seguito assumeremo che i P o ci soo due puti co la stessa x-coordiata o la stessa y-coordiata. Ciò rederà la trattazioe più chiara ed è facile poi estedere l algoritmo che descriveremo i modo da elimiare questa assuzioe. ( U algoritmo di forza bruta calcola la distaza per tutte le coppie di puti e prede la miima. Per puti ci soo coppie distite e quidi Θ( distaze da calcolare. L algoritmo i pseudo-codice è il seguete: COPPIA-MIN INPUT il vettore P co gli puti. mi + FOR i = 1 TO 1 DO FOR j = i + 1 TO DO δ dist(p i, p j IF δ < mi THEN mi δ SOL (p i, p j

5 TECNICA DIVIDE ET IMPERA 5 OUTPUT SOL ( Al fie di risolvere il problema, è veramete ecessario calcolare le distaze per tutte le algoritmi più efficieti di COPPIA-MIN? coppie di puti o esistoo È istruttivo cosiderare per u attimo la versioe modo-dimesioale del problema. Come possiamo trovare la coppia più vicia tra i puti su di ua retta? Prima li ordiiamo per coordiata crescete e poi scorredo la lista ordiata calcoliamo la distaza di ciascu puto co quello che lo segue ell ordiameto. È facile vedere che ua di queste distaze deve essere quella miima. COPPIA-MIN-SU-RETTA INPUT il vettore P co gli puti. ordia gli elemeti di P rispetto alla coordiata x sia {p j1, p j,... p j } la sequeza otteuta mi + FOR i = 1 TO 1 DO δ dist(p ji, p ji+1 IF δ < mi THEN mi δ SOL (p ji, p ji+1 OUTPUT SOL L algoritmo COPPIA-MIN-SU-RETTA permette di risolvere il problema calcolado solo Θ( distaze co tempo di esecuzioe che, utilizzado u efficiete algoritmo di ordiameto, è O(. Nelle due dimesioi potremmo cercare di ordiare i puti rispetto alla loro x-coordiata ( o la loro y-coordiata e sperare che i due puti più vicii risultio adiaceti l uo all altro i uo dei due ordiameti. Tuttavia è facile costruire esempi i cui risultao al cotrario molto lotai i etrambi gli ordiameti, precludedo così la possibilità di adattare l approccio moo-dimesioale al caso bidimesioale. Descriveremo ora u algoritmo basato sulla tecica divide-et-impera. L idea è quella di trovare la coppia più vicia tra i puti el lato di siistra di P e la coppia più vicia tra i puti el lato di destra di P e poi utilizzare queste iformazioi per otteere la soluzioe i tempo lieare. Se sviluppiamo u algoritmo co questa struttura allora la complessità di tempo sarà data da T ( + O( che, come visto ell esempio, ha come soluzioe O(, Se l isieme P è composto da soli 3 puti il problema viee risolto i modo esaustivo calcolado le distaze delle 3 distite coppie di puti e restituedo quella miima. Assumiamo quidi che il umero di puti sia superiore a 3. I base allo schema della tecica divide-et impera partizioiamo l isieme P i due sottoisiemi P S e P D coteeti puti e puti, rispettivamete, co la proprietà che essu puto di P D sia alla siistra dei puti di P S. Risolviamo ora i due sottoproblemi e siao SOL1 e SOL le loro soluzioi(vale a dire SOL1 è la coppia a distaza miima per i puti i P S e SOL è la coppia a distaza miima per i puti i P D. Sia ora δ = mi{dist(sol1, dist(sol}, al fie di risolvere il problema per l isieme P o è corretto restituire delle due coppie SOL1 e SOL quella i cui puti soo a distaza δ ( così facedo, o si terrebbe coto delle distaze tra coppie di puti caratterizzate dall avere u estremo i P S e l altro i P D e proprio tra coppie di questo tipo. Sia ora x la x-coordiata del puto più a destra i P S ed L la liea verticale descritta dall equazioe x = x, questa liea separa P S da P D. Ovviamete ua coppia co u estremo i P S e l altro i P D può evetualmete avere distaza iferiore a δ solo se ciascuo dei suoi puti dista per meo di δ da L. Sia quidi Q il sottoisieme dei puti i P che hao coordiata x apparteete all itervallo ]L δ, L+δ[. Per quato detto, alla ricerca di evetuali coppie di puti di P a distaza iferiore a δ, basterà cosiderare le coppie di puti i Q. Idicado quidi co SOL3 la coppia a distaza miima per i puti di Q, delle tre coppie otteute è soluzioe al problema quella co distaza pari a mi{dist(sol1, dist(sol, dist(sol3}. Lo pseudocodice di quato appea descritto è COPPIA-DISTANZA-MIN INPUT u isieme P co puti IF 3 THEN SOL la coppia di puti a distaza miima (trovata esaustivamete

6 6 TECNICA DIVIDE ET IMPERA P S gli puti di P più a siistra el piao P D P P S x la coordiata x del puto più a destra i P S SOL1 DISTANZA-MIN(P S SOL DISTANZA-MIN(P D SOL la coppia a distaza miima tra le due coppie SOL1 e SOL δ dist(sol Q i puti di P co coordiata x ell itervallo [x δ, x + δ] IF Q > 1 THEN SOL3 la coppia a distaza miima tra i puti i Q SOL la coppia a distaza miima tra le due coppie SOL3 e SOL OUTPUT SOL. Se assumiamo i puti i P ordiati rispetto alla coordiata x, allora il tempo D( richiesto per partizioare l istaza è O(1, basterà ifatti richiamare il problema prima sui primi puti e poi sui rimaeti. Cosideriamo quidi il tempo C( richiesto per combiare le soluzioi. Questo tempo ( è domiato dal costo della ricerca del valore SOL3 ell isieme Q. Q Ricercare la distaza miima i Q calcolado tutte le distaze per le coppie i Q determierebbe u costo O( Q e poiché i Q potrebbero esserci puti dell ordie di. La complessità della procedura sarebbe data dalla ricorreza ( T + O( e quidi (vedi esempio 4 si avrebbe u tempo di calcolo O( seza alcu vataggio rispetto alla ricerca esaustiva. Fortuatamete ( per la ricerca i Q di coppie di puti a distaza iferiore a δ o è affatto ecessario cotrollare le distaze Q di tutte le coppie di puti come si deduce dalla seguete proprietà Si assumao i puti di Q ordiati rispetto alla coordiata y, allora due puti di Q co distaza iferiore a δ distao al più 7 posizioi. Dimostrazioe. Sia q = (q x, q y u puto di Q e cosideriamo la zoa di piao idividuata dal rettagolo di dimesioe δ δ coteete puti co coordiata x i [x δ, x + δ] e coordiata y i [q y, q y + δ]. Partizioiamo il rettagolo i 8 quadrati di ugual dimesioe δ δ. Suppoiamo che due puti di Q siao situati all itero di uo stesso quadrato. Poiché tutti i puti di uo stesso quadrato risiedoo da ua stessa parte della retta L questi due puti o apparterrebbero etrambi a P S o etrambi a P D e disterebbero al più ( δ + ( δ = δ < δ. Il che cotraddice la defiizioe di δ come distaza miima tra coppie di puti i P S o i P D. Quidi ciascu quadrato cotiee al più u puto di Q. U qualsiasi puto p i Q co coordiata y superiore a q y al di fuori di questi 8 quadrati dista da p i verticale di almeo δ. quidi se ache tutti i quadrati coteessero u puto di Q qualsiasi puto p che dista da p ell ordiameto rispetto alla coordiata y più di 7 posizioi dista da p di almeo δ. Grazie alla proprietà appea dimostrata, per la ricerca di puti i Q a distaza iferiore a δ, basterà ordiare i puti di Q per coordiata y o decrescete e poi, per ciascu puto, calcolare la distaza tra questo e i 7 che lo seguoo ell ordiameto, per u totale di O( Q cofroti. Stado così le cose, il tempo C( richiesto per combiare le soluzioi è dato dal tempo richiesto per ordiare i puti i Q rispetto alla coordiata y, tempo che, co u efficiete algoritmo d ordiameto, ammota a O( Q Q. La complessità della procedura è ora descritta dalla ricorreza Θ(1 se = 3 T ( + O( altrimeti

7 TECNICA DIVIDE ET IMPERA 7 Che risolta (vedi esempio 3 dà O(. Il tempo richiesto per ordiare prelimiarmete rispetto alla coordiata x l isieme di puti P è O(. La complessità di tempo dell implemetazioe appea descritta è quidi O(. Veiamo ora a determiare u implemetazioe dell algoritmo che garatisca tempi di calcolo dell ordie O(. U modo più efficiete di implemetare l algoritmo è di far uso di ua procedura che, oltre a restituire la soluzioe all istaza del problema, si occupa ache di riordiare i puti dell istaza rispetto alla coordiata y. Così facedo, dopo aver risolto i due sottoproblemi per P S e P D ho ache i puti dei due sottovettori P [1,..., ] e P [ + 1,..., ] ordiati rispetto alla coordiata y e posso efficietemete riordiare l itero vettore P i tempo O( di modo che, scorredo poi i puti di P da siistra a destra ricaviamo i puti di Q ordiati rispetto alla coordiata y. Il tempo D( richiesto per partizioare l istaza di dimesioe è Θ(1 metre il tempo C( ecessario a ricombiare le soluzioi è ora O(. Quidi il tempo di calcolo T ( richiesto dalla procedura per risolvere u istaza di dimesioe è dato dall equazioe di ricorreza Θ(1 se = 3 Da cui O(. T ( + O( altrimeti Quello che segue è lo pseudocodice dell implemetazioe appea descritta. DISTANZA-MIN1 prede i iput il vettore P i cui puti soo stati prelimiarmete ordiati rispetto alla coordiata x L algoritmo fa uso di ua sottoprocedura FONDI. Scopo della chiamata a FONDI(P S, P D è quello di riordiare i puti del sottovettore P rispetto alla coordiata y i tempo O( sfruttado il fatto che i puti dei sottovettori P S e P D soo gia ordiati. COPPIA-DISTANZA-MIN1 INPUT u vettore P co 3 puti IF 3 THEN riordia i puti rispetto alla coordiata y SOL la coppia di puti a distaza miima (trovata esaustivamete P S i primi puti di P P D gli ultimi puti di P x la coordiata x dell ultimo puto i P S SOL1 DISTANZA-MIN(P S SOL DISTANZA-MIN(P D SOL la coppia a distaza miima tra le due coppie SOL1 e SOL δ dist(sol P FONDI(P S, P D Q i puti di P co coordiata x ell itervallo [x δ, x + δ] (otteuti scorredo il vettore P IF Q > 1 THEN SOL3 la coppia a distaza miima tra i puti i Q che distao tra loro al più 7 posizioi SOL la coppia a distaza miima tra le due coppie SOL3 e SOL OUTPUT SOL. Si cosideri il seguete problema oto come SELEZIONE: 4. Il problema della SELEZIONE Dato u isieme di iteri distiti ed u itero k, co 1 k, trovare l elemeto che occuperebbe la k-ma posizioe se l isieme fosse ordiato. Se k = 1 il problema si riduce alla ricerca dell elemeto miimo dell isieme, metre per k = quel che si vuole è l elemeto massimo. Per questi casi particolari il problema può essere baalmete risolto i O( tempo scadedo gli elemeti

8 8 TECNICA DIVIDE ET IMPERA dell isieme. I geerale il problema della SELEZIONE può essere facilmete risolto i O( tempo: ifatti si possoo ordiare gli elemeti dell isieme co u efficiete algoritmo d ordiameto e poi selezioare quello che compare ella k- esima posizioe. Vedremo ora u algoritmo basato sulla tecica del divide-et-impera. che risolve il problema i tempo O(. Sia S u isieme di umeri e defiiamo mediao quel umero di S che fiirebbe ella posizioe di mezzo se i umeri veissero ordiati ( per risolvere il caso di pari dove o c è posizioe di mezzo più formalmete il mediao è defiito come l elemeto che dopo l ordiameto fiisce ella posizioe. Cosideriamo per comiciare il seguete algoritmo ricorsivo SELEZIONA1 INPUT l isieme S e l itero k, co 1 k S IF S = 1 THEN SOL l uico elemeto i S scegli elemeto x mediao di S S1 gli elemeti di S a valore iferiore ad x S gli elemeti di S a valore superiore ad x CASE k S1 : SOL SELEZIONA1(S1, k k = S1 + 1 : SOL x k > S1 + 1 : SOL SELEZIONA1(S, k ( S1 + 1 ENDCASE OUTPUT SOL Poichè ogi chiamata ricorsiva come miimo dimezza la dimesioe del problema e il tempo ecessario a ricombiare la soluzioe otteuta è O(1 (u semplice assegameto, qualora l idividuazioe del mediao richiedesse O(, il tempo D( richiesto per scomporre u istaza di dimesioe sarebbe O( (ua semplice scasioe dell isieme S permette di costruire i due isiemi S1 ed S, otterremmo la relazioe di ricorreza T ( + O( che ha soluzioe O( Sperare di poter, i modo efficiete (vale a dire i tempo O(, idividuare il il mediao dell isieme è u compito forse troppo ambizioso. Rilassiamo le ostre pretese e cerchiamo di selezioare come pero della suddivisioe qualcosa che risulti poi essere o troppo lotao dal mediao di S, ad esempio qualcosa che disti da esso al più S 4. I questo modo ogi chiamata ricorsiva sarebbe su di ua frazioe dell istaza al più grade 3 S 4 e quidi la dimesioe dell istaza verrebbe ridotta di almeo 1 4 ad ogi chiamata ricorsiva. Come otteere efficietemete u pero co questa proprietà? L idea qui è quella di cercare il pero o tra tutti gli elemeti di S ma su u opportuo campioe di questi. E come scegliere il campioe? Facedo i modo che ciascuo degli elemeti del campioe risulti essere mediao di u certo umero di elemeti di S. I pseudocodice l algorimo è il seguete SELEZIONA INPUT l isieme S e l itero k, co 1 k S IF S 60 THEN ordia S SOL il k-mo elemeto di S ordia S a gruppi di 5 elemeti a parte l ultimo che potrebbe coteere u umero iferiore di elemeti A i mediai di ciascuo degli 5 gruppi ordiati di S m SELEZIONA(A, 10 S1 gli elemeti di S a valore iferiore ad m S gli elemeti di S a valore superiore ad m CASE

9 k S1 : SOL SELEZIONA(S1, k k = S1 + 1 : SOL m k > S1 + 1 : SOL SELEZIONA(S, k ( S1 + 1 ENDCASE OUTPUT SOL TECNICA DIVIDE ET IMPERA 9 Comiciamo col dimostrare che effettivamete l elemeto m scelto come pero dall algoritmo ha la proprietà di geerare sottoisiemi S1 ed S di S di cardialità limitata: Gli isiemi S1 ed S costruiti dall algoritmo a partire da u isieme S di cardialità hao cardialità iferiore a 3 4. Dimostrazioe. 10 elemeti i A hao valore miore o uguale ad m, di questi almeo 10 1 soo mediai di gruppi di 5 elemeti preseti i S, quidi i S ci soo almeo 3 ( elemeti a valore miore o uguale ad m. Otteiamo quidi che ( 3 S 10 3 = < 3 4 dove l ultima diseguagliaza segue dal fatto che > 60. Co aao ragioameto si dimostra che S1 < 3 4. La complessità di tempo T ( dell algoritmo può essere trovata risolvedo la seguete relazioe di ricorreza ( ( 3 T ( < T + T + O( 5 4 che può essere giustificata dalle segueti cosiderazioi la costruzioe dell isieme A co gli 5 mediai richiede O( tempo (basta ordiare l isieme S a gruppi di cique e selezioare poi da S gli 5 iteri elle posizioi j, co 0 j < 5 il calcolo del mediao i A è effettuato eseguedo ua chiamata ricorsiva della procedura su di u isieme di cardialità ( 5. Ciò richiede T 5 tempo. la costruzioe degli isiemi S1 ed S richiede O( tempo (ua semplice scasioe di S permette di otteere S1 ed S. la chiamata ricorsiva che restituisce la soluzioe viee evetualmete eseguita su uo degli isiemi S1 ed S, isiemi che, per la proprietà prima dimostrata, hao cardialità limitata da 3 4. Ciò richiede T ( 3 4 tempo. La relazioe di ricorreza appea idividuata è tipicamete geerata da algoritmi di tipo divide et impera che dividoo il problema origiario i due sottoproblemi i maiera o bilaciata. Possiamo cosiderare questa ricorreza come u caso particolare della seguete relazioe T (α + T (β + c co α + β < 1 mostreremo ora col procedimeto iformale basato sull aalisi dell albero di ricorsioe che tale relazioe ha soluzioe O(. Il fatto che la somma delle parti, α + β, sia strettamete miore della dimesioe origiaria giocherà u ruolo determiate ell aalisi. La relazioe T (α + T (β + c co α + β < 1 ha soluzioe T ( < c 1 (α+β = O(. Dimostrazioe. Cosideriamo l albero delle chiamate ricorsive geerato dalla ricorreza e mostrato i figura 4, aalizziamo il suo costo per livelli. Al primo livello abbiamo u costo (α + β, al secodo u costo (α + β e così via. Il tempo di esecuzioe totale è quidi T ( < c + c (α + β + c (α + β... c (α + β i 1 = c 1 (α + β dove l ultimo passaggio segue dal fatto che α + β < 1 e la serie geometrica i=0 xi, co x < 1, coverge a 1 1 x, i=0

10 10 TECNICA DIVIDE ET IMPERA α β (α + β α β α β α β (α + β Figure 1. Albero di ricorsioe corrispodete alla relazioe T (α + T (β + c.