gfurnari CERCHIO ED IPERBOLI

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1 CERCHIO ED IPERBOLI La funzione complessa cerchio, come viene confermato dall equivalente (al solo fine degli zeri, ma comunque anche come campo di esistenza) funzione ovoidale, esiste per tutti i punti del piano complesso; o, se si vuole, trasforma tutti i punti del piano complesso. Ma se un modo ordinato di raggruppare i punti da trasformare può essere quello di considerare gli ovali di Cassini che vengono trasformati in cerchi con centro nel punto nullo, esiste un secondo modo, più semplice, capace di caratterizzare meglio la funzione cerchio. Esso sorge spontaneamente, se si sofferma l attenzione sul fatto per cui nell espressione Y 2 + X 2 = R 2 che, essendo complessa, ha caratteristiche vettoriali, le due componenti Y 2 ed X 2, per potersi sommare ottenendo R 2 (in un primo momento consideriamo R reale) non possono essere qualsiasi ma sottostanno ad una relazione di interdipendenza. 6

2 Ad esempio, come si vede in figura, si può ottenere R 2 sommando una qualsiasi coppia di complessi j-coniugati che stiano sulla retta verticale composta da tutti i punti che hanno per ascissa R 2 /2. Ed è anche possibile ottenere R 2 a partire da coppie di numeri complessi che stiano su una qualsiasi retta obliqua passante per il punto ( R 2 /2, 0) e disposti in modo da ottenere R 2 con il metodo della somma vettoriale a losanga. Questo secondo caso include il primo. Sempre nel caso di R reale, potremo scrivere: Y 2 = (Yr + Yi j) 2 = Yr 2 Yi 2 + 2YrYi j X 2 = (Xr + Xi j) 2 = Xr 2 Xi 2 + 2XrXi j = x 2 y 2 + 2xy j E possiamo considerare i due casi 1) retta verticale passante per (R 2 /2, 0) [ k = 0, m = ] Xr 2 Xi 2 = R 2 /2 Yr 2 Yi 2 = R 2 /2 = Xr 2 Xi 2 XrXi = YrYi 2) retta obliqua passante sempre per (R 2 /2, 0) [ m = 2YrYi / ( Yr 2 Yi 2 R 2 /2) ] Xr 2 Xi 2 = R 2 /2 k [ m = 2YrYi /k = 2XrXi /k ] Yr 2 Yi 2 = R 2 /2 + k = Xr 2 Xi k XrXi = YrYi Nel primo caso avremo Y = Y 2 = Yr 2 Yi YrYi j = Xr 2 Xi 2-2 XrXi j = R 2 /2 2 xy j = 7

3 = R 4 /4 4 x 2 y 2 R 2 /2]/2 R 4 /4(1 16 x 2 y 2 /R 4 R 2 /2]/2 j = = R/2 1 4 x y / R 2 ) x y / R 2 ) 2 1 j = Cr + Ci j e si può scrivere Cr 2 Ci 2 = R 2 / x y / R 2 ) x y / R 2 ) 2 1 = R 2 /2 L equazione Cr 2 Ci 2 = R 2 /2 è un iperbole equilatera che si può scrivere anche nella forma Ci = Cr 2 - R 2 /2 = ( Cr + R/ 2 )( Cr R/ 2 ) E quindi i suoi vertici hanno coordinate R/ 2. Scritta nella forma Cr 2 / (R 2 /2) - Ci 2 / (R 2 /2) = 1 fornisce le coordinate dei due fuochi in R 2 /2 + R 2 /2 = R da cui si deduce che i fuochi distano proprio R dall origine degli assi, ed R è il raggio del nostro cerchio complesso. Invece le due direttrici complesse distano R 2 /2 dall origine degli assi, sono esterne ai rami dell iperbole per R < 2, tangenti nei vertici per R = 2 e secano i rami dell iperbole per r > 2. L eccentricità vale proprio 2, come per tutte le iperboli equilatere. Inoltre, ricavandole direttamente dalla figura che segue, si ha, in coordinate polari C = (R 2 /2) / cos(2 ) e, posto r = C, 8

4 r 2 = R 2 /[2 cos(2 )] = R 2 /[2(cos 2 - sen 2 )] Nel secondo caso, con le rette oblique passanti per R 2 /2, avremo Y = Y 2 = Yr 2 Yi YrYi j = R 2 /2 + k 2 XrXi j = R 2 /2 2xy/m 2 xy j 9

5 da cui, sviluppando e semplificando, si ottiene l espressione (1) Cr 2 Ci 2 = R 2 /2 2 xy/m Questa espressione rappresenta una famiglia di curve in base al parametro m e per m che tende ad infinito, il che equivale a considerare la retta verticale, si riduce all iperbole equilatera del caso 1). Se invece si fa tendere m a zero, ovvero considerando l infinitesimo dm secondo l analisi non-standard, otteniamo (Cr 2 Ci 2 ) dm = R 2 /2) dm 2 xy ed estraendo la parte standard: 2 xy = 0, ovvero xy = 0, cioè x = 0, y = 0 il che vuol dire che la curva degenera nei due assi cartesiani. Il grafico che segue, elaborato per m > 0, conferma queste considerazioni e ci mostra che la famiglia di curve sembra essere una famiglia di iperboli equilatere tutte con gli asintoti disposti ad angolo retto. 10

6 Considerando un elaborazione che consideri coefficienti angolari sia positivi che negativi, scelti con un certo equilibrio, si ottiene E questa immagine rappresenta bene la struttura intrinseca del nostro cerchio complesso, tenendo conto che il cerchio in rosso esiste solo su un grafico cartesiano che rappresenti la parte reale; nel piano complesso serve soltanto a raffrontare le misure tra i vari punti ivi rappresentati. Sempre sul piano complesso, le soluzioni reali non sono rappresentabili efficacemente così come sul piano cartesiano reale: su di esso si riducono ai punti di un segmento che va da -R a +R, come nel grafico seguente dove il segmento orizzontale in verde rappresenta le soluzioni reali, mentre i due segmenti verticali in giallo rappresentano le soluzioni immaginarie pure, che si incontrano sempre nel campo reale assegnando alla variabile x valori assoluti più grandi del raggio. In realtà i due segmenti in giallo sarebbero due semirette verticali indefinitamente estese verso l alto e verso il basso. 11

7 Nella seguente elaborazione, dove si trasforma un insieme di punti omogeneo ed ordinato ed una griglia ortogonale, si evidenziano invece le zone in cui i punti trasformati risultano diradati e le zone in cui si ha accumulazione; e queste ultime corrispondono ai dintorni dei due punti comuni a tutte le iperboli: ( R/ 2, 0). 12