STIME SUBELLITTICHE PER OPERATORI SOMMA DI QUADRATI

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1 Alma Mater Studiorum Università di Bologna FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Matematica STIME SUBELLITTICHE PER OPERATORI SOMMA DI QUADRATI Tesi di Laurea in Analisi Matematica Relatore: Chiar.mo Prof. BRUNO FRANCHI Presentata da: LAURA VENIERI I Sessione Anno Accademico 2010/2011

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3 Introduzione Le equazioni dierenziali alle derivate parziali di secondo ordine con forma caratteristica non negativa e degenere comparvero in letteratura n dai primi anni del 1900, studiate da M. Picone. Il loro interesse applicativo, in particolare in sica per processi di diusione, fu scoperto successivamente da A.D. Fokker, M. Planck e A.N. Kolmogorov, per poi trovare riscontro in diversi ambiti di ricerca teorica e applicata, fra cui geometria di Cauchy-Riemann, calcolo delle variazioni, superci minimali e convessità in insiemi sub-riemanniani, teoria cinetica dei gas e modelli matematici in nanza. Per un'introduzione storica completa e una bibliograa esaustiva sulle equazioni di secondo ordine con forma caratteristica non negativa e degenere rinviamo a [1], dove viene presentato un quadro aggiornato delle ricerche nel settore. Fichera fu il primo a compiere studi sistematici sui problemi al contorno per operatori ellittico-parabolici e nel 1956 provò teoremi di esistenza di soluzioni deboli del problema di Dirichlet. Alcuni anni più tardi O.A. Oleĭnik, E.V. Radevič, J.J. Kohn e L. Niremberg dimostrarono diversi risultati di esistenza e regolarità per operatori ellittico-parabolici. I risultati più interessanti vennero raggiunti studiando le proprietà di regolarità delle soluzioni di equazioni ellittico-paraboliche dipendenti solo da proprietà geometriche dell'operatore. Particolare importanza ha il teorema dimostrato da L. Hörmander nel Teorema (Teorema di Hörmander). Siano X 1,..., X m e Y campi vettoriali regolari, cioè operatori dierenziali di primo ordine con coecienti C nell'aperto limitato Ω R N. Se in ogni punto x Ω si possono trovare N operatori linearmente indipendenti fra X 1,..., X m, Y e tutti i loro commutatori, allora l'operatore L = m Xj 2 + Y i

4 ii è ipoellittico, cioè ogni distribuzione u che soddisfa Lu=f è di classe C in ogni aperto V Ω tale che f C (V ). Il signicato geometrico della condizione del teorema di Hörmander è stato chiarito da C. Caratheodory, W.L. Chow e P.K. Rashevsky mediante il seguente teorema. Teorema Se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Hörmander, allora dati due punti x, y Ω, sucientemente vicini, esiste una curva regolare a tratti, contenuta in Ω e che collega x e y, che è la somma di traiettorie integrali dei campi vettoriali ±X 1,..., ±X m, ±Y. Dato un campo vettoriale X = N a j j, si dice che una curva γ : I R N, con I intervallo reale, è una traiettoria integrale di X se per ogni t I. Presentiamo due semplici esempi. γ(t) = (a 1 (t),..., a N (t)) Esempio 0.1. Si considerano in R 2 i due campi vettoriali X 1 = x, X 2 = x y e l'operatore L = X1 2 + X2. 2 Dato che [X 1, X 2 ] = x (x y ) x y ( x ) = y + x xy x yx = y, si ha che X 1 e [X 1, X 2 ] sono linearmente indipendenti, cioè soddisfano la condizione di Hörmander. Per il teorema di Chow, quindi, dati due punti (a, b) e (a, b ) in R 2 si può trovare una curva che li congiunge che sia somma di traiettorie integrali dei campi ±X 1, ±X 2. Si possono considerare, senza perdere generalità, i due punti allineati in orizzontale o in verticale poiché, nel caso in cui non lo fossero potrebbero essere congiunti mediante un tratto di curva orizzontale e un tratto verticale. Se i due punti sono allineati orizzontalmente, cioè sono del tipo (a, b) e (a, b), si cerca una curva γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)) tale che γ(t) = (1, 0) e γ(0) = (a, b). Si trova che γ(t) = (t + a, b) soddisfa le richieste, quindi il punto di arrivo viene raggiunto in un tempo pari a t = a a. Se, invece, i punti sono allineati verticalmente, cioè sono del tipo (a, b) e (a, b ) bisogna distinguere due casi a seconda che a sia o meno uguale a 0. Se a 0 allora si cerca una curva γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)) che congiunga i due punti con γ(t) = (0, γ 1 (t)) e γ(0) = (a, b). Si trova quindi γ(t) = (a, at+b). Il punto di arrivo viene raggiunto quando at+b = b, cioè in un tempo t = b b. a Se a è piccolo, cioè se il punto di partenza è vicino all'asse x, allora il tempo impiegato per raggiungere il secondo punto può essere molto grande. Se a = 0 allora non si può andare da (0, b) a (0, b ) lungo un segmento verticale ma bisogna percorrere un tratto orizzontale no ad un punto (a, b), poi

5 iii un tratto verticale no a (a, b ) e inne un altro orizzontale per raggiungere (0, b ). In questo caso se a è grande allora si impiega molto tempo per percorrere i due segmenti orizzontali ma poco per percorrere quello verticale, se a è piccolo avviene invece il contrario. Il tempo totale è dato da t = b b + a. a Si trova che il tempo è minimo quando b b = a, cioè a = b a b, ossia il tempo è dell'ordine di b b. Esempio 0.2. Si considerano in R 3 i due campi vettoriali X 1 = x 1 2 y z, X 2 = y x z e l'operatore L = X X 2 2, il cosiddetto sub-laplaciano del gruppo di Heisenberg. Dato che [X 1, X 2 ] = xy z x xz 1 2 y yz 1 4 xy zz xy z y yz 1 2 x xz xy zz = z, si ha che X 1, X 2 e [X 1, X 2 ] sono linearmente indipendenti quindi soddisfano la condizione di Hörmander. Così l'operatore L è ipoellittico e vale il teorema di Chow. In questa tesi viene presentata una dimostrazione del teorema di Hörmander proposta da J.J. Kohn, che fa uso di alcune nozioni elementari sugli operatori pseudodierenziali e il cui punto cruciale è la prova della stima subellittica u ɛ C( P u + u ) per u C 0, dove P è un operatore del tipo di quelli che compaiono nel teorema. Il Capitolo 1 contiene alcune denizioni utili nel seguito ed è suddiviso in tre parti riguardanti le distribuzioni, gli operatori dierenziali e gli operatori pseudodierenziali. Il Capitolo 2 contiene invece la dimostrazione della stima subellittica, preceduta da quella di una stima di energia sulla quale si basa. Termina con un lemma di localizzazione della stima subellittica. Nel Capitolo 3 viene inne proposta la dimostrazione del fatto che la stima subellittica implica l'ipoellitticità per l'operatore P considerato.

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7 Indice 1 Denizioni Distribuzioni Operatori dierenziali Operatori pseudodierenziali Stima subellittica 5 3 Ipoellitticità 19 Bibliograa 23 v

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9 Capitolo 1 Denizioni 1.1 Distribuzioni Le distribuzioni possono essere considerate come generalizzazioni delle funzioni. Per denirle è necessario introdurre lo spazio delle funzioni test, che è lo spazio D(Ω) delle funzioni C 0 (Ω) con Ω aperto di R n. Si dice che una successione (φ k ) k N D(Ω) converge a φ D(Ω) se: K compatto, K Ω, tale che suppφ k K k N multi-indice α = (α 1,..., α n ) (N {0}) n la successione delle derivate D α (φ k ) converge uniformemente a D α φ, dove D α = con α = α α n. α x α xαn n Denizione 1.1. Una distribuzione T è un funzionale lineare T : D(Ω) R tale che se (φ k ) k N converge a φ in D(Ω) allora T (φ k ) converge a T (φ). Si scrive T D (Ω). Una funzione f L 1 loc (Ω) può essere vista come una distribuzione, ponendo per ogni φ D(Ω) : T f (φ) = fφdx. Una proprietà fondamentale delle distribuzioni è che sono derivabili quante volte si vuole. Data una distribuzione T D (Ω), si denisce la sua derivata di ordine α come segue: D α T (φ) = ( 1) α T (D α φ) per ogni φ D(Ω). 1 Ω

10 2 1.#1 La trasformata di Fourier non può essere denita per distribuzioni qualunque, ma solo per quelle temperate. In questo caso lo spazio delle funzioni test è lo spazio di Schwartz: S(R n ) = {u C (R n ) : lim x x α D β u(x) = 0 α, β (N {0}) n }. Si dice che (φ k ) k N S(R n ) converge a 0 in S(R n ) se sup x R n x α D β φ k 0 per x per ogni α, β (N {0}) n. Denizione 1.2. Una distribuzione temperata T S (R n ) è un funzionale lineare T : S(R n ) C tale che T (φ k ) 0 se φ k 0 in S(R n ). Si ha che S (R n ) D (R n ). Data T S (R n ) si denisce la sua trasformata di Fourier come segue: per ogni φ S(R n ). ˆT (φ) = T ( ˆφ) Denizione 1.3. Sia u S (R n ) e sia s R. Si dice che u H s (R n ) (spazio di Sobolev ) se û(ξ)(1 + ξ 2 ) s 2 û(ξ) è la trasformata di Fourier di u. In tal caso si pone: u 2 s = û(ξ) 2 (1 + ξ 2 ) s dξ. L 2 (R n ), dove Si ha il seguente lemma: Lemma Siano s, t R. continuità. Se s < t allora H t (R n ) H s (R n ) con Dimostrazione. Basta provare che u s u t per ogni u S (R n ). Infatti in tal caso risulta che la funzione di immersione di H t in H s è continua. D'altra parte, poiché 1 + ξ 2 1, la funzione di elevamento a potenza è crescente quindi si ha: u 2 s = (1 + ξ 2 ) s û(ξ) 2 dξ (1 + ξ 2 ) t û(ξ) 2 dξ = u 2 t

11 1.2# Operatori dierenziali Dato un intorno U dell'origine in R n e una funzione u di classe almeno C 1 su U si denota con x j oppure con D j la derivata parziale di u rispetto alla j-esima componente. Data una funzione F : U R n, F = (F 1,..., F n ), F C 1 (U), si denisce divergenza di F: Le applicazioni divf = F 1 x F n x n. u u x j e F divf sono esempi di operatori dierenziali di primo ordine. Denizione 1.4. Un campo vettoriale X su U è un operatore dierenziale di primo ordine su U senza il termine di ordine zero: X = n a j (x) x j dove i coecienti a j sono funzioni C su U a valori reali. Denizione 1.5. Sia X un operatore dierenziale lineare. Si denisce il suo aggiunto X come l'operatore tale che: Xu, v = u, X v dove la notazione, indica il prodotto scalare in L 2. Nel seguito si denoterà con P l'operatore dierenziale di secondo ordine denito da: P u = Xj 2 u + X 0 u + cu (1.1) dove X j = n m=1 am j x m, j = 0,..., k e a m j C. : U R sono funzioni di classe Denizione 1.6. Siano u e f due distribuzioni su U e sia V un sottoinsieme aperto di U tale che f V C (V ). L'operatore P si dice ipoellittico se P u = f implica che anche u V C (V ).

12 4 1.#1 1.3 Operatori pseudodierenziali Denizione 1.7. Sia a C (R n R n ). Si dice che a è un simbolo di ordine m e si scrive a S m se α, β (N {0}) n esiste una costante C tale che: D α ξ D β xa C(1 + ξ ) m α. Denizione 1.8. Sia a S m e sia u S (R n ). Si denisce l'operatore pseudodierenziale a(x, ξ) di simbolo a e ordine m come l'operatore tale che: a(x, ξ)u = 1 (2π) n e i x,ξ a(x, ξ)û(ξ)dξ. Alcuni esempi di operatori pseudodierenziali sono: 1. Moltiplicazione per a C (R n ) tale che Dxa(x) β M per ogni β (N {0}) n con M costante opportuna. Si può infatti scrivere: a(x)u = 1 e i x,ξ a(x)û(ξ)dξ. (2π) n 2. Derivazione D α = α x α xαn n D α u = 1 (2π) n. Infatti si ha: e i x,ξ i α ξ α û(ξ)dξ. 3. Per s R l'operatore Λ s : C 0 (U) C (U) denito da Λ s u(ξ) = (1 + ξ 2 ) s 2 û(ξ). Se P è un operatore di ordine m allora s R esiste una costante C s tale che: P u s C s u s+m per ogni u C 0 (U). Denizione 1.9. Dati due operatori P e P si denisce il loro commutatore nel modo seguente: [P, P ] = P P P P L'insieme degli operatori pseudodierenziali con le operazioni di somma, composizione e aggiunto formale costituisce un'algebra, le cui proprietà di base sono riassunte nel seguente teorema. Teorema Siano P e P due operatori pseudodierenziali di ordini ripsettivamente m e m. Allora P P è di ordine m+m, P* è di ordine m e [P, P ] è di ordine m+m 1. L'operatore di moltiplicazione in 1. è di ordine zero, la derivata D α è di ordine α e Λ s è di ordine s.

13 Capitolo 2 Stima subellittica Teorema (Teorema di Hörmander). Sia U un intorno aperto dell'origine in R n, U limitato. Se ogni campo vettoriale su U può essere espresso come combinazione lineare con coecienti C di X 0, X 1,..., X k,..., [X i, X j ],......, [X i, [X j, X m ]],..., [X i1, [X i2,..., X ip ],... ] allora l'operatore P è ipoellittico. Il punto di partenza per la dimostrazione del teorema è la seguente stima di energia. Proposizione Esiste una costante C > 0 tale che: X j u 2 C( P u, u + u 2 ) (2.1) per ogni u C 0 (U). Dimostrazione. Si calcola innanzitutto Xj u = X j u+f j u, dove f j = n a m j m=1 x m. Infatti: n X j u, v = (X j u)vdx = a m u j vdx = x m = = m=1 n a m j n uvdx x m m=1 f j uvdx u(x j v)dx m=1 a m j v x m udx = dove si è integrato per parti. Da qui si ha per ogni j = 1,..., k: X 2 j u, u = X j u, X j u = = X j u, X j u + X j u, f j u = = X j u 2 + O( X j u u ) 5

14 6 2.#1 dove si è usata la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Inoltre: quindi X 0 u, u = u, X 0u = = u, X 0 u + u, f 0 u = = u, X 0 u + O( u 2 ) X 0 u, u = O( u 2 ). Osservando che, dati due numeri a, b 0 e ɛ > 0 piccolo a piacere, si può sempre scrivere: ab = a ɛ ɛb 1 2ɛ a2 + ɛ 2 b2 si ha quindi: u X j u 1 2ɛ u 2 + ɛ 2 X ju 2. Da qui si ottiene quindi la stima cercata. Infatti: P u, u Xj 2 u, u + X 0 u, u + cu, u X j u 2 + O( u X j u ) + O( u 2 ) + c u 2 X j u 2 + C u 2. Inoltre, sotto le ipotesi del teorema, si può dimostrare la seguente stima subellittica. Teorema Esistono ɛ > 0 e C > 0 tali che: per ogni u C 0 (U). u ɛ C( P u + u ) (2.2) Dimostrazione. Si osserva innanzitutto che vale la seguente stima: ) u ɛ C ( n D j u ɛ 1 + u. (2.3)

15 7 Infatti: u 2 ɛ = (1 + ξ 2 ) ɛ û(ξ) 2 dξ = (1 + ξ 2 ) ɛ 1 (1 + ξ 2 ) û(ξ) 2 dξ = n = (1 + ξ 2 ) ɛ 1 û(ξ) 2 dξ + (1 + ξ 2 ) ɛ 1 ξj 2 û(ξ) 2 dξ = n = u 2 ɛ 1 + D j u 2 ɛ 1. Per stimare u 2 ɛ 1 si divide l'integrale in due parti, per un qualunque M > 1: 1. nell'insieme {ξ : ξ M} si ha: se ɛ 1: (1 + ξ 2 ) ɛ 1 (1 + M 2 ) ɛ 1 se 0 < ɛ < 1 :(1 + ξ 2 ) ɛ 1 1 Quindi, posto C M = max{1, (1 + M 2 ) ɛ 1 }, si ottiene: (1 + ξ 2 ) ɛ 1 û(ξ) 2 dξ C M û(ξ) 2 dξ C M u 2 ξ M 2. nell'insieme {ξ : ξ > M} si ha: quindi: (1 + ξ 2 ) ɛ 1 û(ξ) 2 1 = 1 + ξ (1 + 2 ξ 2 ) ɛ û(ξ) M (1 + 2 ξ 2 ) ɛ û(ξ) (1 + ξ 2 ) ɛ û(ξ) 2 ξ >M (1 + ξ 2 ) ɛ 1 û(ξ) 2 dξ 1 2 u 2 ɛ 1. Da qui si ottiene la stima cercata. Per le ipotesi del teorema le derivate D j possono essere espresse come: D j = a i 1...i p j F i1...i p con 0 i m k e F i1...i p = { X ip p = 1 [X ip, F i1...i p 1 ] p > 1

16 8 2.#1 Per semplicità si userà la notazione F p = [X, F p 1 ]. È quindi suciente stimare F p u ɛ 1 con il secondo membro della (2.2). Si ha: F p u 2 ɛ 1 = Λ ɛ 1 F p u, Λ ɛ 1 F p u = F p u, Λ 2ɛ 2 F p u. Dato che Λ 2ɛ 2 è un operatore di ordine 2ɛ 2 e F p è di ordine 1, il loro prodotto è un operatore di ordine 2ɛ 1 che sarà indicato con T 2ɛ 1. Si ha quindi che F p u 2 ɛ 1 risulta uguale a: F p u, T 2ɛ 1 u = XF p 1 u, T 2ɛ 1 u F p 1 Xu, T 2ɛ 1 u. (2.4) Si stimeranno ora separatamente i due termini della (2.4), considerando i due casi seguenti: 1. X = X j con 1 j k ; 2. X = X 0. Si ha quindi nei due casi: 1. Se X = X j con 1 j k allora, indicando con X = X + f j l'aggiunto di X, si ottiene: XF p 1 u, T 2ɛ 1 u = F p 1 u, X T 2ɛ 1 u = = F p 1 u, XT 2ɛ 1 u + F p 1 u, f j T 2ɛ 1 u = = F p 1 u, XT 2ɛ 1 u + F p 1 u, S 2ɛ 1 u (2.5) dove S 2ɛ 1 denota un altro operatore di ordine 2ɛ 1 in quanto è prodotto di un operatore di ordine 2ɛ 1 e di uno di ordine 0. Quindi per il secondo termine della (2.5) si ottiene: F p 1 u, S 2ɛ 1 u = S 2ɛ 1 F p 1 u, u = O( F p 1 u 2ɛ 1 u ) dove con S 2ɛ 1 si è indicato anche l'aggiunto dell'operatore stesso, in quanto hanno entrambi ordine 2ɛ 1. Per il primo termine si ha, invece: F p 1 u, XT 2ɛ 1 u = F p 1 u, T 2ɛ 1 Xu F p 1 u, [X, T 2ɛ 1 ]u.(2.6) Qui per il primo termine a destra si stima: F p 1 u, T 2ɛ 1 Xu = T 2ɛ 1 F p 1 u, Xu = O( F p 1 u 2ɛ 1 Xu ).

17 9 Per quanto riguarda il secondo termine si ha: F p 1 u, [X, T 2ɛ 1 ]u = F p 1 u, V 2ɛ 1 u = = V 2ɛ 1 F p 1 u, u = O( F p 1 u 2ɛ 1 u ) dove V 2ɛ 1 denota un altro operatore di ordine 2ɛ 1. In conclusione, per il primo termine della (2.4) si ha in questo caso: XF p 1 u, T 2ɛ 1 u = O( F p 1 u 2ɛ 1 ( Xu + u )) da cui, usando la (2.1),si ottiene: XF p 1 u, T 2ɛ 1 u C( F p 1 u 2 2ɛ 1 + P u 2 + u 2 ). (2.7) Analogamente per il secondo termine della (2.4) si ha: F p 1 Xu, T 2ɛ 1 u = Xu, (F p 1 ) T 2ɛ 1 u = = Xu, F p 1 T 2ɛ 1 u + O( Xu u 2ɛ 1 ) = = Xu, T 2ɛ 1 F p 1 u Xu, [F p 1, T 2ɛ 1 ]u + O( Xu u 2ɛ 1 ) = = Xu, T 2ɛ 1 F p 1 u + O( Xu u 2ɛ 1 ) = = O( Xu ( F p 1 u 2ɛ 1 + u )). Riassumendo, nel caso in cui X = X j con 1 j k, si è ottenuta la stima: F p u ɛ 1 C( F p 1 u 2ɛ 1 + P u + u ). (2.8) 2. Se X = X 0 si può scrivere innanzitutto X 0 = P + k X2 j + k b jx j + g. Infatti: (X 2 j ) = X j ( X j u f j u) = = X j ( X j u f j u) f j ( X j u f j u) = = X 2 j u + (X j f j )u + 2f j X j u + (f j ) 2 u = = X 2 j u + c j u + 2f j X j u dove si è posto c j = X j f j + (f j ) 2. Quindi si ha: P u = (Xj 2 ) u X0u cu = = = Xj 2 u Xj 2 u c j u 2 f j X j u + X 0 u + f 0 u cu = b j X j u + X 0 u g

18 10 2.#1 dove si è posto b j = 2f j, g = k c j f 0 + c. Si ricava quindi l'espressione desiderata per X 0. Sostituendo nel primo termine della (2.4), si trova: X 0 F p 1 u, T 2ɛ 1 u = = P F p 1 u, T 2ɛ 1 u + + Xj 2 F p 1 u, T 2ɛ 1 u + b j X j F p 1 u, T 2ɛ 1 u + gf p 1 u, T 2ɛ 1 u. Cconsiderando ora ciascun termine separatamente si ha: 1 termine: Si ha: P F p 1 u, T 2ɛ 1 u = F p 1 u, P T 2ɛ 1 u = = F p 1 u, T 2ɛ 1 P u + F p 1 u, [P, T 2ɛ 1 ]u 1 2 F p 1 u 2 2ɛ P u 2 + F p 1 u, [P, T 2ɛ 1 ]u. [P, T 2ɛ 1 ]u = T 2ɛ 1 j X j u + T 2ɛ 1 u. (2.9) k+1 Infatti: [ ] [P, T 2ɛ 1 ] = Xj 2 + X 0 + c, T 2ɛ 1 = = = = 2 = [Xj 2, T 2ɛ 1 ] + [X 0, T 2ɛ 1 ] + [c, T 2ɛ 1 ] = X j [X j, T 2ɛ 1 ] + [X j, T 2ɛ 1 ]X j + T 2ɛ 1 j X j + T 2ɛ 1 k+1 [X j, T 2ɛ 1 ]X j + [X 0, T 2ɛ 1 ] = [X j, [X j, T 2ɛ 1 ]] + [X 0, T 2ɛ 1 ] =

19 11 dove si è usato il fatto che c e T 2ɛ 1 commutano quindi il loro commutatore è nullo, [X j, T 2ɛ 1 ] ha ordine 2ɛ = 2ɛ 1, [X j, [X j, T 2ɛ 1 ]] e [X 0, T 2ɛ 1 ] hanno ordine 2ɛ 1. Quindi, applicando la (2.9), si ha: F p 1 u, [P, T 2ɛ 1 ]u = = F p 1 u, T 2ɛ 1 j X j u + F p 1 u, T 2ɛ 1 k+1 u F p 1 u 2ɛ 1 X j u + F p 1 u 2ɛ 1 u C F p 1 u 2 2ɛ 1( P u 2 + u 2 ). 2 termine: Xj 2 F p 1 u, T 2ɛ 1 u = = X j F p 1 u, X j T 2ɛ 1 u + X j F p 1 u, f j T 2ɛ 1 u X j F p 1 u, X j T 2ɛ 1 u + C( F p 1 u 2 2ɛ 1 + P u 2 + u 2 ) dove si è stimato il secondo termine come nel caso 1. Per quanto riguarda il termine restante si ha invece: X j F p 1 u, X j T 2ɛ 1 u = = X j F p 1 u, T 2ɛ 1 X j u X j F p 1 u, [X j, T 2ɛ 1 ]u = = S 2ɛ 1 X j F p 1 u, X j u + O( F p 1 u 2ɛ 1 ( Xu + u )) dove il secondo termine è stato stimato come nel caso 1. Resta quindi: S 2ɛ 1 X j F p 1 u, X j u = = X j S 2ɛ 1 F p 1 u, X j u [S 2ɛ 1, X j ]F p 1 u, X j u C( X j S 2ɛ 1 F p 1 u 2 + X j u 2 ) + O( F p 1 u 2ɛ 1 X j u ). Ora per la (2.1) si ha: X j S 2ɛ 1 F p 1 u 2 C( P S 2ɛ 1 F p 1 u, S 2ɛ 1 F p 1 u + F p 1 u 2 2ɛ 1).

20 12 2.#1 Inoltre: P S 2ɛ 1 F p 1 u, S 2ɛ 1 F p 1 u = P T 2ɛ u, S 2ɛ 1 F p 1 u = = [P, T 2ɛ ]u, S 2ɛ 1 F p 1 u + T 2ɛ P u, S 2ɛ 1 F p 1 u = = [P, T 2ɛ ]u, S 2ɛ 1 F p 1 u + P u, T 4ɛ 1 F p 1 u. (2.10) Dato che, analogamente a quanto visto nella (2.9), si ha: [P, T 2ɛ ] = Tj 2ɛ X j + Tk+1 2ɛ si può maggiorare la (2.10) con: C( F p 1 u 2 4ɛ 1 + P u 2 + u 2 ). 3 termine: Indicando con T 0 l'operatore aggiunto di b j, che è di ordine 0, si ha: b j X j F p 1 u, T 2ɛ 1 u = = X j F p 1 u, T 0 T 2ɛ 1 u = X j F p 1, T 2ɛ 1 u. Questa è un'espressione analoga a quella trattata nel caso 1, che si può quindi maggiorare con: 4 termine: C( F p 1 u 2 2ɛ 1 + P u 2 + u 2 ). gf p 1 u, T 2ɛ 1 u = S 2ɛ 1 gf p 1 u, u F p 1 u 2ɛ 1 u 1 2 ( F p 1 u 2 2ɛ 1 + u 2 ). Per completare il caso 2 resta da trattare il secondo termine della (2.4). Sostituendo l'espressione X 0 u = P u XJu 2 cu

21 13 nel secondo termine della (2.4) si ha: F p 1 X 0 u, T 2ɛ 1 u = = F p 1 P u, T 2ɛ 1 u F p 1 Xj 2 u, T 2ɛ 1 u F p 1 cu, T 2ɛ 1 u. Si considera anche qui ciascun termine separatemente e si ottiene: 1 termine: Dato che F p 1 P u, T 2ɛ 1 u = P u, (F p 1 ) T 2ɛ 1 u = = P u, F p 1 T 2ɛ 1 u + P u, f j T 2ɛ 1 u = = P u, T 2ɛ 1 F p 1 u P u, [F p 1, T 2ɛ 1 ]u + O( P u u 2ɛ 1 ) = = O( P u F p 1 u 2ɛ 1 ) + O( P u u 2ɛ 1 ) si ritrova in questo caso la maggiorazione del caso 1. 2 termine: Commutando F p 1 e X 2 j si trova: F p 1 X 2 j u, T 2ɛ 1 u = = X 2 j F p 1 u, T 2ɛ 1 u + [F p 1, X 2 j ]u, T 2ɛ 1 u (2.11) in cui il primo termine è stato stimato precedentemente nel 2 termine. Per trattare il secondo termine, invece, si può scrivere: [F p 1, X 2 j ] = [F p 1, X j ]X j + X j [F p 1, X j ] = = F p X j X j F p dove F p = [X j, F p 1 ]. Si ritrova quindi un commutatore come quello trattato nel caso 1. In conclusione il secondo termine della (2.11) può essere maggiorato con: C( F p u 2 2ɛ 1 + j 1 X j u 2 + u 2 ). Applicando ora la (2.8) e sostituendo 2ɛ al posto di ɛ si ottiene: F p u 2ɛ 1 C( F p 1 u 4ɛ 1 + P u + u ).

22 14 2.#1 3 termine: F p 1 cu, T 2ɛ 1 = S 2ɛ 1 F p 1 cu, u = = O( F p 1 u 2ɛ 1 u ) Riunendo quindi i casi 1 e 2, si trova in conclusione: F p u ɛ 1 C( F p 1 u 4ɛ 1 + P u + u ). (2.12) Procedendo per induzione si ottiene quindi: ( ) F p u ɛ 1 K X j u 4 p 1 ɛ 1 + P u + u j=0 dove K è una costante opportuna. Infatti applicando la (2.12) a F p 1 u 4ɛ 1 si trova: F p 1 u 4ɛ 1 C( F p 2 u 4 2 ɛ 1 + P u + u ) che, sostituita nella (2.12), fornisce la stima: F p u ɛ 1 C ( F p 2 u 4 2 ɛ 1 + P u + u ). Dopo aver applicato la (2.12) p-1 volte si trova quindi la (2.13). Dimostrando ora che: X j u 1 2 (2.13) c( P u + u ) (2.14) si ottiene la stima desiderata u ɛ C( P u + u ) per ogni ɛ 2 4 p. Per 1 j k la (2.14) è una conseguenza della (2.1). Infatti: X j u Per stimare X 0 u 1 2 X 0 u = Λ 1 2 Xj u, Λ 1 2 Xj u = = X j u, Λ 1 X j u = X j u, T 0 u X j u u 1 2 ( X ju 2 + u 2 ) C( P u 2 + u 2 ). si ha: = Λ 1 2 X0 u, Λ 1 2 X0 u = = X 0 u, Λ 1 X 0 u = X 0 u, T 0 u = = P u, T 0 u Xj 2 u, T 0 u cu, T 0 u P u u Xj 2 u, T 0 u u 2.

23 15 Dato che: ( ) Xj 2 u, T 0 u c X j u 2 + u 2 applicando la (2.1) si maggiora anche questo termine con C( P u 2 + u 2 ). Questo conclude la dimostrazione della (2.2). La stima appena dimostrata può essere localizzata come nel seguente lemma: Lemma Per ogni ζ, ζ 1 C 0 (U) con ζ 1 = 1 sul supporto di ζ esiste una costante C > 0 tale che: per ogni u C (U). ζu ɛ C ( ζ 1 P u + ζ 1 u ) (2.15) Dimostrazione. Sostituendo ζu al posto di u nella (2.2), si trova: ζu ɛ C( P ζu + ζu ) = C( [P, ζ]u + ζp u + ζu ) da cui si vede che è suciente maggiorare la [P, ζ]u con il secondo membro della (3.2). Con calcoli analoghi a quelli della (2.9), si trova: [P, ζ]u = 2 [X j, ζ]x j u + [X j, [X j, ζ]]u + [X 0, ζ]u. (2.16) Considerando ciascun termine separatamente, si ottiene: 1. 1 termine: dato che [X j, ζ]v = X j (ζv) ζx j v = ζx j v + (X j ζ)v ζx j v = (X j ζ)v, si ha [X j, ζ]x j u = (X j ζ)x j u = (X j ζ)x j (ζ 2 1u). Quindi: [X j, ζ]x j u 2 = (X j ζ)x j (ζ 2 1u) 2 max suppζ X jζ 2 X j (ζ 2 1u) 2 = K X j (ζ 2 1u) 2 che, usando la (2.1), può essere maggiorato con C( P ζ 2 1u, ζ 2 1u + ζ 2 1u 2 ).

24 16 2.#1 Ora, scrivendo P ζ 2 1u = ζ 2 1P u + [P, ζ 2 1]u e considerando che: ζ 2 1P u, ζ 2 1u c ζ 1 P u ζ 1 u c 2 ( ζ 1P u 2 + ζ 1 u 2 ) resta solo da stimare [P, ζ 2 1]u, ζ 2 1u. Sostituendo ζ 2 1 al posto di ζ nella (2.16), si ha: [P, ζ1]u,ζ 2 1u 2 = = 2 [X j, ζ1]x 2 j u, ζ1u [X j, [X j, ζ1]]u, 2 ζ1u 2 + [X 0, ζ1]u, 2 ζ1u 2 = = I 1 + I 2 + I 3 Si considerano anche qui i tre termini separatamente: Integrando per parti, si ottiene: [X j, ζ1]x 2 j u, ζ1u 2 = (X j ζ1)x 2 j uζ1udx 2 = = (Xj 2 ζ1)ζ 2 1u 2 2 dx (X j ζ1) 2 2 u 2 dx+ (X j ζ1)uζ 2 1(X 2 j u)dx f j (X j ζ1)u 2 2 ζ1dx 2 dove il secondo termine è negativo. Quindi si ha: I 1 (Xj 2 ζ1)ζ 2 1u 2 2 dx (X j ζ1)uζ 2 1(X 2 j u)dx + f j (X j ζ 2 1)u 2 ζ 2 1 = A I 1 + B da cui ne viene 2I 1 A + B. Poiché si ha: A (Xj 2 ζ1)(ζ 2 1 u) ζ 1 u K ζ 1 u si maggiora I 1 in questo modo: B K ζ 1 u I 1 K + K ζ 1 u 2

25 17 Per quanto riguarda I 2, dato che [X j, [X j, ζ 2 1]]u = (X 2 j ζ 2 1)u, si ha: I 2 = = = [X j, [X j, ζ1]]u, 2 ζ1u 2 = (Xj 2 ζ1)uζ 2 1udx 2 = (Xj 2 ζ1)(ζ 2 1 u)(ζ 1 u)dx (Xj 2 ζ1)(ζ 2 1 u) ζ 1 u C ζ 1 u. Per nire, poiché [X 0, ζ 2 1]u = (X 0 ζ 2 1)u = 2(X 0 ζ 1 )ζ 1 u, si ha per I 3 : I 3 = [X 0, ζ 2 1]u, ζ 2 1u 2 (X 0 ζ 1 )ζ 1 u ζ 2 1u C ζ 1 u 2. Così è concluso il primo termine della (2.16) termine: poiché [X j, [X j, ζ]]u = (X 2 j ζ)u = (X 2 j ζ)ζ 1 u, si ottiene per il secondo termine: [X j, [X j, ζ]]u = (X 2 j ζ)ζ 1 u K ζ 1 u termine: utilizzando il fatto che [X 0, ζ]u = (X 0 ζ)u = (X 0 ζ)ζ 1 u, si ha inne: Questo conclude la prova. [X 0, ζ]u = (X 0 ζ)ζ 1 u K ζ 1 u.

26 18 2.#1

27 Capitolo 3 Ipoellitticità Per dimostrare il teorema di Hörmander resta ora da provare che per un operatore P della forma (1.1) la stima data nel precedente lemma di localizzazione implica l'ipoellitticità. Si osserva innanzitutto che vale la seguente stima. Proposizione Dati s R e N > 0 esiste una costante C s,n tale che: per ogni u C 0 (U). u s+ɛ C s,n ( P u s + u N ) (3.1) Dimostrazione. Applicando la (2.2) a Λ s u (anche se Λ s u / C 0 (U) si vede che si può fare) si ottiene: u s+ɛ = Λ s u ɛ C( P Λ s u + Λ s u ). (3.2) Inoltre per ogni δ esiste una costante C(s, N, δ) tale che: u s δ u s+ɛ + C(s, N, δ) u N (3.3) per ogni u C 0 (U). Infatti basta provare che per ogni δ esiste C(s, N, δ) tale che: (1 + ξ 2 ) s δ(1 + ξ 2 ) s+ɛ + C(s, N, δ)(1 + ξ 2 ) N. Dato che allora per ξ > M δ si ha: lim ξ (1 + ξ 2 ) s (1 + ξ 2 ) s+ɛ = 0 (1 + ξ 2 ) s < δ. (1 + ξ 2 ) s+ɛ 19

28 20 3.#1 da cui Per ξ M δ, invece: (1 + ξ 2 ) s = (1 + ξ 2 ) N (1 + ξ 2 ) N+s (1 + M 2 δ ) N+s (1 + ξ 2 ) N = C(s, N, δ)(1 + ξ 2 ) N. Quindi dalla (3.3) si vede che per provare la (3.1) è suciente provare: Infatti in tal caso si avrebbe: [P, Λ s ]u C( P u s + u s ). u s+ɛ C( [P, Λ s ]u + Λ s u ) C(C( P u s + u s ) + Λ s u ) C( P u s + δ u s+ɛ + C(s, N, δ) u N ) (1 Cδ) u s+ɛ C( P u s + C(s, N, δ) u N ) cioè si ha la stima cercata. Ora per le proprietà degli operatori pseudodierenziali, con calcoli analoghi a quelli visti nel capitolo 2 nella (2.9), si ha: [P, Λ s ] = Tj s X j + T s (3.4) dove T s j e T s sono operatori pseudodierenziali di ordine s. Quindi si ottiene: [P, Λ s ]u Tj s X j u + T s u X j u s + u s per cui basta provare: X j u s C( P u s + u s ). Dato che: X j u s = Λ s X j u X j Λ s u + [X j, Λ s ]u X j Λ s u + C u s

29 21 dove vale l'ultima disuguaglianza perchè [X j, Λ s ] ha ordine s = s, si ha, applicando la (2.1): X j u 2 s X j Λ s u 2 + C u 2 s P Λ s u, Λ s u + C u 2 s [P, Λ s ]u, Λ s u + Λ s P u, Λ s u + C u 2 s [P, Λ s ]u, Λ s u + C( P u 2 s + u 2 s). Resta quindi da stimare il primo termine, che per la (3.4) diventa: [P, Λ s ]u, Λ s u = Tj s X j u, Λ s u + T s u, Λ s u C X j u s u s + C u 2 s da cui, considerando che X j u s u s a X j u 2 s + A u 2 s, dove a è una costante piccola e A una costante grande, si ha: X j u 2 s C (a ) X j u 2 s + A u 2 s + C u 2 s + c( P u 2 s + u 2 s) che permette di ottenere la stima desiderata. Ora, applicando lo stesso metodo usato nel capitolo 2 per il lemma di localizzazione, si ottiene: ζu s+ɛ C( ζ 1 P u s + ζ 1 u N ) per ogni u C (U), dove ζ, ζ 1 C0 (U) e ζ 1 = 1 sul supporto di ζ. Si supponga ora che u sia una distribuzione tale che P u = f e che f V C (V ) con V U. Si vuole provare che allora u V C (V ). Basta provare che se x 0 V allora u è C in un intorno di x 0. Si considera la regolarizzata di u mediante convoluzione con un mollicatore di Friedrichs φ δ (y) = δ n φ ( ) y δ C 0 (R n ) per δ > 0: S δ u(x) = u(x + δy)φ(y)dy = δ n dove dy = dy 1... dy n e φ(y)dy = 1. ( ) y x u(y)φ dy = u φ δ (x) δ

30 22 3.#1 Allora S δ u C e se u è una distribuzione allora u H s in un intorno di x 0 se e solo se esiste ζ C 0 (V ), ζ = 1 in un intorno di x 0 tale che S δ ζu s sia limitata indipendentemente da δ. Infatti: ζu φ δ s C = ζu H s dove C è una costante indipendente da δ. Dimostrazione. Dato che ζu ˆ φ δ = ζu ˆ ˆφ δ, si ha: ζu φ δ 2 s = (1 + ξ 2 ) s ζu ˆ 2 ˆφ δ 2 dξ C quindi: ξ M (1 + ξ 2 ) s ˆ ζu 2 ˆφ δ 2 dξ C per ogni δ e per ogni M > 0. Inoltre si ha: ( x ) ˆφ δ (ξ) = δ n e i x,ξ φ dx = δ e i y,δξ φ(y)dy = ˆφ(δξ). Dato che φ C0 S, ne segue che ˆφ S, quindi ˆφ c. Nell'insieme { ξ M} si ha dunque: (1 + ξ 2 ) s ˆ ζu 2 ˆφ(δξ) 2 c(1 + ξ 2 ) s ˆ ζu 2 = che è una funzione sommabile. Dato che se δ 0 si ha: ˆφ(δξ) ˆφ(0) = ξ M = c(1 + ξ 2 ) N (1 + ξ 2 ) N+s ζu ˆ 2 c(1 + M 2 ) N+s (1 + ξ 2 ) N ζu ˆ 2 φ(x)dx = 1 ne segue per il teorema della convergenza dominata di Lebesgue: (1 + ξ 2 ) s ζu ˆ 2 ˆφ δ 2 dξ (1 + ξ 2 ) s ζu ˆ 2 dξ C. ξ M Si può quindi applicare il teorema di Beppo Levi e concludere che per M : ξ M cioè ζu H s. (1 + ξ 2 ) s ζu ˆ 2 dξ (1 + ξ 2 ) s ζu ˆ 2 dξ = ζu 2 s C R n

31 23 Inoltre se u H s in un intorno di x 0 e T 1 è un operatore pseudodierenziale di ordine 1, allora: [S δ ζ, T 1 ]u s c u s dove c è una costante indipendente da δ. In modo analogo a quanto visto prima si trova, se P u = f e ζu H s : S δ ζu s+ɛ C( S δ ζ 1 f s + S δ ζ 1 u N + ζ 1 u s ). (3.5) Quindi se u è una distribuzione allora per qualche N si ha che ζ 1 u H N e si possono scegliere ζ e ζ 1 in modo che ζu abbia un supporto piccolo e ζ 1 f C 0 (V ). Ponendo ora s = N nella (3.5) si conclude che ζu H N+ɛ. Ripetendo queste argomentazioni si conclude che esiste un intorno W di x 0 tale che per ogni ζ C 0 (W ) si ha che ζu H s per ogni s, cioè u W C (W ). Si è quindi dimostrato che l'operatore P considerato è ipoellittico.

32 24 3.#1

33 Bibliograa [1] Lanconelli E. Uguzzoni F. Bonglioli, A. Stratied Lie Groups and Potential Theory for their Sub-Laplacians. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, rst edition, [2] Lars Hörmander. Hypoelliptic second order dierential equations. Acta Math., 119:147171, [3] Lars Hörmander. The analysis of linear partial dierential operators. I, volume 256 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, second edition, Distribution theory and Fourier analysis. [4] J. J. Kohn. Pseudo-dierential operators and hypoellipticity. In Partial dierential equations (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIII, Univ. California, Berkeley, Calif., 1971), pages Amer. Math. Soc., Providence, R.I.,