tale differenza, detta resto di Lagrange è la seguente:

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1 . Le serie di Taylor Il teorema detto della formula di Taylor consiste nell espressione, quasi esplicita, fornita per la differenza Rx che intercorre tra i valori fx di una funzione indefinitamente derivabile in un intervallo [a, b] e i polinomi ad essa associati T n x = fx 0 + f x 0 x x f x 0 x x n! x x 0 n tale differenza, detta resto di Lagrange è la seguente: Rx = n +! f [n+] ξx x 0 n+ nella quale il punto ξ è un conveniente punto dell intervallo tra x 0 ed x. Il valore della non è solo numerico fx T n x f [n+] ξ x x0 n+ n +! come appare in prima lettura: l espressione del resto di Lagrange consente di riconoscere la convergenza e il valore della somma per numerose serie di potenze 2... Il caso di sinx. Scelto x 0 = 0 i polinomi di Taylor associati a sinx sono T 2n+ x = x x3 3! + x5 5! x 2n+ n 2n +! Consideriamo ora la serie di potenze x ! il suo intervallo di convergenza è tutto R le sue somme parziali S m x = x ! coincidono con i polinomi T 2m+ x di Taylor associati a sinx riesce pertanto sinx S m x = 2m + 2! sin[2m+2] ξx x 0 2m+2 Broo Taylor, , è indicato da Courant come Newton s pupil 2

2 2 Tenuto presente che si ha da cui: x : m : sin [2m+2] ξ sinx S m x = x x 0 2m+2 2m + 2! x ! = sinx la convergenza della serie è uniforme in ogni intervallo itato, infatti x [a, b] sinx S m x = b2m+2 2m + 2! da cui, tenuto conto che b 2m+2 2m + 2! = 0 si riconosce che, scelto l intervallo [a, b] e scelto ε > 0 esiste m ε tale che m m ε ; sup sinx S m x ε x [a,b].2. Il caso di cosx. Il caso di cosx è del tutto analogo: ma può essere trattato anche più rapidamente ricordando che, trattandosi di serie di potenze, sinx = x ! sinx = x ! in quanto sia la serie originale che quella derivata convergono uniformemente per x [a, b]. Ne deriva quindi cosx = x2 2!

3 .3. Serie goniometriche diverse. Dalla espressione x : seguono, ad esempio, da cui x : x :. LE SERIE DI TAYLOR 3 x ! = sinx x ! = sinx2 x ! = sinx3.4. Il caso di log x. Dalla serie geometrica si deduce t, : x, : ovvero, cambiando segno, Da cui t = x 0 log x = t t dt = x, : log + x = x + + x 0 x Il caso di arctanx. Dalla serie geometrica t, : x, : + t = t 2 2 x 0 + t dt = 2 x, : arctanx = x 0 t dt t 2 dt x Si noti che da quanto detto nulla può dirsi relativamente a valori x >.

4 4.6. La serie binomiale. 3 La formula del binomio di Newton + x n = n n x suggerisce di considerare anche il caso di esponenti s non interi, di definire s ss...s + =! di considerare, per ogni s R la serie di potenze s x Il criterio del rapporto s + x + s s x = + x permette di riconoscere che l intervallo di convergenza é,. Posto quindi x, : fx = s x riesce eseguire i conti, non ovvi, per la seconda affermazione f0 = f x + x sfx = 0 ovvero, dividendo membro a membro per + x s+ + x s f x s + x s fx = 0 Tenuto conto che l espressione a primo membro rappresenta la derivata di un prodotto si ha + x s fx = 0 e quindi + x s fx = c Da cui, calcolando l espressione nel punto x = 0 si ricava = c da cui fx = + x s 3

5 ovvero. LE SERIE DI TAYLOR 5 x, : + x s = s x.7. Applicazioni della serie binomiale. La libertá di scelta dell esponente s consente numerosi casi particolari importanti: s = : + x = x + x2 x la vecchia serie geometrica. s = 2 : + x = + 2 x 8 x2 + 6 x Da cui, ad esempio 6 + x = 4 + x 6 = 4 { + x 2 6 x x } La stima dell errore. Tenuto conto che per le serie a termini di segno alterno S = a con addendi in modulo a decrescenti e infinitesimi riesce, dette S m le somme parziali S S m a m+ si puó riconoscere, ad esempio per la serie binomiale, che per 0 < s < si presenta a segni alterni, maggiorazioni quali la seguente + x /2 x /2 x Ad esempio, pensando ad m = 2 ed x = ovvero.234, , ovvero ancora, , il vero valore calcolato con la calcolatrice di Windows é.234 =, che effettivamente appartiene all intervallo prima individuato.

6 6 2. Moltiplicazione di serie di potenze Siano, per ogni x c ρ, c + ρ fx = a n x c n, gx = b n x c n Tenuto conto della regola del prodotto di due serie assolutamente convergenti riesce n fxgx = a i b n i x c n. i=0 Esempio 2.. Siano per x, Riesce x = x, + x = x x + x = x x = = n Tenuto conto che n = riesce x n { 0 se n dispari se n pari x + x = + x2 + x = formula del tutto credibile dal momento che x + x = x = x 2 2 Esempio 2.2. Consideriamo il prodotto sinx cosx: indicati con s e c i coefficienti delle due rispettive serie di potenze riesce n sinx cosx = s n c x n = x 2n

7 3. DIVISIONE FRA DUE SERIE DI POTENZE 7 si puó verificare, anche aiutandosi con un computer, che la serie prodotto ottenuta corrisponda a quella, attesa, di 2 sin2x Osserviamo che: 3. Divisione fra due serie di potenze fx gx = a nx c n b nx c = d n n x c n fx = b n x c n d n x c n e quindi uguagliare i coefficienti in modo da soddisfare per ogni n il sistema triangolare nelle incognite d. a n = n b n d n = 0,, 2,... Esempio 3.. Assegnata la funzione fx = + x 2 + x 4 determinare la serie di potenze gx = g x = fx ovvero tali che gxfx = Tenuto conto che i soli coefficienti f non nulli sono occorre che g 0 = g 0 + g = 0 g 2 + g 0 = 0 g 3 + g = 0 g 4 + g 2 + g 0 = 0 g 5 + g 3 + g = 0 g 6 + g 4 + g 2 = 0... g 2n + g 2n 2 + g 2n 4 = 0... f 0 =, f 2 =, f 4 = g 0 = g = 0 g 2 = g 3 = 0 g 4 = 0 g 5 = 0 g 6 =... g 2n + g 2n 2 + g 2n 4 = 0...

8 8 Le precedenti relazioni implicano che la successione dei coefficienti {g 0, g, g 2,...} sia ottenuta ripetendo successivamente la sequenza e pertanto la serie sia ovvero {, 0,, 0, 0, 0} gx = x 2 + x 6 x 8 + x 2 x 4... gx = x 2 x 6