3. Isometrie di R 2. In questo paragrafo studiamo le isometrie del piano R 2. Ricordiamo che le isometrie sono delle trasformazioni che conservano le

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1 3. Isometrie di R. In questo paragrafo studiamo le isometrie del piano R. Ricordiamo che le isometrie sono delle trasformazioni che conservano le distanze fra coppie di punti, ossia delle applicazioni bigettive f R! R tali che d(f ()f(y)) d( y) Iniziamo con l'introdurre alcune isometrie di particolare significato geometrico. Definizione. Sia p un vettore di R. La traslazione T p di passo p e l'applicazione T p R! R data da T p () + p In coordinate, + p T p + p Fig. La traslazione Tp. Le traslazioni godono delle seguenti proprieta Proposizione 3.. (i) Siano p q R. Allora T p ffi T q T p+q T q+p T q ffi T p. In particolare, la composizione di due traslazioni e ancora una traslazione. (ii) La traslazione T e l'applicazione identica. (iii) La traslazione T p el'inversa di T p. Dimostrazione. (i) Per ogni R,vale T p ffi T q () (T p (T q ()) T p ( + q) + p + q T p+q () D'altra parte, per la commutativita della somma fra vettori, vale anche + p + q + q + p T q+p () T q ffi T p () (ii) Per ogni R,sihache T () + ossia T e proprio l'applicazione identita dir. (iii) Dal punto (i) segue che cioe T p e T p sono una l'inversa dell'altra. T p ffi T p () T p ffi T p () T () Introduciamo adesso la famiglia delle rotazioni.

2 Definizione. Sia ' R. Indichiamo con R ' R! R l'applicazione che ad un vettore R associa il vettore ottenuto da dopo la rotazione di un angolo ' intorno all'origine. Se ' >, la rotazione va intesa in senso antiorario". Se '<, la rotazione va intesa in senso opposto, cioe in senso orario". Fig. La rotazione R '. Teorema 3.. Sia R esia' R. Le coordinate del punto y R ' () sono date da y y sen' +cos' In notazione matriciale, R ' Dimostrazione. Sia ff l'angolo fra il vettore e l'asse delle ascisse. Allora si ha jj cos ff jj sen ff Il vettore y R ' () forma un angolo ' + ff con l'asse delle ascisse e quindi y jj cos(' + ff) jj cos ff jj sen ff y jj sen(' + ff) jj sen ff + jj cos ff La sostituzione jj cos ff e jj sen ff conclude la dimostrazione. Esempio. Per esempio, la rotazione R ß4 di centro e di angolo ' ß4 e l'applicazione p R p p ß4 p p p p p + Le rotazioni godono delle seguenti proprieta. Proposizione 3.3. (i) La composizione di due rotazioni R ' e R ψ intorno all'origine e una rotazione di angolo ' + ψ R ' ffi R ψ R '+ψ R ψ ffi R ' (ii) La rotazione di un angolo ' e l'applicazione identica, ossia R (), per ogni R. (iii) La rotazione inversa di R ' e R '. Dimostrazione. Tutte queste proprieta sono geometricamente evidenti, ma si possono anche ottenere dalle formule del Teorema 3..

3 Introduciamo infine le riflessioni. Definizione. Sia ' R. Indichiamo con S ' R! R l'applicazione che ad un vettore R associa il vettore ottenuto da dopo la riflessione rispetto alla retta che passa per e forma un angolo ' con l'asse delle ascisse. Fig.3 La riflessione S '. Teorema 3.4. Sia R esia' R. Le coordinate del punto y S ' () sono date da y cos(') + sen(') y sen(') cos(') In notazione matriciale, cos(') sen(') S ' sen(') cos(') Dimostrazione. Sia ff l'angolo fra il vettore e l'asse delle ascisse. Allora si ha jj cos ff jj sen ff Si vede dalla Fig.?? che il vettore y S ' () forma un angolo ' ff con l'asse delle ascisse e quindi y jj cos(' ff) jj cos(')cosff + jj sen(') sen ff y jj sen(' ff) jj cos(') sen ff + jj sen(')cosff La sostituizione jj cos ff e jj sen ff conclude la dimostrazione. Esempio. Per esempio, la retta l data da forma un angolo di ß4 con l'asse delle ascisse. La riflessione rispetto ad l e l'applicazione S ß4 data dalle formule S ß4 Proposizione 3.5. (i) La composizione S ' ffi S ' e l'applicazione identica. (ii) La composizione S ' ffi S ψ di due riflessioni rispetto a rette distinte passanti per (con ' 6 ψ) e una rotazione di angolo (' ψ) 3

4 Dimostrazione. Calcoliamo cos(') sen(') cos(ψ) sen(ψ) (S ' ffi S ψ )() () sen(') cos(') sen(ψ) cos(ψ) cos(')cos(ψ) +sen(')sen(ψ) cos(') sen(ψ) sen(')cos(ψ) sen(') cos(ψ) cos(') sen(ψ) sen(') sen(ψ) + cos(') cos(ψ) cos((' ψ)) sen((' ψ)) sen((' ψ)) cos((' ψ)) R (' ψ) () In particolare, se ' ψ + kß k Z otteniamo l'applicazione identita. Osservazione. Dalle formule del teorema precedente si vede anche che, in generale, S ' ffi S ψ 6 S ψ ffi S ' Osservazione. Se ' l'applicazione S e una riflessione rispetto all'asse delle ascisse se ' ß, l'applicazione S ß e una riflessione rispetto all'asse delle ordinate. Fig.4 La riflessione rispetto all'asse delle ascisse S. La composizione delle riflessioni S ed S ß e una rotazione di angolo ß ossia la riflessione rispetto all'origine. Fig.5 La riflessione rispetto all'origine R ß S ffi S ß. Esempio 3.6. Come ottenere le formule di una rotazione R 'p di angolo ' intorno ad un punto p diverso dall'origine? Un modo di procedere e ilseguente prima si fa una traslazione T p di passo p, che porti il punto p in poi si fa una rotazione R ' intorno a e poi si fa una traslazione T p che riporti in p R 'p T p ffi R ' ffi T p 4

5 In coordinate T p ffi R ' ffi T p ( + p )T p (R ' )T p ( + p + q q q q + p ) + p p + p p p Esempio. Calcoliamo, ad esempio, le formule della rotazione R 'p di un angolo ' attorno al punto p Abbiamo R 'p () T p ffi R ' ffi T p () T p ffi 5 R ' 4 ( 5) ( 4) T p ( 5) + ( 4) ( 5) ( 4) + 5 ( 5) + ( 4) Esempio 3.7. Come calcolare le formule della riflessione S rispetto ad una retta l che non passa per l'origine? Se la retta l non passa per l'origine, non possiamo usare direttamente le formule del Teorema 3.5, ma possiamo procedere nel seguente modo. Fissiamo un punto arbitrario p sulla retta l e applichiamo la traslazione T p. La trasformata della retta l, tramite T p, e la retta l parallela ad l e passante per applichiamo adesso la riflessione S ' rispetto ad l, ove ' e l'angolo formato da l con l'asse delle ascisse. Applichiamo infine la traslazione inversa T p che riporta la retta l al suo posto". In totale, la riflessione rispetto ad l e data dalla composizione S T p ffi S ' ffi T p e non dipende dalla scelta di p l In coordinate T p ffi S ' ffi + p cos ' sen ' T p ( )T p (S ' )T p ( + p sen ' cos ' cos ' sen ' cos ' sen ' sen ' cos ' q + q q q sen ' cos ' + p ) + p p + p p p Esempio. Calcoliamo ad esempio la riflessione rispetto alla retta l di equazione +. Il punto p appartiene ad l e quindi la traslazione T p di passo p porta l nella retta l, ad essa parallela e passante per l'origine. l e data dall'equazione e forma un angolo uguale a ß con l'asse delle ascisse. La trasformazione cercata e data dunque dalla composizione S T ( ) ffi S ß ffi T ( ) In coordinate S risulta S() T ( ) ffi S ß ffi T ( ) () T ( ) ffi S + ß + T ( ) T ( ) 5

6 Osservazione. ffl La rotazione R di un angolo ffi intorno ad un punto e lineare se e soltanto se il punto coincide con l'origine. Altrimenti, R lffi e una applicazione lineare seguita da una traslazione. Allo stesso modo, la riflessione S rispetto ad una retta l e lineare se e soltanto se l passa per l'origine. Se l non passa per l'origine, la riflessione S e una applicazione lineare seguita da una traslazione. ffl Le matrici ortogonali sono tutte e sole le matrici della forma cos sin cos sin sin cos sin cos R Le prime sono caratterizzate dall'avere determinante uguale a, le seconde dall'avere determinante uguale a. Questo significa che le rotazioni intorno all'origine e le riflessioni rispetto a rette passanti per l'origine esauriscono tutte le isometrie lineari del piano R. Per il Corollario.6, tutte e sole le isometrie di R sono date dalla composizione di una traslazione con una rotazione intorno all'origine oppure dalla composizione di una traslazione con una riflessione rispetto ad una retta passante per l'origine. ffl Una rotazione intorno all'origine e la composizione di due riflessioni (Proposizione 3.5 (ii)). Si puo dimostrare che ogni rotazione intorno ad un punto P e la composizione di due riflessioni rispetto a due rette incidenti in P e che una traslazione T P e la composizione di due riflessioni rispetto a due rette parallele e ortogonali al vettore P. In generale, vale il seguente teorema. Teorema. Ogni isometria del piano e composizione di n riflessioni, con n» 3. Osservazione. Tutte le trasformazioni lineari di R mandano rette in rette. Lo stesso vale per le traslazioni e dunque vale per tutte le isometrie del piano che sono composizioni di trasformazioni lineari e traslazioni. Concludiamo questo paragrafo introducendo l'orientazione di una coppia di vettori in R. Definizione. L'orientazione Or(v w) di una coppia di vettori v w R eilsegno del determinante In altre parole det Or(v w) v w v w v w v w ( + se v w v w > se v w v w se v w v w <. Si dice che una coppia di vettori v e w e orientata positivamente se Or(v w) >. Geometricamente, cio accade se, ruotando il vettore v in senso antiorario fino a sovrapporlo alla retta passante per e w, allora v ha la stesso verso di w (e non quello opposto). Fig.6 Orientazione. 6

7 L'orientazione Or(v w) cambia se cambia l'ordine dei vettori v e w. Si ha infatti che Siano e ed e. Allora si ha che Or( Or(v w) Or(w v) )+ Or( ) Una qualunque rotazione R ' conserva l'orientazione di ogni coppia di vettori. Si dice anche che le rotazioni conservano l'orientazione del piano. Una riflessione, invece, cambia l'orientazione di ogni coppia di vettori. In generale, un'applicazione lineare f di R conserva l'orientazione se e soltanto se det(f ) >. 7