Introduzione alia finanza matematica

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1 "La pseudo-analogia con le scienze fisiche va direttamente contro quel modo di pensare che un economista deve acquisire. [...J E come se la caduta della mela a terra dipendesse dalle motivazioni della mela, dall'esame se vale davvero la pena cadere in terra e se la terra vuole che la mela cada e dagli errori di calcolo da parte della mela circa la sua distanza dal centro della terra" J. M. Keynes

2 Riccardo Cesari Introduzione alia finanza matematica Derivati, prezzi e coperture ~ Springer

3 RICCARDO CESARI Dipartimento di Matematica perie Scienze Economiche e Sociali Universita di Bologna In copertina: Riccardo Cesari, "L'albero dellaconoscenza", (Forll, 2004), collage ISBN e-isbn Springer Milan Berlin Heidelberg NewYork Springer Milan Berlin Heidelberg NewYork Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com Springer-Verlag Italia, Milano 2009 Quest'opera eprotetta dalia legge sul diritto d'autore e la sua riproduzione eammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalia stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 150/0 di ciascun volume dietro pagamento alia SIAE del compenso previsto dali'art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre illimite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di PortaRomana sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all'utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica 0 televisiva, alla registrazione su microfilm 0 in database, o alla riproduzione in qualsiasi aitra forma (stampata 0 elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comportale sanzioni previste dalla legge Impianti: PTP-Berlin, Protago 'lex-production GmbH, Germany (www.ptp-berlin.eu) Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampa: Signum SrI, Bollate (MI) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia srl-via Decembrio Milano

4 Indice Prefazione Abbreviazioni XIII XVII 1 Derivati e mercati Titoli derivati e titoli elementari (F) Tre punti di vista: pricing, hedging e asset management (F) I prezzi di non arbitraggio (F) Hedging e derivati (F) I mercati dei derivati (F) Mercati primari e secondari Mercati regolamentati Mercati OTC Negoziazione continua e book degli ordini I mercati "perfetti" della teoria finanziaria Lo sviluppo recente dei prodotti derivati (F) Alcuni esempi di prodotti derivati (F) 16 2 La struttura per scadenza dei tassi d'interesse e i fondamenti del pricing di non arbitraggio La struttura per scadenza dei tassi privi di rischio (F) Titoli derivati e strategie di replica (F) L'operatore valore attuale (F) Somma e prodotto intertemporale Valori attuali deflazionati La condizione di non arbitraggio: tre esempi (F) L'operatore valore attuale elineare La SPS dei prezzi dei titoli ZCB e monotona decrescente Un CB equivale a un portafoglio di ZCB I teoremi del pricing di non arbitraggio

5 VI Indice Teorema fondamentale: la misura risk-neutral Teorema del cambiamento di numerario L'applicazione del cambiamento di numerario ai tassi di cambio L'applicazione del cambiamento di numerario aile misure forward II cambiamento di numerario e la SDE II pricing nel caso di processi diffusivi: il prezzo come PDE II pricing nel caso di un'unica variabile di stato II pricing nel caso di N variabili di stato correlate Cinque prezzi facili Modelli della struttura per scadenza dei tassi d'interesse Modelli unifattoriali del tasso spot istantaneo: Merton, Vasicek, CIR etc Modelli multifattoriali di equilibrio Modelli unifattoriali con perfetto adattamento: Ho-Lee e Hull-White Modelli multifattoriali con perfetto adattamento: Hull e White (1994) a pili fattori Modelli del tasso forward istantaneo: Heath, Jarrow e Morton (1992) Libor Market Model e le misure forward Recenti sviluppi nella modellistica sui tassi d'interesse II calcolo dei prezzi dei derivati Forward Prezzi e tassi forward (F) Prezzi forward su zero-coupon bond Tassi forward su zero-coupon bond Forward su tassi d'interesse (FRA) FRA in arriers L'aggiustamento per la convessita nel tasso FRA in arriers Forward su titoli senza dividendi Forward su coupon bond Forward su titoli che pagano dividendi Inflazione forward Forward su merci con costi di deposito Forward su tassi di cambio Prestiti monetari e prestiti di titoli (F) Pagamento posticipato Pagamento anticipato Prestito di titoli Pronti contro termine (PCT) e contratti di riporto. 126

6 Indice VII 3.3 II prezzo del contratto forward (F) Hedging e trading con i forward (F) Hedging Trading Prezzi forward, prezzi attesi e investitori neutrali al rischio (F) Esercizi futures Le caratteristiche dei futures (F) La Clearing House e il sistema dei margini (F) Marking to market dei contratti futures (F) Pricing dei futures Futures su coupon bond (F) Fattore di conversione e calcolo del CTD Arbitraggio, hedging e trading con bond futures (F) Arbitraggio Hedging Trading Futures su tassi d'interesse Futures su azioni e indici azionari (F) Arbitraggio, hedging e trading con index futures Esercizi Floaters II prezzo dei floaters: un ragionamento euristico (F) II prezzo dei floaters: approccio di non arbitraggio (F) II prezzo dei floaters in un modello stocastico univariato Reverse Floater (F) La duration dei floaters e dei reverse floaters (F) Esercizi Swaps Interest rate swap: plain vanilla II pricing dei contratti swap: derivazione euristica (F) II pricing dei contratti swap: derivazione analitica Bootstrapping the yield curve via swap (F) Le finalita dei contratti swap: asset swap e arbitraggio (F) Le finalita dei contratti swap: ALM e risk management (F) Le finalita dei contratti swap: credit arbitrage (F) Contratti swap e rischio di controparte (F) Tassi swap e credit spread (F) 182

7 VIII Indice 6.2 Interest rate swap: tipologie complesse Swap in arrears L'aggiustamento per la convessita nello swap in arrears Forward swap Constant Maturity Swap CMS in arrears Forward CMS Altre tipologie complesse di IRS Swap Market Model e Ie misure swap Currency swap (F) Currency swap fixed for fixed Hedging con currency swaps Credit arbitrage e rischio di controparte nei currency swaps Differential swap Altre tipologie di currency swaps Equity swap Esercizi Opzioni plain vanilla Opzioni put e call: concetti e tipologie (F) La redditivita delle operazioni con put e call (F) Copertura e speculazione con put e call (F) Put-call parity (F) Portafogli di opzioni e strategie di trading (F) Straddle e vol trade (call-l-put} Strangle e kurtosis trade (OTM call+put) Range forward e skewness trade (OTM call-put) Vertical spread Butterfly spread Covered call Calendar spread Classificazione delle strategie Diseguaglianze di non arbitraggio (F) Diseguaglianze senza dividendi Diseguaglianze con dividendi II pricing delle opzioni: il modello binomiale (F) Modello binomiale a uno stadio Modello binomiale a pili stadi II prezzo delle opzioni americane nel modello binomiale II prezzo delle call americane: l'approssimazione di Black (1975) Risk neutral pricing: un esempio suggestivo (F)

8 Indice IX 7.9 II pricing delle opzioni: il modello di Black e Scholes Metodo del portafoglio d'arbitraggio 0 della PDE Metodo del valor medio equivalente 0 della EMM II calcolo del prezzo II prezzo come soluzione della PDE: dalla fisica alia finanza II prezzo calcolato come valor medio Alcune considerazioni sulla formula di BS Le lettere greche (F) Delta Theta Vega Rho Kappa Greche doppie: gamma Volga, Vanna, Charm, Speed, Color II prezzo delle opzioni americane: l'approssimazione di Barone-Adesi e Whaley (1987) Volatilita storica e volatilita implicita (F) II tasso di rendimento di un derivato (F) Option pricing e CAPM La derivazione originaria della PDE via CAPM La EMM secondo il CAPM a tempo discreto Esercizi Opzioni e modelli non standard Una parametrizzazione del modello di Black e Scholes Opzioni su titoli che staccano dividendi Metodo del portafoglio d'arbitraggio Metodo del valor medio equivalente Le greche in presenza di dividendi continui Opzioni su tassi di cambio Metodo del portafoglio d'arbitraggio Metodo del valor medio equivalente Opzioni su titoli in valuta e quantos Metodo del portafoglio d'arbitraggio Metodo del valor medio equivalente Warrant ed Executive stock option Warrant Executive stock option Opzioni su forward Opzioni sul prezzo forward: caso senza dividendi (Black, 1976) Opzioni sul prezzo forward: caso con dividendi Opzioni sul prezzo del forward

9 X Indice 8.7 Un modello generalizzato a parametri affini time-varying Una semplificazione: modello lognormale Una semplificazione: modello normale II pricing dei derivati con tassi d'interesse stocastici Opzioni su prezzi spot: il pricing risk-neutral di Merton (1973) Opzioni su prezzi spot: il pricing forward-neutral di Black (1976) Opzioni su prezzi forward e su prezzi futures II pricing dei derivati con volatilita stocastica La probabilita implicita Modelli a volatilita locale Modelli a volatilita stocastica Opzioni su tassi d'interesse Peculiarita dei tassi stocastici: la struttura delle volatilita Opzioni su obbligazioni Opzioni su zero-coupon bond Opzioni su coupon bond Opzioni su tassi Libor Caplet e floorlet Caplet e floorlet in arrears Cap e floor spot Cap e floor forward La coerenza delle dinamiche di volatilrta La calibrazione del LMM via cap e floor Opzioni su tassi swap Swaption Spread option Opzioni su futures e futures su opzioni: le opzioni futures-style Opzioni nei bond futures Opzioni su bond futures Opzioni su tassi futures Scalping gamma con straddle su Bund futures Opzioni esotiche Una classificazione delle opzioni esotiche (F) Opzioni discontinue Opzioni path-dependent Opzioni multi-asset Opzioni composte Opzioni geografiche Opzioni su sottostanti esotici

10 Indice XI 10.2 I prezzi delle opzioni esotiche Opzioni forward start Opzioni di scambio Opzioni digitali Opzioni con barriera Opzioni lookback Opzioni asiatiche Opzioni composte Hedging delle opzioni esotiche (F) Opzioni nascoste e titoli strutturati: garanzie, clausole, opport.unita, Corporate bonds (F) La struttura di rischio dei corporate bond La probabilita di default L'Economic Capital come opzione ITM Convertible bonds Callable, puttable, exchangeable bonds Subordinated debt Indebitamento con garanzia reale e leasing Garanzie, polizze e portfolio insurance (F) Polizza assicurativa rivalutabile Portfolio insurance Titoli strutturati (F) La classificazione dei titoli strutturati II funzionamento del mercato dei titoli strutturati II pricing dei titoli strutturati La regolamentazione Consob e i prospetti informativi Opzioni reali (F) Tassi d'interesse come opzioni Procedure numeriche La stima della volatilita (F) Volatilita come parametro Volatilita come processo stocastico La discretizzazione di una SDE (F) II modello discreto esatto per il BM aritmetico II modello discreto esatto e approssimato per il processo di Ornstein-Uhlenbeck II modello discreto esatto e approssimato per il BM geometrico

11 XII Indice 12.3 La stima dei parametri di una SDE (F) La stima time-series dei parametri La stima cross-section: un'applicazione del modello di CIR Lo smile e la stima della probabilita risk-neutral (F) II pricing col metoda degli alberi (F) Alberi binomiali Alberi trinomiali II pricing col metoda Monte Carlo (F) La variabile antitetica II pricing con la discretizzazione della PDE II pricing migliorato con una variabile di controllo (F) Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico A.1 Set-up standard 408 A.2 Martingale e processi di Markov 410 A.3 Moto browniano A.4 Integrale stocastico e processi diffusivi A.5 SDE e probabilita di transizione 419 A.6 Calcolo stocastico di Ito 422 A.7 La soluzione di una PDE come valor medio A.8 Probabilita equivalenti e teorema di Girsanov A.9 Processi stocastici multidimensionali 434 A.9.1 Processi diffusivi con BM indipendenti A.9.2 Processi diffusivi con BM correlati 435 A.10 La formula stocastica di Taylor e la discretizzazione di una SDE 439 Bibliografia Indice analitico

12 Prefazione Come tutte le prefazioni, anche questa e una post-fazione e, finita la fatica, l'autore e solo davanti al dubbio fondamentale: perche un nuovo libro sulla Finanza Matematica dei derivati? Finanza Matematica eun termine relativamente nuovo, almeno in Italia, e richiede, forse, qualche spiegazione. Infatti, la classica Matematica Finanziaria ha visto, negli ultimi anni, una cost formidabile evoluzione che non eesagerato dire che enata una nuova disciplina. Fatto salvo il dovuto omaggio al passato, in ossequio al detto di Bernard de Chartres circa i nani sulle spalle dei giganti, il nuovo approccio alla Finanza ha letteralmente ribaltato quello precedente. Se in passato la qualifica "finanziaria" veniva applicata alla Matematica non senza mostrare, in alcuni casi, l'assoluta pretestuosita dell'aggettivo rispetto all'interesse primario nel metodo analitico-quantitativo, ora tale qualifica e passata prepotentemente in primo piano, a sottolineare l'ambito economico, teorico e pratico, all'interno del quale l'analisi delle relazioni matematico-finanziarie nasce, viene formulata, cerca e spesso trova principi risolutivi, si confronta e scontra con gli sviluppi applicativi e la realta dei mercati. Si pensi, ad esempio, al modello di Black e Scholes, sintesi notevole di fondamenti teorici, conoscenze empiriche, metodo analitico-quantitativo e capacita di calcolo, applicata a un importante e annoso problema di valutazione, tuttora al centro della Finanza Matematica. II termine Finanza Matematica vuole quindi mettere in primo piano la sostanza finanziaria senza nascondere la storia da cui la disciplina proviene e soprattutto la validita di un metodo, quello matematico, che ha permesso il raggiungimento di risultati altrimenti impossibili, in qualche caso insigniti dell'alloro del Nobel: William Sharpe, Myron Scholes (e, si dovrebbe aggiungere, Fischer Black, prematuramente scomparso), Harry Markowitz, Robert Merton. Questo volume e il terzo di una trilogia (Cesari e Susini, 2005a,b) che affronta in sequenz a i temi dei tassi d'interesse, dei portafogli finanziari e dei titoli derivati. II fatto che venga per terzo non e senza significato in quanto

13 XIV Prefazione sfrutta alcuni concetti di base esposti in precedenza, in particolare nel volume dedicato ai tassi d'interesse. Rinvii puntuali saranno fatti nel corso della trattazione; tuttavia, una lettura del primo volume puo essere fin da subito raccomandata. II legame tra i volumi si puo comprendere guardando ai tre grandi pilastri che compongono la Finanza Matematica. Infatti, come la Gallia di Giulio Cesare, anche la Finanza Matematica risulta divisa, a grandi linee, in tre parti: pricing, hedging e asset management. II pricing 0 valutazione, affronta il tema della valorizzazione dei titoli e delle attivita finanziarie secondo il moderno principio dell'arbitraggio: i prezzi dei titoli sono vincolati da reciproche relazioni in modo che non ne possa seaturire la possibilita di arbitraggi, vale a dire la possibilita di realizzare profitti illimitati senza rischio. In tal modo, il vincolo di non arbitraggio, affiancato da opportune ipotesi aggiuntive, diventa la condizione per determinare, anche quantitativamente, i prezzi delle attivita finanziarie e in particolare dell'immensa categoria delle attivita finanziarie derivate (contingent claims). I modelli di Black, Scholes e Merton dei primi anni '70 hanno aperto alla ricerca quantitativa la vasta prateria del pricing di non arbitraggio dei titoli derivati. La seconda area di ricerca della Finanza Matematica e l'hedging 0 risk management, che affronta il tema dei rischi cui sono esposte le attivita finanziarie, l'identificazione dei numerosi fattori di rischio, la loro misurazione, l'individuazione di criteri di monitoraggio, controllo e gestione dei rischi. Stante il legarne teorico e pratico tra rischio e prezzo, in un mondo di operatori tipicamente avversi al rischio (modello di Sharpe), si comprende come i due temi del pricing e dell'hedging siano strettamente connessi e richiedano approcci e modelli tra loro pienamente coerenti. Infine il tema dell'asset management fa riferimento ai principi di gestione ottimale dei portafogli finanziari e quindi, semplificando, ai metodi di individuazione e controllo dinamico della migliore combinazione tra rendimento atteso e rischio assunto. L'aspetto qualificante, qui, e quello delle aspettative, vale a dire delle capacita previsive (forecasting) circa gli andamenti futuri dei prezzi e dei mercati, legato indissolubilmente, come hanno mostrato una volta per tutte Markowitz e Sharpe, al tema della misurazione e gestione del rischio. II secondo volume della trilogiaein gran parte dedicato alle gestioni di portafoglio. In questo quadro generale, il presente volume e focalizzato sui due temi del pricing e dell'hedging dei titoli derivati. Punto di partenza e l'analisi dei mercati, regolamentati 0 OTC, in cui concretamente si scambiano i derivati (capitolo 1). Segue il capitolo 2 sul significato di (non) arbitraggio, i fondamenti del pricing e l'applicazione al caso della struttura per scadenza dei tassi d'interesse, il primo mattone di ogni costruzione in finanza. Nei capitoli 3-6 si esaminano in sequenz a altrettanti prodotti a complessita crescente rna con payoff lineari: forward (cap. 3), futures (cap. 4), floaters (cap. 5) e swap (cap. 6), con particolare attenzione sia alle definizioni contrattuali, sia al pricing e all'uso prevalente (hedging e trading) degli strumenti analizzati. Nel capitolo 7, si apre la porta del variegato

14 Prefazione XV mondo delle nonlinear-ita attraverso il caso semplice del contratto d'opzione plain vanilla, analizzato, composto in strutture pili articolate e prezzato sia nell'approccio binomiale sia in quello classico a tempo continuo. I fondamenti dell'hedging delle opzioni e dei derivati in genere sono illustrati anche graficamente. Nel capitolo 8, il modello standard viene ampliato in diverse direzioni: rispetto ai sottostanti (con dividendi, tassi di cambio, forward etc.), rispetto ai tassi di attualizzazione, rispetto alla volatilita, II capitolo 9 analizza le complicazioni derivanti da sottostanti legati ai tassi d'interesse mentre il capitolo 10 ededicato aile opzioni c.d. esotiche, in quanto definite da payoff di varia complessita e articolazione. II capitolo 11 individua la presenza delle opzioni in numerosi contesti contrattuali apparentemente estranei ai derivati (obbligazioni corporate, garanzie, titoli strutturati etc.) mostrando i metodi di individuazione e scomposizione/ricomposizione (un-packaging) finalizzata al pricing e all'hedging dei contratti. Infine il capitolo 12 raccoglie alcune importati problematiche legate alla implementazione pratica (numerica) dei modelli analizzati. La trattazione e pensata per una doppio livello di lettura: un livello semplice e introduttivo, che richiede solo nozioni matematiche di base e punta alla comprensione pratica dei concetti e degli strumenti finanziari derivati e un livello pili avanzato che utilizza il calcolo stocastico e alcuni risultati fondamentali della probabilita, della matematica e della statistica per la derivazione delle relazioni quantitative, delle formule, dei modelli formalizzati. II primo livello, le cui parti sono contrassegnate da una (F), si rivolge ai corsi universitari della laurea triennale mentre il secondo livello si rivolge ai corsi di laurea specialistica 0 magistrale, di master e dottorato. Un' Appendice sui risultati pili avanzati, sui processi stocastici, probabilita e calcolo stocastico, posta in fondo allibro, rende il testo relativamente autosufficiente. Altro materiale, fogli di calcolo e programmi software sui capitoli del libro sono disponibili sul sito - studenti - materiale didattico. Questo libro deve molto, per i contenuti e l'approccio, agli studenti di un decennio di corsi, sulle cui esigenze (che si spera di aver bene interpretato) e stato pensato, realizzato e cordialmente dedicato. Due borse di studio hanno consentito all'autore due soggiorni presso il Research Department di BnpParibas, London, diretto da Marek Musiela, che qui si ringrazia assieme a Fabio Filippi dell'italian Desk per la generosa ospitalita, Un sentito ringraziamento anche a Wolfgang Runggaldier e Franco Molinari per l'apprezzamento e incoraggiamento e a Anna Grazia Quaranta per il prezioso aiuto editoriale. Naturalmente, il debito verso l'ampia letteratura disponibileeenorme: la bibliografia e Ie numerose citazioni ne sono la prova. Va sottolineato che in tale vasta letteratura, quattro aspetti sono stati in gran parte trascurati, salvo brevi trattazioni nel testo: 1. l'approccio di equilibrio generale ai prezzi dei titoli con conseguente enfasi sulla massimizzazione dell'utilita (attesa) e sui metodi di ottimizzazione dinamica (CIR, 1985a, Ingersoll, 1987, Duffie, 1992, Karatzas e Shreve,

15 XVI Prefazione 1998, James e Webber, 2000). Per farsi un'idea, si veda Cesari e Susini, 2005b, cap. 9. Tali approcci si rivelano utili per la trattazione del pricing e hedging in mercati incompleti, con costi di transazione, illiquidita e asset non commerciabili; 2. i modelli a tempo discreto, ai quali si e preferito, con alcune eccezioni, 10 sviluppo a tempo continuo per la maggiore semplicita analitica e formale. Su tali modelli, si veda Shreve (2004a), Duffie (1988, 1992); 3. i modelli con processi discontinui (jump processes e Levy processes) per i quali si rinvia a Shreve (2004b, cap. 11) e Cont e Tankov (2004); 4. i modelli per il rischio di credito, generalmente sviluppati con modelli discontinui per rappresentare la dinamica tra livelli di rating e tra questi e il default (v. Cesari e Susini, 2005a, par ). Su tali modelli si rinvia a Hull (2006, capp, 26-27), Cairns (2004, cap. 11), Bielecki e Rutkowski (2002), Duffie e Singleton (2003), Brigo e Mercurio (2006, Part VII). La speranza dell'autore eche quello che c'e possa servire allettore anche come una buona introduzione per affrontare, su solide basi, tutto il resto. E quanto sembrano suggerire anche i mercati. Mentre questo libro va in stampa (settembre 2008), la finanza internazionale sta attraversando la pili grave crisi del credito dal Non sono stati i derivati a innescarla (v. Capitolo 1) rna questi hanno rappresentato la benzina che ha trasformato un incendio in un rogo di dimensioni epocali. L' assenza di regole stringenti, di trasparenza e di un'adeguata conoscenza di questi strumenti ha trasformato le banche d'investimento in altrettenti "apprendisti stregoni", incapaci, alla prima difficolta, a contenere gli effetti negativi e a reggere 1'urto di mercati che invertono i flussi degli ordini. Passata l'ondata di fallimenti e i numerosi salvataggi di societa finanziarie fino a ieri ritenute inaffondabili, bisognera studiare pili attentamente i derivati e le leve dirompenti che contengono. Con questo obiettivo auguriamo allettore un buon proseguimento.

16 Abbreviazioni ABS ALM a.s. BGM BIS BM BS BOT b.p. BTP CAPM CB CCT CDO c.d. CDS CEV CH CIR CME CMS CPPI CTD CTZ EC EDSP EMH EMM FIFO FRA Asset backed security Asset and liability management Almost surely (quasi sicuramente) Brace, Garatek e Musiela Bank of International Settlements Brownian motion Black e Scholes Buoni ordinari del Tesoro basis point Buoni del Tesoro poliennali Capital asset pricing model Coupon bond Certificato di Credito del Tesoro Collateralized debt obligation cost detto/i Credit default swap Constant elasticity of variance Clearing House Cox, Ingersoll e Ross Chicago Mercantile Exchange Constant maturity swap Constant proportion portfolio insurance Cheapest to deliver Certificato del Tesoro Zero coupon Economic capital Exchange delivery settlement price Efficient market hypothesis Equivalent martingale measure First in, first out Forward rate agreement

17 XVIII Abbreviazioni FW HJM i.e. iid IRS ISDA LDI LIFFE LTCM LV MBS MTN NASDAQ OAS OTC OU PCT PDE PI p.s. RN SABR SDE SDF SIE SPS SV TIR TS v.a. VaR ZCB Forward Heath, Jarrow e Morton id est (==cioe) Indipendenti e indenticamente distribuiti Interest rate swap International Swaps and Derivatives Association Liability driven investment London International Financial Futures Exchange Long Term Capital Management Local volatility Mortgage backed security Medium term note National Association of Securities Dealers Automated Quotations Option adjusted spread Over the counter Ornstein-Uhlenbeck Pronti contro termine Partial differential equation Portfolio insurance Processo stocastico Risk neutral Sigma alpha beta rho Stochastic differential equation Stochastic discount factor Stochastic integral equation Struttura per scadenza Stochastic volatility Tasso interno di rendimento Term structure Variabile aleatoria Value at risk Zero-coupon bond

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