I Mercati Finanziari. Un approfondimento sugli strumenti di analisi delle opportunità di investimento. Ced BORSA SIM BANCHE OPERATORI ESTERI

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1 I Mercati Finanziari Un approfondimento sugli strumenti di analisi delle opportunità di investimento SIM BANCHE Servizio routing Servizio routing Investitori e risparmiatori Ced BORSA collegamenti per via telematica Servizio routing Servizio routing OPERATORI ESTERI AGENTI DI CAMBIO

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3 Capitolo 1 DURATION UN INDICE DELLA DURATA FINANZIARIA DEI TITOLI NON AZIONARI Un titolo obbligazionario comporta flussi di cassa positivi per l investitore dovuti a cedole, rimborso del capitale, premi vari che si verificano a certe date della vita del titolo medesimo. Se consideriamo, ad esempio, un titolo obbligazionario a reddito fisso 1 del valore nominale di lire , tasso nominale fisso 10% annuo (netto) con cedola annuale pagata il 31/12 posticipatamente, rimborso previsto al 31/12/99 alla pari, l asse temporale dei flussi di cassa definito il 1/1/1997, risulta dal seguente diagramma: DISTRIBUZIONE TEMPORALE DEI FLUSSI DI CASSA Importi /12/97 31/12/98 31/12/99 DATE Esempio n. 1 La cedola annuale del 31/12/97 scadrà tra 1 anno La cedola annuale del 31/12/98 scadrà tra 2 anni La cedola annuale del 31/12/99 e il rimborso del capitale scadranno tra 3 anni La durata residua del titolo, nel senso di quanto tempo manca alla sua estinzione, è di tre anni ma questo dato non tiene conto della distribuzione dei flussi nel tempo né, tantomeno, dell entità dei flussi medesimi Se si volesse effettuare una media dei tempi, in questo caso un anno, due anni, tre anni, ciascuno pesato con il relativo flusso di cassa associato, avremmo un dato che esprime un tempo medio di rientro del capitale e degli interessi; questo tempo medio, di norma, sarà sempre inferiore alla durata residua reale poiché tiene conto del fatto che alcuni flussi di cassa sono incassati prima. Solo nel caso di titoli zero coupon, dove non c è alcun anticipo nei flussi di cassa, il tempo medio calcolato corrisponderà alla durata residua reale. Se si effettua il suddetto calcolo otteniamo: 1 Per titoli obbligazionari e titoli di Stato a reddito indicizzato, le problematiche qui trattate devono, in parte, essere riconsiderate

4 (1 x ) + (2 x ) + (3 x ) Tempo medio calcolato = 2,769 anni In effetti questa modalità di calcolo non è precisa in quanto sappiamo che i capitali sono confrontabili tra loro, solo se hanno medesima scadenza; pertanto è necessario sostituire gli importi, quali verificano nella realtà, con i loro valori attuali al momento in cui intendiamo calcolare il tempo medio residuo. Per fare questo abbiamo bisogno di un tasso di sconto che sarà il tasso di rendimento effettivo che ha quel particolare titolo nel momento in cui si effettua il calcolo. Se supponiamo che il tasso di rendimento effettivo sia l 8% su base annua allora il calcolo si trasforma come segue: Valore attuale della cedola 1997 di lire con scadenza fra 1 anno: (1 + 0,08) -1 = Valore attuale della cedola 1998 di lire con scadenza fra 2 anni: (1 + 0,08) -2 = Valore attuale della cedola 1999 di lire e del rimborso del capitale di lire con scadenza fra 3 anno: (1 + 0,08) -3 = (1 x ) + (2 x ) + (3 x ) ( ) Tempo medio calcolato = / = 2,742 anni Il tempo medio calcolato come appena mostrato, è la duration o durata finanziaria del titolo Pertanto la DURATION calcolata in un certo istante, è una media dei tempi di attesa (scadenze temporali) di ciascun flusso di cassa, moltiplicati per il valore dei relativi flussi di cassa associati, attualizzati al tasso di rendimento effettivo corrente (la definizione che ne viene data nelle istruzioni della funzione durata del foglio elettronico Microsoft Excel è la seguente: La durata Macauley per un valore nominale presunto di 100 lire è la durata definita come la media ponderata del valore corrente dei flussi di cassa ed è utilizzata come misura della risposta del prezzo di un'obbligazione alle variazioni nel rendimento. Esempio n. 2 Titolo obbligazionario del valore nominale di lire , tasso nominale fisso 10% annuo (netto) con cedola annuale pagata il 31/12 posticipatamente, rimborso previsto al 31/12/99 alla pari: calcoliamo la duration alla data 1/1/1997, tasso di rendimento effettivo 10%: Valore attuale della cedola 1997 di lire con scadenza fra 1 anno: (1 + 0,1) -1 = Valore attuale della cedola 1998 di lire con scadenza fra 2 anni: (1 + 0,1) -2 = Valore attuale della cedola 1999 di lire e del rimborso del capitale di lire con scadenza fra 3 anni: (1 + 0,1) -3 = (1 x ) + (2 x ) + (3 x ) ( ) Duration = / = 2,736 anni 2

5 In questo caso, aumentando il tasso di rendimento, diminuisce la duration. Esempio n. 3 Titolo obbligazionario del valore nominale di lire , senza cedola (zero coupon) rimborso previsto al 31/12/99 alla pari: calcoliamo la duration alla data 1/1/1997, tasso di rendimento effettivo 10%: Valore attuale del rimborso del capitale di lire con scadenza fra 3 anni: (1 + 0,1) -3 = x Duration = 3 anni La duration di uno zero coupon coincide sempre, indipendentemente dal tasso di rendimento, con la durata residua reale del titolo. Riepilogando si può affermare che la relazione tra tasso di rendimento effettivo e duration è di tipo inverso: all aumentare del tasso di rendimento diminuisce la duration e viceversa. Inoltre la formula della duration può essere generalizzata nel modo seguente: 1xCedola1(1 + r) xCedola2(1 + r) xCedola3(1 + r) Nx(CedolaN + VR)(1 + r) -n Cedola1(1 + r) -1 + Cedola2(1 + r) -2 + Cedola3(1 + r) CedolaN(1 + r) -n + VR(1 + r) -n dove VR = Valore di rimborso Il concetto di duration può essere applicato anche a quei titoli i cui flussi di cassa attivi non sono tutti prefissati e possono variare a seguito delle variazioni dei tassi sul mercato durante la vita del titolo stesso. Per effettuare il calcolo dovranno essere fatte delle previsioni sulla struttura dei tassi di interesse futuri. INTERPRETAZIONE DELLA DURATION Un altro modo per definire la duration è quello di considerare questo indice come quella particolare scadenza temporale in cui, in media, l investitore riceverà esattamente la metà del suo originario investimento in termini di valore attuale. Quindi la duration va pensata come il punto di equilibrio o fulcro dell asse dei tempi (timeline); su questo asse appoggiano, con il relativo peso attualizzato, tutti i vari flussi di cassa alle varie scadenze; la duration è il punto dell asse (scadenza) in cui esso sta perfettamente in equilibrio. TASSO DI RENDIMENTO EFFETTIVO E PREZZO DEL TITOLO Il prezzo corrente dei titoli obbligazionari e, in particolare, di quelli a reddito fisso, è influenzato dal tasso di rendimento effettivo del titolo considerato. Il tasso che rende il valore attuale di tutti i flussi di cassa positivi di un titolo obbligazionario (cedole, premi e rimborso capitale) pari al prezzo corrente del titolo, dicesi tasso di rendimento effettivo. In altre parole questo tasso è quello che rende nullo il VAN (valore attuale netto) quale differenza dei flussi di cassa positivi e negativi di un investimento, attualizzati ad una certa data (l unico flusso di cassa negativo è quello dovuto all acquisto del titolo che è pari al prezzo del titolo medesimo) 3

6 In generale il prezzo di un titolo obbligazionario è definito come segue: P = Cedola1(1 + r) -1 + Cedola2(1 + r) -2 + Cedola3(1 + r) CedolaN(1 + r) -n + VR(1 + r) -n dove P = prezzo del titolo r = tasso di rendimento effettivo VR = Valore di rimborso Se si vuole esprimere il prezzo del titolo in termini percentuali si ha: P % = (P/VN)x100 dove VN = Valore nominale del titolo Esempi il prezzo del titolo di cui all esempio n. 1 alla data 1/1/97 dovrà valere: P % = ( / )*100 = 105,154 infatti Flussi cassa Scadenze Valori attuali scadenze x valatt totali Valore nominale Tasso rendimento 8,00% Duration 2,742 Prezzo 105,154 il prezzo del titolo di cui all esempio n. 2 alla data 1/1/97 dovrà valere: P % = ( / )*100 = 100,000 infatti Flussi cassa Scadenze Valori attuali scadenze x valatt totali Valore nominale Tasso rendimento 10,00% Duration 2,736 Prezzo 100,000 4

7 il prezzo del titolo di cui all esempio n. 3 alla data 1/1/97 dovrà valere: P % = ( / )*100 = 75,131 infatti Flussi cassa Scadenze Valori attuali scadenze x valatt totali Valore nominale Tasso rendimento 10,00% Duration 3,000 Prezzo 75,131 E importante notare quanto segue: quando il tasso di rendimento effettivo è minore del tasso nominale del titolo considerato, il suo prezzo corrente è sopra la pari (confronta esempio n.1); se i due tassi si eguagliano, il prezzo corrente coincide esattamente con il valore nominale e quindi risulta quotato alla pari; infine nell esempio n. 3 il titolo, che è senza cedola, ha un tasso nominale pari a zero e quindi il tasso di rendimento è sempre maggiore di quello nominale con la conseguenza che il prezzo corrente è sempre quotato sotto la pari (solo nell ipotesi, per assurdo, di azzeramento del tasso di rendimento si avrebbe una quotazione alla pari) Funzioni finanziarie di Microsoft Excel Conoscendo il prezzo di un titolo obbligazionario posso, viceversa, ricavare il tasso di rendimento effettivo ad esempio utilizzando la funzione finanziaria di Microsoft Excel REND ; Sintassi REND(liquid; scad; tasso_int; prezzo; prezzo_rimb; num_rate; base) dove Liquid è la data di liquidazione del titolo espressa in numero seriale. Scad è la data di scadenza del titolo espressa in numero seriale. Tasso_int è il tasso di interesse nominale annuo del titolo. Prezzo è il prezzo del titolo dal valore nominale di 100 lire. Prezzo_rimb è il valore di rimborso del titolo dal valore nominale di 100 lire. Num_rate è il numero di pagamenti per anno. Se i pagamenti sono annuali, num_rate = 1; se sono semestrali, num_rate = 2; se sono trimestrali, num_rate = 4. Base è il tipo di base da utilizzare per il conto dei giorni. con la funzione finanziaria PREZZO posso ricavare direttamente il prezzo del titolo Sintassi: PREZZO(liquid; scad; tasso_int; rend; prezzo_rimb; num_rate; base) dove : Liquid è la data di liquidazione del titolo espressa in numero seriale. Scad è la data di scadenza del titolo espressa in numero seriale. Tasso_int è il tasso di interesse nominale annuo del titolo. Rend è il rendimento annuo del titolo. Prezzo_rimb è il valore di rimborso del titolo dal valore nominale di 100 lire. Num_rate è il numero di pagamenti per anno. Se i pagamenti sono annuali, num_rate = 1; se sono semestrali, num_rate = 2; se sono trimestrali, num_rate = 4. Base è il tipo di base da utilizzare per il conto dei giorni. con la funzione finanziari DURATA posso ricavare direttamente la duration 5

8 Sintassi DURATA(liquid; scad; cedola; rend; num_rate; base) dove Liquid è la data di liquidazione del titolo espressa in numero seriale. Scad è la data di scadenza del titolo espressa in numero seriale. Cedola è il tasso di interesse nominale annuo del titolo. Rend è il rendimento annuo del titolo. Num_rate è il numero di pagamenti per anno. Se i pagamenti sono annuali, num_rate = 1; se sono semestrali, num_rate = 2; se sono trimestrali, num_rate = 4. Base è il tipo di base da utilizzare per il conto dei giorni. RELAZIONE TRA PREZZO E RENDIMENTO DI UN TITOLO OBBLIGAZIONARIO Abbiamo visto come si calcola il prezzo di un titolo conoscendo il suo tasso corrente di rendimento effettivo (detto anche tasso di rendimento effettivo a scadenza); tra P ed r quindi esiste una relazione: Riportiamo nella seguente tabella diversi prezzi del titolo di cui all esempio n.1 al variare del tasso di rendimento effettivo: Tasso effettivo Prezzo Variazioni di prezzo Variazioni percentuali 6% 110, % 107,873-2,819-2,78 8% 105,154-2,719-2,75 9% 102,531-2,623-2,73 10% 100,000-2,531-2,70 11% 97,556-2,444-2,68 12% 95,196-2,36-2,65 Duration del titolo per r = 8% 2,736 anni Come si può notare la relazione tra prezzo e rendimento è di tipo inverso; inoltre i decrementi di prezzo, corrispondenti a incrementi fissi di rendimento, sono via via decrescenti Riportiamo, ora, una tabella con diversi prezzi al variare del tasso di rendimento effettivo di un titolo avente le stesse caratteristiche generali di quello di cui all esempio n.1 ma una durata residua reale pari a 5 anni: Tasso effettivo Prezzo Variazioni di prezzo Variazioni percentuali 6% 116, % 112,301-4,548-3,89 8% 107,985-4,316-3,84 9% 103,89-4,095-3,79 10% 100,000-3,89-3,74 11% ,70 12% 92, ,65 Duration del titolo per r = 8% 4,204 anni Come si può osservare dalla tabella, in questo caso le variazioni di prezzo sono più consistenti; pertanto si può affermare in generale che aumentando la duration aumenta l entità delle variazioni di prezzo al variare del tasso di rendimento 6

9 prezzo del titolo Relazione Prezzo Rendimento (price yield curve) Tasso di rendimento Riepilogando: 1. Il prezzo dei titoli obbligazionari si muove inversamente rispetto al rendimento; 2. Ad incrementi fissi di rendimento, i decrementi di prezzo sono via via decrescenti (confronta il grafico) 3. A parità di variazione di rendimento, la variazione di prezzo è tanto maggiore quanto più elevata è la duration del titolo considerato 4. Le variazioni di prezzo sono asimmetriche nel senso che, rispetto ad eguali variazione di rendimento ma di segno contrario, il decremento è in valore assoluto minore del corrispondente incremento (confronta il grafico) VOLATILITA DEI TITOLI OBBLIGAZIONARI La formula della duration, come visto, è la seguente: 1xCedola1(1 + r) xCedola2(1 + r) xCedola3(1 + r) Nx(CedolaN + VR)(1 + r) -n Cedola1(1 + r) -1 + Cedola2(1 + r) -2 + Cedola3(1 + r) CedolaN(1 + r) -n + VR(1 + r) -n Il denominatore della formula non è altro che P, il prezzo del titolo, e pertanto si può scrivere: D = 1xCedola1(1+r) xCedola2(1+r) xCedola3(1+r) Nx(CedolaN + VR)(1+r) -n ovvero P P = 1xCedola1(1+r) xCedola2(1+r) xCedola3(1+r) NxCedolaN(1+r) -n + VR(1+r) -n dove D = duration D queste formule mettono in evidenza il fatto che tra prezzo del titolo e duration esiste una relazione; in particolare esiste una formula che lega direttamente la duration con la variazione del prezzo di un titolo obbligazionario 2 : 2 La relazione (1) si può ottenere derivando la funzione del prezzo FCt (footnote continued) 7 n t ( 1 r) rispetto al tasso di rendimento r: t 1

10 P = - D/(1+r) P r (1) dove P = variazione del prezzo r = variazione del tasso di rendimento D = Duration P = prezzo iniziale del titolo D/(1+r) = modified duration Se proviamo ad applicare la relazione (1) al prezzo corrispondente al tasso di rendimento dell 8% dell ultima tabella analizzata, considerando una variazione unitaria del tasso di rendimento, si ottengono i seguenti risultati: r = 1% D = 4,204 P = 107,985 D/(1+r) = 4,203 si ottiene: P = -4,203 P +P = 103,782 In effetti la variazione qui calcolata, pari a -4,203, non coincide perfettamente con quella effettiva che appare nella tabella pari a -4,095; difatti la formula presentata rappresenta un approssimazione (proxy) della variazione del prezzo solo in un ambito di variazione abbastanza ristretto del rendimento. L espressione che segue è detta modified duration ma normalmente nella stampa specializzata viene riportata con il nome di volatilità: Volatilità Duration ( 1 r) La (1) si può anche scrivere: Duration Volatilità ( 1 r) = P P r al terzo membro si rileva che la variazione percentuale del prezzo di un titolo conseguente ad una variazione del tasso di rendimento effettivo a scadenza, è misurato dalla modified duration. Nel caso in cui si vogliano applicare le formule della duration e della volatilità a titoli obbligazionari e di Stato con flussi di cassa non prefissati in maniera certa (titoli indicizzati) allora va ricordato che, mentre la duration ha valori simili a quelli di titoli a reddito fisso con analoga scadenza, la volatilità ha sempre dp dr n t t FCt ( 1 ( 1) r) ( 1 1 r) [ tfct ( 1 r) ] t1 n t1 dove FC= flussi di cassa positivi moltiplicando entrambi i membri per 1/P si ottiene: n dp dr x 1 1 t ( 1 ) [ t ( 1 ) ] P t1 si può esprimere la variazione infinitesima del prezzo come segue: D dp r P ( 1 ) dr 1 1 r tfc r x D P ( 1 r ) nel discreto l espressione diventa corrispondente alla (1) e cioè: P = - D/(1+r) P r 8

11 valori prossimi allo zero per il fatto che le cedole sono sempre erogate a tassi di interesse vicini a quelli correnti e ciò rende impossibile che si verifichino grossi variazione di prezzo. Per comprendere meglio, ipotizziamo che il tasso nominale di un CCT si potesse adeguare istantaneamente alle variazioni del tasso di rendimento effettivo di mercato; allora sappiamo che la formula con cui si determina il prezzo del titolo, risulta sempre uguale a 100 (alla pari). Nella realtà le cedole dei CCT si adeguano ai tassi effettivi solo a fine semestre, il che sorte l effetto che la quotazione non è mai precisamente 100, ma tende ad essere un po sopra la pari in periodi di tassi calanti, e un po sotto la pari in periodi di tassi crescenti. Infine si può affermare che la duration ha 3 utilizzi possibile nell analisi finanziaria: 1. è un indice di durata finanziaria 2. è un indice di volatilità 3. è uno strumento utilizzabile per le strategie di immunizzazione del portafoglio (vedi oltre) 9

12 Capitolo 2 GLI INVESTIMENTI FINANZIARI IL PROCESSO DI INVESTIMENTO In questo ambito l investimento può essere definito come l impiego del risparmio (consumo differito) per l acquisto di attività finanziarie. Questo processo di investimento finanziario deve prendere in considerazione 5 fasi: 1. fissazione degli obiettivi 2. determinazione del livello di rischio tollerabile 3. stima del rischio e del rendimento di ciascun titolo 4. costruzione di portafogli efficienti 5. verifica dei risultati Per quanto riguarda il rendimento è necessario definire un tasso di rendimento privo di rischio (risk free rate) che normalmente corrisponde a quello dei Buoni del Tesoro. Questo tasso, che indichiamo con il simbolo r f, è un elemento importante per analizzare i legami tra rischio e rendimento; infatti in un mercato efficiente, ove sia sempre possibile acquisire attività finanziarie prive di rischio al tasso r f e in cui le informazioni siano disponibile per tutti gli operatori, nessuno sarà disposto a investire in titoli il cui rendimento sia pari r f e che abbiano un certo grado di rischio; il che vuole anche significare che rendimenti maggiori a r f sono soggetti a un maggior rischio che giustifica un premio addizionale rispetto a r f Il rendimento richiesto da un investitore per l acquisto di una particolare attività finanziaria corrisponde a: Tasso di rendimento = tasso reale privo di rischio + tasso di inflazione attesa + premio per il rischio richiesto in effetti un tasso nominale corrente privo di raschio include già l inflazione attesa; pertanto il tasso di rendimento richiesto può essere indicato più semplicemente così: Tasso di rendimento = tasso nominale privo di rischio + premio per il rischio Quanto appare dalle relazioni sul tasso di rendimento richiesto, consente di affermare che anche le attività prive di rischio (nei listini appare il relativo tasso nominale), sono comunque soggette all alea dell inflazione a venire, ma questo rischio non beneficia di alcun corrispettivo esplicito. PREZZI E TASSI DI RENDIMENTO Abbiamo già visto nel caso di titoli obbligazionari, la relazione che sussiste tra prezzo e rendimento. Quella stessa formulazione può essere applicata in generale a un qualunque tipo di titolo, azionario e non azionario: 10

13 P = n FCt t ( 1 r) ovvero n FC r t t ( 1 ) 1 t 1 t che si può interpretare come somma di tutti i flussi di cassa futuri (FC) attualizzati ad oggi al tasso di rendimento effettivo a scadenza (r) che è il tasso corrente che il mercato esprime per quel titolo in quel dato momento. I flussi di cassa FC hanno carattere di certezza nel caso di titoli obbligazionari a reddito fisso mentre devono essere stimati in altri casi, come per i titoli obbligazionari a reddito indicizzato e per i titoli azionari che sono a reddito variabile; la formula allora deve essere riscritta: P = n E( FC ) t t ( 1 r) t 1 dove E(FC t ) sta per valore medio del flusso di cassa al tempo t nel senso di valore atteso, quello cioè che ha la massima probabilità di realizzarsi. Questo significa che molto spesso gli analisti finanziari e comunque gli investitori in genere, devono effettuare delle previsioni sui futuri flussi di cassa, sulle probabilità che si realizzino in una certa misura e, infine, sulla rischiosità dell investimento. E importante notare che, per qualunque titolo, esiste una relazione inversa tra prezzo e rendimento del titolo. In generale le tipologie dei titoli che si scambiano sui mercati finanziari, possono ricondursi a tre: 1. titoli obbligazionari (compresi i titoli di stato) 2. titoli azionari 3. titoli derivati (warrant, obbligazioni convertibili, diritti d opzione, futures, options) Per i titoli azionari può essere opportuno tenere distinte le azioni privilegiate dalle ordinarie in quanto i flussi di cassa delle prime hanno un carattere di minore incertezza e rendono la valutazione del titolo meno aleatoria. TITOLI SCADENZA TIPO DI RENDIMENTO SICUREZZA DEL RENDIMENTO STRUMENTI DEL MERCATO MONETARIO TITOLI OBBLIGAZIONARI AZIONI PRIVILEGIATE BREVE A SCONTO ELEVATA LUNGA INTERESSI ELEVATA PERPETUA DIVIDENDI MODERATAMENTE ELEVATA AZIONI ORDINARIE PERPETUA DIVIDENDI E CAPITAL GAIN MENO CERTA La maggior parte degli scambi sono effettuati da società di intermediazione, banche o agenti di cambio: questi soggetti possono operare in veste di broker o di dealer: come broker l intermediario effettua scambi per conto dei propri clienti, come dealer opera per sé stesso. L intermediario dealer non detiene mai i titoli per un lungo periodo come fa il risparmiatore ma ciò non toglie che sopporti rischi analoghi. Quando il dealer ritiene che i titoli vadano al rialzo ed effettua 11

14 acquisti, si dice che assume una posizione lunga; quando, al contrario, ritiene che ci sarà un ribasso effettua vendite (anche in quantità maggiore di quanto effettivamente possiede, cioè allo scoperto) e si dice che assume una posizione corta. VALUTAZIONE DELLE AZIONI La valutazione dei titoli azionari ordinari è soggetto al maggior grado di incertezza in quanto devono essere previsti i dividendi futuri. Vi sono due metodologie fondamentali: l approccio che utilizza il rapporto P/E o price earnings ratio l approccio che stima il valore attuale dei dividendi attesi (dividend discount method) Vediamo più in dettaglio quest ultima metodologia. La formula di partenza è quella già nota dove FC è sostituito con D: P o = n E( D ) t t ( 1 r) t 1 dove P o = prezzo corrente dell azione E( D t ) = dividendo atteso per l anno t n r = numero di anni di attività della società = tasso di sconto rettificato con un premio per il rischio e si ipotizza che gli investitori detengano il titolo per l intera durata della vita della società (difatti manca il flusso relativo al rimborso o alla vendita), anche se è facilmente dimostrabile che la metodologia può essere validamente applicata anche nel caso che l orizzonte temporale sia più breve. A questo punto analizziamo il particolare modello di attualizzazione detto constant growth dividend discount model introducendo 3 ulteriori ipotesi che rendono più semplice il calcolo: 1. il flusso dei dividendi è considerato perpetuo cioè n 2. i dividendi crescono nel tempo ad un tasso costante g 3. il tasso di sconto utilizzato per attualizzare i flussi è maggiore del tasso di crescita dei dividendi r>g Allora i dividendi si presentano come segue: D 1 = D 0 (1+g) D 2 = D 0 (1+g) 2 D 3 = D 0 (1+g) 3... D n D 0 (1+g) n quindi la formula di base si può riscrivere così: P o = D o [ t 1 ( 1 g ) ( 1 r) t t ] 12

15 1 g il membro tra parentesi quadre è la somma di una progressione geometrica di ragione 1 r che consente di riscrivere la formula come segue 3 : P o = D1 r g viceversa il tasso r può essere derivato dal prezzo e dal tasso di crescita g: r = D P 1 0 g e pertanto il rendimento di un azione dipende, in questo modello, dal rapporto D P 1 0 e il tasso previsto di crescita dei dividendi. L aver adottato questo modello con le ipotesi ad esso sottostanti, ha comportato l assunzione di stime sul flusso dei dividendi futuri ritenuti più probabili. Più avanti verrà esplicitato il metodo di valutazione delle azioni basato sul price earning ratio. RENDIMENTO E RISCHIO Se vogliamo calcolare i rendimenti passati (storici), la formula onnicomprensiva e di portata generale che consente di determinare il tasso di rendimento di un titolo può assumere 2 versioni: a) si suppone, per semplicità, che tutti i flussi di cassa positivi sono riscossi alla fine del periodo; la formula si presenta come segue r ( P P ) C t t1 t t = P dove t1 r t P t P t 1 = tasso di rendimento effettivo del periodo t = prezzo del titolo alla fine del periodo t = prezzo del titolo all inizio del periodo t ( 1 g ) ( 1 r) t 3 La sommatoria t riguarda una progressione geometrica di ragione (1+g)/(1+r); la formula della sommatoria di t 1 questa progressione geometrica è : n n n D ( 1 g) 1 n ( 1 r) ( 1 g) 1 ( 1 r) ( 1 g) D ( 1 r) ( 1 g) 1 ( 1 r) ( r g) ( 1 r) n 13 ( 1 g) 1 ( 1 g) ( 1 r) ( 1 r) ( r g) D1 ( 1 g) 1 ( r g) ( 1 r) allora P o = D1 r g n n dato che r > g e che il limite per n che tende all infinito di n D ( 1 g) ( 1 g) ( 1 r) n n 0

16 C t = insieme di tutti gli altri flussi di cassa positivi (dì cedole, dividendi, premi, eccetera) b) tutti i flussi di cassa positivi sono considerati al tempo dell effettiva riscossione; la formula si presenta come segue: la formula di partenza è quella della determinazione del prezzo P = FC ( 1 r) i 1 t n t i t i dove l indice t i segnala, per ciascun flusso positivo di cassa, il tempo trascorso tra l inizio dell investimento e la scadenza del flusso stesso; per ricavare r non vi è una formula abbastanza semplice da applicare immediatamente e quindi si ricorre alle funzioni già predisposte nei programmi informatici relativi al calcolo del TIR (tasso interno di rendimento) che è quel tasso che rende nullo il VAN (valore attuale netto); in Microsoft Excel le funzioni da utilizzare sono TIR.COST e TIR.X rispettivamente nel caso che i flussi di cassa abbiamo una collocazione temporale regolare o meno Ora, se gli investitori pensassero esclusivamente al rendimento, la loro scelta andrebbe inequivocabilmente per l intero importo disponibile, sul titolo più redditizio. In effetti molti soggetti detengono molteplici titoli, diversi tra loro proprio perché un elemento che determina la scelta è il rischio di un titolo e, come vedremo, la strategia della diversificazione consente di mantenere certi rendimenti e di ridurre il rischio. Per rischio si intende normalmente la variabilità del rendimento e, come è stato ampiamente dimostrato teoricamente ed empiricamente, a maggior rendimento corrisponde maggior rischio e viceversa. RENDIMENTO E RISCHIO DI UN TITOLO Rischio e rendimento calcolati a posteriori (ex post) Come abbiamo già visto, il rendimento di un titolo può essere calcolato retrospettivamente in base a una serie di dati storici; spesso sono disponibili i rendimenti annuali o infrannuali per sequenze di periodi. Con queste serie temporali è possibile determinare in primo luogo il rendimento medio dell insieme dei periodi considerati facendone la media aritmetica, e poi la variabilità del rendimento e, quindi, il rischio del titolo tramite l impiego dell indice statistico deviazione standard (scostamento quadratico medio) che viene indicato con il simbolo (sigma) 4. Consideriamo 3 titoli: l azione Alfa, l azione Beta e un Btp di cui di conoscono i rendimenti effettivi percentuali di 10 periodi consecutivi trascorsi; nella tabella che segue sono riportati sia i dati di base, sia la media e la deviazione standard di ciascuno dei tre titoli: PERIODI AZIONE ALFA AZIONE BETA BTP ,5 4 Per dati storici le formule della media e della deviazione standard sono le seguenti: Rendimento medio = r = 1 n n r t Deviazione standard = = t 1 n 1 ( rt r ) n 1 t

17 , , ,1 Rendimento medio 8,90 6,70 4,86 Deviazione standard 9,86 8,29 0,55 Le risultanze della tabella mettono in evidenza come ad un maggior grado di rischio (confronta deviazione std), corrisponda un maggior livello di rendimento (confronta rendimento medio) Rischio e rendimento calcolati a priori (ex ante) Il rendimento di un titolo può essere calcolato anticipatamente effettuando una previsione e allora si parla di rendimento atteso e di rischio atteso; è necessario in questo caso ipotizzare diverse situazioni reali che potranno realizzarsi nell unico periodo futuro considerato e associare a ciascuna situazione una probabilità; quindi per ciascun titolo e per ciascuna situazione si ipotizzano i vari rendimenti possibili ed infine, per ciascun titolo, si calcola il rendimento atteso facendo una media ponderata tra rendimento stimato e probabilità che si realizzi la particolare situazione. Per il rischio atteso si determina la deviazione standard dei rendimenti ipotizzati pesati per le probabilità. Stimiamo la probabilità che si realizzino 4 diverse possibili situazione nel periodo futuro che ci interessa e per ogni titolo il rendimento previsto in ciascuna situazione: SITUAZIONE PROBABILITA AZIONE ALFA AZIONE BETA BTP Recessione con tassi alti 0, ,5 recessione con tassi bassi 0, espansione con tassi alti 0, ,5 espansione con tassi bassi 0, Totale 1 In questo caso non si considera una serie temporale di dati, ma si effettua una stima su un unico orizzonte temporale (orizzonte uniperiodale); in un certo senso si può parlare di analisi sezionale o cross-section.consideriamo ora la seguente tabella in cui si calcolano i rendimenti attesi (media ponderata in base alle probabilità) e deviazione standard per misurare la loro variabilità 5 : R E N D I M E N T I S T I M A T I PROBABILITA AZIONE ALFA AZIONE BETA BTP 0, ,5 0, , ,5 5 Per dati previsionali associati a una distribuzione di probabilità p, le formule della media e della deviazione standard sono le seguenti: n r s p s 2 Deviazione standard= = ( r E( r)) p Rendimento medio= E(r) = s s1 s1 dove p s e r s, ad esempio, sono i valori di probabilità e i rendimenti associati della tabella n s 15

18 0, Rendimento medio 12,85 11,75 4,80 Deviazione standard 16,68 12,70 0,58 Anche in questo caso vale la relazione concorde tra rischio e rendimento. VARIABILITA DEL RENDIMENTO DI 2 TITOLI E LORO CORRELAZIONE Un importante considerazione che si può fare sulla variabilità dei titoli presi due a due, è quella di verificare quanto la variabilità di un titolo si muove similmente a quella di un altro titolo. In generale si potranno dare 3 situazioni: i 2 titoli variano più o meno nello stesso modo, i due titoli variano più o meno in senso contrario, al variare di un titolo l altro non evidenzia variabilità. In pratica ci potranno essere infinite combinazione di queste tre situazioni e di questo confronto tra le variabilità dei due titoli, è possibile dare una misura tramite l indice statistico di covarianza ij e l indice statistico di correlazione lineare ij. In particolare questo indice può assumere valori variabili da -1 a +1: per uguale a -1 la correlazione è del tutto contraria, per uguale a +1 la correlazione è del tutto concorde, per uguale a 0 non c è assolutamente correlazione. Riprendendo i dati degli esempi precedenti, calcoliamo i due indici per tutte le coppie di titoli: Rendimenti ex post (a posteriori) PERIODI AZIONE ALFA AZIONE BETA BTP , , , ,1 Rendimento medio 8,90 6,70 4,86 Deviazione standard 9,86 8,29 0,55 Covarianza titolo 1 *** 28,97-1,21 Covarianza titolo 2 *** *** 0,47 Covarianza titolo 3 *** *** *** Correlazione titolo 1 *** 0,39-0,25 Correlazione titolo 2 *** *** 0,11 Correlazione titolo 3 *** *** *** Non emerge particolare correlazione tra i 3 titoli ad esclusione di quella tra l azione Alfa e Beta nella misura di 0,39. Rendimenti ex ante (a priori) 16

19 R E N D I M E N T I S T I M A T I PROBABILITA AZIONE ALFA AZIONE BETA BTP 0, ,5 0, , ,5 0, Rendimento medio 12,85 11,75 4,80 Deviazione standard 16,68 12,70 0,58 Covarianza titolo 1 *** 154,46 2,37 Covarianza titolo 2 *** *** 2,95 Covarianza titolo 3 *** *** *** Correlazione titolo 1 *** 0,73 0,25 Correlazione titolo 2 *** *** 0,40 Correlazione titolo 3 *** *** *** In questa tabella emerge una discreta correlazione tra le 2 azioni (0,73) e una certa correlazione anche con il Btp da parte dell azione Beta. RENDIMENTO E RISCHIO DI UN PORTAFOGLIO Il concetto di portafoglio è molto importante per i suoi risvolti teorici e applicativi; per portafoglio s intende l insieme dei titoli in possesso o in gestione di un soggetto in un dato momento o periodo. Nella composizione di un portafoglio ogni titolo incluso ha un suo peso che dipende dalla quantità e dal valore del titolo rispetto all insieme del portafoglio stesso; pertanto il valore del portafoglio è dato dal valore complessivo di tutti i titoli presenti nel portafoglio stesso; il peso relativo W di un titolo nel portafoglio è dato dal rapporto: W i Valore_ titolo Valore_ portafoglio peso del titolo i_esimo Il rendimento di un portafoglio non è altro che la media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli dove i pesi sono rappresentati dai W (weights) 6. Il rischio di un portafoglio è rappresentano dalla variabilità dei rendimenti dell insieme dei titoli e viene indicata come deviazione standard del portafoglio 7. 6 La formula per calcolare Il rischio storico di un portafoglio è: r rw n p i i i1 n La formula per calcolare Il rischio atteso di un portafoglio è: E( r ) E( r ) W p i i i1 7 La formula per calcolare la deviazione std di un portafoglio è: p n n i1 j1 Cov WW ij i j 17

20 Anche in questo caso le elaborazioni possono essere fatte su dati storici (ex post) o su dati previsti (ex ante). Riprendiamo il solito esempio considerando che ciascun titolo sia presente nel portafoglio in egual misura: Rendimenti ex post (a posteriori) PERIODI AZIONE ALFA AZIONE BETA BTP , , , ,1 Rendimento medio 8,90 6,70 4,86 Deviazione standard 9,86 8,29 0,55 Covarianza titolo 1 *** 28,97-1,21 Covarianza titolo 2 *** *** 0,47 Covarianza titolo 3 *** *** *** Correlazione titolo 1 *** 0,39-0,25 Correlazione titolo 2 *** *** 0,11 Correlazione titolo 3 *** *** *** peso dei titoli (W) 0,33 0,33 0,33 rendimento portafoglio 6,82 deviazione std portafoglio 4,97 Rendimenti ex ante (a priori) R E N D I M E N T I S T I M A T I PROBABILITA AZIONE ALFA AZIONE BETA BTP 0, ,5 0, , ,5 0, Rendimento medio 12,85 11,75 4,80 Deviazione standard 16,68 12,70 0,58 Covarianza titolo 1 *** 154,46 2,37 Covarianza titolo 2 *** *** 2,95 Covarianza titolo 3 *** *** *** Correlazione titolo 1 *** 0,73 0,25 Correlazione titolo 2 *** *** 0,40 Correlazione titolo 3 *** *** *** peso dei titoli (W) 0,33 0,33 0,33 rendimento portafoglio 9,70 deviazione std portafoglio 9,09 DIVERSIFICAZIONE DEI PORTAFOGLI L indice statistico che abbiamo utilizzato, cioè la deviazione standard, è una misura della variabilità totale del rendimento di un titolo o di un portafoglio e quindi ne rappresenta il rischio totale. 18

21 Abbiamo anche calcolato il rendimento e la deviazione std di un portafoglio come medie ponderate dei rendimenti e delle deviazioni standard dei singoli titoli che compongono il portafoglio stesso, pesati con il valore relativo di ciascuno di essi Si può dimostrare teoricamente ed empiricamente che se si combinano due titoli con egual rendimento e diversa variabilità, il rendimento del nuovo portafoglio rimane inalterato qualunque sia la combinazione delle quote, mentre la variabilità si riduce rispetto alla media ponderata della variabilità dei singoli titoli. Ciò significa che, diversificando opportunamente un portafoglio, è possibile mantenere lo stesso rendimento e ridurre il rischio complessivo del portafoglio. Consideriamo ora un portafoglio formato da 2 sole azioni (Alfa e Beta) che abbiano per ipotesi lo stesso rendimento medio del 14% e diversa deviazione standard: Rendimenti ex ante (a priori) RENDIMENTI STIMATI PROBABILITA AZIONE ALFA AZIONE BETA 0, , , , Rendimento medio 14,00 14,00 Deviazione standard 9,17 5,92 Covarianza titolo 1 *** 10,00 Correlazione titolo 1 *** 0,18 peso dei titoli (W) 0,5 0,5 rendimento portafoglio 14,00 deviazione std portafoglio 5,89 Come si vede il rendimento del portafoglio si è mantenuto inalterato mentre la deviazione standard è inferiore sia alla variabilità media quanto a quella minore tra i 2 titoli. Ma vediamo la gamma delle varie combinazioni nella seguente tabella: Peso dell azione alfa 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 peso dell azione beta 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 deviazione std portafoglio 5,57 5,38 5,38 5,55 5,89 6,37 6,96 7,69 8,38 rendimento portafoglio 14,00 14,00 14,00 14,00 14,00 14,00 14,00 14,00 14,00 Si nota che la combinazione migliore è quella che prevede azioni alfa per il 30% e quelle beta per il 70% (oppure 20% e 80%). Per comprendere meglio la relazione che intercorre fra il grado di correlazione tra titoli e la possibilità di diversificare un portafoglio, si esaminano di seguito 2 casi: CASO A - Tra le serie di rendimenti di 2 titoli il coefficiente di correlazione vale -1 In questo caso le variazioni negative di un titolo, sono compensate dalle variazioni positive dell altro e, pertanto, il rendimento medio del portafoglio sarà, al solito, pari alla media dei rendimenti dei 2 titoli, mentre la rischiosità del portafoglio è ridotta al minimo, ben al di sotto della deviazione std minore tra i 2 titoli: 19

22 Rendimenti ex post (a posteriori) Periodi Az. Alfa Az. Beta media rendimenti 8,90 11,10 deviazione std 9,86 9,86 covarianza titolo1 *** -87,49 covarianza titolo2 *** *** correlazione titolo1 *** -1,00 correlazione titolo2 *** *** pesi dei titoli (W) 0,50 0,50 rendimento portafoglio 10,00 deviazione standard portafoglio 2,20 CASO B - Tra le serie di rendimenti di 2 titoli il coefficiente di correlazione vale +1 In questo caso le variazioni negative di un titolo, non sono compensate dalle variazioni positive dell altro e, pertanto, il rendimento medio del portafoglio sarà, al solito, pari alla media dei rendimenti dei 2 titoli, mentre la rischiosità del portafoglio non potrà in nessun modo essere ridotta al di sotto della deviazione std minore tra i 2 titoli (quindi investendo totalmente su quest ultimo): Rendimenti ex post (a posteriori) Periodi Az. Alfa Az. Beta , , , , , , , media rendimenti 8,90 10,68 deviazione std 9,86 11,83 covarianza titolo1 *** 104,99 covarianza titolo2 *** *** covarianza titolo3 *** *** correlazione titolo1 *** 1,00 correlazione titolo2 *** *** correlazione titolo3 *** *** pesi dei titoli (W) 0,50 0,50 rendimento portafoglio 9,79 deviazione standard portafoglio 10,57 20

23 rendimento del portafoglio EFFICIENZA DEI MERCATI Un mercato finanziario efficiente è un mercato che riflette in modo rapido e corretto le aspettative degli investitori e nel quale per ciascun livello di rischio, sarà possibile ottenere un rendimento mediamente normale, in quanto i titoli sono correttamente valutati: sottovalutazioni e sopravalutazioni rappresentano l eccezione e non la regola. Analisi empiriche effettuate sul mercato americano, hanno mostrato che i mercati azionari soprattutto, e in buona misura anche quelli obbligazionari, non contraddicono l ipotesi di efficienza dei mercati finanziari. PORTAFOGLI EFFICIENTI E FRONTIERA EFFICIENTE E già stato posto in evidenza che l effetto di una strategia di diversificazione del portafoglio, è quello di ridurre il rischio senza penalizzare il rendimento complessivo. Ciò comporta che di fronte alle molteplici combinazioni di titoli e valori, la scelta cadrà su quel portafoglio che ottimizza il rapporto rendimento/rischio. Un portafoglio domina un altro portafoglio se, a parità di rendimento, ha un livello di rischio più basso ovvero se, a parità di rischiosità, ha un rendimento maggiore. Se andiamo a rappresentare su un grafico che in ascissa abbia la deviazione standard del portafoglio e in ordinata il rendimento del portafoglio, si possono vedere tutte le possibili combinazioni di un portafoglio che includono una serie precisa di titoli. Esaminiamo una tabella di combinazioni di azioni Alfa con azioni Beta corrispondenti a diversi portafogli: Peso dell azione alfa 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Peso dell azione beta 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Deviazione std portafog. 5,57 5,38 5,38 5,55 5,89 6,37 6,96 7,69 8,38 Rendimento portafoglio 14,00 14,00 14,00 14,00 14,00 14,00 14,00 14,00 14,00 PORTAFOGLI POSSIBILI CON 2 AZIONI ,00 6,00 8,00 10,00 deviazione std del portafoglio Si nota che la combinazione migliore è quella che prevede azioni alfa per il 30% e quelle beta per il 70% e che nel grafico sta più a sinistra di tutte. Inoltre, dati 2 titoli, tutte le combinazioni quantitative possibili degli stessi, si trovano sul segmento di retta che li congiunge. Facciamo un altro esempio di un portafoglio che si pone l obiettivo di avere un 50% circa di titoli di stato e per il resto azioni: 21

24 rendimento del portafoglio RENDIMENTI STIMATI Probabilità Az. Alfa Az. Beta Btp 0, , ,2 0, , ,4 media rendimenti 15,10 14,00 4,70 deviazione std 18,47 15,65 0,56 covarianza titolo1 *** 134,80 7,93 covarianza titolo2 *** *** 4,80 covarianza titolo3 *** *** *** correlazione titolo1 *** 0,47 0,77 correlazione titolo2 *** *** 0,55 correlazione titolo3 *** *** *** peso dell azione alfa 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,2 0,4 0,5 peso del BTP 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,4 0,4 0,4 peso dell azione beta 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,4 0,2 0,1 deviazione std portafoglio 7,98 7,50 7,41 7,75 8,46 9,45 8,79 9,45 10,24 rendimento portafoglio 9,35 9,46 9,57 9,68 9,79 9,45 10,5 10,72 10,83 PORTAFOGLI POSSIBILI CON 2 AZIONI e un BTP 11 10,8 10,6 10,4 10,2 10 9,8 9,6 9,4 9,2 9 7,00 8,00 9,00 10,00 deviazione std del portafoglio Dal grafico si osserva che i portafogli che hanno le migliori combinazioni rischio/rendimento sono quelle sul bordo esterno verso nord-ovest che sono stati uniti con un tratto; questa linea si chiama frontiera efficiente in quanto unisce i portafogli che per certi livelli di rischio hanno il miglior rendimento: queste combinazioni prendono il nome di portafogli efficienti. Nel caso specifico 4 combinazioni segnano la poligonale da sinistra in basso verso destra in alto: peso dell azione alfa 0,2 0,2 0,4 0,5 Peso del BTP 0,5 0,4 0,4 0,4 Peso dell azione beta 0,3 0,4 0,2 0,1 Deviazione std portafoglio 7,41 8,79 9,45 10,24 Rendimento portafoglio 9,57 10,5 10,72 10,83 22

25 In effetti un portafoglio è efficiente in quanto a parità di rischio nessun altra combinazione ha uguale rendimento (su quella verticale sta più in alto rispetto a ogni altra combinazione) e, a parità di rendimento, nessun altra combinazione ha un livello di rischio inferiore (su quella orizzontale sta più a sinistra di ogni altra combinazione) 23

26 Capitolo 3 UN MODELLO DI MERCATO FINANZIARIO La teoria dei mercati finanziari che rimanda al CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM) è dovuta principalmente allo studioso americano W. F. Sharpe e riprende l impostazione del market model di Harry Markowitz. In essa si pone l accento sul fatto che il mercato e la formazione dei prezzi dei titoli si muovono fondamentalmente insieme, come se vi fosse una grande variabile a determinarne le variazioni. DIVERSIFICAZIONE DEI PORTAFOGLI E RISCHIO DI MERCATO L indice statistico deviazione standard è una misura della variabilità totale del rendimento di un titolo o di un portafoglio; in particolare per un portafoglio di titoli, è possibile ridurre la variabilità senza perdite nel rendimento grazie alla diversificazione del portafoglio. Inoltre si suppone che qualunque investitore o gestore adotti un opportuno grado di diversificazione in quanto ciò non comporta alcun onere mentre si consegue un sicuro vantaggio. In base a questa premessa la moderna teoria del portafoglio suddivide il rischio totale (variabilità dei rendimenti) in due componenti: rischio non sistematico e rischio sistematico o di mercato. Quindi si ha, per ciascun titolo o portafoglio: RISCHIO TOTALE = RISCHIO NON SISTEMATICO + RISCHIO DI MERCATO il rischio non sistematico è quello che può essere eliminato grazie alla diversificazione e, in quanto non oneroso, non comporta alcun premio di rischio; il rischio sistematico o di mercato non è eliminabile e viene compensato con un premio di rischio tanto maggiore quanto maggiore è il grado di rischiosità 8. Pertanto uno dei contributi più interessante del Capital Asset Pricing Model è quello di aver affermato che il rischio principale di un titolo è il rischio di mercato, ipotesi che ha avuto apprezzabili conferme in seguito ad analisi statistiche. Come è possibile verificare se un portafoglio è ben diversificato e pertanto è soggetto principalmente al solo rischio di mercato? Riprendiamo l esempio del portafoglio composto da azioni Alfa e Beta (escludiamo i Btp) e riportiamo nella tabella seguente i rendimenti percentuali del portafoglio e i rendimenti di mercato per 10 periodi; il rendimento di mercato è quello relativo all indice Mib30, rappresentativo del mercato azionario italiano: 8 Analisi empiriche hanno messo in evidenza che il rischio non sistematico non è sempre eliminato del tutto, vuoi perché la diversificazione non è stata attuata completamente (strategie attive), vuoi perché sussistono altri fattori specifici ai titoli che comportano un rischio residuo (varianza residua). 24

27 R E N D I M E N T I PERIODI PORTAFOGLIO MIB In base ai dati di tabella si effettua una regressione lineare tra i rendimenti di portafoglio e i rendimenti di mercato e si ottengono le seguente stime: stima coefficiente di correlazione 0,91 relazione stima indice parametro di determinazione ALFA 0,83 stima errore standard 3,08 Il primo indice mi segnala che esiste una alta correlazione di segno positivo tra la variabilità dei rendimenti del portafoglio e i rendimenti del mercato (il valore massimo dell indice è, nel caso di correlazione positiva, pari a +1); il secondo indice di determinazione mi indica che l 83% della varianza del rendimento del portafoglio è spiegata dalla varianza del rendimento del mercato; infine l ultimo indicatore, forse quello più interessante, mi dà una misura del grado di rischio con cui il rendimento di portafoglio può variare rispetto al suo valore atteso (medio), dato un certo livello nel rendimento medio del mercato. Se ipotizziamo che in ciascun periodo il rendimento sia distribuito normalmente, allora una variazione in più o in meno dell errore standard indica il limite entro cui dovrebbero cadere i 2/3 dei rendimenti del portafoglio, mentre una variazione pari a 2 errori standard indica il limite entro cui dovrebbero cadere il 95% dei rendimenti del portafoglio; nel caso specifico abbiamo: per una variazione di errore standard = 3,08 abbiamo 67% di probabilità che i rendimenti di portafoglio, per i vari livelli di rendimento di mercato, cadano entro i limiti indicati in tabella: rendimento di mercato limite inferiore limite superiore mercato -1-4,08 2,08 3-0,08 6,08 7 3,92 10, ,92 14, ,92 17, ,92 21,08 per una doppia variazione di errore standard = 6,16 abbiamo 95% di probabilità che i rendimenti di portafoglio, per i vari livelli di rendimento di mercato, cadano entro i limiti indicati in tabella: rendimento di mercato limite inferiore limite superiore mercato -1-7,16 5,16 3-3,16 9,16 7 0,84 13, ,84 17, ,84 20, ,84 24,16 25

28 IL PORTAFOGLIO DI MERCATO In questa teoria risulta essenziale il concetto di portafoglio di mercato che è l insieme di tutti i titoli presenti sul mercato o di un settore omogeneo di mercato finanziario; questo insieme di titoli va considerato come un unico portafoglio con il suo rendimento medio r mt e la sua deviazione standard mt, dove l indice t indica il periodo di riferimento ed m specifica che gli indici sono riferiti al portafoglio di mercato. E importante analizzare e verificare empiricamente il legame supposto tra variabilità del rendimento dell intero mercato che può essere misurato da un opportuno indice, e la variabilità dello stesso indice relativo al singolo titolo. Il portafoglio di mercato può anche essere inteso come il portafoglio di un investitore che, volendo replicare il mercato, lo ha composto in proporzione (per valore) ai titoli presenti sul mercato. L INDICE (BETA) Il CAPM sostiene che è la sensibilità che ciascun titolo ha riguardo alle variazioni nel rendimento del portafoglio di mercato e, quindi nei confronti del mercato tout-court, a determinare il rendimento atteso del titolo stesso. Le ipotesi di base sono 2: i rendimenti dei singoli titoli sono legati l un l altro esclusivamente tramite il legame comune con il mercato e quindi con l indice di mercato che rappresenta il fattore fondamentale che spiega la variabilità dei titoli la relazione di variabilità di ciascun titolo con l indice di mercato è ipotizzata lineare. Ciò premesso la relazione che lega il titolo al mercato è quella tra il rendimento del titolo in un dato periodo t (r t ) e il rendimento di mercato nello stesso periodo (r mt ); se vengono rilevati i dati storici delle 2 variabili, è possibile, tramite un analisi statistica di regressione lineare, determinare la funzione lineare che lega le 2 variabili e che può essere rappresentata così: r r e t t mt t dove e t è una funzione degli errori con media e covarianza, entrambi pari a zero. Il parametro beta rappresenta la pendenza della retta di regressione e dà la misura di quanto varia il rendimento del titolo in seguito ad una variazione unitaria (o anche non unitaria) del rendimento di mercato; beta è un indice del rischio sistematico o di mercato di un titolo o di un portafoglio. Il coefficiente beta 9 è dato dalla seguente espressione: i dove Cov im 2 m Cov im = covarianza del rendimento del titolo i_esimo con il rendimento di mercato 2 m = varianza del rendimento di mercato 9 i Il coefficiente beta può anche essere espresso con la seguente espressione: i im dove im è il coefficiente di correlazione lineare tra i rendimento del titolo i_esimo e il rendimento dell indice di mercato 26 m