Controllo dei Processi

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1 Controllo dei Processi Monitoraggio ed autosintonia A.Balestrino, A.Landi Dipartimento di Sistemi Elettrici e Automazione Via Diotisalvi, 5616 PISA. Sommario. In questo lavoro vengono presentate alcune tecniche per il monitoraggio delle prestazioni degli anelli di controllo, con riferimento alle risposte sia temporali che frequenziali. Viene presentata inoltre una procedura di monitoraggio, valutazione e predisposizione dei controllori utilizzando tecniche di autosintonia direttamente implementabili in tempo reale a ciclo chiuso. 1. Introduzione. A livello industriale spesso occorre considerare la presenza di un elevato numero di anelli di controllo. Possiamo immaginare un reparto con qualche centinaio di anelli di controllo relativi ad azionamenti e movimentazioni automatiche di varia natura. Alcuni rapporti indicano che in pratica oltre il 30% degli anelli sono sintonizzati in modo scadente, con una influenza diretta sulla qualità finale dei prodotti ( Ender, 1993). La de-sintonizzazione dei controllori può essere dovuta alla variabilità delle condizioni di funzionamento dei vari processi, in particolare alla presenza di non linearità di varia natura (ad esempio valvole, attriti, etc.) (Haggman, Bialkowski, 199). A partire da una sintonizzazione iniziale accurata o ottimale accade che nel tempo le prestazioni si deteriorano, e pertanto occorrerebbe risintonizzare i vari controllori. Se questa operazione dovesse essere ripetuta ad esempio una volta al giorno per 100 anelli l impegno di personale esperto (ingegneri o operai specializzati) porterebbe ad un costo intollerabile per l azienda. Il personale esperto spesso è personale con un lungo addestramento negli anni e quando si ritira dal lavoro non sempre è sostituibile con operatori giovani. E molto più conveniente sostituire le attività di monitoraggio ed intervento sugli impianti, per quanto possibile, utilizzando le risorse delle tecnologie informatiche. Una possibile soluzione di questo problema è il controllo self tuning che prevede la determinazione in linea dei parametri del processo e quindi la risintonia automatica dei parametri del controllore. Nella forma più accademica questo prevede l esecuzione di algoritmi per l identificazione dei parametri del processo e quindi la predisposizione del controllore, ottimale secondo criteri predefiniti, Fig. 1.

2 In una forma più semplificata talvolta può essere sufficiente rilevare le variazioni di prestazione rispetto a quelle nominali e se queste superano dei limiti prefissati inviare un messaggio a chi si fa carico della supervisione. L allarme in sala di controllo, valutato dagli addetti, può portare all intervento sulla linea per i provvedimenti del caso. Il monitoraggio e la valutazione delle prestazioni di un controllore costituisce una area di ricerca molto attiva (Harris et al. 1999; Qin, 1998). Possiamo suddividere questa attività come segue: Monitoraggio statistico delle prestazioni Monitoraggio nel dominio del tempo Monitoraggio nel dominio della frequenza In questa presentazione tralasceremo il monitoraggio statistico che spesso assume come benchmark un sistema di controllo a minima varianza. Tale approccio richiede la conoscenza accurata dei modelli del processo e dei disturbi, informazioni che sono raramente disponibili con precisione. In questo lavoro concentreremo l attenzione sul monitoraggio a partire da caratteristiche nel dominio del tempo ad esempio legate alla risposta a gradino in ingresso o quale disturbo, e/o a partire da caratteristiche frequenziali più usuali e di diretta interpretazione per l ingegnere industriale. Figura 1. Controllo Self Tuning

3 Nel seguito faremo riferimento allo schema classico di un sistema di controllo ad un solo ingresso ed una sola uscita, come riportato in Figura. L ingresso è indicato con R, l uscita con y; L ed u e sono indicano eventuali disturbi. Figura. Sistema di controllo L impianto descritto da G P (s) si ipotizza che possa essere approssimato con un modello del primo ordine più ritardo: G P (s) = Ae s 1+ st θ (1) Il tempo di ritardo θ è un mezzo semplice per rappresentare gli effetti di un ritardo finito, di zeri a parte reale positiva, di approssimazioni sull ordine del processo. Il parametro θ spesso più che coincidere con un reale ritardo è soltanto una rappresentazione degli effetti di cui prima e pertanto è detto ritardo apparente. Con riferimento alla risposta ad un gradino in ingresso gli indicatori di prestazione più comunemente usati sono il tempo di salita t r (Astrom et al.,199), il tempo di assestamento t s (Swanda, Seborg, 1999), la sovraelongazione o overshoot O s (Seborg et al., 1989), l indice IAE (l integrale del valore assoluto dell errore) che è legato alla qualità del prodotto finale ( F. G. Shinskey,1990).

4 . E conveniente utilizzare degli indici adimensionali; ciò si ottiene dividendo opportunamente per il ritardo apparente. Definiremo quindi il tempo di salita dimensionale τ r = t r /θ il tempo di assestamento dimensionale τ s = t s /θ IAE dimensionale J = IAE/(Rθ) Dall esame di questi indici è possibile risalire alla valutazione della qualità delleprestazioni del sistema di controllo. I controllori che prenderemo in esame, per il loro largo impiego,sono i controllori standard ad azione proporzionale integrale PI ed ad azione proporzionale integrale derivativa PID.. L approccio di Swanda e Seborg. Se si progetta un controllore PI utilizzando la tecnica IMC (Internal Model Control) (Chien and Fruehauf, 1990) allora: 1+ st G = As ( τ +θ ) c () c Il parametro τ c è il parametro di progetto da sintonizzare in dipendenza degli obiettivi desiderati. Nel seguito si suppone τ c > θ, la scelta di τ c θ fornisce una soluzione per cui l indice IAE è prossimo al minimo e la sovraelongazione è minima o assente (Rivera et al., 1986). Il modello a ciclo aperto utilizzando un controllore IMC-PI è il seguente: G = GcG θ = s( τ e s + θ) (4) OL P A ciclo chiuso si ha: W( s) G GP 1+ GcG c sθ e + s( τ + θ) c = = (5) sθ P e c Si osservi che la risposta a ciclo chiuso resta determinata per la sua forma dal parametro τ c /θ e la risposta al gradino per un dato parametro di forma resta determinata dal solo θ (Rivera et al., 1986). Si ottiene la seguente stima per il tempo di assestamento adimensionale: τ s = t s /θ = τ c /θ (6) stima che per τ c > θ non eccede il vero tempo di assestamento di un fattore 1.1 (Swanda, 1999).

5 Per l indice IAE normalizzato si ha la seguente stima: J = 1 + τ c /θ (7) Combinando le due equazioni si ricava: J = τ s /.30 τ s > 3.30 (8) Corrispondentemente si ricavano il margine di guadagno A m, ed il margine di fase Φ m, A m = 1/ G ol (j ω c ) = π (1 τ c + ) θ (9) Φ m = π + arg[g OL (j ω g )] = π/ - 1/(1+ τ c /θ ) (10) dove π (11) c ω = θ corrisponde alla frequenza per cui si ha uno sfasamento di 180, mentre ω g corrisponde alla frequenza per cui la funzione di trasferimento a ciclo aperto ha modulo unitario. Elaborando queste relazioni si ottiene: A m = 0.5π[τ s / ] (1) Φ m = π/ - 1/( τ s / ) = π/ [1-1/A m ) (13) A. P. Swanda e D. E. Seborg nel loro lavoro Controller Performance Assessment Based on Set-point Response Data apparso nei Proceedings of the American Control Conference San Diego, California, June 1999 a partire dall analisi precedente presentano i risultati delle simulazioni relativi a 5 modelli di processo: Modello 1: Modello : GP1( s) sθ e 1+ s = s G ( ) e P s = (1+ s)

6 Modello 3: Modello 4: Modello 5: G P3 G P 4 G s0.4 ( s) = (1+ 1.5s) e (1+ s) ( s) = 1 5 (1+ s) s0.4 s) = (1 0.75s) e (1+ s) P5( 3 Utilizzando la forma standard per un regolatore PI: U(s)/E(s) = K (1 + 1/ τ I s ) (14) si ritrovano delle relazioni sostanzialmente eguali per tutti i modelli, convalidando la bontà dell approccio. In particolare interpolando con una legge di regressione lineare si ritrova: J = τ s /.43 for τ s >3.30 (15) Nelle Figure seguenti sono riportati i confronti fra i risultati delle simulazioni e i valori teorici. Fig.3 - Confronto fra le relazioni empiriche ed analitiche fra il tempo di assestamento normalizzato τ s sulle ascisse e l indice di qualità normalizzato J sulle ordinate.

7 Fig. 4 - Confronto fra le relazioni empiriche ed analitiche fra margine di guadagno A m sulle ordinate e tempo di assestamento normalizzato τ s sulle ascisse. Fig. 5- Confronto fra le relazioni empiriche ed analitiche fra margine di fase Φ m sulle ordinate e tempo di assestamento normalizzato τ s sulle ascisse.

8 Se si procede nel dominio del tempo, noti il tempo di assestamento t s = τ s θ e dell indice di qualità IAE = Jθ, possiamo risalire alla determinazione del tempo di ritardo apparente θ: =. 30 IAE t θ (16) s Se il sistema presenta prestazioni ottimali allora dovrà essere soddisfatta la relazione (8). Se si procede nel dominio della frequenza possiamo determinare (vedi Bal.Landi IEEE) il margine di guadagno A m ed il margine di fase Φ m ; se il sistema presenta prestazioni ottimali allora dovrà essere soddisfatta la relazione (13). Se si procede nel dominio del tempo utilizzando la tecnica dell autosintonia con relè (Åström, K.J. and T. Hägglund (1984)), si veda la Fig.3, allora è possibile determinare A m ed ω c. La pulsazione ω c consente di risalire a θ, e quindi A m consente di ritrovare un ideale τ c. Se il sistema presenta prestazioni ottimali allora questo τ c dovrà corrispondere al parametro τ c inserito nel controllore PI. Fig.3 Tecnica di autosintonia con relè. 3. L approccio di Huang-Jeng Nel loro lavoro Monitoring and Assessment of Control Performance for Single Loop Systems H-P.Huang e J-C. Jeng (00) considerano processi del primo ordine con ritardo sθ G s Ae P1( ) = 1+ st (1) e processi del secondo ordine con ritardo descritto dalla seguente funzione di trasferimento:

9 G P sθ Ae = ζ s 1+ s + ω ω n n Introducendo la normalizzazione dei tempi e quindi delle frequenze analogamente a quanto fatto nella sezione precedente, possiamo porre: S = sθ (18) Con tale posizione considerando il modello (1) viene individuato il migliore modello a ciclo aperto che minimizza l indice IAE corrispondentemente all inseguimento di un segnale a gradino in ingresso: IAE = e( t) dt (19) 0 (17) Utilizzando una procedura numerica di ottimizzazione si trova: G * OL1 ( s) = 0.76( θs) e sθ sθ (0) IAE 1 * = θ (1) Per un sistema del secondo ordine con ritardo si trova: G * OL ( s) = 0.83( θs θ s sθ ) e sθ () IAE * = θ (3) Per un sistema del terzo ordine con ritardo si trova: G * OL3 ( s) = ( θ s+ 0.97θ s + 0.5θ s ) e sθ(1+ 1.6θs θ s ) sθ (4) IAE 3 * = θ (5)

10 Gli ultimi due risultati forniscono indici IAE quasi eguali, e quindi un ulteriore incremento dell ordine risulta poco utile. Con riferimento a questi modelli ideali si può verificare che le funzioni di * trasferimento GOL ( s) presentano un margine di ampiezza pari a ed un margine di fase di circa 60. Quindi questi sistemi presentano buone caratteristiche di robustezza. Per il controllore supponiamo di utilizzare dei controllori standard PI e PID con le seguenti strutture: controllore PI controllore PID Gc( s) * Gc( s) k (1+ sτ I) τ s c = (6) I (1+ τ I s+ τ Iτ τ s(1+ τ s) ) k c D = s (7) I f Normalizzando il tempo di salita e l indice IAE rispetto al parametro θ, per un processo del primo ordine con ritardo, utilizzando in modo ottimale un controllore PI o PID si ritrovano le relazioni espresse in Fig. 4. Fig.4 - Relazioni fra tempo di salita τ r e IAE normalizzati.

11 Controllo PI: t r = IAE θ 1.57 < IAE/ θ <.1 (8) Controllo PID: t r = 1.86 θ IAE = 1.38 θ (9) In modo analogo per un impianto del secondo ordine tempo di salita e IAE normalizzati sono rappresentati graficamente come in Fig.5; essendo la relazione dipendente dallo smorzamento ζ in figura vengono individuate delle regioni possibili, indicate in grigio. Fig. 5 Regioni ottimali per impianti del secondo ordine al variare dello smorzamento. Controllo PI: max(t r ) = IAE θ.7 < IAE/ θ < 4.0 (30) min(t r ) = IAE θ.7 < IAE/ θ < 4.0 Controllo PID: max(t r )= θ IAE IAE / θ 1.73 θ < IAE <.1 θ (31)

12 min(t r )= 6.567θ IAE IAE / θ 1.73 θ < IAE <.1 θ I grafici riportati nelle figure 4 e 5 possono essere usati per la valutazione delle prestazioni di un sistema di controllo contenenti un regolatore PI o PID. Per la determinazione dei parametri t r, IAE e ritardo apparente θ si può procedere utilizzando una delle molte tecniche disponibili per l identificazione in linea del modello a ciclo aperto o a ciclo chiuso, come illustrato nella Fig Esempio illustrativo. Consideriamo un controllo PID per un processo descritto dalla seguente funzione di trasferimento: G P ( s) = s e (1+ 3.6s+ 4s ) ed una predisposizione iniziale del controllore PID con i seguenti parametri: 1. kc = 3.0 τ I = 3.0 τ D = 1.0 e successivamente le seguenti predisposizioni:. kc = 1.8 τ I = 4.0 τ D = kc =.0 τ I = 3.5 τ D = kc =.0 τ I = 3. τ D = 1.5 Le corrispondenti risposte al gradino sono riportate in Fig. 6. I valori normalizzati del tempo di salita e dell indice IAE sono riportati in Fig. 7. Il grafico mette chiaramente in risalto la differenza fra le prestazioni; la migliore è indicata essere la predisposizione n.4. Questa conclusione può essere verificata direttamente nel dominio del tempo confrontando le differenti risposte al gradino. (3)

13 Fig. 6 Risposte al gradino per differenti scelte del controllore. Fig.7 Monitoraggio in linea della prestazioni

14 5. Autosintonia di Regolatori PI(D) e valutazione in linea delle prestazioni. Una procedura di autosintonia può essere considerata costituita da tre fasi: 1) Generazione di una perturbazione nel processo ) Analisi della risposta 3) Calcolo dei parametri del regolatore Esistono diversi approcci possibili: 1) Sperimentazione in Anello Aperto/Anello chiuso ) Perturbazione esterna (gradino, impulso, sinusoide ) /interna (disturbo) 3) Calcolo esplicito o non del modello del processo 4) Calcolo dei parametri del regolatore a partire dal modello, da regole/da ottimizzazione della risposta Le caratteristiche desiderabili sono: 1) Semplicità per applicazioni in automatico ) Rapidità per frequenti applicazioni 3) Perturbazioni di entità limitata L obiettivo con regolatori PI(D) è quello di garantire buone prestazioni nonostante variazioni del processo nel tempo; non si richiede la stretta ottimalità della risposta. Le possibili tecniche usate per perturbare il sistema e permettere così l identificazione dei cambiamenti avvenuti possono essere a ciclo aperto o a ciclo chiuso. Tecniche in Anello Aperto Si riconoscono le seguenti fasi: Si disconnette il regolatore, rendendo aperto il circuito Si impone una variazione a gradino (impulso) in ingresso: x(t) Si registra l uscita: y(t) Si costruisce un modello approssimato del processo. Nel caso di monitoraggio e autosintonia in linea ovviamente non è possibile disconnettere il regolatore ed operare a ciclo aperto sull impianto, pertanto le tecniche a ciclo aperto non possono essere usate. Tecniche in Anello Chiuso Si analizza la risposta in seguito ad una perturbazione, con regolatore inserito: la perturbazione può essere di tipo diverso; ad esempio variazione del riferimento r(t) a gradino (caso più comune) o aggiunta di un segnale pseudorandom a valor medio nullo.

15 Una ulteriore possibilità è quella di far ricorso alle tecniche a relay (Åström, K.J. and T. Hägglund (1984)), senza però aprire l anello di controllo (K.K. Tan, T.H. Lee, X. Jiang : Robust on-line relay automatic tuning of PID control systems, ISA Transactions 39 (000) 19-3). E opportuno quindi utilizzare uno schema modificato come in Figura 8. Fig.8 - Tecnica del relé con schema a ciclo chiuso In tale schema l impianto, descritto da G p (s), è inserito in un anello di controllo a ciclo chiuso utilizzando un controllore G c.0 (s). GP( s ) G yr (s) = Gc 1+ GP( s ) G.0 ( s) ( s) (33) c.0 Il controllore inserito inizialmente ha una funzione di trasferimento pari a: 1 Gc.0( s) = k c sτ (34) D. 0 sτ i.0 Viene costituito un ulteriore anello esterno mediante richiusura su un blocco a relè. Se questo sistema si porta su un ciclo limite stabile, oscillando con una pulsazione ω u, allora la funzione di trasferimento G ry (jω u ) può essere ricavata basandosi sulla linearizzazione armonica (tecnica della funzione descrittiva). Ne segue che G p (jω u ) vale : G P (jω u ) = [1 G yr G yr( jω ) u ( jωu)] Gc. 0( jω ) u (35) Sia la risposta in frequenza ideale nota e pari a Ĝ yr (jω u ), Allora per ottenere tale risposta occorrerà avere un controllore la cui risposta dovrà valere:

16 Ĝ c (jω u ) = [1 Gˆ yr Gˆ ( jω ) yr u ( jω )] u G ( jω ) p u (36) I parametri K c, τ i e τ d del controllore PID G c (s) possono essere scelti in modo che G c (jω) = Ĝ c (jω u ) per ω = ω u. Osserviamo che le incognite sono 3 (K c, τ i e τ d ), mentre l equazione precedente ne fornisce soltanto. Possiamo quindi aggiungere la condizione usuale nella pratica: τ d = τ i /4, come suggerito da Ziegler-Nichols (194) e da Astrom and Hagglund (1988). La risposta in frequenza del controllore desiderato Ĝ c (jω u ) può essere ricavata a partire da G yr (jω u ) e Ĝ yr (jω u ) come: Ĝ c (jω u ) = Gˆ ( jω ) [1 ( jω )]. 0( jω ) yr u G yr u Gc u (37) [1 Gˆ ( jω )] u G ( jω ) yr yr Usando un controllore PID controller con τ d = τ i /4, possiamo riscrivere G c (jω u ) come segue: G c (jω u ) = K (1+ 0.5τ jωu τ i jω c i ) u Facendo corrispondere G c (jω u ) a Ĝ c (jω u ) otteniamo la forma esatta: τ i K 0.5π + arg( ˆ tan ωu Gˆ c( jωu) = ωuτ i τ ωu ( j G c ω u ) = (39) c i u Con questa tecnica abbiamo la possibilità di perturbare il sistema a ciclo chiuso portandolo ad oscillare sulla pulsazione caratteristica ω u, avendo il pieno controllo dell ampiezza delle oscillazioni mediante il controllo dell ampiezza del relé. L anello esterno può essere inserito in modo intermittente e dal rilievo della ω u e del margine di guadagno è possibile eseguire il monitoraggio delle prestazioni. Se le prestazioni si degradano, ad esempio per variazioni parametriche dell impianto, possiamo intervenire per una nuova predisposizione dei parametri del controllore. Ad esempio in Fig.9 e 10 sono riportati alcuni casi di autosintonia (Rasmussen ). (38)

17 Fig. 9 Autosintonia e predisposizione del controllore PID imponendo G ol (jω u )= -0.5e jπ/4, Fig.10 Autosintonia e predisposizione del controllore PID utilizzando le regole di predisposizione di Ziegler-Nichols

18 6. Monitoraggio dei disturbi. Con riferimento allo schema di Fig.8 supponiamo di avere inserito il relé nell anello esterno e valutiamo gli effetti dovuti a possibili disturbi presenti nell impianto. Essendo disponibile l onda quadra di oscillazione in uscita al relé è possibile risalire alla componente di prima armonica in uscita del processo con l usuale tecnica di Fourier. Possiamo quindi ritenere disponibili sia la pulsazione ω u che l ampiezza µ della corrispondente variabile di errore e(t). Integrando e(t) su mezzo periodo di oscillazione possiamo ricavare il valore limite dell indice IAE in assenza di disturbi: π / ω IAE lim = µ sin( t) dt = u 0 ω µ ωu (40) La presenza di disturbi nel processo altera il valore dell indice IAE calcolato sul semiperiodo (o un multiplo opportuno). Scegliendo opportunamente l ampiezza del relé, e quindi µ, dal confronto fra l indice IAE misurato e IAE lim si può rilevare la presenza di disturbi e la loro rilevanza (Hagglund, 1995,1999). Qualora si rilevassero condizioni anomale è possibili intervenire sul sistema per riconfigurarlo opportunamente. 7. Conclusioni. In questo lavoro sono state illustrate alcune tecniche per il monitoraggio e la valutazione delle prestazioni di sistemi di controllo ad un solo ingresso ed una sola uscita. I controllori esaminati sono quelli standard. Le tecniche sono di tipo deterministico e fanno riferimento ad indici temporali e/o frequenziali di uso corrente nella pratica ingegneristica. E stato mostrato come utilizzare la tecnica di autosintonia per l implementazione in linea degli algoritmi di monitoraggio e valutazione delle prestazioni.

19 8. Riferimenti. 1. Astrom, K. J., C. C. Hang, P. Persson and W. K. Ho, Towards Intelligent PID Control, Automatica, vol. 8, 1-9 (199).. Bialkowski, W.L., Control of the Pulp and Paper Making Process, Levine, W.S. (Editor), The Control Handbook, CRC Press & IEEE Press, Chapter 7, , (1996). 3. Ender, D., Process Control Performance: Not as Good as You Think, Control Eng., vol. 40, no.10, 180 (1993). 4. Hagglund, T., Acontrol loop performance monitor Control Engineering Practice, Vol.3, n , Hagglund, T., Automatic detection of sluggish control loops, Control Engineering Practice 7(1999) Haggman, B. and W. Bialkowski, Performance of Common Feedback Regulators for First-Order and Deadtime Dynamics, Control Systems 9, Whistler, B.C., Canada (199). 7. Harris T., C. Seppala, and L. Desborough, A Review of Performance Monitoring and Assessment Techniques for Univariate and Multivariate Control Systems, J. Process Control, vol. 9, 1-17 (1999). 8. Huang,H-P.,J-C.Jeng, Monitoring and Assessment of Control Performance for Single Loop Systems,Ind. Eng. Chem. Res. 00, 41, Qin, J., Control Performance Monitoring - a Review and Assessment, Comp. and Chem. Eng., vol. 3, (1998). 10. Rasmussen, H. Automatic tuning of PID regulators (June 1993). ISSN Pages 30. ISSN Aalborg University. 11. Rivera, D. E., M. Morari, and S. Skogestad, Internal Model Control. 4. PID Controller Design, Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev., vol.5, 5-65 (1986) 1. Seborg, D. E., T. F. Edgar and D. A. Mellichamp, Process Dynamics and Control, John Wiley, New York (1989). 13. Shinskey, F., How Good are Our Controllers in Absolute Performance and Robustness, Measurement + Control, vol.3, (1990). 14. Swanda,A.P., D. E. Seborg Controller Performance Assessment Based on Set-point Response Data Proceedings of the American Control Conference San Diego, California, June K.K. Tan, T.H. Lee, X. Jiang : Robust on-line relay automatic tuning of PID control systems, ISA Transactions 39 (000) 19-3

20 IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, VOL. 48, NO. 9, SEPTEMBER 003 Tracking of Random References: Random Sensitivity Function and Tracking Quality Indicators Yongsoon Eun, Pierre T. Kabamba, and Semyon M. Meerkov Abstract In this note, the problem of random reference tracking by linear feedback systems is addressed. The approach is based on the so-called random sensitivity function, which plays the same role as the usual sensitivity function in step reference tracking. Using the random sensitivity function, quality indicators for random reference tracking are introduced, and their utilization for analysis and design of servomechanisms is illustrated. Index Terms Random reference, sensitivity function, tracking. I. INTRODUCTION A. Motivation In many applications, reference signals to be tracked are deterministic, e.g., steps, ramps, etc. On the other hand, a number of applications require tracking random references. For instance, in hard disk servo systems, the reference signal is often modeled as a Gaussian random process [1]. The purpose of this note is to address the issue of random reference tracking in linear feedback systems. The quality of random reference tracking in a system shown in Fig. 1 could be characterized by the standard deviation of the error signal, σ e. This measure, however, is too crude to reveal the causes of poor tracking. Indeed, Fig. shows responses of this system with three different G(s) and the same reference signal (a realization of colored noise with power spectral density S R (ω) = 6/(1 + (ω) 6 )). While in each of the three cases, σ e is the same (σ e = 0.67), the reasons for poor tracking are different. Namely, in Fig. (a) poor tracking appears to be due to static unresponsiveness, in Fig. (b) due to slow dynamics in comparison with the reference signal, and in Fig. (c) due to oscillatory behavior of the output. This example shows that σ e is not capable of discriminating between the causes of poor tracking, and new measures are necessary. The goal of this note is to introduce such measures (referred to as indicators) and illustrate their utility for analysis and design of control systems. B. Approach

21 In the case of step inputs, the tracking properties of the linear system shown in Fig. 1 are characterized in the frequency domain by the sensitivity function ω 1 ( j ) = ω 1+ G( jω) 0 S (1) i.e., by the steady-state errors in tracking harmonic inputs of different frequencies. Specifically, bandwidth, resonance peak, resonance frequency and dc gain of S(jω) characterize the quality of step tracking. The approach of this work is based on a different sensitivity function, referred to as Random Sensitivity. The RS function, denoted as RS(Ω); 0 < Ω <, represents the steady-state errors in tracking random inputs of bandwidth. It turns out that, in the same manner as S(jω) characterizes the quality of step input tracking, RS(Ω) characterizes the quality of random reference tracking. More specifically, its bandwidth, resonance peak, resonance frequency and dc gain define the quality of tracking in the time domain and, in particular, predict and quantify the responses shown in Fig.. C. Contributions The contributions of this note are as follows. Introduction of RS(Ω) as a tool for analysis of tracking quality of random references. Analysis of properties of RS(Ω) and its comparison with S(jω). Introduction of indicators, which relate the behavior of RS(Ω)to the quality of random reference tracking in the time domain. Utilization of these indicators for performance specification in analysis and design of feedback systems. The outline of this note is as follows. Section II describes the class of random references considered. In Section III, the random sensitivity function is introduced and analyzed. Tracking quality indicators are introduced in Section IV, a design example is treated in Section V, and conclusions are formulated in Section VI. II. BAND-LIMITED REFERENCE SIGNALS

22 Reference signals considered in this work are colored noise processes obtained by filtering standard white noise through the third-order Butterworth filter 3 ( s; Ω ) = 3 + Ω s Ωs 3 Ω + sω +Ω F () 3 where the dc gain is selected so that the standard deviation of the output is 1. These reference signals are denoted as r(t;ω ). Realizations of r(t;ω) for Ω= 1 rad/s and 4 rad/s are given in Fig. 3. Clearly, reference signals could be parameterized in other ways as well, for instance, by higher order Butterworth filters. However, as it is indicated in Section III, results are not sensitive to the parameterization involved and, therefore, the simplest one, defined by (), is used. III. RANDOM SENSITIVITY FUNCTION The random sensitivity function of the system of Fig. 1 is defined as the standard deviation of the error signal, e, for band-limited references r(t;ω), i.e., RS(Ω) = σ e (Ω), 0 < Ω < (3) Clearly, RS(Ω) can be evaluated as [] 1 RS( Ω ) = F( jω; Ω) S( jω) dω (4) π 0

23 Although RS(Ω) is still a standard deviation, it is a function of and, thus, is more informative than the single number σ e obtained for a fixed random input process. For example, the random sensitivity functions of the three systems of Fig. are qualitatively different although they take the same value for Ω = 0.5 rad/s (see Fig. 4). Properties of RS(Ω) and its relation to S(jω) are given in the following theorem. Theorem 1: Assume that the closed-loop system of Fig. 1 is asymptotically stable and G(s) is strictly proper. Then i) lim Ω 0 RS(Ω) = S(j0) ; ii) lim Ω RS(Ω) = lim Ω S(jω) = 1;

24 iii) supω>0 RS(Ω) sup ω>0 S(jω). Proof: See Appendix. Fig. 5 provides comparison of RS(Ω) and S(jω) for the system of Fig. 1 with G( s) ωn + ζ ω ) = (5) s ( s n for several values of ζ. As indicated in Theorem 1, the two curves coincide at zero frequency, converge to 1 as frequencies increase, and RS(Ω) has a smaller peak. In addition, as one can see, RS(Ω) has a less pointed peak than S(jω)

25 Similar to S(jω), the function RS(Ω) can be characterized by four quantities: random dc gain, random bandwidth, random resonance frequency, and random resonance peak. They are defined as follows. Random dc gain: R dc = lim Ω 0 RS(Ω ) (6) Random bandwidth: RΩ BW = min { Ω RS(Ω) = 1/ } (7) Random resonance frequency: RΩ r = arg maxω>0rs(ω) (8) Random resonance peak: RM r = supω>0rs(ω) (9) As stated in Theorem 1, the dc gains of RS(Ω) and S(jω) are the same, i.e., R dc = S(j0). The bandwidths, resonance frequencies, and resonance peaks of RS(Ω) and S(jω) exhibit different behavior. They are illustrated in Fig. 6 for G(s) of (5). As one can see, for practical values of ζ,

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27 The bandwidths, resonance frequencies, and resonance peaks of RS() and js(j!)j exhibit different behavior. They are illustrated in Fig. 6 for G(s) of (5). As one can see, for practical values of ζ, RΩ BW and RΩ r are larger than ω BW and ω r respectively, while RM r is smaller than M r. Remark 1: Selecting higher order Butterworth filters does not significantly change the behavior of RS(Ω). Indeed Fig. 7 illustrates random sensitivity functions, calculated according to (4), but for Butterworth filters of order 3, 5, and 7, for G(s) in (5). Clearly, RS(Ω) is robust with respect to reference signal parameterization. IV. TRACKING QUALITY INDICATORS Similarly to gain and phase margins, which in most cases characterize stability robustness, tracking quality indicators are numbers associated with RS(Ω), which in most cases predict the quality of random reference tracking. Three indicators will be introduced. The first two are defined as follows: I 1 = R dc (10) I = Ω/RΩ BW (11) where Ω is the bandwidth of the reference signal. The first indicator characterizes the level of static responsiveness, while the second characterizes dynamic properties such as lagging or oscillatory behavior.