Esercizi del Corso Complementi di Analisi Matematica Istituzioni di Analisi Matematica. Andrea Corli e Alessia Ascanelli

Transcript

1 Esercizi del Corso Complementi di Analisi Matematica Istituzioni di Analisi Matematica Andrea Corli e Alessia Ascanelli luglio

2

3 Indice Introduzione iii Successioni e serie di funzioni. Successioni di funzioni Esercizi proposti Serie di funzioni Esercizi proposti Serie di potenze. Serie di MacLaurin Serie di potenze Esercizi proposti Integrazione per serie di potenze di equazioni dierenziali ordinarie Esercizi proposti Serie trigonometriche e di Fourier 9 3. Serie trigonometriche Serie di Fourier Esercizi proposti Equazioni alle derivate parziali 5 4. Il metodo di somiglianza Altri esercizi Esercizi proposti Le trasformate di Fourier e Laplace 3 5. Il prodotto di convoluzione e la funzione δ La trasformata di Fourier La trasformata di Laplace Altri esercizi Esercizi proposti Vibrazioni Vibrazioni Esercizi proposti Bibliograa 5 i

4 ii INDICE

5 Introduzione Gli esercizi raccolti di seguito sono stati assegnati alle prove scritte del Corso di Complementi di Analisi Matematica, Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile e Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria per l'ambiente e il Territorio (comune a Istituzioni di Analisi Matematica, Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria dei Materiali e Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica), durante gli anni accademici /38/9. Molti esercizi qui presentati sono risolti completamente; di altri ci si è limitati a dare un suggerimento per la risoluzione. Nella bibliograa sono riportati vari testi che introducono o estendono il materiale presentato qui. Il volume [3] è una introduzione elementare a molti argomenti del corso; maggiori informazioni si trovano in [4, 6, 9] e per ulteriori approfondimenti si rinvia alla bibliograa acclusa al programma del corso. Per gli esercizi si vedano [,, 5,, ]. Lo studente interessato allo sviluppo storico degli argomenti qui trattati troverà qualche informazione in [6] e, più in generale, in []. Ringraziamo n d'ora chiunque voglia segnalarci le inevitabili sviste. Ferrara, luglio Andrea Corli, Alessia Ascanelli iii

6 iv INTRODUZIONE

7 y Capitolo Successioni e serie di funzioni. Successioni di funzioni.. Studiare per R la convergenza della successione di funzioni.. Sia f n () = n+ n n. Calcolare la funzione limite. ( ) n Poiché f n () = ( ) si ha convergenza se (, ] a { se (, ) f() = se =. Se > allora lim fn() = +, se il limite non esiste. n f n () = n + n. Disegnare il graco di f n e studiare la convergenza della successione di funzioni {f n }. Vedi Figura.. Poiché lim fn() =, si ha convergenza in tutto R ad f() =. n La successione f n ()= /n +/n f f f 3..3 Si considerino le successioni di funzioni (a) f n () = arctg( n) n (b) g n () = n + n. Figura.: Vedi Esercizio... Disegnare i graci delle funzioni f n e g n ; calcolare, se esistono, i limiti f() = lim n f n(), g() = lim n g n(). Vedi Figura..

8 y y CAPITOLO. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI (a) La successione {arctg( n)} n N converge a π/ per ogni R, mentre la successione {/n} è innitesima; dunque la successione {f n } converge ad f() = in tutto R. (b) Per ogni R si ha g() = n lim n + n =. 3 La successione f n ()=arctg( n)/n 3 La successione f n ()=n /(+n) f f f 3.5 f f f Figura.: Vedi Esercizio Tracciare un graco approssimativo di alcune funzioni delle seguenti successioni e calcolare quindi il limite della successione: (a) f n () = n + n (b) f n () = ( + n)e n (c) f n () = + n (d) f n () = n + n. Vedi Figura.3. Si ha: (a) (b) (c) (d) lim f n() = n lim f n() = n lim f n() = n { /, + = ; {, > + ; {, = ; lim f n() = per ogni R. n..5 Disegnare i graci di alcune funzioni delle seguenti successioni e calcolare poi il limite delle successioni: (a) f n () = /n χ [, n ] () (b) g n () = n χ [ n, n ] (). Si ha (a) (b) lim f n() = n lim gn() =. n..6 Studiare la convergenza della successione di funzioni (a) f n () = n n e n (b) g n () = sin(n) n

9 y y y y y y.. SUCCESSIONI DI FUNZIONI 3 4 La successione f n ()=n/(+n ) 3 La successione f n ()=(+n)e n f f f f 3.5 f 3 5 f La successione f n ()=/(+n ) f f f 3.5 La successione f n ()=( n)/( +n).5.5 f f f Figura.3: Vedi Esercizio..4. disegnando un graco approssimativo di qualche funzione della successione. Vedi Figura.4. (a) Ogni funzione f n è denita in R ed è a valori positivi. Si verica che lim f n () = +, lim + f n () =. Inoltre f n() = n n e n ( ); la funzione f n è dunque decrescente in (, ) e in (, + ), crescente in (, ). Pertanto è punto di minimo con minimo mentre è punto di massimo con massimo n4 n e n. Inne lim f n() = n { se + se <. (b) Ogni funzione g n è denita in R \ {} ed è pari; le studiamo dunque solo per >. Si verica che lim + g n () =, lim g n () =. Inoltre g n() n cos(n) sin(n) = che si annulla n nei punti che soddifano n = tg(n). Questi punti sono caratterizzati geometricamente come le ascisse dei punti di intersezione del graco della retta y = n con quello della funzione y = tg(n). Essi sono alternativamente punti di massimo e di minimo per g n. Notare che le oscillazioni aumentano di rapidità con l'aumentare di n. Inne si ha lim n g n () = per ogni. La successione f n ()=n n ep( n) La successione f n ()=sin(n)/(n) 3.5 f f 3 f 5.5 f f f Figura.4: Vedi Esercizio..6.

10 4 CAPITOLO. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Esercizi proposti.. Studiare per la convergenza delle seguenti successioni di funzioni, dopo averne disegnato approssimativamente i graci: (a) f n () = () n (3) n ; (b) f n () = ( )n ( 3 )n ; (c) f n () = ( n. n).. Studiare la convergenza nell'intervallo [, ] della successione di funzioni f n () = e n( ) e n( )...3 Disegnare un graco approssimativo della successione di funzioni f n () = sin(n) sin( n ) e calcolare il lim n f n (). Suggerimento. Fissato R, si ha sin( ) per n. n n.3 Serie di funzioni.3. Studiare la convergenza puntuale delle serie di funzioni (a) (b) n= (ln ) n e n. n= Scrivere, dove sono denite, le funzioni somma. (a) Si tratta di una serie geometrica di ragione ; essa converge se <, cioè se ln >. ln ln Dunque essa converge in (, ) (e, + ) ad f() = ln, è indeterminata se = e diverge e ln e a + se = e. (b) Si tratta di una serie geometrica di ragione e che converge in (, ) ad f() = e, mentre diverge a + se..3. Studiare la convergenza delle serie di funzioni ( (a) ) n n ( (b) ) n n. (a) Si ha ( ) n n = n n. La seconda serie del termine di destra converge a s = π /6; la prima converge solo per =. Pertanto la serie data converge per = a s e diverge a ± a seconda che ± >. (b) Analogamente si ha ( ) n n = e quindi la serie data converge per ogni R..3.3 Studiare la convergenza puntuale della serie di funzioni ( cos ). n n n 3

11 y.3. SERIE DI FUNZIONI 5 Fissato R si ha cos n per n. Perciò la serie ha lo stesso comportamento n della serie, e dunque converge per ogni R. n.3.4 Studiare le successioni di funzioni: ( (a) f n () = e cos n) (b) g n () = e n cos. Studiare poi la convergenza puntuale delle serie di funzioni f n, g n. (a) Si ha lim n f n() = e per ogni R. Condizione necessaria per la convergenza di una serie è che il suo termine generale tenda a ; tale condizione non è soddisfatta per alcun poichè e per ogni. Dunque la serie non può convergere. La serie è a termini denitivamente positivi, quindi diverge a +. (b) Si ha { lim g n() = n =, dunque la condizione necessaria per la convergenza di n= g n() è soddisfatta solo per. Fissato si ha n= gn() = cos n= (e ) n ; tale serie è una serie geometrica cos convergente con somma. Per = si ottiene la serie di termine generale che diverge e a +. La serie n= g n() dunque converge puntualmente in R \ {}..3.5 Studiare la convergenza puntuale della serie di funzioni C'è convergenza totale nell'intervallo [, + )? n ne n. La condizione necessaria per la convergenza della serie: lim n ( ) n = n e è soddisfatta se e soltanto se e. Sia perciò (, ) la soluzione dell'equazione = e (si veda la Figura.5): la convergenza puntuale potrà aversi solo in [, + ). Applicando il criterio della radice si trova convergenza puntuale in tutto l'intervallo (, + ) e dunque, in particolare, in [, + ). Nell'intervallo [, + ) le funzioni f n () = n hanno massimo assoluto in = ; ne n ne dunque in n [, + ) è f n () ne. n Poiché quest'ultima serie converge, la serie data converge totalmente in [, + ). n= Soluzione di =e Figura.5: Vedi Esercizio.3.5.

12 6 CAPITOLO. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI.3.6 Studiare la convergenza puntuale e totale delle serie di funzioni (a) (b) e n sin(n) n= n= e n n +. (a) Per = si ha la serie nulla, che converge con somma ; ssato, si ha e n ( sin(n) e ) n. n= Quest'ultima è una serie geometrica convergente, dunque la serie data converge assolutamente in tutto R. Passiamo alla convergenza totale. Poiché le funzioni e n sin(n) sono dispari, studiamo i loro punti stazionari in [, + ). La derivata prima si annulla quando sin(n) = cos(n), dunque per = n ( π 4 +kπ), k Z. La funzione fn ha dunque massimo assoluto e π/4 / nel punto π/(4n); pertanto non vi è convergenza totale in R né in nessun intervallo del tipo [ a, a] con a >. Poiché i punti di massimo convergono a, studiamo ora la convergenza totale in intervalli del tipo (, a] o [a, + ). Sia perciò (, a] oppure [a, + ); si ha n= n= e n sin(n) e na, e la serie a destra converge. Dunque si ha convergenza totale in ogni intervallo del tipo (, a], [a, + ). (b) Per = si ottiene la serie armonica, che diverge a +. Fissato si ha n= n= e n n + ( e ) n, e la serie a destra è una serie geometrica convergente; dunque si ha convergenza puntuale in R \ {}. Non può esserci convergenza totale in R perchè in non c'è convergenza puntuale. Sia ora a > ; in [a, + ) (oppure in (, a]) le funzioni e n /(n + ) sono decrescenti (crescenti), dunque assumono valore massimo per = a ( = a) e si ha n= n + e n n= n= n + a e na < n= n (e a ) n, e la serie a destra converge per il criterio della radice. Si ha dunque convergenza totale in ogni intervallo del tipo [a, + ), (, a]..3.7 Si consideri in [, + ) la successione di funzioni f n () = n e n. (a) Studiare la convergenza della successione, disegnando un graco approssimativo di qualche funzione della successione. (b) Studiare la convergenza (semplice e totale) della serie di funzioni f n() n. (a) Si ha lim + f n () =, f n() = n n e n ( n ); la funzione f n ha dunque massimo assoluto /e nel punto. Per n la successione f n tende a se mentre tende a /e se =. (b) La serie nel punto si comporta come una serie armonica, dunque diverge; non c'è convergenza totale in [, + ). Se < la serie converge puntualmente in quanto n ne n Se > la serie converge puntualmente per il criterio della radice: e n n per n. n n.

13 .3. SERIE DI FUNZIONI Si consideri in [, + ) la successione di funzioni f n () = e n log n. Disegnare i graci di alcune funzioni della successione e calcolare il lim n f n (). Studiare quindi la convergenza puntuale e totale della serie f n(). Nel punto la successione diverge a + ; se > essa converge a. Consideriamo ora la serie; nel punto la serie chiaramente diverge, mentre se la serie converge puntualmente, ad esempio per il criterio del rapporto: e (n+) log(n + ) e n log n = e log(n + ) log n e <. Nell'intervallo (, + ) non vi è convergenza totale, mentre vi è convergenza totale in ogni intervallo [a, + ) con a >. Infatti la funzione f n è decrescente, dunque ma f n() = f n(a) = e an log n, [a,+ ) e abbiamo dimostrato sopra che la serie converge puntualmente in (, + ), in particolare nel punto a..3.9 Studiare la convergenza semplice in [, + ) e totale in [, + ) (rispettivamente in [, + )) delle serie di funzioni ( ) n (a) + n n= ( ) n (b) n +. (a) La serie data converge per il criterio di Leibniz per > ; per = si ottiene la serie indeterminata n= ( )n. Dunque c'è convergenza semplice in (, + ). Per la convergenza totale osserviamo che per ogni si ha f n () f n () = + n. Poiché la serie n= diverge, non puo' esserci convergenza totale in [, + ). +n (b) La serie data converge semplicemente per ogni per il criterio di Leibniz. Si ha f n() = ( )n+ (n + ). Le funzioni f n sono decrescenti e positive per n dispari, crescenti e negative per n pari; in entrambi i casi per ogni f n() f n() = n. La serie n= diverge, quindi non puo' esserci convergenza totale in [, + ). n.3. Studiare la convergenza puntuale delle serie di funzioni ln( + n ) (a) n (b) ( ) n sin. n Dire se vi è convergenza totale negli intervalli [, + ) e [, ]. (a) Per = si ottiene la serie nulla, che converge con somma. Fissato, si ha, per n, ln( + n ) ln(n ) = ln n n n n + ln n. Poiché entrambe le serie ln n e n convergono, per il criterio del confronto anche la n serie di partenza converge puntualmente. In [, + ) non può esserci convergenza totale perché le funzioni ln( + n )/n non sono limitate. Sia ora [, ]: si ha ln( + n ) n ln( + n) ln( + n) = n n n 3/.

14 y 8 CAPITOLO. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI La successione ln( + n)/ n è convergente a, dunque limitata; quindi esiste k > tale che ln( + n ) n k n, 3/ e la serie n 3/ converge. Dunque in [, ] c'è convergenza totale. (b) Fissato R si ha, per n, ( ) n sin n n. Dunque la serie data ha lo stesso carattere di, e converge. In [, + ) non può esserci n convergenza totale; infatti sin ( ) n n assume valore massimo per = nπ/, il massimo vale, e n la serie dei massimi diverge. In [, ] c'è invece convergenza totale perché, ricordando n che sin < se >, si ha ( ) n sin n n n e la serie n converge..3. Si consideri la serie di funzioni n + n per R \ { }. Studiarne la convergenza puntuale. Provare poi che la serie converge totalmente in ogni intervallo [, a] con < a <. Si veda la Figura.6. La serie può convergere solo in (, ) perché lim n n + n = se (, ) / se = se (, ) (, + ). Applicando il criterio della radice si trova convergenza puntuale in (, ). Se = la serie diverge a + ; il caso = non è considerato perché le funzioni f n () = per n dispari non sono + n denite in tale punto. In ogni intervallo [, a], con < a <, il punto a è di massimo per le funzioni f n ; dunque n + a n n + a. n Quest'ultima serie converge poiché a <, dunque la serie data converge totalmente negli intervalli [, a], < a <. n Funzioni f n ()= n /(+ n ) f f f 3 f Figura.6: Vedi Esercizio Studiare la convergenza della serie di funzioni + n. Se = si ha la serie nulla, che converge con somma zero. Se n= + n = + n n per n. Poiché la serie n= converge, ne segue che la serie data converge per ogni R. n

15 .3. SERIE DI FUNZIONI Si consideri in [, + ) la successione di funzioni f n () = ne n. (a) Si disegni un graco approssimativo di alcune funzioni della successione; si calcoli il lim n f n (). (b) Si studi la convergenza puntuale e totale della serie di funzioni f n(); si calcoli la funzione somma. (c) Dire per quali α R la serie nα e n converge totalmente nell'intervallo [, + ). (a) La funzione f n ha un massimo assoluto /e nel punto /n; inoltre lim n f n() =. (b) Nel punto la serie è identicamente nulla; se la serie converge per il criterio della radice: n n n e e <. Pertanto la serie converge puntualmente in [, + ). Abbiamo visto sopra che le f n hanno tutte massimo /e; non vi può pertanto essere convergenza totale in [, + ). Vi è invece convergenza totale in ogni intervallo [a, + ) con a > ; consideriamo infatti in tale intervallo le funzioni f n per n > /a. Esse sono decrescenti in [a, + ) e dunque ma [a,+ ) f n() = f n(a); si conclude osservando che abbiamo già dimostrato sopra che la serie fn(a) converge. Consideriamo dunque > e a < ; poiché in [a, + ) la convergenza è totale ne n = n= = d d ne n ( = ) e d d e n = = d d e ( e ). ( e ) n (c) Poniamo g n() = n α e n. Si ha g n() = n α e n (α n); pertanto la funzione g n ha un massimo nel punto α/n che vale (α/e) α. La serie di termine generale converge se e n α n soltanto se α α >, e dunque la serie gn() converge totalmente in [, + ) per tali valori di α..3.4 In [, + ) e per α > studiare la convergenza puntuale e totale delle serie di funzioni (a) (b) + n α n α ( + n). (a) Nel punto la serie è identicamente nulla, dunque converge a ; se > si ha +n α n α e la serie converge se e soltanto se α >. Per il criterio del confronto asintotico la n serie α converge se α >. +n α Inoltre, posto f n() =, si calcola +n α f n() = ( + n α ) >. Dunque la funzione f n è crescente e poiché lim + f n () =, si ha che f n α n () <. La n serie α converge se e soltanto se α >, e dunque per tali valori vi è convergenza totale. n α (b) Nel punto la serie è identicamente nulla, dunque converge a ; se > si ha, da cui la convergenza puntuale dal criterio del confronto asintotico se α >. n α+ Posto g n () =, si calcola n α (+n) g n() = n n α ( + n). Pertanto la funzione g n ha un massimo nel punto /n che vale totale se α + >, cioè se α >. n α+ n α (+n). Vi è pertanto convergenza

16 CAPITOLO. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI.4 Esercizi proposti.4. Studiare la convergenza della serie di funzioni n + n..4. Disegnare per [, + ) un graco approssimativo delle successioni di funzioni (a) f n () = e n sin (n), (b) f n () = n e n, e studiare la convergenza delle relative serie di funzioni..4.3 Si consideri in [, + ) la successione di funzioni f n () = e n e n, n =,,.... Tracciare un graco approssimativo di una di tali funzioni; studiare la convergenza della successione; studiare convergenza puntuale e totale della serie di funzioni n= f n(); stabilire la somma della serie (dove la serie converge)..4.4 Disegnare un graco approssimativo delle seguenti successioni di funzioni f n e studiare la convergenza delle serie di funzioni f n(): ( ) (a) f n = sin n ; (b) f n = n arctg( n ); ( (c) f n () = sinh. n) Suggerimento. Fissato R si ha sin ( n ) n, arctg( n )..., sinh ( n ) Calcolare le somme delle serie di funzioni (a) (n + ) n, (b) n= n n, riconducendo le serie a serie geometriche; specicare dove le serie date convergono..4.6 Si consideri la serie di funzioni e n n. Determinarne l'insieme di convergenza, dire se la funzione somma è continua e derivabile, calcolarne la funzione somma a meno di una costante additiva..4.7 Si consideri la funzione f n = f n () nulla se > n e il cui graco in [ n, n] è il triangolo isoscele di base [ n, n] e altezza /n. Disegnare il graco di f n. Discutere il lim n f n (); discutere la convergenza della serie f n(); dire se esiste un intervallo [a, + ), con a, in cui la serie converge totalmente..4.8 Si consideri per la serie di funzioni n! n n/. Trovare il più grande intervallo [, r) n in cui la serie converge. Cosa si può dire della convergenza totale? E' continua in [, r) la funzione somma?

17 Capitolo Serie di potenze. Serie di MacLaurin.. Trovare la somma della serie ( 3) n. n Posto y = ( 3) si ottiene ( 3) n n = y n n, che è la serie di Mac Laurin della funzione log( y); tale serie converge per y [, ). Dunque la serie data converge per (, 4) alla funzione f() = ln(6 8)... Scrivere la serie di Mac Laurin della funzione f() = ln( + ), specicando l'insieme di convergenza. Dalla serie di Mac Laurin della funzione ln( + y) si ottiene, con la sostituzione y =, in ( /, /). f() = ( ) n+ n..3 Scrivere la serie di Mac Laurin della funzione f() =, deducendola da una serie di Mac Laurin nota. Specicare il raggio di convergenza della serie. Calcolare poi la serie derivata e specicare a quale funzione converge. Si ha n n 4 + = 4 4 ( 4 /4). Pertanto la funzione f è la somma della serie geometrica (dove converge) n= ( ) n 4 n+ 4n. Tale serie ha ragione 4 /4 e converge dunque per (, ). Il raggio di convergenza della serie è pertanto. La serie derivata è e converge in (, ) ad f () = 43 (4 + 4 ). ( ) n n 4 n 4n,

18 CAPITOLO. SERIE DI POTENZE. Serie di potenze.. Dato α > calcolare l'insieme di convergenza delle serie di potenze (a) (b) n α n n α n. n! Il raggio di convergenza della prima serie è ; se = la serie è indeterminata, se = è divergente. Pertanto l'insieme di convergenza è l'intervallo (, ). Il raggio di convergenza della seconda serie è +, dunque la serie è convergente in R... Studiare la convergenza delle serie di potenze (a) (b) ( ) n 3 n + n ( + ) n 3 n. (a) Il raggio di convergenza è 3, perciò la serie converge certamente per < 3. Per = si ottiene la serie 3n 3 ( )n, indeterminata poiché n ; per = 4 invece si ha 3 n +n 3 n +n la serie di termine generale, che diverge. L'insieme di convergenza è pertanto l'intervallo (, 4). (b) Il raggio di convergenza è, perciò la serie converge sicuramente per + <. Per = si ottiene la serie ( )n / 3 n, che converge; per = 9 invece si ha la serie / 3 n, che diverge. L'insieme di convergenza è dunque l'intervallo [, 9)...3 Calcolare l'insieme di convergenza della serie di potenze ( ) n n n e la funzione somma. Dedurre l'insieme di convergenza e la somma della serie di funzioni ( ) n ne (n )y. Poiché n lim ( )n n = n si ha che il raggio di convergenza è. Nel punto la serie di potenze è indeterminata, nel punto la serie diverge a. Dunque l'insieme di convergenza della serie di potenze è l'intervallo (, ). Per calcolare la funzione somma si ricordi che per una serie di potenze con raggio di convergenza r la convergenza è totale in ogni intervallo chiuso [ ρ, ρ] con ρ < r. Dunque, in ogni intervallo [ ρ, ρ] con ρ <, ( ) n n n d = = ( ) n n + C = + + C ( ) n + C = ( ) + C dove C è una costante. Per l'arbitrarietà di ρ la somma della serie nell'intervallo (, ) è dunque ( ) = + ( + ). La serie di funzioni coincide con la serie di potenze se = e y ; dunque essa converge se e soltanto se < e y <, cioè in (, ). La sua funzione somma è (+e y ).

19 .. SERIE DI POTENZE 3..4 Determinare l'insieme di convergenza della serie di potenze n= n log n n. Indicata con f la funzione somma, scrivere la serie di potenze di f. Poiché n + log n lim n n log(n + ) = si deduce che il raggio di convergenza è. Nel punto la serie diverge, nel punto è indeterminata. Dunque l'insieme di convergenza è l'intervallo (, ). La convergenza della serie è totale in ogni intervallo [ ρ, ρ] con ρ < ; ssato (, ) e considerato un intervallo [ ρ, ρ] contenente, con ρ <, si ha in [ ρ, ρ] f () = n= n log n n = (n + ) log(n + ) n...5 Studiare la convergenza della serie di potenze specicando raggio e insieme di convergenza. ( ) n n(n + ) Si tratta di una serie di potenze centrata in, con raggio di convergenza. Dunque la serie converge sicuramente in (, ). Se =, si ha una serie a termini di segno alterno, assolutamente convergente; se = la serie ha lo stesso comportamento della serie /n, quindi converge. L'insieme di convergenza è pertanto l'intervallo [, ]...6 Calcolare il raggio e l'insieme di convergenza della serie di potenze Il raggio di convergenza è, in quanto (log n) n. n lim log n lim n n n n e lim n n n =. Per = si ha la serie log n, che diverge perché log n per n ; per = si ha ( )n log n, che è indeterminata. L'insieme di convergenza è quindi l'intervallo (, )...7 Studiare la convergenza della serie di potenze e calcolarne, dove converge, la somma. ( ) n n= Si tratta di una serie geometrica di ragione, che nell'insieme di convergenza ( 9, ) converge ad f() =...8 Studiare la convergenza della serie di potenze n= n ( + ) n ln n. Si tratta di una serie di potenze centrata in, con raggio di convergenza. Dunque la serie converge sicuramente in (, ). Se =, si ha una serie a termini di segno alterno, convergente per il criterio di Leibniz; se = la serie è maggiorante della serie armonica, dunque per il criterio del confronto diverge. L'insieme di convergenza è dunque [, ).

20 4 CAPITOLO. SERIE DI POTENZE..9 Studiare la convergenza della serie di potenze Si ha n= + n + n = n= n= + n + n. + n + n= n + n. La serie numerica a secondo membro è convergente perché il termine generale è asintotico a /n. Il raggio di convergenza della serie di potenze a secondo membro è, in quanto + (n + ) lim =. n + n Nel punto tale serie si riduce a n=, che converge; nel punto la serie diventa ( ) n +n n=, +n che converge assolutamente. Dunque la serie data converge in [, ]... Studiare la convergenza della serie di potenze Qual'è la funzione somma? n n. Il raggio di convergenza è, pertanto si ha convergenza in (, ). Se = la serie è indeterminata, se = diverge a + ; l'insieme di convergenza è dunque l'intervallo (, ). Per calcolare la somma, si osservi che ( f() = n n d = d n = d ) n d ( ) per ogni (, ). Dunque f() = = ( )... Calcolare la somma della serie di potenze (a) (b) ( ) n 3n ( ) n! n n n n. (a) (b) ( 3 ) n = e 3, per R; n! ) ( ) n ( /) n = log ( +, per (, ). n.. Sia a >, R; studiare la convergenza della serie di potenze ( ) n e calcolare la funzione somma, motivando i passaggi per la sua determinazione. na n La serie ha raggio di convergenza a e converge in [ o a, o + a). La funzione somma si ottiene derivando termine a termine la serie di partenza (operazione lecita grazie alla convergenza totale in ogni intervallo [ o ρ, o + ρ], < ρ < a) o ricordando la serie di MacLaurin della funzione log( ); si trova f() = log + o. a..3 Calcolare la funzione somma della serie di potenze n n(n ) ( ) n. n!

21 .3. ESERCIZI PROPOSTI 5 Poiché si ha ( ) n n(n ) n! n = ( ) n n! (n(n ) n ) = ( ) n ( n ) ( = ( ) n) n! n! ( ) ( ) n n(n ) n = ( ) n ( ) = e = ( )e n! n! per ogni R, poiché e = n= n /n!...4 Sia {a n } una successione con a n e lim n a n = l >. Cosa si può dire del raggio di convergenza della serie di potenze n= a n n? E se l =? Il raggio di convergenza è in quanto lim n n a n = l =. Se l = il limite precedente si presenta nella forma indeterminata e nulla può essere dedotto senza ulteriori informazioni..3 Esercizi proposti.3. Rispondere alle seguenti domande motivando la risposta. (a) Può essere la funzione somma di una serie di potenze? (b) Può esistere una serie di potenze che converge nell'intervallo [, ] e anche nel punto? (c) Possono e 3 appartenere all'insieme di convergenza di una serie di potenze che ha raggio di convergenza 3? (d) Può una serie di potenze convergere solo nel punto?.3. Studiare la convergenza delle serie di potenze (a) (b) (c) (d) n= (n )! n! + (n + )! n, (arctg n) n, n= n= n + n n, n n + n..3.3 Studiare la convergenza delle seguenti serie di potenze e determinarne la funzione somma: (a) (b) (c) ( 3) n, n n (n + )(n + ), n n + n. n= n=.3.4 Dire per quali R convergono entrambe le serie di potenze Calcolare la somma della prima serie. n n n, ( + ) n n n..3.5 Calcolare l'insieme di convergenza e la somma delle seguenti serie di potenze, riconoscendo in esse due serie note: ( ) n an n! ( )n, n ( )n. n= n=

22 6 CAPITOLO. SERIE DI POTENZE.3.6 Siano a, b numeri reali positivi. Studiare la convergenza della serie di potenze n= ( a) n b n. Caratterizzare i valori di a e b per cui la serie converge totalmente nell'intervallo [, 9]..3.7 Si consideri la serie di funzioni n= n ( ) n. Dire se si tratta di una serie di potenze; calcolarne l'insieme di convergenza e la funzione somma, specicando il tipo di convergenza. Suggerimento. Posto y = ( ), si ha n ( ) n = [( )] n = y n..3.8 Calcolare il raggio di convergenza e la somma della serie di potenze (n+)( ) n n= n!..3.9 Studiare la convergenza della serie di potenze n= n n log n..4 Integrazione per serie di potenze di equazioni dierenziali ordinarie.4. Calcolare il polinomio di Mac Laurin di grado 4 delle soluzioni dei seguenti problemi ai valori iniziali: (a) (b) y y = y() = y () =. y y = y() = y () =. Per il primo teorema di Fuchs la soluzione sarà denita in tutto R e sviluppabile in serie di potenze; i primi cinque termini della serie sono il polinomio di Mac Laurin P 4() = a + a + a + a a 4 4 cercato. (a) Dai dati iniziali si ha immediatamente che a =, a =. Sostituendo P 4 nell'equazione e uguagliando i coecienti delle potenze di ugual grado si ricavano i termini rimanenti. Si ottiene P 4 () = (b) Si trova subito a =, a = e, procedendo come sopra, si ottiene P 4 () = Risolvere, integrando per serie, il problema ai valori iniziali y y = y() = y () =. Il primo teorema di Fuchs si applica; si cerca dunque una soluzione del tipo y() = n= ann. Dai dati iniziali si trova a =, a =. Derivando la serie termine a termine e inserendo nell'equazione si ottiene l'espressione n(n )a n n a n n+ = n= n= (n + )(n + )a n+ n a n n n= = a + 3 a 3 + n= ( ) (n + )(n + )an+ a n n =. Pertanto a =, a = e a = a 3 = ; inoltre se n si deduce dalla serie la relazione a n+ = n= (n + )(n + ) a n. Pertanto solo i coecienti che hanno indice multiplo di 4 sono diversi da zero e si trova a 4 = 4 3, a 8 = 8 7 a 4 = a 4n = 4n (4n ) (4n 4) (4n 3)

23 .5. ESERCIZI PROPOSTI 7 Pertanto y() = n= a 4n 4n. Per quanto riguarda il raggio di convergenza poniamo z = 4, b n = a 4n e consideriamo la serie di potenze n= b nz n. Si ha che b n+ = a 4n+4 = b n a 4n (4n + 4)(4n + 3) se n. Pertanto il raggio di convergenza della serie n= bnzn è innito e dunque la serie n= a 4n 4n converge in tutto R..4.3 Si consideri l'equazione dierenziale ordinaria y + y y =. È una equazione di Bessel? Cercare una soluzione non nulla sotto forma di serie di potenze. L'espressione generale di una equazione di Bessel di indice p è y +y +( p )y = ; non si tratta pertanto di una equazione di Bessel. Poiché l'equazione è omogenea, la funzione y() = è soluzione. Cerchiamo un'altra soluzione sotto la forma y() = n= a n n. Derivando la serie termine a termine si ottiene l'espressione n(n )a n n + na n n a n n = n= n= ( ) n(n ) + n an n + a a a n= = a + (n )a n n. Si deduce che a =, a può essere scelto arbitrariamente, a n = se n. Pertanto y() = c, con c una costante reale arbitraria, è soluzione dell'equazione data..5 Esercizi proposti.5. Si consideri l'equazione dierenziale y + (sin )y (cos )y = con dati iniziali y() =, y () =. Giusticare l'esistenza di una soluzione; calcolarne il polinomio di MacLaurin di grado 4. Suggerimento. Si rimpiazzino le funzioni sin e cos con un loro opportuno sviluppo di MacLaurin..5. Si consideri l'equazione dierenziale y + e y + (cos )y = con dati iniziali y() =, y () =. Motivare il fatto che il primo teorema di Fuchs è applicabile. Scrivere il polinomio di MacLaurin, del terzo ordine, della soluzione y utilizzando gli sviluppi di MacLaurin delle funzioni e e cos. Disegnare un graco approssimativo della soluzione..5.3 Si consideri il problema ai valori iniziali y + y cos = e, y() =, y () =. Ricordando gli sviluppi di MacLaurin delle funzioni cos e e, determinare lo sviluppo di MacLaurin al terz'ordine della soluzione..5.4 Calcolare lo sviluppo di MacLaurin al terz'ordine della soluzione del problema ai valori iniziali y + e y + e y =, y() =, y () =. n=

24 8 CAPITOLO. SERIE DI POTENZE

25 Capitolo 3 Serie trigonometriche e di Fourier 3. Serie trigonometriche 3.. Dire se e dove convergono le serie trigonometriche (a) (b) n= cos n log n, cos n n. Ricordiamo il criterio di Dirichlet per la convergenza delle serie trigonometriche: se la serie n= (a n cos n + b n sin n) ha coecienti a n, b n positivi, monotoni decrescenti, innitesimi, allora la serie converge tranne al più nei punti = kπ, k Z. (a) Si ha a n = / log n per n, {a n } decrescente; quindi per il criterio di Dirichlet la serie converge sicuramente per ogni kπ, k Z. Se = kπ si ottiene la serie ; essa n= log n diverge perché maggiorante della serie armonica. L'insieme di convergenza è pertanto R \ πz. (b) Si ha a n = / n, a n per n decrescendo; per il criterio di Dirichlet la serie converge sicuramente per ogni kπ, k Z. Se = kπ si ottene la serie divergente n= n. Dunque l'insieme di convergenza è R \ πz. 3. Serie di Fourier 3.. Dare un esempio esplicito di una funzione f denita in [ π, π], pari, a media integrale nulla. Si prenda ad esempio f() = cos per [ π, π]. 3.. Le seguenti funzioni sono denite in [ π, π) e prolungate poi per periodicità. Disegnarne il graco; scriverne poi la serie di Fourier, specicando la convergenza. (a) (b) (c) (d) f() = { se [ π/, π/) se [ π, π/) [π/, π), { se [ π, ) f() = se [, π), { + π se [ π, ) f() = π se [, π), { π se [ π, ) f() = π se [, π). 9

26 CAPITOLO 3. SERIE TRIGONOMETRICHE E DI FOURIER Vedi Figura 3.. Utilizzeremo nel seguito la notazione f() a + (a n cos n + b n sin n) per indicare la serie di Fourier della funzione f. La serie convergerà a f() nei punti di continuità di f, alla media dei limiti destro e sinistro nei punti di discontinuità. (a) La funzione f è pari, dunque si sviluppa in serie di soli coseni: f() + π k= ( ) k cos ((k + )). k + La serie converge a f() in tutti i punti in cui f è continua, ovvero in ogni intervallo ( π/+ kπ, π/ + kπ), k Z; nei punti π/ + kπ, k Z, la serie converge a /. (b) La funzione f non è né pari né dispari; si ha: f() π 4 + ( ) k+ sin k cos ((k + )). k π(k + ) k= La serie converge a f() in ogni intervallo [(k )π, (k + )π), k Z; nei punti π + kπ, k Z, la serie converge a π/. (c) Si ha f() 3π 4 + π k= k= (k + ) cos (k + ) + k= ( ) k+ sin k k La serie converge a f() in ogni intervallo ((k )π, (k + )π), k Z; nei punti π + kπ, k Z, la serie converge a π/. (d) Siccome f è dispari, si ha f() k= sin k. k La serie converge a f() in ogni intervallo (kπ, (k + )π), k Z; nei punti kπ, k Z, la serie converge a. (a) 4 (b) y y (c) 4 (d) 3 y y Figura 3.: Vedi Esercizio 3... I graci delle funzioni sono disegnati su due periodi Si considerino le funzioni (a) f() = in [, π), estesa come funzione dispari a [ π, π) e prolungata per periodicità a tutto R;

27 y y 3.. SERIE DI FOURIER (b) f() = ( π) in [, π), prolungata a [ π, ) come funzione pari e inne estesa per periodicità a R. Disegnare il graco delle funzioni, calcolarne le serie di Fourier e specicarne la convergenza. Vedi Figura 3.. (a) La funzione f è dispari, dunque la sua serie di Fourier contiene solo seni: è b n sin n, con π k b n = (k + ) π 8 (k + ) 3 π se n = k se n = k +. Essa converge a f() negli intervalli ((n )π, (n + )π), n Z; converge a nei punti π + nπ, n Z. (b) La funzione f è pari, ed è continua in R. Perciò per ogni R. f() = π 6 + k= cos(k) k (a) (b) Figura 3.: Vedi Esercizio Sia f() = (π + ) in [ π, π). Estendere f per periodicità a tutto R, disegnarne il graco, quindi: (a) calcolare la serie di Fourier di f e specicarne la convergenza; (b) vericare l'uguaglianza di Parseval calcolando esplicitamente l'integrale e la somma della serie che compaiono in tale formula. (a) La funzione f si sviluppa in serie di soli seni perché dierisce di π + dalla una funzione dispari ; si ha ( ) n f() = (π + ) + sin(n) n per ogni (k + )π, k Z; nei punti = (k + )π la serie converge a π +. (b) L'uguaglianza di Parseval per una funzione π-periodica f è In questo caso si ha dunque π π π π π π f () d = a + ( a k + b ) k. k= (π + ) d = (π + ) + 4 Il calcolo del primo membro dà (4π + 6π + 3)/3; ricordando che k= /k = π /6 si verica con un facile calcolo che questo è anche il valore del secondo membro. k= k.

28 CAPITOLO 3. SERIE TRIGONOMETRICHE E DI FOURIER 3..5 Si consideri la funzione f che vale A in [, T/) e A in [ T/, ), prolungata per periodicità a R. Calcolarne la serie di Fourier e applicare quindi la formula di Parseval. con ω = π/t e Si tratta di una funzione T -periodica, dispari, la cui serie di Fourier è k= b k sin(ωk), Pertanto b n =, b n+ = b k = 4A T 4A π(n+) T / e dunque f() 4A π sin(ωk) d = A ( ( ) k). πk n= sin ((n + )ω). n + La serie converge a f() tranne che nei punti k T, k Z, in cui converge a. Dalla formula di Parseval si deduce da cui ovvero T / f () d = T T / A = 6A π n= n= n= 6A π (n + ) (n + ) (n + ) = π Sia f la funzione denita in [, ) da f() = e, e prolungata poi per periodicità a tutto R. Disegnare il graco di f e scriverne la serie di Fourier. Si tratta di una funzione pari di periodo T = ; perciò ω = π/t = π e si ha dove a / = e, mentre a k = f() a + a k cos(πk), k= La serie di Fourier converge ad f() per ogni R. f() cos(πk)d = ( )k e + π k Sia a [, ]; si consideri la funzione f denita in [ π, π) da f() = se [ a, a], nulla in [ π, π) \ [ a, a] e poi prolungata per periodicità a R. Si calcoli la serie di Fourier di f; se ne deduca la convergenza e la somma della serie sin n n. Si tratta di una funzione π-periodica pari, la cui serie di Fourier è a + Si trova a = a π, a k = a cos(k) d = sin(ka). π kπ Perciò f() a π + π k= sin(ka) k cos(k) k= a k cos(k). dove la serie converge a f() in tutti i punti tranne in quelli della forma ±a + πz, in cui converge al valore /. In particolare, scelto a =, poiché nel punto la serie converge a f() = a = si ha da cui = π + π k= sin k k sin n n = π Calcolare la serie di Fourier complessa della funzione denita in [ π, π) da { π < f() = < π e prolungata per periodicità a R.

29 3.3. ESERCIZI PROPOSTI 3 Si ha dove c k = π π f() + c k e ik, e ik d = ( ( ) e ikπ k kπ + i ). kπ 3..9 Sia f la funzione denita in [ π, π) da { π/ f() = [ π, ) (π/, π) e prolungata per periodicità a R. Calcolare la serie di Fourier complessa di f. Si ha f() πi + k= e ikπ/ k e ik. Nei punti π/ + kπ e kπ, k Z, la serie converge a f(). = π/ + kπ la serie di Fourier di f converge a /. Nei punti = kπ e 3.. È vero che π lim n π cos(n) d =? + Sì. Infatti dal teorema di Riemann-Lebesgue si ha che b lim n f() cos(n) d = se f a è integrabile su [a, b]. In questo caso f() = /( + ). 3.. Si considerino le seguenti serie trigonometriche: ( ) (a) n sin(n) + ( )n cos(n) (b) sin(n) n. Si provi che la prima non può essere la serie di Fourier di nessuna funzione regolare a tratti. Si provi poi che la seconda serie è totalmente convergente; posto f la sua somma si calcoli π f ()d. (a) La serie data può scriversi nella forma (a n cos n + b n sin n), con coecienti a n = ( ) n, b n = /n. Il lim n a n non esiste; dunque, per il teorema di Riemann-Lebesgue, la serie non può essere la serie di Fourier di nessuna funzione regolare a tratti. (b) La serie data converge totalmente poiché sin(n)/ n / n. La sua somma f è una funzione continua (a causa della continuità degli addendi della serie e della convergenza totale), dunque integrabile in [, π]. Dalla formula di Parseval si ha π ( ) f 4 ()d = π 4 = π n 3 = π Esercizi proposti 3.3. Dare un esempio di una funzione non continua a tratti; dare un esempio di una funzione non C a tratti E' vero che se tutti i coecienti b k, k =,,... di una serie di Fourier di una funzione f sono nulli, allora la funzione è pari? E' vero che se tutti i coecienti a k, k =,,... di una serie di Fourier di una funzione f sono nulli, allora la funzione è dispari?

30 4 CAPITOLO 3. SERIE TRIGONOMETRICHE E DI FOURIER Sia b > ; sia f la funzione il cui graco nell'intervallo [ b, b] è il triangolo di vertici ( b, ), (, ), (b, ), e poi prolungata a R per periodicità. Disegnare il graco di f e scriverne la serie di Fourier, specicandone la convergenza. Suggerimento. Si tratta di una funzione pari e continua, la cui serie di Fourier converge ad f (totalmente) in ogni punto. Si trova f() = + 4 π n= ( π ) (n + ) cos b (n + ) Scrivere la serie di Fourier della funzione di periodo denita in [, ) da f() =. Disegnare il graco di f e precisare la convergenza della serie. Suggerimento. f() + sin(πk) k= ( )k. πk Scrivere le serie di Fourier delle funzioni f e g seguenti: (a) f è denita in [3, 6) da f() = 3 ed estesa poi ad R per periodicità; (b) g è denita in [, 4) da g() = ed estesa poi ad R per periodicità Si consideri la funzione denita in [, ) da f() = se [, ) (, ), f() = + se [, ), f() = se [, ] e poi prolungata a R per periodicità. Si disegni un graco di f. Calcolare la serie di Fourier di f, specicandone la convergenza Scrivere le serie di Fourier in forma complessa delle funzioni f e g denite in [, ) come segue e prolungate poi ad R per periodicità: { in [, ), (a) f = in [, ) { in [, ) [/, ), (b) g = in [, /) Approssimare la funzione f() = nell'intervallo [, ] tramite una serie di Fourier di soli coseni (rispettivamente di soli seni). Scrivere i primi due termini non nulli della serie e tracciarne un graco approssimativo (in entrambi i casi). Suggerimento. Denire la funzione f nell'intervallo [, ) prolungandola in modo pari (dispari), quindi estenderla a tutto R per periodicità (periodo 4). Sia f la funzione risultante. La serie di Fourier di f approssima evidentemente f nell'intervallo [, ] Si consideri la funzione f : [, π) R denita da f() = se [, π/) e f() = se [π/, π). Approssimarla con una serie di Fourier di soli coseni E' vero che lim n π sin(n)d =? Perché? 3.3. Sia f la funzione denita da f() = se [, ], f() = se [, ) (, ] e quindi estesa a tutto R per periodicità. Disegnare il graco di f. Calcolare la serie di Fourier di f semplicando i calcoli il più possibile. Specicare la convergenza della serie. Scrivere la formula di Parseval per f, deducendo la somma della serie dei quadrati delle ampiezze delle armoniche.

31 Capitolo 4 Equazioni alle derivate parziali 4. Il metodo di somiglianza 4.. Cercare una soluzione dei seguenti problemi ai valori iniziali con il metodo di somiglianza: (a) t u u = u(, ) = t u(, ) = (b) t u + u = u u(, ) = cos t u(, ) =. (a) Sostituendo u(t, ) = f(t) nell'equazione si ottiene per f il problema di Cauchy f f = f() = f () = che ha soluzione f(t) = cosh( t). La soluzione del problema ai valori iniziali è pertanto u(t, ) = cosh( t). (b) Sostituendo u(t, ) = f(t) cos nell'equazione si ottiene il problema di Cauchy f f = f() = f () = che ha soluzione f(t) = cosh( t). u(t, ) = cosh( t) cos. La soluzione del problema ai valori iniziali è pertanto 4.. Cercare una soluzione dei seguenti problemi con il metodo di somiglianza: (a) (b) (c) t u u = u(, ) = e t u(, ) =, t u 4 u = u(, ) = cos t u(, ) =, u + yu = u(, ) = cos y u(, ) =. 5

32 6 CAPITOLO 4. EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (a) Posto u(t, ) = f(t)e, si ottiene per f il problema di Cauchy f f = f() = f () = che ha soluzione f(t) = cosh t. La soluzione del problema ai valori iniziali è u(t, ) = e cosh t. (b) Posto u(t, ) = f(t) cos, si ottiene il problema di Cauchy f + 4f = f() = f () = che ha soluzione f(t) = cos t. Pertanto u(t, ) = cos(t) cos. (c) Posto u(t, ) = f(t) cos, si ottiene il problema di Cauchy f f = f() = f () = che ha soluzione f(t) = cosh t. Pertanto u(t, ) = cosh t cos Determinare per t >, [, π] e D la soluzione del problema t u D u = u(t, ) = u(t, π) = u(, ) = sin(n). Commentare la soluzione trovata. Risolvere l'analogo problema per l'equazione t u+d u =. Si tratta dell'equazione del calore e si cerca una soluzione u(t, ) = f(t) sin(n); inserendo questa espressione nell'equazione e sfruttando il dato iniziale si trova per f il problema ai valori iniziali { f + Dn f = f() = da cui f(t) = e Dn t e quindi u(t, ) = e Dnt sin(n). La diusione del calore u è quindi esponenziale (negativa) in tempo; più D è grande, più rapida è la diusione. Inoltre più n è grande (cioè più la temperatura iniziale è poco uniformemente distribuita) più la diusione è rapida (a ). Nel caso della seconda equazione si trova u(t, ) = e Dnt sin(n) Trovare, usando il principio di somiglianza, una soluzione del problema ttu t u u = u(, ) = sin t u(, ) = sin. Posto u(t, ) = f(t) sin, si ottiene il problema di Cauchy f f + f = f() = f () = che ha soluzione f(t) = e t (t + ). Pertanto u(t, ) = e t (t + ) sin Siano D >, h >. Risolvere col metodo di somiglianza il problema u t Du = u(t, ) = u(t, π) = u(, ) = sin(h) h. Cosa succede della soluzione per D? E per h +? Posto u(t, ) = f(t) sin(h), si ottiene il problema di Cauchy { f + Dh f = f() = /h

33 4.. ALTRI ESERCIZI 7 che ha soluzione f(t) = e Dht /h. Pertanto u(t, ) = e Dht sin(h)/h. Per D si ha u(t, ) sin(h) h, mentre per h + si ha u(t, ). Si noti che, più semplicemente, si poteva cercare una soluzione v del problema di Cauchy Per linearità si deduceva allora u(t, ) = v(t,) h. v t Dv = v(t, ) = v(t, π) = v(, ) = sin(h) Siano c >, h >. Risolvere col metodo di somiglianza il problema ai valori iniziali u tt c u = u(t, ) = u(t, π) = u(, ) = sin(h) h u t (, ) =. Cosa succede della soluzione per c? E per h +? Posto u(t, ) = f(t) sin(h), si ottiene il problema ai valori iniziali f + c h f = f() = /h f () = che ha soluzione f(t) = cos(cht). Pertanto u(t, ) = cos(cht) h h mentre per h si ha u(t, ). sin(h). Per c si ha u(t, ) sin(h) h, 4..7 Risolvere l'equazione delle onde u tt c u = con i dati u(t, ) = u(t, π) =, u(, ) =, u t (, ) = sin. Posto u(t, ) = f(t) sin, si ottiene f + c f = f() = f () = che ha soluzione f(t) = sin(ct). Pertanto u(t, ) = sin(ct) sin. c c 4. Altri esercizi 4.. Risolvere tu =. Integrando rispetto a t l'equazione si trova u = t + c() per una arbitraria funzione c della variabile ; integrando questa espressione rispetto a si trova u = 3 t + C() + D(t) per 3 un'altra funzione C() (una primitiva di c) e D(t) una arbitraria funzione della variabile t Risolvere t u =, u(, ) =, t u(, ) =. Integrando rispetto a t l'equazione si trova t u = t + c(), dove c è una arbitraria funzione della variabile ; dal dato iniziale si trova c() =. Integrando ancora t u = t + si trova u = t + t + d(), e dal dato iniziale si ha d() =. In conclusione u = t + t Si consideri l'equazione di Laplace u + yu =. Sia f = f(r) una funzione di una variabile reale. Imporre che u(, y) = f( + y ) sia soluzione dell'equazione e dedurre una equazione dierenziale ordinaria alla quale f deve soddisfare. Dal teorema di derivazione delle funzione composte si calcola u = f ( + y ) u = f ( + y ) yu = f ( + y ) + y + y + f ( + y ) y ( + y ) + y y + y + f ( + y ) ( + y ) + y.

34 8 CAPITOLO 4. EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI Inserendo queste espressioni nell'equazione si ottiene f ( ( ) + y ) + y + y + + y +f ( ( ) + y ) ( + y ) + y + y ( + y ) = + y e in conclusione, posto r = + y, f (r) + f (r) r = Risolvere in [, L] [, M] l'equazione alle derivate parziali a u + u yy = con dati u(, ) = sin(ω), u(, y) = u(l, y) = u(, M) =, dove ω = π/l. Dedurne la soluzione dell'equazione a u + b u yy =, relativa agli stessi dati iniziali. Trovare un cambiamento di variabili = α, ȳ = βy che trasformi l'equazione a u + u yy = in u + u yy =. Si trova u(, y) = sin(ω) sinh(aω(m y)) sinh(aωm). Per la seconda domanda basta rimpiazzare nell'espressione precedente a con a/b. Inne α = a, β = Sia c ; risolvere per separazione di variabili l'equazione u t + u t cu = cu, con dato iniziale u(, ) = sin, motivando i passaggi. Si cerca u(t, ) = f(t) sin ; inserendo nell'equazione e cancellando il fattore cos + sin si trova l'equazione f cf =, da cui u(t, ) = e ct sin. 4.3 Esercizi proposti 4.3. Risolvere con il metodo di somiglianza il problema t u u =, u(, ) = e, u t (, ) = Risolvere con il metodo di somiglianza il problema t u u =, u(, ) = sin(/3) cos(/3), u t (, ) =. Suggerimento. Ricordare le formule di duplicazione per il seno Risolvere col metodo di somiglianza u + yu = con dati u(, ) = sin( π L), u(, ) = sin( π L) se [, L], u(, y) = u(l, y) = se y [, ]. Quale fenomeno sico può essere rappresentato da questo problema? Suggerimento. Per linearità risolvere separatamente dapprima u + yu =, u(, ) = sin( π ), L u(, ) = u(, y) = u(l, y) = e quindi u + yu =, u(, ) = sin( π ), u(, ) = u(, y) = L u(l, y) = ; poi sommare le soluzioni Si consideri il problema u t Du =, u(, ) = sin( π L ), u(t, ) = u(t, L) = per t e [, L], D >. Per quali t > la soluzione è minore di /? Risolvere col metodo di somiglianza il problema ai valori iniziali u tt u = e, u(, ) = e, u t (, ) = Si consideri in [, L] l'equazione alle derivate parziali u tt u = con dati u(, ) = A sin(ω), u t (, ) = V sin(ω), dove ω = π/l. Dire quale fenomeno sico può rappresentare questo problema. Risolvere il problema. Per quali V l'ampiezza della soluzione è almeno A? Cercare la soluzione con il metodo di somiglianza dei seguenti problemi: (a) u t Du = cos t sin( π π L), u(, ) = sin( L ), per t, [, L], D > ; (b) u tt c u = e t sin( π π L), u(, ) = sin( L ), u t(, ) = per t e [, L] Risolvere col metodo di somiglianza l'equazione t u D u = αu in [, L] (, + ) con dati u(, ) = sin( π L), se [, L], D >. Discutere i vari casi al variare di α R, in particolare riguardo il comportamento della soluzione per t Risolvere col metodo di somiglianza il problema ai valori iniziali u t + ku =, u(, ) = sin + sin(). Suggerimento. Per linearità cercare una soluzione u sotto la forma u = u + u, dove u risolve il problema u t + ku =, u(, ) = sin e u risolve il problema u t + ku =, u(, ) = sin().

35 4.3. ESERCIZI PROPOSTI Risolvere il problema ai valori iniziali u t tu = t cos(ω), u(, ) = cos(ω), per ω > Risolvere il problema ai valori iniziali u tt + u t u = sin, u(, ) = sin, u t (, ) = Risolvere in [, + ) [, L] l'equazione alle derivate parziali u t Du = t α u, D >, con dato iniziale u(, ) = sin(ω), ω = π/l, e dato al contorno u(t, ) = u(t, L) =. Per quali valori di α la soluzione tende a zero per t +? Risolvere in [, + ) R l'equazione alle derivate parziali u tt + au u =, a R, con dato u(, ) = e, u t (, ) =, discutendone i casi al variare di a Risolvere in [, + ) R l'equazione alle derivate parziali u tt au = bu, a, b R, con dato u(, ) = sin, u t (, ) =, discutendone i casi al variare di a e b Risolvere per separazione di variabili il problema u t 4u = α u per [, π], con dati iniziali u(, ) = sin. Per quali valori di α si è certi che la soluzioni superi il valore?