Numeri reali. Capitolo Campo ordinato dei numeri reali

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1 Capitolo 1 Numeri reali 1.1 Campo ordinato dei numeri reali L ambiente naturale per gli oggetti dell Analisi matematica è l insieme dei numeri reali, denotato con R. Sull insieme R sono de nite due operazioni (leggi di composizione interna) ed una relazione d ordine, che generalizzano le omonime strutture che noi conosciamo sull insieme dei numeri naturali. Assioma 1.1 Proprietà associativa della somma Assioma 1. Proprietà commutativa della somma Assioma 1.3 Esistenza di 0 elemento neutro per la somma Assioma 1.4 Esistenza dell opposto Proposizione 1.5 L opposto di x è unico e si denota con x. Per semplicità adottiamo la seguente notazione a b = a + ( b): Dunque la sottrazione altro non è che la somma con l opposto. Assioma 1.6 Proprietà associativa del prodotto Assioma 1.7 Proprietà commutativa del prodotto Assioma 1.8 Esistenza di 0 elemento neutro per il prodotto Assioma 1.9 Proprietà distributiva Osservazione 1.10 Dalla proprietà distributiva consegue che 0y = 0, per ogni y R. Poniamo R = R f0g Assioma 1.11 Esistenza dell inverso, per ogni x R. 1

2 CAPITOLO 1. NUMERI REALI Proposizione 1.1 L inverso di x è unico e si denota co=x. E di uso cumune la seguente notazione: se b 6= 0 a b = a 1 b Parleremo di divisione intendendo la moltiplicazione per l inverso. Chiameremo in breve a=b rapporto, a numeratore e b denominatore. Evidentemente si tratta di denominazioni convenzionali. Poichè non esiste l inverso di 0, non avrà senso la scrittura a=0. Ricordiamo le proprietà che individuano una relazione di totale ordine. Per ogni x R risulta (proprietà ri essiva). Per ogni x y R risulta (proprietà antisimmetrica). Per ogni x y z R risulta (proprietà transitiva). Per ogni x y R risulta (totale ordine). Poniamo, inoltre x y x y x x y x =) x = y y z =) x z x y oppure y x a < b () a b a 6= b a b () b a a > b () b a b 6= a Un numero x R si dice positivo (risp. negativo) se x 0 (risp x 0). Analogamente si parla di numeri strettamente positivi e negativi. La relazione d ordine è compatibile con la struttura algebrica. Assioma 1.13 Per ogni x y z R, risulta x y =) x + z y + z: Assioma 1.14 Per ogni x y z R, risulta x y e 0 z =) x z y z: Nel linguaggio dell algebra astratta si dice che su R esiste una struttura di campo ordinato. Da questi assiomi si deducono tutte le usuali regole di calcolo (vedi Appendice...). Manca un assioma fondamentale che ci limiteremo ad illustrare in seguito in forma geometrica.

3 1.. NUMERI INTERI E RAZIONALI 3 1. Numeri interi e razionali Al contrario di quanto detto sopra, l ambiente naturale in cui si sviluppa la matematica negli studi preuniversitari è dato dai numeri interi naturali: 0 1 : : : interi relativi: 0 1 : : : razionali, rappresentati tramite frazioni oppure in forma decimale. I numeri reali, descritti dagli assiomi riportati sopra, si incontrano per la prima volta quando si studiano le radici quadrate: si dice in breve che alcune radici sono numeri irrazionali e forse non si presta la dovuta attenzione al complesso dei numeri reali. Ora vogliamo stabilire un nesso tra le conoscenze preuniversitarie ed il nostro nuovo ambiente di lavoro. In particolare ci concentriamo sui numeri razionali, che soddisfano tutti gli assiomi riportati sopra. Per parlare di numeri razionali abbiamo due possibilità, che seguono due diverse strategie e linee di pensiero Approccio assiomatico Data per buona l esistenza dei numeri reali con tutte le loro proprietà, all interno di R è possibile individuare alcuni sottoinsiemi privilegiati: Posto N = f0 1 3 : : : g Z = f0 1 3 : : : g : N = N f0g = f1 3 : : : g per ogni m Z e n N ha senso considerare il numero reale m=n. I numeri reali che ammettono questa rappresentazione li chiamiamo razionali e l insieme da essi costituito lo indichiamo con Q. Osservazione 1.15 Utilizzando opportunamente le proprietà dei numeri reali si può dimostrare che, per ogni m Z n k N mk nk = m n : Osservazione 1.16 Si può dimostrare che il sottoinsieme Q è esso stesso un campo ordinato, nel senso che la somma ed il prodotto di numeri razionali sono ancora numeri razionali + m = n + m n n m = m n n e risultano soddisfatti tutti gli assiomi enunciati per R. Rimane ancora da precisare un ultimo assioma veri cato da R e non da Q e in base al quale possiamo asserire che Q è strettamente contenuto in R. Questo approccio ha il vantaggio di essere molto pulito, ma evidentemente è assai poco naturale: infatti ci sfugge (e continuerà a sfuggirci) la natura dei numeri reali che abbiamo messo alla base della nostra esposizione.

4 4 CAPITOLO 1. NUMERI REALI 1.. Approccio costruttivo Data per buona l esistenza di N e di Z con le loro operazioni e la loro relazione d ordine, si vuole costruire una nuova classe di numeri. Introduciamo dei nuovi oggetti, denominati frazioni, scritti nella forma m=n, con m Z e n N. Si badi bene che in questo approccio non abbiamo ancora de nito l inverso, quindi m=n è solo un simbolo per qualcosa di nuovo che stiamo de nendo. Per le frazioni si de niscono somma, prodotto e relazione d ordine al modo seguente: + m = n + m n n m = m n n m n () n m : A livello elementare le frazioni hanno una ben nota interpretazione: =4 (ad esempio di mela) rappresentano la stessa quantità di 1= (della stessa mela). Dunque la stessa grandezza viene rappresentata in in niti modi diversi. Vediamo in quale modo la matematica contemporanea ha formalizzato questa situazione. Due frazioni = e m =n si dicono equivalenti quando In tal caso scriveremo n = m m n : Ora possiamo de nire nalmente i numeri razionali: ciascuna frazione individua un numero razionale, ciascun numero razionale viene identi cato da in nite frazioni, due frazioni individuano lo stesso numero razionale se e solo se sono equivalenti. Tecnicamente si dice che un numero razionale è una classe di equivalenza di frazioni, ossia è un insieme del tipo : : : : : : Quando si scrive una frazione, in realtà si intende scrivere il corrispondente numero razionale a questo scopo viene introdotta la regola di sempli cazione (...). Esempio 1.17 Le frazioni =3 e 10=15 sono diverse tra loro. Esse sono equivalenti, quindi dovremmo scrivere :

5 1.. NUMERI INTERI E RAZIONALI 5 L unico modo per dar senso ad una scrittura del tipo 3 = è quella di identi care ciascuna frazione con il corrispondente numero razionale: =3 si identi ca con : : : : : : 10=15 si identi ca con : : : : : : pertanto la formula (...) non vuol dire altro che : : : : : : = cosa che è sicuramente vera : : : : : : L insieme dei numeri razionali si denota con Q. Osservazione 1.18 L insieme Z degli interi si considera incluso nell insieme dei numeri razionali Q. Infatti ciascun m Z si identi ca con la frazione m=1 e quindi individua anche un numero razionale. Sull insieme Q si de niscono somma, prodotto e relazione d ordine. Cosa vuol dire sommare due numeri razionali q 1 q Q? Scegliamo due frazioni che rappresentino rispettivamente q 1 e q, quindi avremo e de niamo dove q 1 = m1 : : : q 1 + q = q = m n : : : m1 + m : : : : n + m n è stata de nita sopra in (...). Apparentemente il risultato è un insieme di frazioni che viene a dipendere dalle frazioni che abbiamo scelto come rappresentanti. In realtà non è così, infatti risulta che k 1 i 1 m n k i =) + m n k 1 i 1 + k i : Quindi, anche se avessimo scelto rappresentanti diversi, avremmo ottenuto il medesimo insieme q 1 + q. Analogamente si ragiona per il prodotto e per la relazione d ordine. A questo punto si può dimostrare che l insieme Q, con le due leggi di composizione interna e la relazione d ordine, gode delle proprietà di campo ordinato elencate sopra. L insieme R rappresenta un ampliamento di Q, giusti cato da ragioni di carattere geometrico che illustreremo nel paragrafo seguente. La costruzione di R si può e ettuare in diversi modi ma esula dai ni di questo corso.

6 6 CAPITOLO 1. NUMERI REALI Questo approccio rispecchia la nostra storia in due sensi: rispecchia la storia della nostra civiltà che è giunta solo 150 anni fa a parlare di numeri reali in forma esplicita, rispecchia la formazione che abbiamo ricevuto negli studi precedenti. Tuttavia questo approccio sposta la fatica alla costruzione di Z e quindi di N, giunti ad N ci si imbatte in una situazione del tutto inaspettata (Teoremi di incompletezza di Gödel) che segna il limite della possibilità di fondare tutta la matematica su basi assiomatiche semplici. Tanto vale allora partire direttamente dagli assiomi di R, e questa è stata appunto la nostra scelta Rapporto tra R e Q Quale che sia il nostro approccio, risulta Q R e quindi possiamo considerare la di erenza R Q I numeri x R Q si dicono irrazionali. Riportiamo ora due proprietà di notevole interesse. Proposizione 1.19 (proprietà archimedea) Per ogni a b R, con 0 < a < b, esiste n N tale che b < n a. Proposizione 1.0 (densità) Per ogni a b R con a < b esiste q Q tale che a < q < b Riepilogo sugli insiemi numerici Quale che sia il nostro approccio (assiomatico o costruttivo), è un dato acquisito la catena di inclusioni N Z Q R: In ciascuno di questi insiemi abbiamo già due operazioni (leggi di composizione interna) ed una relazione d ordine. Gli assiomi da () a () descrivono le proprietà di base delle operazioni e della relazione d ordine. Su N non sono veri cati gli assiomi () e (). In Z risulta veri cato anche l assioma (). In Q risulta veri cato anche l assioma (). La di erenza tra Q ed R è di carattere geometrico che vedremo in seguito. Vogliamo ricordare che esiste un ulteriore insieme numerico C, costituito dai numeri complessi, che si può considerare come ampliamento di R. L insieme C veri ca gli assiomi di campo (da... a...) tuttavia non è possibile de nire su C una relazione d ordine che risulti compatibile con le leggi di composizione interna.

7 1.3. NUMERI PER ESPRIMERE LUNGHEZZE Numeri per esprimere lunghezze La nostra presentazione di R su base assiomatica di fatto ha rimosso le tracce dell origine geometrica dei numeri razionali ed irrazionali. Possiamo riassumere alcuni fatti salienti. Assegnato un insieme di grandezze omogenee (ad esempio i segmenti), due di queste grandezze si dicono commensurabili se ammettono un sottomultiplo comune. Se ssiamo una grandezza u come unità di misura ed s è commensurabile con u, allora la misura di s si esprime tramite un numero razionale. Vogliamo sottolineare che in questo caso la misurazione è ricondotta ad un semplice conteggio: quante volte u (o un suo opportuno sottomultiplo) è contenuto in s. Una delle scoperte cruciali della scienza antica è che esistono segmenti incommensurabili, ossia non commensurabili tra loro. Proposizione 1.1 Non esiste alcun numero razionale q Q tale che q =. Esempio 1. Come conseguenza del Teorema di Pitagora e della Proposizione... si dimostra che la diagonale di un quadrato non è commensurabile con il lato del quadrato stesso. In questo caso dobbiamo dare un nuovo signi cato alla parola misura, evidentemente non si tratta più di un semplice conteggio: occorre un nuovo oggetto matematico a cui riconosciamo la natura di numero (irrazionale). L attuale teoria delle grandezze (detta euclidea, ma sostanzialmente dovuta ad Hilbert (1899)) rappresenta una trasposizione in termini geometrici della teoria dei numeri reali. A sua volta l assiomatizzazione dei numeri reali (dovuta a Dedekind (...) e Cantor (...)) era stata ispirata dalla ri essione sulle proprietà intuitive della retta nella tradizione euclidea. All interno di queste teorie possiamo stabilire quanto segue. Fissata un unità di misura u, la lunghezza di un qualsiasi segmento s è esprimibile tramite un numero reale positivo (rispettivamente razionale o irrazionale, se s è commensurabile o meno con u). Viceversa per ogni numero reale x, esiste un segmento s la cui misura rispetto a u è uguale ad x. Questa che abbiamo riportato è la proprietà che contraddistingue R da Q. Essa consegue dall assioma di completezza (di R) e di continuità (della retta). La ben nota procedura di misurazione lascia intuire anche in quale modo potremo rappresentare un generico numero reale. Fissato un numero intero come base (a livello elementare si assume 10), ciascun numero reale può sempre essere espresso tramite un intero ed in nite cifre d i f0 : : : 9g ad esempio p = 1: : : : 1.4 Retta reale e piano cartesiano Una volta completata l assiomatizzazione di R si potrebbe tranquillamente ignorare la sua controparte geometrica, tuttavia, dal punto di vista didattico, non sarebbe una buona scelta. Assegnata una retta r, ssiamo su di essa un punto O dunque la retta risulta suddivisa in due semirette.

8 8 CAPITOLO 1. NUMERI REALI Ora ssiamo sulla retta un secondo punto, distinto da O e denotato con U indichiamo con r + (risp. r ) la semiretta che contiene (risp. non contiene) U. Convenzionalmente si traccia una retta r orizzontale e si colloca U a destra di O. Ad ogni P r associamo un numero x P R, detto ascissa del punto P : se P r + il numero x P è la lunghezza del segmento OP rispetto all unità di misura data dal segmento OU se P r il numero x P è l opposto della lunghezza del segmento OP rispetto all unità di misura data dal segmento OU. Osserviamo che ai punti di r + si associano numeri positivi, ai punti di r associano numeri negativi. In particolare risulta che x O = 0 x U = 1: Questa applicazione risulta bigettiva (vedi assioma di completezza riportato sopra), quindi numeri reali e punti della retta r (denominata retta reale) si considerano perfettamente identi cati. Ricordiamo che a ciascun numero razionale si può far corrispondere un punto sulla retta, ma non vale il viceversa Intervalli L identi cazione tra numeri e punti consente anche di interpretare gra camente la relazione d ordine: x y se e solo se y si trova a destra di y. Ora assumono particolare importanza alcuni sottoinsiemi di R, quelli che rappresentano segmenti e semirette. Intervalli limitati = segmenti [a b] = fx R j a x bg (a b) = fx R j a < x < bg [a b) = fx R j a x < bg I suddetti intervalli si dicono rispettivamente chiuso, aperto, semiaperto (più precisamente chiuso a sinistra e aperto a destra). Intervalli illimitati superiormente = semirette [a +1) = fx R j a xg (a +1) = fx R j a < xg I suddetti intervalli si dicono rispettivamente chiuso e aperto. Intervalli illimitati inferiormente = semirette ( 1 a] = fx R j x ag ( 1 a) = fx R j x < ag I suddetti intervalli si dicono rispettivamente chiuso e aperto. si

9 1.4. RETTA REALE E PIANO CARTESIANO Piano cartesiano Abbiamo introdotto la bigezione tra l insieme R e una retta. Consideriamo ora il prodotto cartesiano R, ossia l insieme delle coppie ordinate di numeri reali. Tale insieme può essere messo in bigezione con i punti del piano. Sul piano si ssano due rette perpendicolari, dette assi cartesiani, ciascuna delle quali identi cata con l insieme R. Ad ogni coppia di numeri reali (x y) RR si associa un punto del piano... Viceversa ad ogni punto P del piano si associa una coppia di numeri reali (x P y P ) detti rispettivamente ascissa ed ordinata del punto P ascissa ed ordinata di P si dicono anche coordinate del punto P. Per piano cartesiano si intende il piano munito di un sistema di assi cartesiani, in modo che a ciascun punto si associ la coppia delle coordinate Introduzione alla geometria analitica