Successioni ricorsive lineari

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1 Presentazione del problema In un piccolo comune, 1000 abitanti, il tasso di mortalità annuo è del 20%; fortunatamente ogni anno nascono 100 bambini. Qual è nel tempo l'evoluzione della popolazione? Si estingue, aumenta a dismisura, si stabilizza? Svolgiamo innanzitutto una esplorazione empirica del problema. Apriamo un foglio elettronico e impostiamo la successione: nella colonna A scriviamo i tempi, cioè i numeri naturali da 0 a, per esempio, 25. Nella cella B1 scriviamo il valore iniziale della successione, 1000; in B2 scriviamo la legge ricorsiva: =B1 0.2*B1+100 oppure, più semplicemente =0.8*B Nella stessa pagina apriamo un foglio Grafici e Geometria e tracciamo il grafico a dispersione dei punti. Come si può vedere sia dalla tabella sia dal grafico, la successione tende a stabilizzarsi al valore 500. Esplorazione del problema Questo valore di equilibrio dipende dalla condizione iniziale, cioè dal numero 1000 immesso nella cella B1? Provando con altre condizioni iniziali, per esempio 800, 100, 2000, si nota che la successione ha sempre lo stesso comportamento, tende a 500. In particolare, se si parte da 500, la successione resta costante. Si dice che il valore di equilibrio è stabile: da qualunque punto si parta, si è "attratti" dal valore Texas Instruments Incorporated 1

2 Quindi il valore di equilibrio E=500 è una funzione esclusivamente degli altri due parametri: la diminuzione relativa (a=0.8) e l'aumento assoluto b=100: ƒ(a, b) = E ƒ(0.8, 100) = 500. Il problema che si può dare agli studenti è quindi il seguente: qual è la funzione ƒ? In che modo, cioè, E dipende da a e b? Generalizzazione Il problema può essere esplorato per diversi valori di a e b: in A1 e B1 si scrivono i valori dei parametri e, con il menù VAR, si memorizzano tali valori nelle variabili a e b. Poi in D2 si scrive la formula =a*d1+b Modificando i valori di a e b si aggiorna la tabella e il grafico. Nella figura seguente è rappresentato il caso a=0.5 e b=100: la successione tende a Texas Instruments Incorporated 2

3 Poi si può osservare che la successione resta costante se si parte dal valore di equilibrio, il che corrisponde ad imporre che, partendo da x, la trasformazione 0.8x+100 restituisca ancora x. L'equazione da risolvere per trovare il valore di equilibrio è dunque x = 0.8x+100 la cui soluzione è proprio x=500. Leggendola in questo modo: 0.2x = 100 si osserva che l'equilibrio corrisponde al valore per il quale la diminuzione percentuale è uguale all'aumento assoluto. In generale l'equazione da risolvere è x = ax+b e la soluzione è il valore di equilibrio E = b/(1 a). Si può ora chiedere agli studenti di risolvere il problema simmetrico: che cosa accade ad una popolazione che ogni anno aumenta del 20% e diminuisce di 100? È ancora vero che, indipendentemente dal valore iniziale, converge a 500? Si scoprirà rapidamente che è falso, che il problema simmetrico non ha la stessa soluzione: se il sistema subisce una diminuzione percentuale e un aumento assoluto allora converge all'equilibrio; se subisce un aumento percentuale e una diminuzione assoluta allora diverge sempre, tranne nel caso in cui la condizione iniziale non sia esattamente quella di equilibrio, cioè E. Come dire: se si parte da E si resta comunque in E. Ma se si parte da un valore x 0 anche di pochissimo diverso da E, il sistema diverge: a + se x 0 > E, a se x 0 < E. Si dice in questo caso che l'equilibrio è instabile. Il passo successivo consiste nel formalizzare la successione, dandone la legge ricorsiva: x t+1 = ax t +b Da quanto abbiamo sin qui esplorato, possiamo concludere che per queste successioni: se 0 < a < 1 allora l'equilibrio è stabile; se a > 1 allora l'equilibrio non è stabile 2007 Texas Instruments Incorporated 3

4 L'analisi simbolica Un ulteriore passo potrebbe consistere nel cercare la legge generale che associa direttamente x t a t. Conviene aprire una nuova attività (in modo da azzerare le variabili) e in un foglio di calcolo partire da un valore simbolico x 0 (la condizione iniziale) e ripetutamente calcolare Ans*a+b in modo da ottenere, in forma simbolica, i successivi valori x 1, x 2, ; nella figura seguente sono calcolati i valori della successione fino a x 6. La stessa cosa si potrebbe fare con il foglio elettronico, ma è più disagevole leggere i polinomi; vedi la figura seguente. In ogni caso la struttura della successione è abbastanza evidente: x t = a t x 0 +b(a t 1 +a t 2 + +a+1) = a t x 0 +b(1 a t )/(1 a) = a t x 0 +b/(1 a) ba t /(1 a) = b/(1 a)+(x 0 b/(1 a))a t e ricordandoci che b/(1 a) = E, possiamo finalmente scrivere la legge generale: x t = E+(x 0 E)a t. L'interpretazione di questa legge è coerente con tutto quello che abbiano sin qui scoperto: se x 0 = E, il sistema rimane costantemente in E se 0 < a < 1 allora a t tende a 0 e x t tende a E qualunque sia x 0 se a > 1 allora a t tende a + e x t tende a + se x 0 > E, a se x 0 < E, qualunque sia x 0 E. Verifichiamo infine la correttezza della legge trovata: per l'esempio iniziale il modello funzionale dovrebbe essere y = t. Definiamo tale funzione in f2(x) e osserviamo che si adatta perfettamente ai punti Texas Instruments Incorporated 4

5 Appendice Si sarà osservato che per ricavare la legge generale abbiamo fatto ricorso alla relazione a t 1 +a t 2 + +a+1 = 1 t -a 1-a. Possiamo sfruttare, per conseguire tale relazione, il fatto che il foglio elettronico di TI-Nspire supporta il calcolo simbolico. Nella colonna A inseriamo i valori di t = 0, 1,, e in B1 la formula rappresentata nella figura seguente. Si ottiene la successione 1, 1+a, 1+a+a 2, 1+a+a 2 +a 3, Ora in C1 scriviamo la formula =1-a e copiamo verso il basso; molto utile è il comando "Riempi in giù" dal menù Dati, con il quale cliccando sulla cella C11 la formula viene copiata da C1 a C11. In D1 scriviamo la formula =expand(b1*c1) e copiamo verso il basso. Otteniamo una conferma molto convincente della relazione che abbiamo utilizzato Texas Instruments Incorporated 5