Matematica, stupore e poesia 1

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1 702. D Amore B. (2009). Matematica, stpore e poesia. In: D Amore B., Sbaragli S. (es.) (2009). Pratiche matematiche e iattiche in ala. Atti el Convegno Nazionale Incontri con la matematica n. 2. Castel San Pietro Terme, novembre Bologna: Pitagora. Pag ISBN: Matematica, stpore e poesia 1 Brno D Amore NRD - Dipartimento i Matematica - Università i Bologna MESCUD - Università Distrital i Bogotà Abstract. There are nqestionable bons between theories that attempt to give explanations both to literatre an mathematics; this proves that aesthetic experiences cannot be banishe only to the former bt are integral part also of the latter. Nel 1942 venne pbblicato Theory of Literatre i René Wellek e Astin Warren (Welleck, Warren, 1942). Si tratta el primo vero manale critico moerno ella letteratra, ci oggi ttti gli stiosi fanno riferimento; la critica letteraria ha fatto passi a gigante, nella secona metà el XX secolo, ma qello resta n pnto i partenza per ttti, na vera e propria pietra miliare. Il primo capitolo, preliminare, si intitola Essenza ella letteratra; in esso, gli Atori si chieono: Che cosa è la letteratra? E che cosa non è? Qal è la sa essenza? Come efinire lo specifico letterario? Molte sono le ipotesi i risposta, alcne elle qali, spero, sorprenenti: «Letteratra è ogni cosa ata alle stampe»; ma qesta risposta voltamente n po banale genera problemi a non finire, facilmente immaginabili; «Ttti i grani libri ella storia mana»; ma esiste n canone ci fare riferimento?; e poi i grani libri potrebbero essere i genere non letterario, come gli Elementi i Eclie o l Enciclopeia i Boezio o la Critica ella Ragion Pra; e poi, siamo così certi i voler esclere i libri minori?; e come efinirli?; il termine letteratra viene allora proposto limitatamente alle sole forme artistiche ella scrittra, cioè alla letteratra i fantasia. 1 Qesto testo è l aattamento i n breve brano tratto al libro: D Amore B. (2009). Matematica, stpore e poesia. Con interventi i: Claio Bartocci, Umberto Bottazzini, Ubiratan D Ambrosio, Michele Emmer, Sanro Graffi, Giorgio Israel, Gabriele Lolli, Piergiorgio Oifrei e Lis Rafor. Firenze: Ginti. Si ringrazia l Eitore per la gentile concessione.

2 Dopo varie altre proposte, ttte iscsse criticamente ai e stessi Atori, si ginge alla segente affermazione, che sembra essere più na rinncia che na conqista: «Un fatto almeno ovrebbe risltar chiaro, e cioè che n opera arte letteraria non è n semplice oggetto, ma pittosto na assai complessa e stratificata organizzazione, con molteplici rapporti e significati». Qano n bambino legge per la prima volta la storia i Pinocchio, sa che qel che ha in mano non è n semplice oggetto, ma pittosto na assai complessa e stratificata organizzazione, con molteplici rapporti e significati? Se così è per la efinizione i letteratra, non miglior sorte spetta a qella i matematica. Risparmiamoci le facezie ei vocabolari elle linge, e pntiamo s personaggi che non estano sospetto alcno. Ecco come il grane logico, storico, filosofo, premio Nobel ella Letteratra (appnto!) Bertran Rssell ( ) efinisce la matematica: Matematica è qella scienza in ci non si sa ciò i ci si parla né si sa se qel che si ice è vero o falso. Certo, appare chiaro che NON si tratta i na vera e propria efinizione, eppre Eppre molto i vero in qesta affermazione c è, tanto che ovremo riprenerla poi, più avanti, ben e volte, qano si saranno chiariti alcni concetti preliminari. Per ora, accettiamo semplicemente il fatto che, così come la letteratra ha ifficoltà a lasciarsi efinire, la matematica non è a meno. Chi pensa che la matematica si ientifichi con calcoli, conti, misre, semplicemente basanosi sll esperienza scolastica giovanile, potrebbe restare sorpreso a qel che leggerà in segito. Ora, tra i letterati e i poeti, qalcno mostra poca simpatia per la matematica, come Gstave Flabert ( ) il qale, nel Dizionario ei loghi comni (Flabert, 1980), a p. 80, seccamente asserisce: «Matematiche. Inariiscono il core». Così, Giacomo Leopari ( ), nello Zibalone ( ), composto al 1817 al 182: «Perciò la matematica, la qale misra qano il piacer nostro non vol misra, efinisce e circoscrive qano il piacer nostro non vol confini ( ), analizza qano il piacer nostro non vole analisi né cognizione esatta ella cosa piacevole ( ), la matematica, ico, ev essere necessariamente l opposto el piacere». Da ove, personaggi i così straorinaria granezza ricavino simili convinzioni, resta per me n mistero; vorrei almeno che avesse albergato in loro n bbio; mai, io, matematico, irei che la poesia intristisce il core, solo per aver letto E come potevamo noi cantare, o Sei nella terra frea sei nella terra negra, o Né più mai riverò le sacre spone; qanto meno avrei il bbio che la poesia nascona ell altro e non solo strazianti gria i olore Se Gstave e Giacomo hanno sofferto l apprenimento ella matematica senza gingere a posseerne il senso creativo, bello, significativo, almeno che

3 abbiano il bbio ell ignorante critico: na sola cosa so (i matematica), i nlla sapere, prima i criticare qel che non si conosce. Fortnatamente non così è per ttti. A parte le facili citazioni i letterati e poeti che loano la matematica e anno in essa imostrazione i competenza, mi piace ricorare la parole el grane poeta Isiore Lcien Dcasse ( ) Conte i Latréamont, pseonimo con il qale scriveva i soi versi, nei soi Canti i Maloror: «Aritmetica! Algebra! Geometria! Graniosa trinità! Lminoso triangolo! Coli che non vi ha conoscite è n insensato! Meriterebbe la prova ei massimi spplizi; ( ) ma coli che vi conosce e vi apprezza non vole più nlla ei beni ella terra; si accontenta ei vostri magici piaceri ( )» (Latréamont, 1968, p. 10). 2 Vi sono poi i giizi estetici si prootti el genio mano; mentre è così natrale sarli nel campo ella msica, ella pittra, ella anza, el teatro, el cinema, cosa slla qale peraltro sarebbe necessario proceere con catele assoltamente maggiori, iventa problematico per molti qano l oggetto i iscorso è la matematica. Eppre, per n matematico, il giizio i tipo estetico è el ttto natrale; se e colleghi i ipartimento si incontrano nel bar a piano terra o in ascensore o in biblioteca, non è infreqente sentire l no ire all altro, mostrano n foglio pieno i formle manoscritte leggibili e ecifrabili solo a pochi intimi: «Gara che bel teorema ho imostrato», oppre: «Gara che imostrazione elegante». Bello, elegante, non tile o ifficile o altro. L eleganza è parte integrante, fonamentale, ella matematica. Come ho già ricorato, c è chi ha proposto premi i eleganza agli ennciati matematici più belli prootti nei secoli; no i qesti è senza bbio il teorema i Pitagora, più o meno noto al grane pbblico come sege: In n triangolo rettangolo, l area el qarato costrito slla ipotensa è gale alla somma elle aree ei e qarati costriti si cateti. Semplice, corretto, enso, armonioso, laconico, eppre contenente ttte le informazioni necessarie. Così scrive la poetessa Wisława Szymborska: «Non ho ifficoltà a immaginare n antologia ei più bei frammenti ella poesia moniale in ci trovasse posto anche il teorema i Pitagora. Li c è ( ) na grazia che non a ttti i poeti è stata concessa» (Szymborska, 2006). E che cosa irebbe il Lettore se, al posto ella parola qarato sostitissimo la parola triangolo eqilatero? Ne verrebbe: In n triangolo rettangolo, il triangolo eqilatero costrito slla ipotensa è eqiesteso alla somma ei triangoli eqilateri costriti si cateti. 2 Citato anche in Bartocci (2006, p. VII), che raccomano come lettra a ttti, amici o nemici ella matematica. Citato anche in Bartocci (2006, p. XXVIII).

4 Non è più il teorema i Pitagora stiato a scola; ma vale lo stesso? Cioè: è ancora n teorema? Cioè: se ne pò trovare na imostrazione? La risposta è positiva; non solo, ma si pò sostitire alla parola qarato, anche pentagono regolare, esagono regolare,... Per ci il teorema si pò estenere a qalsiasi genere i poligono regolare. E ancora, si pò sare il cerchio o, per far venire più elegante la figra, il semicerchio: In n triangolo rettangolo, il semicerchio che ha come iametro l ipotensa è eqiesteso alla somma ei semicerchi che hanno come iametri i cateti. Io propeno per are la palma ella eleganza al segente teorema, assai più recente, il cosietto teorema fonamentale ell algebra, imostrato in generale a Carl Frierich Gass ( ) nel 1799: Una eqazione algebrica i grao n ha n raici in C. L armonia i qesta affermazione, qella n che si ripete e che chie mezzo millennio i storia ell algebra, ha n potenziale i sottile e raffinata eleganza che ti a na ebbrezza simile alla prima volta che vei Gernica, immensa, vera, stpenamente potente, i fronte a te, al Reina Sofia i Mari; ti senti gelare il sange nelle vene, senti che lì, i fronte a te, c è ttta la genialità ell Atore. Chi ha creato Gernica è genio niversale, ha sapto cogliere l assrità e l ingista violenza gratita ella gerra, ano qini all essere mano n occasione nica i riflessione e i conforto; così, chi ha creato qesta frase matematica ha còlto l essenza ella mistica bellezza frea e astera ella matematica: se l eqazione ha grao n, le raici non sono, o 27, o la metà i n o n-1, sono proprio n, a costo i overne contare na più volte. Certo, ci sono altre proposte, ma il sogno i chi qi scrive è che ora, spinto a qesti e esempi, il Lettore (finalmente!) sia inotto a rivangare nella sa mente Impossibile che sia sempre rimasto esteticamente insensibile a ttto qel che i matematica ha visto nel corso ei soi sti. Per esempio, in matematica ci sono sccessioni bellissime, operazioni straorinariamente attraenti, algoritmi stpefacenti, formle stpene. Aniamo con orine, con vari esempi. Sccessioni bellissime Nei primi anni el XIII secolo, Leonaro figlio i Bonaccio il Pisano, etto Bighello (1180 circa 1250 circa), scrive n capolavoro ell aritmetica meioevale, Liber Abaci, e ne fa realizzare varie copie a mano a istribire tra i colti e i potenti ell epoca. A parte le operazioni ivi contente, l so elle cifre iniano-arabe, la presenza i zero, non proprio ancora come cifra, però almeno come segno, l so i n sistema posizionale a base ieci per contrastare la nmerazione romana oramai in fase rapia i eclino, lega il so nome a na sccessione, la sccessione i Fibonacci. Un allevatore i conigli ha na coppia i conigli, maschio e femmina; il mese opo sono ancora troppo piccoli per accoppiarsi e procreare, nqe al

5 secono mese qell allevatore ha ancora na sola coppia i conigli; ma nel mese sccessivo, il terzo, i e procreano na coppia i conigli, ancora maschio e femmina, e nqe al terzo mese egli possiee e coppie i conigli; nel mese sccessivo, la vecchia coppia proce ancora na coppia i conigli maschio e femmina e così via, mese opo mese, mentre la nova coppia è troppo giovane per procreare, lo farà solo opo e mesi, ma poi sempre, i mese in mese, e sempre maschio e femmina. Ebbene: opo n anno, qante coppie i conigli vi saranno nell allevamento? Sì, sì, lo sento già il Lettore protestare: Ma chi lo ice che nascono sempre maschio e femmina, ma i conigli moiono, ma Lo invito a entrare nel magico mono ella matematica, n mono nel qale si fanno ipotesi e s qelle si lavora, lasciano poi il compito i verificare la realtà i qel che si è ottento a altri. La omana non è na omana reale, è na omana matematica: in qeste ipotesi, qante coppie vi saranno opo n anno? E così si scopre che, per esempio, a gennaio c è na sola coppia, così come a febbraio; mentre a marzo le coppie sono già 2; a aprile oltre a qeste 2, ce ne sarà na terza, qella generata alla prima coppia; se si contina a ragionare così, si trova la famosa sccessione: Qel che si è scoperto solo assai opo, è che l ipotesi i Fibonacci, che si applica solo teoricamente alle coppie i conigli, vale però per ttte o qasi le manifestazioni ella natra, nella crescita ei semi i girasole, elle foglie i n ramo albero, ei piccoli germogli i n cavolfiore e così via; tanto che qesta sccessione, così bella e elegante, ha ispirato artisti famosi e na sccessione i Fibonacci appare oggi nel Beaborg i Parigi, na opera i Mario Merz ( ), lo stesso che ha realizzato altre opere basate s qesta sccessione slla Mole Antonelliana i Torino, o lngo le scale el Gggenheim Msem i New York. Non creo, però qalche Lettore potrebbe non approvare il mio riferimento a tale sccessione con gli aggettivi bella e elegante ; forse solo perché non ne ha colto l intima strttra, cioè la regola costittiva O forse ttti i Lettori l hanno còlta al volo Ebbene, prima i rivelarlo Anche qesto fatto è na elle magìe estetiche ella matematica, qano si scopre che ietro na efinizione, accanto a na ichiarazione, vicino a na esibizione, si nascone na regola semplice e completa. In qesto caso è la segente: a parte i primi e valori iniziali (1 e 1), ttti gli altri sono ottenti come somma ei e preceenti. Una formlazione semplice, elegante e veritiera. Tale regola non vale solo per i primi 20 passi, vale per sempre, e qesta pre è na caratteristica ella matematica, la sa niversalità. Operazioni straorinariamente attraenti Certo, certo, a scola no stia l aizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la ivisione, l elevamento a potenza, la estrazione i raice qarata, il logaritmo, al più la erivata e l integrale Ma se no riflette bene, i operazioni se ne possono inventare qante se ne vogliono. Anche senza

6 scomoare classi nmeriche complicate e solo limitanoci ai nmeri natrali, i operazioni ce ne sono infinite (no, non è n moo i ire, è la verità; ma come fare a farlo capire al Lettore?; solo per infastiirlo n po e obbligarlo a fantasticare, ovrei ire che, siccome nell insieme N ei nmeri natrali ci sono infiniti nmeri, allora le operazioni efinibili in N sono più che infinite; ma temo che i competenti riano a crepapelle per il moo barbaro in ci ico la cosa, mentre chi non sa qeste cose, irà che sono matto; preferisco allora chiere qa). Mi sto limitano alle operazioni binarie sali, per non complicare la vita a nessno. Chinqe i noi pò ieare, creare, na infinità i operazioni iverse, anche lontane a qelle sali che si stiano a scola. Per esempio: a op b = ab (i nmerali a e b vengono semplicemente scritti l no i segito all altro); esempio nmerico: op 17 = 17; invece i op si potrebbe inventare n simbolo qalsiasi, per esempio: ; si avrebbe allora la scrittra: 17=17; è na operazione che trasforma e nmeri natrali in n altro nmero natrale scritto con ttte le cifre nell orine in ci appaiono; ancora n esempio, per capire meglio: 12704= La possiamo chiamare come ci pare, per esempio: operazione appiccicanmeri. Il Lettore raffinato e crioso pò verificare qali elle sali proprietà aritmetiche valgono o non valgono per qesta interessante operazione appiccicanmeri; veiamo solo e esempi: la proprietà commtativa non vale: infatti, per esempio: 57=57, mentre 75=75; e 5775; la proprietà associativa vale; infatti, per esempio: 4(219)=4(219)=4219; così: (42)19=4219=4219. Ora possiamo sbizzarrirci e inventare ttte le operazioni che vogliamo: a lt b = b; esempio: 1 op 167 = 167; a sec b = aaaaa (a ripetto, scritto b volte); esempio: sec 7 = ; a iperelevato alla b (che si scrive b a) cioè a elevato a sé stesso scriveno a per b volte;

7 ; se esempio: 7 vale alla alla ove appare scritto 7 volte: no pensa che fa 27, immagini che razza i valore rappresenta 7, n nmero immenso. E così via; ciascno i noi pò creare la operazione che vole, stiarne le proprietà, con fantasia e immaginazione, arle il proprio nome, inventarsi n simbolo Chi l ha etto che le operazioni sono solo qelle ella scola? Algoritmi stpefacenti Noi ttti abbiamo imparato a esegire alcni algoritmi elementari, sopratttto i tipo aritmetico; chi i noi non sa esegire aizioni, sottrazioni o moltiplicazioni in colonna? Forse qalcno ha imenticato come esegire le ivisioni, visto che qesto algoritmo è n po più complicato egli altri e nqe richiee vari passaggi (fortnatamente per ttti, esiste la macchina calcolatrice, perfino nel celllare ). Ma molti finiscono con il creere che ogni algoritmo appreso a scola sia nico, niversale, eterno; ma non è così. Per esempio, è ben noto il metoo meioevale, etto scacchiera o flminea, iffso in Eropa già ai tempi i Dante Alighieri ( ); esso venne vietato a favore el bon vecchio metoo romano, qello basato slla nmerazione romana che, non esseno posizionale, non poteva permettere l eseczione i algoritmi per come li inteniamo noi, ma oveva far necessariamente ricorso a macchine apposite, gli abachi o abaci nei qali si savano sassolini, etti calcli. L espressione fare i calcoli che non avrebbe etimologicamente senso se non si sapesse ttto ciò, resta ancora oggi nella nostra linga. F na ra e strena lotta qella che contrappose ancora per qalche secolo gli abacisti, palaini el metoo egli antichi romani, con sassolini, e gli algoritmisti, portatori el novo sistema posizionale, con lo zero e i calcoli fatti a mano con carta e calamaio. Ovviamente, a storie matematiche iverse i civiltà iverse spettano etimologie iverse. Pò essere interessante sapere che l analogo el fare i calcoli che si riferisce ai sassolini romani si ice in manarino cinese mettere a posto i bastoncini. Perché? Pò essere illminante veere l operazione 2 12, con il metoo antico cinese ei bastoncini, così come lo vie sare Marco Polo ( ) nei soi viaggi in Katai, percorreno la via ella seta, alla corte i Kbilai Kan, tra il 1271 e il 1289.

8 2 6 = nità = ecine =276 Il nmero 2 viene rappresentato con cinqe bastoncini ttti paralleli: e bastoncini ravvicinati e paralleli (le ecine) e poi con tre bastoncini ravvicinati e paralleli (le nità); il nmero 12 viene rappresentato con tre bastoncini ttti paralleli, ivisi in no (ecine) e e (nità), ma messi in posizione tale a intersecare qelli preceenti. Ora si contano ttti gli incroci; prima qelli i estra, che sono 6 e sono le nità ( nità per 2 nità fa 6 nità); poi qelli centrali, che sono 7 e sono le ecine (2 ecina per 2 nità più nità per na ecina); infine qelli i sinistra che sono 2 e sono le centinaia (2 ecine per na ecina). Inbbiamente, lo stio storico e comparativo egli algoritmi i calcolo elle varie epoche e ei vari Paesi è sorprenente. Bibliografia Bartocci C. (2006). Racconti matematici. Torino: Einai. Flabert G. (1980). Dizionario ei loghi comni. Milano: Aelphi. Latréamon (1968). Opere complete. Milano: Feltrinelli. Szymborska W. (2006). Lettre facoltative. Milano: Aelphi. Wellek R., Warren A. (1942). Theory of Literatre. Harmonsworth: Pengin Books. [Tra. it. 1956: Bologna: Il Mlino].

9 Parole chiave: matematica e estetica; matematica e letteratra; matematica e poesia