Inquadramento generale

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1 UNITÀ E Inquadramento generale TEORIA INTRODUZIONE Impostazione generale del rilievo topografio Preisione delle reti di inquadramento LE TRIANGOLAZIONI 3 Prinipi generali 4 La triangolazione geodetia dell IGM LE INTERSEZIONI 5 Classifiazione delle intersezioni 6 Intersezioni dirette 7 Il problema di Snellius-Pothenot (intersezione inversa 8 Problema di Hansen (doppia intersezione inversa 9 La stazione libera (intersezione inversa on distanze 0 Livellazione fondamentale dell IGM RIASSUMENDO LABORATORIO INFORMATICO AutoCAD Sviluppo del problema di Snellius-Pothenot AUTOVALUTAZIONE Il rilievo topografio di una erta zona di territorio prevede anzitutto la selta di una rete di inquadramento he fa da struttura portante al rilievo. A questa si aompagna una rete ostituita da punti di raffittimento, integrata a sua volta da numerosi punti di dettaglio, orrispondenti ai partiolari topografii.

2 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE Introduzione. Impostazione generale del rilievo topografio Nel primo volume del orso è stato definito il rilievo topografio ome: il omplesso delle operazioni di misura e dei proedimenti he oorre effettuare al fine di produrre la rappresentazione grafia e numeria del territorio. La redazione dei disegni e lo sviluppo dei aloli neessari viene indiata on il nome di restituzione del rilievo. P Cosa signifia proedere dal generale al partiolare? Signifia definire una serie di punti he, opportunamente ollegati, opriranno l intera zona da rilevare e he ostituisono l inquadramento del rilievo. Da essi, suessivamente, si partirà per rilevare via via i partiolari topografii del territorio. È bene hiarire subito he, nell impostazione del rilievo topografio, si deve proedere sempre «dal generale al partiolare». Questo slogan, nella sua essenzialità, stabilise un onetto semplie ma basilare, he non deve mai essere eluso nelle operazioni topografihe di rilievo. Analogamente a quanto avviene nella ostruzione di un edifiio, nel quale prima vengono eseguite tutte le strutture portanti ome pilastri, travi, muri (il generale, e solo suessivamente le opere di finitura dei singoli ambienti ome pavimenti, intonai, tinteggiature (il partiolare, anhe nel rilievo topografio è neessario, in primo luogo, realizzare l inquadramento geometrio generale di tutta l area interessata al rilievo, e solo in seguito onsiderare i partiolari topografii del territorio da rappresentare in mappa. Possiamo affermare he il lavoro di inquadramento onsiste: nella opertura dell intera zona di terreno da rilevare, on una serie di punti, in numero limitato, opportunamente selti e tra loro ollegati, dei quali oorrerà determinare on ura le posizioni. Essi, nel loro insieme, ostituisono la rete di base, l ossatura di sostegno e di appoggio per tutte quelle operazioni «minori» on le quali si definiranno le partiolarità del terreno (dettagli topografii he verranno poi riportati sulla mappa. Il numero dei punti he andranno a ostituire la rete di inquadramento dipende da svariati elementi, tra ui la sala del disegno. In effetti un rilievo he debba essere rappresentato in grande sala (per esempio :000 rihiederà un numero di punti di inquadramento per unità di area (densità dei punti senz altro maggiore di quelli he rihiederebbe un analogo rilievo he dovesse essere rappresentato on una più piola sala (per esempio : L organizzazione dei lavori di rilievo di grandi estensioni di terreno è strutturata in fasi suessive he seguono una preisa «gerarhia» da un punto di vista logio, funzionale e ronologio: fase : rete di inquadramento (o di appoggio; fase : raffittimento dei punti della rete di inquadramento (solo per grandi estensioni; fase 3: rilievo dei partiolari topografii (o rilievo di dettaglio. Proedendo dalla prima alla terza fase aumenta onsiderevolmente il numero dei punti da rilevare (PFIGURA, mentre diminuise la preisione rihiesta nella definizione della posizione degli stessi punti. In effetti, nella realizzazione e nel raffittimento delle reti di inquadramento (fasi e vengono oinvolti relativamente pohi punti, he tuttavia sono distribuiti su tutto il territorio da rilevare. Ciò signifia he gli errori di misura influisono P Il lavoro di inquadramento interessa l intera area da rilevare? Sì, questo lavoro oinvolge un limitato numero di punti, tuttavia essi devono essere selti on ura e devono essere distribuiti sull intero territorio da rilevare.

3 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE FIGURA Shema di opertura di una zona di territorio, di signifiativa ampiezza, on il lassio metodo topografio. Si può osservare il numero resente di punti nel passaggio dalla rete di inquadramento (triangoli neri, al raffittimento (punti blu e infine al dettaglio (punti rossi, i ui punti andranno poi a formare la mappa dell area rilevata. Punti di inquadramento Punti di raffittimento Punti di dettaglio (partiolari topografii P Quali punti del rilievo vengono riportati sulla mappa? Solo i punti di dettaglio. Quelli ostituenti la rete di inquadramento, in generale, non hanno interesse per la rappresentazione del territorio. in qualhe modo su tutta la rete tendendo ad aumularsi, quindi è neessario effettuare le misure on grande ura e preisione. La fase onlusiva (rilievo di dettaglio, invee, viene estesa a un numero largamente superiore di punti, però l influenza degli errori di misura in tale ontesto, è loalizzato, dunque meno temibile. Pertanto le misure, in questa fase, possono essere eseguite on minor preisione, utilizzando strumenti e metodi meno impegnativi. In relazione alle modalità on le quali vengono tra loro ollegati i punti di inquadramento, si può formulare la seguente lassifiazione dei metodi impiegati nella realizzazione delle reti di inquadramento e dell eventuale raffittimento: triangolazioni; intersezioni; poligonazioni; sistema satellitare GPS. Tuttavia, è bene preisare subito he questa lassifiazione non deve essere intesa in modo rigido, ma flessibile. In effetti si possono realizzare metodi misti nei quali possono onvivere i prinìpi di aluni dei metodi elenati. Inoltre, nella realtà, questi metodi raramente sono alternativi, ma al ontrario sono spesso omplementari, tanto he per il rilievo delle grandi estensioni di territorio possono essere utilizzati tutti, sfruttando di iasuno le relative partiolarità. In effetti l estensione della zona da rilevare ostituise il riterio prinipale nella definizione dei metodi da utilizzare nella reazione della rete di inquadramento. Quando l estensione da rilevare è molto grande, i fondamenti della topografia lassia presrivono uno shema he impiega le triangolazioni per ostituire una prima maglia di punti, limitati ome numero, ma rilevati on grande preisione. Il raffittimento dei punti di appoggio (fase, fino alla densità desiderata e neessaria al suessivo rilievo dei partiolari (fase 3, viene poi raggiunto on l impiego delle poligonali he si sviluppano tra i punti definiti nella prima fase (PFIGURA. 3

4 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE Quando invee l estensione della zona da rilevare è modesta (situazione peraltro più familiare al tenio geometra, allora l impiego delle impegnative triangolazioni può essere omessa e la rete di appoggio può essere reata ol solo impiego delle più flessibili poligonali. Diiamo anhe he le reti di inquadramento sono essenzialmente delle operazioni planimetrihe, in quanto on esse viene definita la posizione delle proiezioni dei punti sulla superfiie di riferimento, in genere a mezzo delle oordinate piane (X, Y. Le operazioni altimetrihe, he talvolta aompagnano la realizzazione della rete, non raggiungono mai le preisioni he aratterizzano le preedenti oordinate. P Il numero dei punti di dettaglio è elevato? Sì, ostituisono la parte preponderante dell insieme dei punti del rilievo. Per fortuna essi sono faili da rilevare e non rihiedono grande preisione.. Preisione delle reti di inquadramento Nel preedente paragrafo si è visto he il rilievo topografio onsiste nella determinazione della posizione di un adeguato numero di punti. Si è poi aertato he nella pianifiazione del rilievo i punti da onsiderare sono distinti in due ategorie. I punti di inquadramento e di raffittimento, he ostituisono la struttura portante del rilievo. Essi, in generale, sono una piola frazione del omplesso dei punti rilevati, la ui posizione deve essere determinata on grande preisione (deisamente migliore di quella rihiesta dalla rappresentazione grafia della mappa, in genere ondizionata dall estensione della zona da rilevare. I punti di dettaglio, he rappresentano le partiolarità del terreno e dei manufatti. Essi sono utilizzati nella formazione della mappa, e la relativa posizione viene stabilita «partendo» da uno o più punti della rete di inquadramento. I punti di dettaglio sono in numero nettamente superiore ai punti di inquadramento e di raffittimento, e, essendo tra l altro ondizionati direttamente dalla sala della mappa, rihiedono una minor preisione, dunque vengono rilevati on tenihe meno raffinate e più rapide. Peraltro, le posizioni dei punti (di inquadramento o di dettaglio, ioè le loro oordinate, vengono riavate direttamente o indirettamente dalle misure lineari (distanze e angolari eseguite durante le operazioni di rilievo in ampagna. Poihé tali misure sono affette da errori, questi poi si riperuotono e si trasmettono inevitabilmente sui valori delle oordinate dei punti he verranno alolate. I punti rilevati, periò, non sono «veri» punti, ma piuttosto possono essere onsiderati ome pioli intorni, ioè piole aree, le ui dimensioni saranno tanto più piole quanto più elevata risulterà la preisione on la quale sono state effettuate le misure. La dimensione di queste piole aree rappresenta, in definitiva, l errore probabile di ui sono affette le oordinate dei punti. In altri termini, la posizione esatta del punto, pur rimanendo indeterminata, si troverà omunque on tutta probabilità all interno di queste piole aree. Faendo un esempio, possiamo fare riferimento al punto P he viene determinato partendo dal punto S e misurando direttamente le oordinate polari: l azimut j e la distanza SP (PFIGURA. La determinazione risentirà ovviamente degli inevitabili errori di misura della distanza D = SP, he indihiamo on!n D, e dell azimut j, he indiheremo on!n j. Questi errori possono essere ridotti al minimo mediante opportune serie di misure ripetute; tuttavia potranno sempre persistere i residui degli errori aidentali oltre agli errori sistematii. A ogni misura effettuata, periò, orrisponde una posizione diversa dell estremo P della semiretta SP. Tali estremi, di onseguenza, non onorreranno esattamente in un sol punto, ma si distribuiranno in un erto «intorno», produendo un area simile a quella indiata in PFIGURA (ovviamente non in sala, hiamata figura d errore. P Che osa è la propagazione degli errori nelle reti di inquadramento? È la temibile onseguenza per la quale, sviluppando il alolo della rete, gli effetti degli errori ommessi nelle misure via via utilizzate nei aloli si sommano, aumulandosi ol proedere delle determinazioni. 4

5 D + µ D MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE FIGURA Figura d errore assoiata alla determinazione del punto P misurando le relative oordinate polari a partire dal punto S. S ϑ ϑ µ ϑ ϑ + µ ϑ figura d errore (area d inertezza µ D D µ D D P Dµ ϑ In generale la semidiagonale di questa figura viene assunta ome parametro per definire l errore di posizione del punto P. Il suo valore, pertanto, dovrà essere ontenuto entro i limiti prefissati (tolleranza. 5 P Che osa produono gli errori di misura nella determinazione della posizione dei punti? Un area di inertezza all interno della quale si troverà il punto rilevato. Maggiore è la preisione delle misure, minore saranno le dimensioni dell area di inertezza. Gerarhie degli errori di posizione È neessario a questo punto riflettere attentamente sull inidenza he gli errori di posizione dei punti hanno sulla fedeltà e sull affidabilità globale del rilievo. In effetti è molto importante omprendere he questa inidenza è molto diversa a seonda he questi errori si siano prodotti nell ambito della rete di inquadramento, nell ambito del raffittimento, oppure nella fase di rilievo dei partiolari topografii del terreno. Ci serviamo di un esempio per esporre il problema. Riferendoi alla PFIGURA 3a immaginiamo di rilevare per irradiamento (vol., modulo E i partiolari topografii ostituiti dai punti,, 3,..., 8, 9, vertii del ontorno di una partiella, partendo dai punti S ed R appartenenti alla rete di inquadramento. Supponiamo he venga ommesso un errore nella determinazione della posizione di un punto di dettaglio, per esempio il vertie 5; l effetto di questo errore sarà quello di onsiderare l errata posizione in 5l al posto di quella orretta in 5. Vediamo subito dallo shema (PFIGURA 3a he tale errore può anhe non ompromettere l affidabilità del rilievo nel suo omplesso, in quanto l ipotetio errore di posizione del punto 5 non si riperuote sugli altri punti, ma rimane loalizzato, e quindi non distore in modo grave la figura nel suo insieme. Esaminiamo invee gli effetti ben più onsistenti e temibili, dello stesso errore ommesso, non più su un partiolare di dettaglio, ma sulla posizione del punto d appoggio S, he ovviamente farà parte di una organia rete di inquadramento e dal quale si parte per definire la posizione dei punti di dettaglio,, 3, 4, 5. Supponiamo, allora, he per errore, anzihé in S, la posizione del punto di appoggio sia definita in Sl. La PFIGURA 3b mostra eloquentemente quello he suede. In effetti l errore ommesso nel posizionare S non è più loalizzato, ma viene automatiamente trasferito (propagato a tutti i punti (,, 3, 4, 5 determinati partendo da Sl. Questi, oltre a ontenere gli errori he derivano dalle misure realizzate da Sl, saranno anhe affetti dall errore prodotto dall errata posizione Sl di S, errore tanto più temibile se si osserva he ha aratteristihe di sistematiità e periò non eliminabile on la ripetizione delle misure. Esso ausa una deformazione e una distorsione intollerabile della figura. Questo esempio i aiuta a mettere a fuoo un riterio di grande importanza in topografia: la priorità e la gerarhia nella preisione on la quale vengono definiti i punti.

6 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE 3 R 9 8 FIGURA 3 Effetto di un errore assoiato alla posizione di un punto di dettaglio (punto 5 (a e alla posizione di un punto di inquadramento (punto S (b. S a S R S b In definitiva possiamo affermare he, mentre si possono tollerare relative inertezze nella determinazione dei dettagli topografii, questa inertezza non deve sussistere nella determinazione dei punti he ostituisono la rete di inquadramento. Allo stesso modo tra questi punti potranno verifiarsi diversi gradi di preisione in relazione dei livelli di appartenenza nell ambito della rete. Realizzazione e ontrollo della preisione Le preisioni rihieste nell eseuzione delle reti di inquadramento vengono ottenute riorrendo alle seguenti ondizioni, entrambe irrinuniabili: impiego di strumenti di misura di adeguata preisione; eseuzione di misure sovrabbondanti (ridondanza. Se la prima ondizione appare del tutto ovvia, la seonda non è meno importante da realizzare. In effetti qualsiasi rete di inquadramento dovrà prevedere un numero di misure superiori allo stretto neessario (iperdeterminazione, on le quali, oltre a ottenere migliori preisioni, si possono anhe eseguire gli irrinuniabili ontrolli alle misure effettuate. Alla sovrabbondanza delle misure, poi, orrisponde una sovrabbondanza dei risultati on i quali è possibile alolare l errore più probabile di ui sono affette le posizioni dei punti e, se viene rispettata la tolleranza assegnata, è possibile proedere alla ompensazione degli errori di osservazione, he possiamo definire ome: la tenia he onsente la ridistribuzione degli errori, on segno invertito e on appropriate regole, sulle grandezze he li hanno generati. Con la ompensazione si ottiene, non tanto un inremento della preisione delle singole misure interessate, quanto un miglioramento globale del rilievo interessato. P Per quale ragione esiste una gerarhia nella preisione on la quale vengono definiti i punti in un rilievo? Per i diversi effetti he gli errori produono sul rilievo in relazione al tipo di punti onsiderati. Per esempio, gli errori ommessi nei punti della rete di inquadramento sono molto più temibili di quelli ommessi nei punti di dettaglio, perhé si propagano e non rimangono loalizzati. 6

7 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE P Quale ondizione permette il ontrollo e la orrezione delle misure in un rilievo? L eseuzione di un numero di mi sure superiori allo stretto neessario. Chiariamo questi onetti basilari on un sempliissimo esempio. Si pensi a un triangolo ABC di ui sono stati misurati in ampagna gli angoli a e b e il lato AB. Questi elementi sono strettamente neessari per alolare tutti gli altri elementi inogniti del triangolo. In questo aso, però, nulla possiamo dire sulla bontà e sulla preisione raggiunta nella misura di a, b e AB. Ma se in ampagna, oltre agli angoli a e b, misuriamo anhe il terzo angolo, avremo iperdeterminato la risoluzione del triangolo ABC; innanzi tutto possiamo ontrollare la preisione delle misure angolari eseguite on la notissima relazione teoria: a + b = 0. Noi sappiamo, però, he gli angoli a, b e, misurati in ampagna, ontengono inevitabilmente errori di osservazione, per ui la relazione preedente non potrà essere perfettamente verifiata, e si dovrà srivere: a + b =! D In essa il termine!d rappresenta l errore omplessivo di ui sono affette le tre misure degli angoli a, b e. La onosenza di D fornise, in primo luogo, indiazioni sulla preisione raggiunta nella misura degli angoli; suessivamente permette di orreggere le stesse misure ridistribuendo l errore D, on opportuni riteri, tra gli angoli misurati (ompensazione angolare. Queste note preliminari fanno apire he, nelle operazioni topografihe onnesse alla reazione delle reti di inquadramento, non è solo neessario l uso di strumenti sofistiati, ma è anora più importante la ridondanza delle misure per raggiungere e ontrollare le preisioni rihieste. P Quale aspetto viene ondizionato dalla modalità di ollegamento dei punti di inquadramento? Condiziona il grado di iperdeterminazione del rilievo, quindi anhe la preisione ottenibile nella determinazione dei punti. Collegamento tra i punti di inquadramento L entità della sovrabbondanza delle misure è strettamente legata alla modalità on la quale i punti sono tra loro ollegati. In effetti vedremo he se l insieme di punti he ostituisono la rete di inquadramento sono ollegati tra loro a due a due fino a formare una maglia di triangoli he hanno un lato in omune, essi realizzeranno lo shema geometrio delle triangolazioni (PFIGURA 4a. Se, al ontrario, i punti sono ollegati tra loro formando una spezzata, o una serie di spezzate tra loro ollegate, avremo lo shema geometrio delle poligonali (PFIGURA 4b. Ovviamente diversi sono i gradi di ridondanza in relazione agli elementi misurati e allo shema geometrio adottato. Fin d ora possiamo affermare he le triangolazioni ostituisono uno shema geometrio di per sé molto rigido e ben definito, he onsente di avere un gran numero di misure sovrabbondanti, e periò numerosi ontrolli, e di onseguenza partiolarmente adatto nei rilievi di grandi estensioni di territorio. Le poligonali, invee, presentano uno shema geometrio assai meno rigido, on limitati elementi di ontrollo, anhe se di più faile realizzazione, e periò utilizzate nella fase di raffittimento nei rilievi di zone on modesta estensione. FIGURA 4 Shema geometrio delle triangolazioni (a e shema geometrio delle poligonali (b. a b 7

8 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE Le triangolazioni 3. Prinipi generali Quando dal ollegamento dei punti di inquadramento si ottiene una sequenza di triangoli, si realizza lo shema geometrio delle triangolazioni. Esse, nonostante siano assai impegnative da realizzare, hanno ostituito per seoli il punto di riferimento più siuro per le operazioni di inquadramento di estensioni medio-grandi, in quanto sviluppavano al massimo le misure angolari e al minimo le misure delle distanze, he in passato venivano determinate on misure dirette molto lunghe e laboriose. Solo di reente, on l introduzione della misura elettronia delle distanze e dell impiego dei satelliti artifiiali (GPS anhe nell ambito topografio, i si è sostati da tale shema lassio per realizzare le reti di inquadramento. Fu l astronomo Willebrord Snell (Snellius he, fra il 65 e il 6, eseguì la prima triangolazione allo sopo di determinare la lunghezza di un aro di meridiano tra Alkmaar in Olanda e Bergen, alla foe del fiume Shelda. Il prinipio alla base delle triangolazioni può essere sintetizzato nei seguenti termini. P Quale tipo di misura viene privilegiato nelle triangolazioni? Le misure angolari, he, fino a pohi deenni or sono, erano il tipo di misura di preisione meno ompliata da eseguire. Dopo aver selto on ura i punti della rete di inquadramento, questi vengono idealmente ollegati a due a due in modo da ottenere una serie di triangoli (prossimi a essere equilateri aventi via via un lato in omune. Viene poi misurato almeno un lato di questi triangoli (detto base della triangolazione e tutti gli angoli interni di iasun triangolo (PFIGURA 5. Conosendo poi le oordinate di un qualunque punto della triangolazione (nel nostro esempio X A, Y A del punto A, e la direzione (ioè l azimut di un lato usente dallo stesso punto (per esempio AB, è possibile determinare le oordinate di tutti i restanti punti, he vengono hiamati vertii della triangolazione, he ostituise l obiettivo finale dello sviluppo di una triangolazione. A (X A ;Y A (AB base B C G H F D E FIGURA 5 Shema geometrio di una triangolazione a rete ontinua. 8

9 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE TABELLA Criteri di lassifiazione Geometria Estensione Gerarhia Tipi di triangolazione A atena A rete Tenihe (topografihe Geodetihe I, II, III ordine Connotati generali Il passaggio da un triangolo all altro può avvenire in un solo modo (PFIGURA 6. Il passaggio da un triangolo all altro può avvenire seguendo diverse strade. Estensione medio-piola ontenuta nell ambito del ampo topografio e on lati aratterizzati da lunghezze di - km. Estensione grande on lati lunghi fino a deine di hilometri, rihiedendo la sfera loale ome superfiie di riferimento. Livelli di punti suessivi e gerarhii, iasuno ontenuto rigidamente in quello preedente, on un progressivo aumento del numero dei punti, ma on ontestuale riduzione della preisione rihiesta nella misura. In effetti, partendo da un triangolo he ontiene la base, e appliando suessivamente e progressivamente il teorema dei seni, verranno alolati tutti i lati della triangolazione. Quindi, una volta definiti gli azimut dei lati on elementari operazioni algebrihe sugli angoli di iasun vertie, si potrà passare failmente alle oordinate di tutti i vertii. 9 P Per quale ragione, nelle grandi estensioni di territorio, le triangolazioni vengono organizzate in livelli detti ordini? Per limitare la propagazione degli errori. In effetti, dopo il primo livello, gli errori di misura rimangono più loalizzati, quindi permettono misure meno impegnative. Classifiazione delle triangolazioni I riteri on i quali le triangolazioni possono venire lassifiate sono molteplii; essi sono sintetizzati nella PTABELLA. L ultimo riterio di lassifiazione è riferito in genere alle triangolazioni geodetihe e merita un maggior approfondimento per il onetto importantissimo he rahiude. In effetti, quando la triangolazione si sviluppa su grandi estensioni, il numero di vertii diventa elevato, e in questo aso non è orretto ollegarli on un unio livello di triangoli (PFIGURA 7a, in quanto la propagazione e l aumularsi degli errori nel passare dal triangolo di partenza (quello ontenente la base a quelli più lontani diverrebbe a un erto punto intollerabile. Il problema viene risolto disponendo i vertii su diversi livelli, hiamati ordini. La PFIGURA 7a illustra lo shema di opertura di una erta area on un unio livello di punti; la PFIGURA 7b, invee, più propriamente, opre la medesima area on lo stesso numero di punti, ma disposti su due livelli (I ordine e II ordine. Nella pratia si ominia ol fissare aluni vertii, relativamente pohi e quindi molto distanti tra loro, ma distribuiti sull intero territorio da rilevare. Questi vertii, ollegati tra loro, ostituisono la triangolazione (o rete di I ordine. Suessivamente viene operato un primo raffittimento individuando un seondo livello di punti, selti in prossimità del barientro dei triangoli di primo ordine; questi saranno ollegati tra di loro, ma anhe on i punti del I ordine. Si viene osì a realizzare una triangolazione, detta di II ordine, ontenuta e rigidamente ollegata a quella preedente (PFIGURA 7b. Proedendo in modo analogo si realizzano le triangolazioni, strettamente ollegate alle preedenti, di III ordine, di IV ordine, e osì via, fintanto he non si è raggiunta sul terreno la densità di punti programmata. È importante apire he la preisione on la quale devono essere determinati i vertii di I ordine dovrà essere maggiore di quella neessaria nella realizzazione della triangolazione di II ordine; allo stesso modo la preisione in questa triangolazione risulterà superiore a quella presritta per la triangolazione di III ordine e osì di seguito.

10 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE FIGURA 6 Shema di una triangolazione a atena. Nondimeno, fino a qualhe deennio fa, appena il rilievo interessava un estensione di qualhe hilometro quadrato, la triangolazione era l unio modo onepibile per realizzare una rete di inquadramento. Seondo tali onezioni, alle poligonali era demandato il ompito di ollegare i vertii della triangolazione di livello più basso, allo sopo di raffittire i punti di inquadramento fino alla densità neessaria al suessivo rilievo di dettaglio dei partiolari topografii. Nelle più moderne onezioni topografihe tale modo di proedere, anhe se non del tutto abbandonato, è tuttavia siuramente rionsiderato. Ciò per la ombase Il relativo diminuire della preisione nella determinazione della posizione dei vertii appartenenti agli ordini inferiori (II, III e. è dettato dal fatto he, mentre un qualsiasi errore nella determinazione dei punti della rete di I ordine si riperuote e si propaga su tutta la triangolazione, gli stessi errori ommessi sui vertii delle triangolazioni di ordine inferiore produono invee effetti più loalizzati, quindi assai meno temibili. Impiego delle triangolazioni Le triangolazioni ostituisono una struttura geometria estremamente rigida e ben definita, nella quale la propagazione degli errori, pur esistendo, è lenta e omunque di gran lunga inferiore a quella he si risontra, per esempio, nelle poligonazioni. Quindi vengono usate per oprire grandi estensioni. P In quale ontesto è orretto l impiego delle triangolazioni? Quando il rilievo riguarda estensioni di territorio medio-grandi. Esse, tuttavia, devono sempre essere ollegate ad altri metodi, ome intersezioni e poligonali, on i quali raffittire i punti di inquadramento fino a raggiungere la densità desiderata. Esse tuttavia sono sempre ompliate da realizzare, e spesso ostituisono una delle operazioni più diffioltose di tutta la topografia. Queste diffioltà sono legate sia alla laboriosità della misura diretta delle basi, sia all individuazione dei vertii he, rihiedendo una grande visibilità (spesso a 360, devono trovarsi in somode, e talvolta inaessibili, posizioni dominanti. FIGURA 7 Su un area di grande estensione, anzihé uno shema di triangolazione a un solo livello (a, è neessario realizzare due (o più reti rigidamente ollegate (b, una del I ordine (punti e una del II ordine (punti. a b 0

11 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE P Nelle moderne operazioni topografihe vengono anora utilizzate le triangolazioni? Attualmente le triangolazioni (molto diffioltose da eseguire tendono a essere sostituite on le tenihe di rilievo satellitare GPS. parsa sul merato ordinario degli strumenti per la misura elettronia delle grandi distanze (lo storio problema he assillava da sempre i topografi, esaminati nel modulo G e in grado di eseguire tali misure molto rapidamente e on preisioni nemmeno immaginabili fino a qualhe deennio fa, e anhe dei sistemi di posizionamento satellitare (GPS. Questi strumenti da un lato hanno permesso di realizzare nella pratia uno shema rimasto per seoli solo pura teoria per la diffioltà nel misurare le grandi distanze: le trilaterazioni, he prevedono appunto la misura diretta dei lati di iasun triangolo. Dall altro, hanno dilatato in modo signifiativo i limiti di impiego delle poligonali, riduendo in modo deisivo la propagazione degli errori su di esse. Geometria delle triangolazioni tenihe Presindendo dai problemi onnessi alla ompensazione, onsideriamo la semplie triangolazione tenia a atena, he immaginiamo di tipo topografio, shematizzata in PFIGURA 8, presindendo per il momento dagli errori di osservazione di ui sono affette, in qualhe modo, le misure realizzate in ampagna. Supponiamo poi he nelle operazioni di ampagna vengano misurati tutti gli angoli interni di iasun triangolo e la base della triangolazione, he oinide on il lato AF (b = AF. Generalmente le triangolazioni di tipo tenio hanno arattere loale, periò non sono orientate rispetto a sistemi assegnati, ma sono riferite a sistemi di riferimento arbitrari definiti dal tenio in modo da avere nota la posizione di un vertie (nel nostro esempio A, assumendolo ome origine del sistema di riferimento, e la direzione (l azimut di un lato usente da tale vertie (nel nostro aso il lato AF. Nell esempio di PFIGURA 8, l asse delle ordinate oinide on il lato AF (Y / AF, per ui automatiamente diventano noti gli azimut (AF = 0 e (AB = A. La risoluzione geometria di una triangolazione tenia si sviluppa, poi, seondo le seguenti fasi: partendo dal triangolo a ui appartiene la base nota b si applia il teorema dei seni per alolare la lunghezza dei lati inogniti dello stesso triangolo; suessivamente l operazione viene ripetuta via via progressivamente per tutti gli altri triangoli della triangolazione; alolo degli azimut dei lati, partendo da quelli noti, e utilizzando gli angoli interni dei triangoli misurati nelle operazioni di ampagna; alolo delle oordinate artesiane dei vertii avendo a disposizione più strade per raggiungere tutti i vertii della triangolazione. Y E E E3 E 4 D 4 D FIGURA 8 Piola triangolazione tenia ostituita da quattro triangoli e in ui è stata misurata la base b = AF. F base b F F (AB A A (BE 3 B B (BC 3 B B X 4 (CD C 4 C 3 C

12 Con riferimento alla stessa PFIGURA 8 proponiamo il seguente esempio sviluppato numeriamente, nel quale si presinde dai problemi onnessi agli errori di misura. UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE APPLICAZIONE Problema Con riferimento allo shema di PFIGURA 8, sviluppare i aloli geometrii della triangolazione ABCDEF le ui misure eseguite in ampagna sono riportate nel seguente registro. Triangolo Triangolo Triangolo 3 Triangolo 4 A = 85,78 B = 96,68 B 3 = 0,06 C 4 = 50,08 B = 55,83 E = 56,37 C 3 = 4,59 D 4 =,5 F = 58,39 F = 46,95 E 3 = 48,35 E 4 = 38,77 Base AF = b = 658,0 m. Calolo delle lunghezze dei lati del triangolo iniziale: sen 58, 39 AB = 658,0 = 679,68 m sen 85, 78 FB = 658, 0 = 834, 86 m sen 55, 83 sen 55, 83. Calolo delle lunghezze dei lati dei suessivi triangoli: sen 46, 95 BE = 834,86 = 75, m sen 96, 68 FE = 834,86 = 076,88 m sen 56, 37 sen 56, 37 sen 48, 35 BC = 75, = 8,43 m sen 0, 06 EC = 75, = 78,4 m sen 4, 59 sen 4, 59 CD = 78,4 sen 38, 77 = 684,4 m ED = 78,4 sen 50, 08 = 847,07 m sen, 5 sen, 5 3. Calolo degli azimut neessari: (AF = 0 (AB = 85,78 (BA = 85,78 (BE = [85, , ,68] = 38,9 (BC = 38,9 + 0,06 = 48,35 (CB = 348,35 (CD = [348,35 + 4, ,08] = 40,0 4. Calolo delle oordinate dei vertii: X A = 0 m Y A = 0 m X F = 0 m Y F = 658,0 m X B = ,68 sen 85,78 = +66,79 m Y B = ,68 os 85,78 = +50,56 m X E = 66, , sen 38,9 = +073,09 m Y E = 50, , os 38,9 = +748,4 m X C = 66,79 + 8,43 sen 48,35 = +58,49 m Y C = 50,56 + 8,43 os 48,35 = -45,04 m X D = 58, ,4 sen 40,0 = +660,96 m Y D = -45, ,4 os 40,0 = +38,54 m 4. La triangolazione geodetia dell IGM All indomani dell unità d Italia, si fee indifferibile l esigenza di avere una arta topografia he rappresentasse in modo organio e ompleto tutto il territorio nazionale. Il patrimonio artografio dell epoa era quello ereditato dai vari staterelli italiani e ostituiva nel suo insieme una artografia non omogenea sia per

13 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE FIGURA 9 Shema della rete fondamentale del I ordine in Italia. 3

14 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE sala di rappresentazione, sia per proedimenti di rilievo impiegati, oltre he per i sistemi di proiezione adottati. Questa, periò, non era idonea a ostituire la dotazione artografia della neonata nazione. Poihé gli sopi di questa artografia oltre he ivili, all epoa, erano soprattutto militari, ne fu affidata la realizzazione e la onservazione all Istituto Geografio Militare, on sede a Firenze, il quale ha redatto la osiddetta Carta d Italia prima nella sala : e suessivamente nelle sale : (quadranti e :5 000 (tavolette. La rete di inquadramento utilizzata per il rilievo topografio ollegato alla reazione della Carta d Italia venne realizzata on una triangolazione a rete di tipo geodetio (più sintetiamente rete geodetia. Questo fu un lavoro imponente, he oinvolse omplessivamente punti e he si protrasse per deenni, superando innumerevoli tipologie di problematihe. P Per quale ragione lo Stato italiano affidò all IGM il ompito di redigere la Carta d Italia? Perhé all epoa (88 la arta aveva prevalenti finalità militari. Solo suessivamente queste ragioni andarono via via attenuandosi, mentre ontestualmente aumentavano le impliazioni ivili della stessa arta. Le triangolazioni geodetihe propongono sempre due esigenze ontrap poste: da una parte, al fine di limitare la propagazione degli errori, onviene rilevare la posizione di pohi punti distribuiti sull intero territorio e quindi aratterizzati da grandi distanze reiprohe. Dall altra è la neessità di avere sul terreno una buona quantità di punti (densità in modo he sia poi possibile l eseuzione del rilievo dei partiolari topografii. Per oniliare queste due esigenze, ontrastanti ma entrambe ineludibili, si definise una prima maglia di punti, limitati ome numero ma distribuiti su tutto il territorio e rilevati on grande preisione, denominata rete di I ordine. A questa prima e fondamentale triangolazione si ollegano suessivamente le reti di II ordine, III ordine e. (on i riteri esposti in preedenza, fino a he la densità di punti noti raggiunta sul terreno non sia giudiata suffiiente per il suessivo rilievo dei dettagli del terreno stesso. È evidente he questa densità di punti noti è strettamente legata alla sala di rappresentazione. Nel aso della Carta d Italia la rappresentazione è a piola sala (: pertanto la densità è relativamente bassa (mediamente un punto ogni -3 km. È anhe evidente he tale densità sarebbe del tutto inadeguata per i rilievi on rappresentazioni a grande sala (:000, :000 e., più familiari al tenio geometra. Rete di primo ordine Per realizzare la rete fondamentale furono individuati ira 300 punti, hiamati vertii trigonometrii di primo ordine. Essi formano una rete ontinua di triangoli pressohé equilateri he opre l intero territorio nazionale; la loro distanza reiproa non è mai inferiore ad alune deine di hilometri (mediamente km e in aluni asi eezionali può raggiungere anhe parehie deine di hilometri. I vertii di primo ordine sono onvenzionalmente indiati sulla arta d Italia on un triangolino rosso. La PFIGURA 9 illustra lo shema della rete fondamentale di I ordine sul territorio nazionale. L importanza della rete fondamentale e i problemi di ordine generale he essa investì, furono tali da travaliare di gran lunga le esigenze dettate dalla preparazione della Carta d Italia, ma si proposero anhe ome strumento di base per qualsiasi lavoro di arattere geodetio e topografio a sopi ivili e non solo militari. Nelle zone pianeggianti i vertii di I ordine sono ostituiti da segnali naturali, in genere ampanili (PFIGURA 0 o partiolari arhitettonii di fabbriati monumentali, mentre nelle zone montane si dovettero individuare i vertii on segnali artifiiali, ome pilastrini in alestruzzo (PFIGURA a o in ferro, opportunamente segnalati on mire, di solito apre, di adeguate dimensioni (PFIGURA b. FIGURA 0 Torre ampanaria del Duomo di Modena (Ghirlandina, vertie di I ordine della rete geodetia italiana. 4

15 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE I segnali artifiiali materializzano i vertii della rete, e le mire li rendono visibili a distanza: a pilastrino in alestruzzo; b apra in legno. FIGURA a b Misura delle basi Straordinari, per il tempo, furono i problemi onnessi alla misura delle basi della rete di I ordine. Essendo impensabile ipotizzare la misura di una sola base (data l estensione e la onformazione del territorio da rilevare per l intollerabile propagazione degli errori he questa avrebbe prodotto, furono programmate 8 basi. Di fatto il territorio nazionale venne suddiviso idealmente in 8 parti, in iasuna delle quali la triangolazione viene alolata partendo dalla relativa base. Rete di seondo ordine FAQ P Nella rete geodetia italiana di I ordine, quante basi vennero misurate? Otto, he di fatto hanno diviso idealmente il territorio nazionale in aree di pertinenza. FAQ P Nella rete geodetia italiana di II ordine, quante basi vennero misurate? Nessuna, per il relativo sviluppo vennero utilizzati i lati della rete di I ordine. FAQ P La rete di III ordine si sviluppa in modo ontinuo sul territorio nazionale? No, a differenza delle reti di I e II ordine, essa è stata realizzata solo in alune regioni, dove i vertii delle reti preedenti erano molto distanti. 5 Ultimati i lavori onnessi alla rete fondamentale di I ordine, i tenii dell IGM passarono al rilievo della rete di II ordine, seguendo i riteri già illustrati in preedenza. Nella PFIGURA viene riproposto lo shema geometrio ol quale i vertii della rete di I ordine sono interalati da quelli di II ordine. Si noterà ome questi ultimi siano rigidamente ollegati on quelli della rete fondamentale e ome su tutta la rete sia possibile individuare dei triangoli nei quali un lato sia ostituito da vertii di I ordine e quindi di lunghezza nota. La rete di II ordine, he presenta lati lunghi mediamente 0-30 km, opre ininterrottamente tutto il territorio nazionale. I suoi vertii nella Carta d Italia sono identifiati da un erhietto rosso. Rete di terzo ordine A ausa dei problemi di visibilità he spesso si risontrano nelle zone montuose, in alune aree le reti di I e II ordine presentavano una densità di punti maggiore (ioè vertii più viini, rispetto ad altre zone, di solito pianeggianti, nelle quali la visuale poteva spaziare liberamente ed era ondizionata uniamente dalle apaità degli strumenti, dando luogo, di onseguenza, a vertii più distanti e a densità minori. Si rese periò neessario un ulteriore raffittimento dei vertii laddove le maglie della rete si presentavano più larghe, dunque, più spesso, nei tratti pianeggianti. Questo raffittimento venne ottenuto ollegando nuovi punti individuati all interno dei triangoli delle reti preedenti, generalmente in zone barientrihe; questi punti andarono a ostituire la rete di III ordine. Questa rete, periò, non è ontinua, quindi non si estende ininterrottamente su tutto il territorio nazionale, ma è stata eseguita, a mahie di leopardo, solo nelle zone he rihiedevano un riequilibrio della densità di punti noti. I vertii di III ordine sono indiati nella Carta d Italia on un quadratino di olore rosso e la loro distanza è mediamente di 0-5 km.

16 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE M. TASA MODENA FIGURA Shema della rete di II ordine (in rosso in un area he omprende parti di Tosana, Emilia e Liguria. M. GOTTERO LA SPEZIA MASSA CORNO alle SCALE LUCARDO GORGONA VITALBA Vertii di quarto ordine Tutti i vertii di I, II e III ordine, he ostituivano le rispettive reti, non realizzavano omunque la densità di punti noti rihiesta per eseguire il rilievo dei partiolari topografii del terreno, neessari alla redazione della Carta d Italia nella sala : e suessivamente : e : L IGM proedette, allora, a un raffittimento finale, interalando i vertii delle reti preedenti on nuovi punti detti di IV ordine. Tuttavia la determinazione di questi vertii, he sono di gran lunga più numerosi dei vertii di I, II e III ordine messi insieme, non è stata effettuata on gli stessi riteri on ui sono stati determinati i preedenti ordini di punti. In effetti i vertii di IV ordine non sono ollegati tra loro, e quindi non formano una rete di triangoli, ma la posizione di iasun punto è stata determinata in modo autonomo on riteri e metodi he esporremo tra poo e he prendono il nome di intersezioni. Questa partiolarità ha reso più rapida la determinazione di questo ordine di punti, he però sono deisamente i meno preisi (ma omunque adeguati alle esigenze della arta in sala : di tutta la rete geodetia italiana. La rete IGM95 (ordine 0 Nella prima metà degli anni 90, on l affermarsi delle tenihe di rilievo satellitare GPS, l IGM realizzò una nuova rete geodetia fondamentale ostituita da 00 punti (mediamente un punto ogni 0 km uniformemente distribuiti su tutto il territorio nazionale, ollegata al sistema di riferimento europeo (ETRF89 e hiamata IGM95. Questi vertii trigonometrii sono in parte (piola oinidenti on i vertii della rete storia di I ordine e in gran parte in punti di nuova posizione. Su essi, naturalmente, possono essere olloati apparati GPS. Dei vertii della rete IGM95 sono state determinate le oordinate sia nel sistema di riferimento utilizzato per la vehia rete trigonometria (datum roma40, sia nel sistema di riferimento europeo ETRF89. Anhe se attualmente la maggior parte della artografia esistente è espressa nello storio sistema di riferimento roma40, questo via via andrà sostituito dal nuovo e più preiso riferimento della rete IGM95. P I vertii di IV ordine sono ollegati tra loro? No, in effetti non ostituisono una triangolazione, ma sono stati determinati on altri metodi di rilievo allo sopo di aumentare la densità di punti noti fornita dalle reti di I, II e III ordine. 6

17 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE P Le informazioni onnesse alla Carta d Italia sono disponibili al pubblio? Sì, dal 936, anno in ui venne dihiarata superata l eslusiva militare della arta. Pubbliazioni dell IGM L imponente lavoro desritto in preedenza, he si è protratto per deenni ed è anora in atto per la fase di onservazione e adeguamento, è stato la base utilizzata dall IGM nella formazione della Carta d Italia he, ome già riordato, venne in prima istanza redatta in sala : Essa si ompone di 78 fogli (in generale, quindi, un foglio per iasun vertie di I ordine. I fogli sono individuati da un numero progressivo e dal nome di una loalità in esso ontenuta. A partire dal 936 l IGM (esaurita l eslusività militare della arta iniziò la pubbliazione di fasioli ontenenti, iasuno, un foglio della arta : e tutti gli elementi dei vertii he si trovano in quel foglio, e ioè: ordine del vertie; breve desrizione; oordinate geografihe (latitudine e longitudine; quota assoluta; shizzo monografio. Si sarà ertamente osservato he le posizioni dei vertii della rete vennero determinate esprimendole in oordinate geografihe, in quanto questo sistema fu giudiato di più universale appliazione e più onveniente per il lavoro artografio ommissionato all IGM. Tuttavia l importanza di questo lavoro ha travaliato le finalità artografihe originarie, assumendo anhe rilevanti impliazioni he ben presto oinvolsero l attività dei tenii ordinari. Emerse, allora, l esigenza di riferire i vertii della rete anhe a un sistema di oordinate di più immediato impiego nell ambito di attività minori e territorialmente irosritte. Nel seondo dopoguerra, in effetti, l IGM riferì i vertii della rete a un sistema di oordinate artografihe ortogonali E, N, h, definito sull ellissoide e denominato Gauss-Boaga, he verrà illustrato in seguito (modulo L e he è stato antiipato nel modulo B del volume. Queste oordinate sono espresse in metri e sono molto utili nelle operazioni to pografihe ordinarie in quanto, per piole estensioni, queste possono senz altro essere onsiderate ome normali oordinate artesiane piane on la orrispondenza Y / N e X / E. FIGURA 3 Esempio di monografia di un vertie estratto dai ataloghi IGM he illustrano i punti trigonometrii presenti nella Carta d Italia. 7

18 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE Come onseguenza, a partire dagli anni 50, vennero pubbliati i ataloghi (PFIGURA 3 dei punti trigonometrii ontenuti nei fogli della Carta d Italia. In essi, oltre agli elementi già presenti nei fasioli, vengono riportate anhe le oordinate nel sistema Gauss-Boaga. Le intersezioni 5. Classifiazione delle intersezioni In preedenza si è visto ome ai vertii di IV ordine della rete geodetia italiana sia stato assegnato il ompito di ostituire il raffittimento finale della rete di inquadramento neessario a realizzare la densità di punti noti rihiesti dal suessivo rilievo di dettaglio. Questi punti si diono isolati, in quanto non sono ollegati tra loro, e iasuno viene determinato in modo del tutto autonomo dagli altri, ostituendo un insieme poo rigido nel quale non è possibile ottenere grandi preisioni. P In quale ontesto è orretto l impiego delle intersezioni? Le intersezioni non devono mai essere usate in modo autonomo, ma devono ostituire la fase di raffittimento di punti determinati on le triangolazioni, nell ambito di un rilievo on rappresentazione a piola sala. Le proedure operative e i metodi neessari per determinare la posizione di punti isolati prendono il nome di intersezioni. Il nome deriva dal fatto he grafiamente essi permettono di stabilire la posizione inognita dei punti interessati tramite l intersezione grafia di due o più semirette he partono da punti noti. Riordiamo, però, he l impiego eslusivo di questi metodi per realizzare il raffittimento finale di una rete di inquadramento, è aettabile solo per rappresentazioni a piola sala (ome nel aso della Carta d Italia. Quando il rilievo, invee, prevede la realizzazione di una arta a grande sala (:000; :000 e. l impiego dei metodi di intersezione è assai limitato e oasionale, mentre il grosso del lavoro di raffittimento viene demandato all uso delle poligonali. I metodi di intersezione possono essere anhe utilizzati per sopi e in ambiti diversi dalle reti di inquadramento e raffittimento. Spesso, infatti, questi metodi vengono utilizzati per determinare la posizione di punti al fine di orientare una determinata struttura topografia, he può essere una poligonale o una triangolazione tenia (operazione di riattao. Nella onezione lassia dei metodi di intersezione, la posizione di un punto isolato viene sempre definita partendo da altri punti dei quali già devono essere note le oor dinate e utilizzando alune misure eslusivamente angolari eseguite in ampagna. Da un punto di vista operativo si usa lassifiare i metodi lassii di intersezione seondo il seguente shema: INTERSEZIONI Dirette Inverse In avanti Laterale (mista Snellius-Pothenot (intersezione inversa Hansen (doppia intersezione inversa P Quali misure, nella onezione lassia, vengono eseguite nelle intersezioni? Solo misure angolari, le più semplii da eseguire in passato. 8

19 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE P Al fine di realizzare le operazioni di misura, sono più onvenienti le intersezioni dirette o quelle inverse? Quelle inverse. Le intersezioni dirette, infatti, prevedono la stazione on il goniometro su punti di posizione nota he, in genere, ostaolano l eseuzione della stessa stazione (stazione fuori entro. Nelle intersezioni dirette le misure angolari neessarie alla definizione dei punti isolati sono effettuate faendo stazione ol goniometro su almeno uno dei punti di oordinate note, mentre nelle intersezioni inverse le misure angolari sono effettuate faendo stazione sul punto isolato inognito. La selta di un metodo piuttosto he un altro dipenderà dalle onfigurazioni morfologihe del terreno, dalla disponibilità e dalla visibilità dei vertii di oordinate note he dovranno fungere da punti di partenza, nonhé dalle preisioni he oorre rispettare. Faiamo subito rilevare he, a presindere dai riteri preedenti, le intersezioni dirette (in avanti e laterale rihiedono lo stazionamento dei goniometri sui punti di oordinate note (per esempio vertii della rete geodetia, ed essendo questi ultimi generalmente in posizioni inaessibili, diviene spesso neessario eseguire la stazione fuori entro, he ostituise una ompliazione non trasurabile della proedura. Al ontrario, le intersezioni inverse, rihiedono lo stazionamento del goniometro sui punti inogniti, spesso definiti dal tenio in posizioni meno diffioltose, sui quali è possibile lo stazionamento del goniometro; periò, in definitiva, esse sono da onsiderare più onvenienti di quelle dirette, anhe se lo sviluppo numerio appare più omplesso. 6. Intersezioni dirette Intersezione in avanti Lo shema dell intersezione in avanti (PFIGURA 4 viene usato per determinare le oordinate di un punto P isolato ma visibile da due punti A e B di oordinate note e he, a loro volta, devono essere visibili reiproamente. L intersezione in avanti viene usata in genere quando il punto isolato P da determinare è inaessibile. Faendo stazione on un goniometro sui punti noti A e B, si misurano gli angoli PAB X = a e AB X P = b. Queste sono le sole misure rihieste nel lavoro di ampagna. Per eliminare l ambiguità onnessa alla posizione di P rispetto al lato AB oorre poi preventivamente stabilire da he parte si olloa P, se alla sinistra (ome in PFIGURA 4 oppure alla destra di un osservatore posto in A he osserva B. Sintetizziamo gli elementi geometrii del problema: Elementi noti Elementi misurati Inognite A / (X A ; Y A B / (X B ; Y B a, b P / (X P ; Y P I punti A e B di oordinate note possono appartenere alle reti di inquadramento nazionali (IGM o Catasto, oppure possono essere stati definiti in operazioni preedenti nell ambito dello stesso rilievo topografio. Il alolo geometrio dell in tersezione in avanti inizia on la determinazione delle oordinate polari di B rispetto ad A [(AB e AB ] e vieversa: XB - XA ( AB = artgf p (BA = (AB! 00 Y - Y B A XB - XA AB = sen ( AB 9

20 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE P P Y β (X B ;Y B B y (AP y α A (X A ;Y A A (X A ;Y A (AB α O X β B (X B ;Y B (BA (BP a b Ora del triangolo ABP si onosono la lunghezza del lato AB e gli angoli misurati a e b. Appliando il teorema dei seni si possono alolare la lunghezza del lato AP e quindi l azimut (AP dello stesso lato: sen b AP = AB $ sen ( a + b (AP = (AB - a Queste sono le oordinate polari di P rispetto ad A. Il alolo delle oordinate artesiane di P diviene allora immediato; partendo dal punto A si ha (on riferimento alla PFIGURA 4: FIGURA 4 Shema di intersezione in avanti per la determinazione delle oordinate di un punto P onsiderato inaessibile. X P = X A + (x P A Y P = Y A + (y P A ioè X P = X A + AP $ sen (AP Y P = Y A + AP $ os (AP In modo analogo si può proedere partendo dal punto B, alolando BP e (BP. Le intersezioni sono un problema essenzialmente planimetrio, tuttavia, onosendo la quota di almeno uno dei due punti A e B, è possibile determinare anhe la quota del punto inognito P. Se, per esempio, si onose la quota Q A di A, è possibile determinare la quota di P misurando il dislivello D AP. Di solito le distanze tra i punti noti e quello inognito sono elevate e pertanto rihiedono la misura del dislivello on una livellazione trigonometria semplifiata: K Q = Q + D = Q + AP $ otg { + - AP f + h - h R P A AP A P A m Naturalmente { P rappresenta l angolo zenitale misurato da A su P, h A il valore dell altezza strumentale in A, h m l altezza dal suolo della mira ollimata in P, mentre K è il oeffiiente di rifrazione atmosferia e R è il raggio della sfera loale. Come si vede, il problema strettamente geometrio onnesso all intersezione in avanti, è molto semplie. Di fatto si tratta di risolvere un triangolo ol teorema dei seni. Tuttavia è opportuno riordare he spesso la stazione sui punti di oordinate note A e B non è possibile, quindi la misura degli angoli a e b rihiede fastidiose e ostose stazioni fuori entro, he appesantisono il lavoro di ampagna. p 0

21 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE y (AP (AB A (X A ;Y A P ε Y O β B (X B ;Y B (BA X (BP FIGURA 5 Shema di intersezione laterale. y Intersezione laterale (o mista Questo metodo di intersezione (PFIGURA 5 viene impiegato nella determinazione di un punto isolato P he deve essere aessibile, avendo a disposizione due punti A e B di oordinate note, reiproamente visibili, e da almeno uno dei quali sia visibile P. Le operazioni di misura rihiedono la stazione su P per misurare l angolo f, e su uno dei due punti di oordinate note, per esempio in B, per misurare l angolo b. L angolo a si ottiene dalla ovvia relazione: a = 00 - (b + f. A questo punto lo sviluppo geometrio diventa identio a quello appena visto nell intersezione in avanti, on la faile determinazione delle oordinate del punto P. La vera differenza on l intersezione in avanti è nel lavoro di ampagna. In effetti in questo aso oorre eseguire la stazione su un solo punto di oordinate note, e quindi la probabilità di dover riorrere alla stazione fuori entro si ridue rispetto all intersezione in avanti. Stazione fuori entro nelle intersezioni dirette P L intersezione laterale è più onveniente dell intersezione in avanti? In teoria sì, perhé rihiede la stazione on il goniometro solo su un punto noto (e non su due; tuttavia è neessario he il punto inognito sia aessibile per potervi eseguire la stazione. 7. Il problema di Snellius-Pothenot (intersezione inversa Abbiamo appena visto ome le intersezioni dirette (in avanti e laterale rihiedono un semplie e rapido lavoro di alolo, ma sono spesso ompliate nella fase di realizzazione delle misure angolari in ampagna, a ausa della onsistente probabilità di dover effettuare stazioni fuori entro. Ben più onveniente sarebbe la determinazione della posizione del punto inognito P, senza avere la neessità di fare stazione ol goniometro su uno o più vertii trigonometrii, ma faendo stazione sul punto P, naturalmente quando questo è aessibile. Questa opportunità i è fornita dall intersezione inversa, la quale prevede lo stazionamento del goniometro solo sul punto P inognito, dal quale però devono essere visibili almeno tre punti A, B, C (intersezione inversa semplie di oordinate note, per onsentire la misura dei due angoli orizzontali a e b ompresi tra le tre direzioni he esono da P e he passano per essi (PFIGURA6. Questo notissimo problema di topografia venne formulato la prima volta da Snellius (Willebrord Snell, he ne indiò una soluzione di tipo grafio nei primi anni del Seiento. Ma poi fu Pothenot he ne sviluppò una proedura analitia B A C FIGURA 6 Shizzo orientativo relativo al metodo dell intersezione inversa per la determinazione del punto P (problema di Snellius-Pothenot partendo dai 3 punti A, B e C di oordinate note, e on la misura degli angoli a e b in P. P α β

22 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE ongeniale al alolo logaritmio. Da allora numerosi furono gli studi proposti per risolvere questo problema. Diiamo subito he alla semplifiazione nell eseuzione delle misure rispetto alle intersezioni dirette, orrisponde, nelle intersezioni inverse, una maggior omplessità dello shema geometrio e dei relativi aloli, he tuttavia è senz altro meglio tollerata e più onveniente. Come nell intersezione in avanti, anhe in questo aso è neessario eliminare l ambiguità onnessa alla posizione di P rispetto ai punti A, B e C, stabilendo a priori da he parte si olloa P, se alla destra (ome in PFIGURA 6 oppure alla sinistra di un osservatore posto in A he osserva B. Gli elementi geometrii in gioo nell intersezione inversa semplie sono sintetizzati nella seguente tabella: Elementi noti Elementi misurati Inognite A / (X A ; Y A B / (X B ; Y B a, b P / (X P ; Y P C / (X C ; Y C Esistono numerose soluzioni per questo problema. Alune di esse sono di tipo grafio, altre di tipo numerio; tra queste ultime, poi, in passa to erano preferite quelle he permettevano il alolo logaritmio, ma ormai, dopo l avvento delle alolatrii tasabili, tale prerogativa appare del tutto irrilevante. Per questa ragione, alla trattazione della soluzione analitia del problema faiamo preedere quella grafia, he i fornirà anhe alune indiazioni geometrihe indispensabili allo sviluppo numerio del problema. P Quali sono le differenze tra le intersezioni dirette e quelle inverse? Le intersezioni dirette rihiedono aloli numerii elementari, ma ostringono a un laborioso lavoro nell eseuzione delle misure in ampagna per la diffioltà di eseguire le stazioni su punti di posizione nota. Al ontrario, quelle inverse presentano sessioni di misura più semplii on stazioni eseguite uniamente sui punti inogniti, ma on shemi di alolo assai più omplessi. P Il problema di Snellius- Pothenot prevede anhe la possibilità di soluzioni grafihe? Sì, esse possono anhe essere utilizzate per impostare il alolo analitio dello stesso problema. Soluzione grafia di Collins Tra le varie soluzioni grafihe del problema di Snellius-Pothenot, partiolarmente semplie e rapida appare quella proposta dal matematio inglese John Collins ( nella sua opera Traslations Philosophiques, pubbliata nel 67. Essa permette di individuare grafiamente sul foglio da disegno (o in ambiente CAD il punto inognito P, attraverso i passaggi sotto desritti (PFIGURA 7. R Y β = = B = = (X B ;Y B α C (X C ;Y C A (X A ;Y A O O X α β P (X P ;Y P FIGURA 7 Gli elementi (in rosso della soluzione grafia di Collins basata sul punto ausiliario R e la ironferenza passante per i tre punti A, C, R.

23 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE P In quale ontesto la soluzione grafia di Collins fornise la posizione del punto inognito on sarsa preisione? Quando i punti B e R sono molto viini, quindi la loro distanza è molto piola.. Colloamento sul foglio dei tre punti A, B, C riportando in sala le rispettive oordinate note e traiamento della ongiungente AC.. Traiamento della semiretta on origine in A, dalla parte opposta di P, formante l angolo b on la ongiungente AC. 3. Traiamento della semiretta on origine in C, dalla parte opposta di P, formante l angolo a on la ongiungente CA. 4. Individuazione dell intersezione R delle due semirette preedenti (R può essere sia alla destra sia alla sinistra di AB e traiamento del erhio passante per i tre punti A, C, R, il ui entro O (neessario all uso del ompasso è individuato dall intersezione degli assi dei segmenti AR e CR. 5. Prolungamento del segmento RB, fino a interseare il erhio preedente, dalla parte opposta a R, individuando il punto P erato. Per valutare la orrettezza del proedimento basta osservare he gli angoli APX B e BPX C (ottenuti ollegando A, B, C on P sono proprio i due angoli a e b sotto ui da P si vedono i segmenti AB e BC. Infatti APX B = ACX R = a, in quanto angoli alla ironferenza sottesi alla stessa orda AR; per la stessa ragione si avrà BPX C = CAR X = b. Nella ostruzione grafia di Collins, eseguita ome disegno tradizionale su arta, è opportuno he il segmento RB non sia eessivamente piolo, perhé in questo aso il suo prolungamento diventerebbe inerto e l individuazione di P risulterebbe poo preisa. Questo problema, invee, non esiste affatto se la ostruzione grafia viene eseguita in ambito CAD (v. Laboratorio informatio di questa unità. Soluzione analitia (basata sulla ostruzione di Collins Nel tempo, sono state suessivamente proposte svariate soluzioni numerihe di questo notissimo problema. Tra queste, partiolarmente diffusa fu la soluzione analitia dovuta al matematio franese Laurent Pothenot (660-73; essa era influenzata dalle esigenze del alolo logaritmio, he in passato è stato un importante strumento per sviluppare i aloli. Oggi, on l uso del omputer e delle alolatrii tasabili, viene a manare il ondizionamento di arrivare a una espressione logaritmia, dando spazio a soluzioni più snelle e lineari sotto l aspetto geometrio. Noi ne proporremo di seguito una, basata sulla ostruzione di Collins, he prevede i seguenti passaggi.. Con riferimento alla PFIGURA 8, he riprodue la ostruzione di Collins, si inizia alolando l azimut (AC e la distanza AC utilizzando le oordinate artesiane note di A e C: X ( AC = artg Y C C - X - Y A A XC - XA AC = sen ( AC (CA = (AC! 00. La distanza AC, on i due angoli AC X R = a e CAR X = b, onsente la risoluzione del triangolo ACR. Da esso possiamo riavare le oordinate polari di R rispetto ad A (oppure rispetto a C, ioè la lunghezza del lato AR e dell azimut (AR [oppure CR e (CR]: AC AR = sen a sen ( a + b (AR = (AC - b (RA = (AR! Ora possiamo trasformare le oordinate polari di R rispetto ad A, in oordinate artesiane: X R = X A + AR $ sen (AR Y R = Y A + AR $ os (AR 3

24 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE Y (RA R δ (RB=(RP FIGURA 8 Gli elementi della soluzione analitia del problema di Snellius-Pothenot basata sulla ostruzione di Collins. B (X B ;Y B (AR A (X A ;Y A b a α C β (X C ;Y C (AP α β O X P (X P ;Y P 4. Osservando he l azimut (RB ha lo stesso valore di (RP, e he ora sono note le oordinate artesiane di entrambi i punti R e B, possiamo alolare tale azimut, quindi anhe l angolo AR X P = d [oppure l angolo CR X P se si fosse alolato (CR al posto di (AR]: XB - XR ( RB = ( RP = artg d = (RA - (RB Y - Y B 5. Considerando il triangolo ARP (oppure il triangolo CRP, di ui si onosono i due angoli AR X P = d e AP X R = a e il lato AR, possiamo alolare la lunghezza del lato RP, he ostituise la seonda oordinata polare di P rispetto a R [la prima, l azimut (RP è già nota dal punto preedente]: RP RA = sen a sen ( a + d 6. Infine si trasformano le oordinate polari di P rispetto a R [RP e (RP], nelle orrispondenti oordinate artesiane di P erate: X P = X R + RP $ sen (RP Y P = Y R + RP $ os (RP Osservazione. Le stesse oordinate artesiane di P possono anhe essere alolate partendo da A [prourandosi AP e (AP nel triangolo ARP], oppure da C [prourandosi CP e (CP nel triangolo CRP]. Se, inoltre, dal punto P è visibile un quarto punto D di oordinate note, allora è possibile, misurando il terzo angolo = CP X D, impostare ben quattro problemi di Snellius utilizzando le ombinazioni dei quattro vertii A, B, C, D, presi a tre a tre. Ciò onsente di determinare il valore mediato per le oordinate di P oltre he dei relativi sarti. APPLICAZIONE Problema Per determinare la posizione plano-altimetria del punto P, sono stati individuati tre punti A, B, C on le seguenti oordinate note: X A = -00,00 m X B = +785,00 m X C = +970,00 m Y A = +450,00 m Y B = +398,00 m Y C = +705,00 m R 4

25 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE Si è fatta stazione on un teodolite entesimale destrorso sul punto P e si sono eseguite le seguenti letture al erhio orizzontale: L A = 50,0000 L B = 0,85 L C = 53,7778 Sul punto C di quota nota Q C = 3,00 m, e ollimando direttamente a terra, si è misurato l angolo zenitale { C = 98,6550 on un altezza strumentale h P =,56 m. Determinare le oordinate planimetrihe del punto P e la quota dello stesso punto, onsiderando per K e R i seguenti valori medi: K = 0,4 e R = 6377 km. Soluzione grafia La PFIGURA 9 rappresenta la ostruzione in sala del problema proposto. Partiolarmente effiae può diventare la ostruzione grafia utilizzando un programma CAD; in questo aso all immediatezza dei proedimenti grafii si unise anhe la preisione propria delle proedure numerihe (v. Laboratorio informatio di questa unità. Soluzione analitia a = 0,85-50,0000 = 60,85 b = 53,7778-0,85 = 43, ( AC = artgf p = 09, AC = = 54, 444 m sen 09, 88 AR = 54, 444 $ sen 60, 85 = 46, 833 m (triangolo ACR sen ( 60, , 596 (AR = 09,88-43,596 = 65,6956 (RA = 65,6956 X R = ,833 $ sen 65,6956 = +47,094 m Y R = ,833 $ os 65,6956 = +3585,650 m , 094 ( RB = ( RP = artgf p = 33, , 65 d = ARP W = 65, ,3897 = 3,3058 RP = 46, 833 $ sen (60,85 + 3,3058 = 5097,8 m (triangolo APR sen 60, 85 R Y B A β O α C α β FIGURA 9 La soluzione grafia di Collins del problema proposto nell appliazione. O X P 5

26 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE X P = +47, ,8 $ sen 33,3897 = -080,7 m Y P = +3585, ,8 $ os 33,3897 = -86,9 m Infine, per alolare la quota di P, è neessario avere la distanza PC : , 7 ( PC = artgf p = 76, , , 7 PC = = 4330,7 m sen 76, 984 Essendo il punto C ollimato a terra è l C = 0, dunque: - 0, 4 D PC = 4330,7 $ otg98,6550 +, ,7 = 94,334 m $ D CP = -94,334 m Q P = 3,00-94,334 = 7,665 m P Il problema di Snellius- Pothenot ammette sempre una soluzione? No, nel aso in ui i quattro punti A, B, C, P siano disposti su una stessa ironferenza ( a + b + BW = 00 il problema rimane indeterminato. Indeterminazione del problema Per il problema di Snellius-Pothenot esiste un aso di indeterminazione in orrispondenza del quale tutte le soluzioni, sia grafihe sia analitihe, non sono in grado di definire il punto inognito P. Ciò si realizza quando la somma dei tre angoli noti AB X C, a e b è uguale all angolo piatto: ( AB X C 00 + a + b =. In questo aso il erhio di Collins generato dai punti A, C, R (PFIGURA 7 passa anhe per il punto B, rendendo impossibile la determinazione del punto P. Naturalmente la probabilità he si realizzi esattamente una simile situazione è assai remota. Tuttavia, è molto temibile e ritia la seguente situazione: se la somma dei tre angoli ABX C + a + b non si disosta deisamente (almeno di 5-0 da 00, il problema, anhe se non più indeterminato, fornise però soluzioni impreise, perhé pioli errori nella misura degli angoli a e b ausano signifiativi errori nelle oordinate di P. 8. Problema di Hansen (doppia intersezione inversa Il problema di Snellius-Pothenot ebbe largo impiego per il fatto he, oltre a rihiedere solo misure angolari, prevede una sola stazione, per di più sul punto inognito, il he, indubbiamente, rappresenta un vantaggio in numerose situazioni operative. Può però apitare he non siano disponibili i tre punti (almeno di oordinate note visibili e ollimabili ontemporaneamente da P, neessari alla proedura. Se si riesono a rintraiare solo due punti A e B di oordinate note, inaessibili ma visibili e ollimabili da P, è possibile determinare le oordinate di quest ultimo utilizzando il problema di Hansen o della doppia intersezione inversa. Per supplire alla mananza di un punto noto (rispetto al problema preedente, questo problema prevede l individuazione di un punto Q ausiliario, selto arbitrariamente, del quale non è neessario onosere la posizione, ma he deve essere visibile da P e dal quale devono pure essere ollimabili i punti noti A e B (PFIGURA 0. 6

27 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE FIGURA 0 Shizzo orientativo relativo al metodo della doppia intersezione inversa per la determinazione del punto P (problema di Hansen. A B α β β Q P α Per determinare la posizione di P, oltre a onosere le oordinate dei punti A e B, è neessario eseguire due stazioni, in P e Q, on un teodolite per la misura degli angoli orizzontali: AP X Q = a e BP X Q = a da P, oltre a PQ Y A = b e PQ Y B = b da Q. Possiamo sintetizzare il problema ol seguente spehietto: Elementi noti Elementi misurati Inognite A / (X A ; Y A B / (X B ; Y B a, b, a, b P / (X P ; Y P L obiettivo del problema di Hansen è quello di determinare la lunghezza del segmento AP e dell angolo BAP X = { (oppure del segmento BP e dell angolo PBX A = m. Con essi sarà poi faile, ome si vedrà, determinare le oordinate X P e Y P di P. Anhe in questo aso, numerose sono le possibili soluzioni del problema, sia grafihe sia analitihe. Riteniamo onveniente proporre la soluzione analitia del problema di Hansen nota ome metodo della base fittizia. Questo metodo i appare il più elegante e, soprattutto, si presta a essere utilizzato anhe in altri ambiti. 7 P Quale tributo paga il problema di Hansen, rispetto a quello di Snellius, per il fatto di disporre di soli due punti noti? Quello di dover misurare quattro angoli (anzihé due in due distinte stazioni (in P e in Q. Sviluppo ol metodo della base fittizia Conosendo le oordinate di A e B possiamo failmente alolare gli azimut (AB e (BA, oltre alla lunghezza del segmento AB = a (PFIGURA : XB - XA ( AB = artgf p (BA = (AB! 00 Y - Y B A XB - XA AB = a = sen ( AB Pensiamo ora di assegnare alla lunghezza del segmento PQ (non misurata e pertanto inognita un valore arbitrario a piaere, he indiheremo on bl e he supporremo, per esempio, più piolo del vero. In base a questo valore fittizio dato a PQ, e utilizzando gli stessi angoli misurati in P e in Q, possiamo ostruire il quadrilatero AlBlQlPl simile al quadrilatero reale ABQP (PFIGURA, in quanto ne risulteranno uguali, per ostruzione, tutti gli angoli.

28 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE Y (AB a (X B ;Y B B λ (BA a λ B A (X A ;Y A ϕ A ϕ β (AP β β Q α P α β b Q α α b figura fittizia simile O X P (X P ;Y P Osserviamo he la figura fittizia AlBlQlPl riprodue lo shema geometrio del problema della distanza inaessibile, proposto nel modulo A del primo volume. In essa possiamo rionosere i triangoli AlQlPl e PlQlBl, entrambi risolvibili, in iasuno dei quali si alolano le lunghezze dei segmenti PlAl e PlBl: sen b sen b AlPl = b l $ BlPl = bl $ sen ( a + b sen ( a + b Il alolo di questi due lati i permette di risolvere il triangolo PlAlBl; intanto ol teorema di Carnot aloliamo il lato AlBl = al: FIGURA Shema geometrio relativo alla soluzione del problema di Hansen on il metodo della base fittizia. Esso si basa sulla formazione di una figura simile a quella assegnata partendo dalla base bl arbitraria. AlBl = al = AlPl + BlPl - $ AlPl $ BlPl $ os ( a - a Quindi, anora ol teorema di Carnot, si possono alolare i due angoli: { = aros AlPl + AlBl - BlPl f p m = arosf $ AlPl $ AlBl BlPl + AlBl - PlAl $ BlPl $ AlBl Poihé la figura fittizia è simile alla orrispondente figura reale, i rapporti degli elementi lineari omologhi delle due figure sono uguali. Conosendo i lati omologhi a e al in entrambe le figure, possiamo allora determinare il rapporto di similitudine tra le due figure, quindi la distanza PQ = b nella figura reale: a b = al bl a da ui: b = bl $ al Allo stesso modo possiamo alolare la lunghezza dei segmenti PA e PB della figura reale: p AP a = AlPl al BP = a BlPl al da ui: a AP = AlPl = al da ui: a BP = BlPl = al 8

29 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE P Nel problema di Hansen è possibile determinare le oordinate anhe del punto ausiliario Q? Sì, se è neessario, esse possono essere alolate on le stesse modalità on ui sono state alolate quelle del punto P. Conosendo AP e l angolo {, ol quale determinare l azimut (AP: [(AP = (AB + {], possiamo alolare le oordinate di P: X P = X A + AP $ sen (AP Y P = Y A + AP $ os (AP Naturalmente, lo stesso risultato, onosendo BP e l angolo m: [(BP = (BA - m], si poteva ottenere partendo dal punto B. Come il problema preedente, anhe il problema di Hansen è una proedura planimetria. Tuttavia se dovesse essere nota la quota di almeno uno dei due punti noti, per esempio quella Q B di B, è possibile determinare anhe la quota di P misurando il dislivello D PB, in genere on una livellazione trigonometria: K Q = Q - D Q PB otg P B PB = - { + - B B PB f + h P - l B p R È hiaro he oorre misurare l angolo zenitale { B da P su B, ed essendo questo inaessibile, oorrerà anhe onosere la distanza dal suolo del partiolare ollimato in B, he ostituise il valore di l B. Quando viene ollimato il punto a terra tale valore sarà nullo: l B = 0. APPLICAZIONE Problema Per determinare la posizione plano-altimetria del punto P, sono stati individuati due punti A e B on le seguenti oordinate note: X A = +995,70 m Y A = +5550,85 m X B = +670,30 m Y B = +6350,74 m Faendo stazione on un teodolite entesimale destrorso prima in P poi sul punto ausiliario Q, si sono misurati i seguenti angoli orizzontali: APQ = a =,3800 BPQ = a = 54,740 PQX A = b = 45,740 PQX B = b = 99,7430 Da P, durante la ollimazione di A on un altezza strumentale di,48 m, si è anhe misurato l angolo zenitale { A = 0,3455 in orrispondenza della sommità di un segnale alto,50 m dal suolo. Determinare le oordinate planimetrihe e la quota del punto P sapendo he quella di A è Q A = 608,00 m e onsiderando K = 0,3 e R = 6377 km. Soluzione 670,30-995, 70 ( AB = artgf p = 89, , , 85 (BA = 89, = 89, ,30-995, 70 AB = a = = 478,97 m sen 89, 3008 Assumiamo una figura fittizia AlPlQlBl segliendo arbitrariamente per la distanza PlQl il valore bl = 0 m: AlPl = 0 sen 45,740 = 55,888 m sen (, , 740 BlPl = 0 sen99,7430 = 8,983 m sen (54, , 7430 AlY PlBl =, ,740 = 66,6560 9

30 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE al = 55, , $ 55, 888 $ 8, 983 $ os 66, 6560 = 7, 08 m 8, 983 { = arsenf sen 66, 6560 p = 75, , 08 a 478, 97 = = 7, (rapporto di similitudine al 7, 08 AP = 55,888 $ 7,96059 = 4358,653 m BP = 8,983 $ 7,96059 = 56,34 m (AP = 89, ,4344 = 64,735 X P = +995, ,653 $ sen 64,735 = +488,5 m Y P = +5550, ,653 $ os 64,735 = +843,99 m - 0, 3 D PA = 4358, 653 $ otg 0, , 48 -, , 653 $ = -9,858 m Q P = 608,00 - (-9,858 = 699,858 m 9. La stazione libera (intersezione inversa on distanze Nella onezione lassia, i metodi di rilievo per intersezione visti in preedenza si basano eslusivamente sulle misure angolari in quanto, in passato, e in partiolare per punti a distanze signifiative, erano deisamente meno impegnative della misura delle distanze. Attualmente, dopo la omparsa sul merato delle stazioni totali (per non dire dei rievitori GPS, tale postulato è stato rionsiderato, in quanto la misura delle distanze è divenuta una operazione failmente aessibile da parte degli operatori. Di onseguenza, anhe nei metodi di intersezione, sono omparse nuove proedure, he perseguono gli stessi obiettivi delle intersezioni lassihe viste in preedenza, ioè il alolo delle oordinate di un punto inognito, avendo a disposizione due, o più punti, di oordinate note, ma ombinando sia misure angolari sia misure di distanze. La più nota di queste proedure, in quanto disponibile su tutte le stazioni totali più reenti, è quella onosiuta ome «stazione libera» (o on altre denominazioni simili, essa, di fatto, è un intersezione inversa lassia, on l aggiunta anhe di misure di distanze, e onsente di ottenere le oordinate del punto su ui si è olloata la stazione on le seguenti onfigurazioni di misura: due punti noti: on misure angolari e distanze su entrambi i punti noti (PFIGURA, he, dunque, devono essere aessibili all operatore portaprisma (in teoria basterebbe la distanza a un solo punto, ma iò non onsentirebbe alun ontrollo; tre o più punti noti: on sole misure angolari (in questo aso si riprodue il problema di Snellius; tre o più punti noti: sia on misure angolari sia on misure di distanze; è il aso preferibile, nel quale, oltre alle oordinate inognite mediate e all orientamento della stazione, vengono anhe determinati gli sarti, he onsentono di valutare l attendibilità delle misure eseguite. 30

31 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE (X, Y, Z (X, Y, Z ε ( (S (X, Y, Z D D Y L Y Z X S D stazione inognita α S (X S, Y S, Z S (X S, Y S, Z S X a b L D (X, Y, Z FIGURA a Proedura detta della «stazione libera» nella onfigurazione on due punti di oordinate note. b Shema planimetrio del problema. I punti noti possono essere appartenenti a una rete pubblia (trigonometrii IGM o atastali, ma anhe punti definiti in preedenza nell ambito dello stesso rilievo; in questo aso, tuttavia, oorre segliere punti attendibili in quanto errori presenti in questi punti si riperuoterebbero inevitabilmente sulle oordinate del punto di stazione, e suessivamente su quelle di tutti i punti rilevati da quest ultima. La geometria della stazione libera (on due punti noti Il problema geometrio della stazione libera, nella onfigurazione minima on due soli punti noti (PFIGURA, è relativamente semplie; in pratia il software della stazione totale risolve un triangolo noti due lati e l angolo ompreso. In effetti dalla stazione inognita S, ollimando i punti noti e, vengono effettuate le misure angolari L e L (dunque a = L - L, le distanze D e D e i dislivelli D S, D S. Inoltre, essendo anhe disponibile la lunghezza del lato (estremi di oordinate note, il problema è iperdeterminato e onsente di eseguire il ontrollo della proedura, onfrontando questo valore on quello orrispondente ottenuto dalle misure eseguite: X - X > b D + D - DD os a l - f ph sen ( =! d # T La differenza al primo membro (teoriamente nulla, è diversa da zero per la presenza di errori di misura. Affinhé le misure siano aettabili tale valore dovrà essere inferiore alla tolleranza T assegnata; se iò non avviene oorre rieseguire le misure o rionsiderare i punti noti utilizzati. Il alolo delle oordinate inognite di S, dopo aver determinato l angolo f (on il teorema di Carnot, neessario a ottenere l azimut (S = ( + f, viene eseguito on le seguenti espressioni: X S = X + D $ sen (S Y S = Y + D $ os (S Z S = Z - D S I aloli preedenti possono essere sviluppati manualmente, ma in realtà, nelle stazioni più reenti, vengono eseguiti dal software appliativo in dotazione alla stazione (riordiamo l unità G, paragrafo 6, e i risultati sono visualizzati sul display durante la sessione di misura. 3

32 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE Lo stesso software, poi, è in grado di orientare orrettamente il erhio orizzontale della stazione imponendo allo stesso erhio, dopo la ollimazione a (o a, il orretto azimut (S (o (S. A questo punto dalla stazione possono essere eseguite le misure previste nelle operazioni di rilievo o di traiamento. Quando sono disponibili tre o più punti noti, situazione sempre onsigliabile, l aspetto teorio diventa più omplesso (qui non viene trattato, ma iò onsente di determinare le oordinate della stazione in modo mediato, oinvolgendo diverse misure (dunque on risultati più affidabili he onsentono anhe, attraverso i onseguenti sarti, di valutare l attendibilità della proedura. 0. Livellazione fondamentale dell IGM La rete di alta preisione Analogamente a quanto prodotto on le reti di inquadramento planimetrio (triangolazioni, intersezioni, l IGM realizzò, a partire dal 880, una rete di inquadramento altimetrio del territorio ostituita da 70 linee livellate he formavano un insieme di 0 poligoni hiusi. Presto però questa rete originaria si mostrò insuffiiente per estensione e preisione. Una nuova rete di inquadramento altimetrio, eseguita on livellazioni di alta preisione, ed estesa a tutto il territorio nazionale, è stata realizzata, dal 95 al 970, sempre a ura dell IGM e seondo le norme stabilite dall Assoiation Internationale de Géodésie. Essa è tuttora in fase di ontrollo, onservazione e rifaimento delle misure su alune linee livellate. La rete è ostituita da numerose linee di livellazione prinipali e seondarie (PFIGURA 3, lungo le quali sono state determinate le quote di punti (apisaldi opportunamente materializzati on appropriati segnali altimetrii. Essa è ostituita da 35 poligoni hiusi, i ui perimetri hanno sviluppi ompresi tra 400 e 600 km, e da alune bretelle (linee aperte neessarie al ollegamento ai mareografi. La livellazione si sviluppa per quasi km, lungo le grandi vie di omuniazione nazionali, in modo he su tutto il territorio del paese sono distribuiti migliaia di apisaldi. Le quote assolute dei apisaldi he si trovano nel ontinente e in Siilia sono riferite al mareografo di Genova, mentre le quote di quelli della Sardegna sono riferite al mareografo di Cagliari. P Che os è la livellazione fondamentale italiana? È una livellazione di inquadramento di alta preisione he opre tutto il territorio nazionale, realizzata dall IGM dal 950 al 970. Essa è ostituita da numerose linee di livellazione sviluppate su poligoni hiusi di lunghezza km, seguendo il perorso delle prinipali vie di omuniazione. Le quote dei apisaldi sono state determinate mediante livellazioni geometrihe omposte dal mezzo, eseguite in andata e ritorno su tratte frazionate di 0-0 km. P Quali preisioni sono state raggiunte nella livellazione fondamentale italiana? È stato raggiunto un errore medio probabile di!0,70 mm/ km. Le quote assolute dei apisaldi sono state determinate mediante livellazioni geometrihe omposte dal mezzo, eseguite in andata e ritorno su tratte frazionate di 0-0 km, on strumentazione ostituita da livelli di alta preisione, provvisti di lamina a fae piane e parallele, e stadie di invar graduate al mezzo entimetro. L errore medio probabile è risultato di!0,70 mm / km. La lunghezza delle battute è stata limitata a 40 m nelle livellazioni di alta preisione e a 55 m nelle livellazioni di preisione semplie. La materializzazione dei apisaldi I segnali he materializzano i apisaldi possono essere orizzontali o vertiali (PFIGURA 4. I apisaldi orizzontali gene ralmente sono ostituiti da pozzetti interrati protetti da hiusini apribili in ghisa, quelli vertiali sono ostituiti da piole mensole metallihe murate sui paramenti esterni dei fabbriati. 3

33 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE FIGURA 3 Shema della rete di livellazione di alta preisione realizzata dall IGM. 33

34 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE 4 Esempi di segnali per apisaldi di livellazione: a di tipo vertiale murato a parete (il punto C ostituise il riferimento del aposaldo, b di tipo orizzontale protetto da hiusino in ghisa. FIGURA C a b Nello stesso aposaldo possono essere presenti entrambi i tipi di ontrassegno. Quelli orizzontali (abbreviazione: Cso possono essere di quattro ategorie: I ategoria, o apisaldi nodali, posti nell inontro di più linee di livellazione; II ategoria, o apisaldi fondamentali, ubiati ogni 5 km di linea; III ategoria, o apisaldi prinipali, due ogni 5 km di linea; IV ategoria, o apisaldi di linea, ubiati ogni hilometro di linea. I ontrassegni vertiali (Csv non hanno ategoria e sono realizzati on diverse forme; spesso si tratta di entrini metallii ostituiti da un maniotto, he deve essere murato: il maniotto termina on una superfiie toria, he rimane a vista e la ui parte superiore ostituise il aposaldo (PFIGURA 4a. Tutti i dati relativi a ogni aposaldo sono riportati su appositi ataloghi pubbliati dall IGM, dunque disponibili a tutti i ittadini. In effetti, per ogni aposaldo, è stata redatta una monografia ontenente le informazioni onnesse al segnale (PFIGURA 5. FAQ P Esistono diversi tipi di segnali per apisaldi di quota? Sì, i segnali he materializzano i apisaldi possono essere orizzontali, solitamente ostituiti da pozzetti interrati protetti da hiusini in ghisa, o vertiali, ostituiti da piole mensole metallihe da murare sulle pareti esterne dei fabbriati. 5 Esempio di sheda desrittiva di un aposaldo della livellazione fondamentale dell IGM. FIGURA 34

35 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE Riassumendo MAPPA DI SINTESI DELL UNITÀ ORGANIZZAZIONE DI UNA RETE RETI DI INQUADRAMENTO PRECISIONE DELLE MISURE TRIANGOLAZIONI LE RETI PUBBLICHE GERARCHIA DEI PUNTI NELLA RETE INTERSEZIONI RETI IGM CONTROLLI E COMPENSAZIONI Rilievo topografio: è l insieme delle misure eseguite sul terreno e delle proedure attuate a tavolino, oorrenti per realizzare la rappresentazione grafia e numeria di una porzione di territorio. Le proedure operative di misura sul terreno vengono hiamate operazioni di ampagna. La redazione dei disegni e lo sviluppo dei aloli viene hiamata restituzione del rilievo. Le operazioni di ampagna vengono sviluppate dal generale al partiolare. Tale prinipio si onretizza in due fasi distinte delle operazioni, dette di inquadramento e di rilievo dei dettagli topografii. Il lavoro di inquadramento onsiste nella opertura dell intera zona di terreno da rilevare, on una serie relativamente limitata di punti, ma opportunamente selti, dei quali oorrerà determinare on ura le posizioni. Essi, nel loro insieme, ostituisono la rete di base e di appoggio per la suessiva definizione dei dettagli del terreno. Dai punti di inquadramento si parte poi per rilevare i partiolari topografii del terreno. Questi sono in numero deisamente superiore a quelli di inquadramento, ma possono essere rilevati on minor preisione. Essi andranno riportati sul disegno per realizzare la rappresentazione grafia del terreno. L inquadramento del rilievo può essere realizzato on diversi shemi. In relazione alle modalità on le quali vengono tra loro ollegati i punti di inquadramento, si può formulare la seguente lassifiazione: triangolazioni; intersezioni; poligonazioni; GPS. Questi metodi non sono alternativi, ma al ontrario sono omplementari. In effetti per il rilievo delle grandi estensioni di territorio possono anhe essere utilizzati tutti, sfruttando di iasuno le relative partiolarità. Per estensioni limitate, invee, si impiega uno solo dei metodi preedenti, selto in base alle esigenze del rilievo. Gli errori he si ommettono nelle misure nella fase di inquadramento sono assai più temibili di quelli ommessi nel rilievo dei dettagli topografii. Quindi, mentre si possono tollerare inertezze nella determinazione dei punti di dettaglio, questa inertezza non deve sussistere nella determinazione dei punti di inquadramento. Questo perhé nei punti di dettaglio gli effetti degli errori rimangono loalizzati sul punto stesso, mentre nei punti di inquadramento gli effetti degli errori si propagano a tutti i punti rilevati partendo da quel punto S 5 5 S Ridondanza delle misure: nelle reti di inquadramento, per migliorare le preisioni nella determinazione dei punti, è neessario eseguire un numero di misure superiori allo stretto neessario. Questo onsente il ontrollo del lavoro eseguito e la ompensazione degli errori. R

36 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE La ompensazione delle misure è la tenia he onsente la ridistribuzione degli errori, on segno invertito e on appropriate regole, sulle grandezze he li hanno generati. Con la ompensazione non si ottiene tanto un inremento della preisione delle singole misure interessate, quanto un miglioramento globale del rilievo. Le triangolazioni sono uno shema in ui i punti di inquadramento vengono idealmente ollegati a due a due in modo da ottenere una serie di triangoli (viini a essere equilateri aventi via via un lato in omune. Viene poi misurato almeno un lato di questi triangoli, detto base della triangolazione, e tutti gli angoli interni di iasun triangolo. A (X A ;Y A (AB base B C Per limitare la propagazione degli errori si possono misurare più basi, allo sopo di ridurre i perorsi ideali he si devono ompiere da iasuna di esse. Un altra tenia per limitare la propagazione degli errori è quella di distribuire i punti su più livelli hiamati ordini. Il I ordine riguarda tutta l area on il minor numero di triangoli possibile; il II ordine e quelli suessivi sono rigidamente ollegati ol I e via via aumentano il numero dei punti di inquadramento fino a raggiungere la densità desiderata. F G Le triangolazioni vengono utilizzate nei rilievi di medie e grandi estensioni di territorio. Esse non fornisono la densità di punti neessaria, pertanto verranno impiegati altri metodi (intersezioni, poligonali per integrare e raffittire il numero dei punti di inquadramento. Il alolo di una triangolazione inizia on il alolo sequenziale dei lati di iasun triangolo appliando il teorema dei seni, partendo dal triangolo he ontiene la base. Suessivamente vengono alolati gli azimut dei lati e infine le oordinate dei vertii. Le triangolazioni sono proedure ompliate da realizzare, sia per la laboriosità della misura diretta delle basi, sia per l individuazione dei vertii he, rihiedendo una grande visibilità a 360, si trovano in genere in somode posizioni dominanti. E H D La triangolazione italiana dell IGM: a partire dalla seonda metà dell Ottoento l IGM ha realizzato una rete di inquadramento per l appoggio al rilievo di dettaglio finalizzato a rappresentare grafiamente l intero territorio nazionale (Carta d Italia in sala : Questa rete è essenzialmente ostituita da una triangolazione a rete strutturata su 3 ordini di punti, raffittiti da un IV ordine realizzato on intersezioni. Partiolarmente impegnativa è stata la realizzazione del livello di I ordine, ostituito da ira 300 punti distribuiti sull intero paese, on la misura di 8 basi. L IGM pubblia attualmente numerosi elaborati; tra questi segnaliamo i ataloghi dei punti trigonometrii he, raggruppati per iasuno dei 84 fogli della Carta d Italia, riportano la desrizione dei segnali e delle oordinate dei vertii. La propagazione degli errori: in una triangolazione, man mano he si proede on il alolo lungo il perorso ideale, he dalla base porta all ultimo lato della triangolazione, passando per tutti i triangoli intermedi, la preisione on la quale si definise la lunghezza dei lati diminuise progressivamente per l effetto dell aumulo degli errori. È evidente he, più numerosi sono i triangoli intermedi, maggiore sarà l entità del degrado della preisione. 36

37 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE Le intersezioni: sono proedure operative neessarie per determinare la posizione di punti isolati, dunque non ollegati tra loro, eseguendo uniamente misure angolari. Il nome deriva dal fatto he grafiamente esse permettono di stabilire la posizione inognita dei punti interessati tramite l intersezione grafia di due o più semirette usenti da punti noti. Classiamente le intersezioni vengono utilizzate ome metodo di raffittimento finale per rilievi da rappresentare a piola sala (per esempio :5 000 ': Talvolta questi metodi vengono utilizzati per determinare la posizione di punti al fine di orientare una determinata struttura topografia. Le intersezioni dirette: il punto inognito viene determinato partendo da due punti di oordinate note. Possono essere distinte in intersezioni in avanti e intersezioni laterali o miste. Entrambe presentano uno shema geometrio ostituito da un semplie triangolo in ui un lato presenta gli estremi di oordinate note e due angoli misurati. Si tratta quindi di una soluzione numeria elementare. Tuttavia per entrambi gli angoli misurati (intersezione in avanti, o almeno per uno (intersezione laterale, è neessario eseguire la stazione su punti di oordinate note. Spesso iò non è possibile, ostringendo a eseguire laboriose stazioni fuori entro. P In definitiva le intersezioni dirette presentano aloli faili e brevi, ma rihiedono impegnative sessioni di misura in ampagna. L intersezione in avanti viene usata per determinare le oordinate di un punto P isolato ma visibile da due punti A e B di oordinate note, he a loro volta devono essere visibili reiproamente. L intersezione in avanti viene usata in genere quando il punto isolato P da determinare è inaessibile. La proedura prevede la misura degli angoli PAB X = a e PBX A = b. Elementi noti Elementi misurati Inognite A / (X A ; Y A B / (X B ; Y B a, b P / (X P ; Y P Le intersezioni inverse: il punto inognito viene determinato partendo da due o da tre punti di oordinate note. Possono essere lassifiate in due metodi denominati problema di Snellius-Pothenot e problema di Hansen. Nel primo problema sono neessari tre punti di oordinate note, nel seondo soltanto due. Entrambe le proedure prevedono la misura di angoli dai punti inogniti, he, dunque, devono essere aessibili. In questo modo la probabilità di dover eseguire delle stazioni fuori entro è ridottissima. In definitiva le intersezioni indirette sono relativamente semplii da eseguire in ampagna, tuttavia rihiedono una proedura numeria più omplessa rispetto alle intersezioni dirette. α A (X A ;Y A β (X B ;Y B B Il problema di Snellius-Pothenot prevede lo stazionamento del goniometro solo sul punto P inognito, dal quale, però, devono essere visibili almeno tre punti A, B, C di oordinate note, per onsentire la misura dei due angoli orizzontali a e b ompresi tra le tre direzioni he esono da P e he passano per gli stessi punti noti. B A C P Y α β y (AP y P (AB α A (X A ;Y A O X β B (X B ;Y B (BA (BP Elementi noti Elementi misurati Inognite A / (X A ; Y A B / (X B ; Y B a, b P / (X P ; Y P C / (X C ; Y C 37

38 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE Il problema prevede numerose soluzioni analitihe e grafihe, tra queste partiolarmente snella e rapida è quella proposta da J. Collins, basata sulla individuazione di un punto ausiliario R e sulla ostruzione di un erhio passante per A, C e R, su ui si trova anhe il punto P erato. Y A (X A ;Y A β = = R B = = (X B ;Y B O α C (X C ;Y C AlBlQlPl, simile al quadrilatero reale ABQP in quanto risulteranno uguali, per ostruzione, tutti gli angoli. La risoluzione di questo quadrilatero porta alla soluzione del problema. La stazione libera. Si tratta di una partiolare intersezione inversa, utilizzata on le stazioni totali, nella quale, oltre alle misure angolari (le sole oinvolte nell intersezione inversa lassia, vengono utilizzate anhe misure di distanze, e he onsente di ottenere le oordinate del punto su ui si è olloata la stazione totale. La proedura rihiede la presenza di almeno due punti di oordinate note; on un numero maggiore di punti noti le oordinate inognite possono essere alolate in diversi modi, onsentendo, attraverso l adozione della loro media, di migliorare l attendibilità della proedura. α β O X P (X P ;Y P (X, Y, Z Il problema di Hansen prevede la onosenza di due punti noti A, B. È poi neessario lo stazionamento del goniometro sul punto inognito P e su un punto ausiliario Q selto arbitrariamente. Devono essere misurati gli angoli: AP X Q = a e BP X Q =a da P e PQY A = b e PQY B =b da Q. Y Z X S D D stazione inognita (X S, Y S, Z S (X, Y, Z A Elementi noti Elementi misurati Inognite A / (X A ; Y A B / (X B ; Y B P α α B β β a, a, b, b P / (X P ; Y P Questo problema può essere risolto assegnando al segmento PQ, detto base, un valore arbitrario. Utilizzando questo valore fittizio dato a PQ e gli angoli misurati in P e in Q, possiamo ostruire il quadrilatero Q Una rete di inquadramento altimetrio, estesa a tutto il territorio nazionale, è stata realizzata a ura dell IGM dal 95 al 970. Per questo lavoro sono state utilizzate livellazioni di alta preisione, eseguite in orrispondenza di numerose linee di livellazione lassifiate in prinipali e seondarie, lungo le quali sono state determinate le quote di punti (apisaldi materializzati on segnali altimetrii. Essa è essenzialmente ostituita da 35 poligoni hiusi, i ui perimetri hanno sviluppi ompresi tra 400 e 600 km, he si snodano lungo le grandi vie di omuniazione. Le quote dei apisaldi he si trovano nel ontinente e in Siilia sono riferite al mareografo di Genova, mentre le quote di quelli della Sardegna sono riferite al mareografo di Cagliari. La lunghezza delle battute è stata limitata tra i 40 e i 55 m. L errore medio probabile ommesso è risultato di ira!0,70 mm per km di linea livellata. I segnali utilizzati per materializzare i apisaldi di quota possono essere orizzontali, in genere ostituiti da pozzetti interrati protetti da hiusini apribili in ghisa, o vertiali, ostituiti da piole mensole metallihe da murare sui paramenti esterni dei fabbriati. 38

39 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE LABORATORIO INFORMATICO AutoCAD Sviluppo del problema di Snellius-Pothenot DI COSA CI OCCUPIAMO In questa eseritazione svilupperemo la ostruzione grafia di Collins di uno dei più lassii problemi della topografia: il problema di Snellius-Pothenot, la ui proedura è stata illustrata nella parte teoria di questa unità. P A Il problema di Snellius-Pothenot ostituise uno dei più noti problemi della topografia lassia; esso si propone di determinare le oordinate di un punto P, in ognito, ma aessibile, quando da esso siano visibili tre punti A, B, C di oordinate note, sotto gli angoli misurati AP X B = a e BPX C = b. Per sviluppare questa eseritazione faremo riferimento al seguente problema pratio. B R Problema Si devono alolare le oordinate artesiane di un punto P, dal quale si vedono i trigonometrii A, B, C, di oordinate note (PFIGURA A: X A = +49,03 m X B = +486,8 m X C = +344,650 m Y A = +494,908 m Y B = +9,606 m Y C = +74,988 m In P, on un teodolite entesimale, si sono misurati gli angoli: a = APX B = 44, 998 b = BP X C = 47,475 Calolare per via grafia le oordinate del punto inognito P he si trova alla destra di AB. (Dati ontenuti nel tema della seonda prova sritta proposto agli Esami di Stato nel giugno Preparazione del foglio virtuale Iniziamo l eseritazione on alune operazioni da onsiderare preliminari e preparatorie al disegno vero e proprio. Come già detto in altre analoghe eseritazioni, queste operazioni riguardano i seguenti aspetti: reazione di un nuovo foglio per il disegno; estensioni del foglio; visualizzazione dell intero foglio; personalizzazione delle unità di misura. Creazione di un nuovo disegno: omando nuovo (new È noto he per reare un nuovo foglio per il disegno, dopo essere entrati nell ambiente AutoCAD, sono disponibili quattro possibilità; una di queste è la seguente: Comando: nuovo (new (selezionare un disegno modello tra quelli proposti nella finestra di dialogo: es. aad.dwt C FIGURA A La soluzione grafia di Collins del problema proposto nell appliazione. Iona Il omando nuovo rihiede la selezione di un disegno modello; immaginando di non disporre di un modello preparato in preedenza, per il nostro disegno seglieremo il modello generio aad.dwt, he è possibile selezionare dalla finestra di dialogo he appare dopo avere attivato il omando. Esso ontiene anhe alune impostazioni iniziali predefinite (dimensioni del foglio, unità di misura, layer e. he suessivamente modifiheremo adattandole alle esigenze di un ontesto topografio. Estensioni del foglio: omando limiti (limits Per impostare le dimensioni rettangolari del foglio virtuale sul quale verrà poi reato il disegno è neessario valutare approssimativamente le dimensioni dello spazio rettangolare neessario per ontenere il disegno (nel nostro aso, valutando i dati del problema: 600 m # 600 m, quindi oorre laniare da tastiera il omando limiti (oppure utilizzando Limiti disegno del menu a tendina Formato. Nella finestra di omando olloata nella parte inferiore dello shermo (o nel riquadro di dialogo prossimo al ursore se è attivata la modalità DIN: inserimento dinamio sorreranno le seguenti informazioni: 39

40 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE LABORATORIO INFORMATICO Comando: limiti (limits Ripristino dell impostazione dei limiti dello Spazio modello: Speifiare angolo inferiore sinistro o [ON/OFF] <0.0000,0.0000>: Speifiare angolo superiore destro < , >: 600,600 Al omando limiti seguono due linee on le opzioni onnesse allo stesso omando. La prima rihiede le oordinate dell angolo inferiore sinistro del rettangolo he rappresenta le dimensioni del foglio; on il tasto invio ( si aettano le oordinate proposte dal sistema (0.000, Dopo aver definito l angolo inferiore sinistro, ompare la seonda riga, he rihiede l immissione delle oordinate dell angolo superiore destro del foglio virtuale. Se digitiamo 600,600 (ioè X = 600 e Y = 600, si avrà un foglio di lavoro le ui dimensioni sono 600 unità (nel nostro aso metri di disegno in orizzontale e 600 unità di disegno in vertiale. Tali numeri, tuttavia, non indiano una unità di misura predefinita, ma solo i rapporti di misura esistenti tra le varie entità he saranno disegnate; sarà poi in fase di formazione dei layout di stampa he oorrerà riordare a osa orrisponde l unità di disegno utilizzata. Visualizzazione di tutto il foglio: omando zoom (zoom Il omando zoom permette, tra l altro, di visualizzare sullo shermo tutto lo spazio definito in preedenza on il omando limiti. Nella finestra di omando sorreranno le seguenti righe: Comando: zoom (zoom Speifiare un angolo della finestra, digitare un fattore di sala(nx o nxp o[tutto/centrato/dinamio/estensioni/ Preedente/sAla/Finestra/Oggetto] <tempo reale>: T Rigenerazione modello in orso Iona L opzione T (Tutto del omando zoom onsente di visualizzare l intero spazio, dimensionato nella fase preedente, sullo shermo (allo stato attuale del disegno, questo omando non produrrà effetti visibili direttamente. FIGURA B Finestre di dialogo per la personalizzazione delle unità di misura utilizzate per riportare gli angoli. Personalizzazione delle unità di misura: omando unita (units La nostra disiplina fa riferimento a una modalità di trattare gli angoli he differise da quella usata da AutoCAD. In effetti, in topografia, è opportuno he l origine degli angoli oinida on l asse delle ordinate e he il senso positivo sia quello orario (in matematia l origine della misura degli angoli si trova sull asse delle asisse e il senso positivo è quello antiorario. Inoltre il sistema di misura più frequentemente usato è il sistema entesimale, e non quello deimale. Tutte queste informazioni, oltre a quelle relative al numero di ifre deimali da utilizzare, vengono fornite al sistema dal omando unita digitato da tastiera nella finestra di omando, oppure, dallo stesso omando, ma selezionato dal menu a tendina Formato. Esso prevede due finestre di dialogo nelle quali stabilire le aratteristihe del sistema di misura he si vuole adottare. Nel nostro aso le indiazioni dovranno essere quelle visualizzate ed evidenziate nella PFIGURA B.. Inserimento dei punti A, B, C di oordinate note I tre punti di oordinate note del problema possono essere riportati sul disegno a mezzo del omando punto. Affinhé tali punti siano meglio individuabili sullo shermo, è opportuno adottare un simbolo il ui aspetto e le ui dimensioni siano adeguate. Il sistema AutoCAD rende disponibili 0 simboli grafii (numerati da 0 a 9, iasuno dei quali può essere poi dimensionato, da utilizzare nell ambito del omando punto. La selta e la dimensione del simbolo da utilizzare per l inserimento dei punti nel disegno, può avvenire nella finestra di dialogo he ompare attivando il omando Stile punto del menu a tendina Formato nella barra dei menu, oppure modifiando on la tastiera i valori delle due variabili di sistema pdmode e pdsize ome riportato in seguito. Tra questi simboli, per la nostra eseritazione, viene selto quello a forma di X, a ui orrisponde il numero 3. Nella stessa finestra di dialogo è possibile assegnare un valore per la dimensione di questi simboli; nel nostro aso adotteremo il valore assoluto di 7 unità di disegno. Comando: pdmode (pdmode Nuovo valore per PDMODE <0>: 3 Rigenerazione modello in orso. P 40

41 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE LABORATORIO INFORMATICO Comando: pdsize (pdsize Nuovo valore per PDSIZE <0>: 7 Rigenerazione modello in orso. Comando: Ripetendo per tre volte il omando punto vengono inseriti nel disegno i punti he orrispondono ad A, B e C. Con esso viene posizionato sul foglio virtuale del disegno, per iasun punto, il simbolo selezionato in preedenza, utilizzando le oordinate artesiane riportate nel testo del problema: Comando: punto (point Modalità del punto orrente: pdmode=3 pdsize=7 Speifiare un punto: 49.03, (punto A Comando: Modalità del punto orrente: pdmode=3 pdsize=7 Speifiare un punto: 486.8,9.606 (punto B Comando: Modalità del punto orrente: pdmode=3 pdsize=7 Speifiare un punto: , (punto C Comando: Iona Collegamento dei punti A, B, C Possiamo ora ostruire le linee he ollegano a due a due i tre punti introdotti. Per questa operazione è possibile utilizzare il omando linea, il quale rihiede l immissione delle oordinate artesiane dei punti estremi oppure, ome nel nostro aso, la selezione degli estremi direttamente sul disegno. Per la selezione preisa dei punti riorriamo alla modalità osnap per la «attura» degli oggetti sul disegno. Gli oggetti da atturare, nel nostro aso, sono gli oggetti punto visualizzati ol simbolo X è la modalità di osnap da usare sarà: Nodo. Tuttavia ogliamo l oasione per attivare anhe la modalità di attura Intersezione he i servirà in seguito. Comando: osnap (osnap (Spuntare le selte Nodo e Intersezione nella finestra di dialogo he appare a video Comando: Iona In questo modo le modalità di attura selezionate hanno effetto permanente, dunque faranno sentire i relativi effetti fintanto he non vengono disabilitate. Il omando osnap non provoa nessun ambiamento al disegno; tuttavia, quando suessivamente si rihiama il omando linea, insieme al ursore apparirà un piolo quadratino hiamato mirino, ol quale è possibile la attura esatta dei punti introdotti quando essi appariranno, anhe solo in parte, all interno di questo quadratino. Dunque il traiamento dei tre segmenti AB, BC e CA potrà avvenire nel modo seguente: Comando: linea (line Iona Speifiare primo punto: (posizionare il mirino sul simbolo del punto A e liare il tasto sinistro del mouse Speifiare punto suessivo o [Annulla]: (posizionare il mirino sul simbolo del punto B e liare Speifiare punto suessivo o [Annulla]: (posizionare il mirino sul simbolo del punto C e liare Speifiare punto suessivo o [Chiudi/Annulla]: C (segmento CA Comando: Oorre poi onsiderare he il segmento AC rappresenta di fatto una linea di ostruzione, e quindi, è opportuno he esso venga rappresentato on un tipo di tratto diverso da quello ontinuo usato i segmenti AB e BC. Possiamo, per esempio, rappresentare il segmento AC on una linea tratteggiata di olore rosso riorrendo al omando di modifia degli oggetti ambia (oppure rihiamando la tavolozza Proprietà on l apposita iona presente nella barra degli strumenti o, anora, on la ombinazione di tasti Ctrl+ nel seguente modo: Comando: ambia (hange Selezionare oggetti: (selezionare la linea AC trovato(i totale Selezionare oggetti: (invio per ultimare la selezione Speifiare punto di modifia o [Proprietà]: P Digitare la proprietà da modifiare [Colore/Elev/Layer/Tipolinea/Salatl/ SPesslin/Altezza/Materiale/annotatiVo]: T (per modifiare il tipo della linea Digitare nome del nuovo tipo di linea <DaLayer>: TRATTEGGIATA Digitare la proprietà da modifiare [Colore/Elev/Layer/Tipolinea/Salatl/ SPesslin-/Altezza/Materiale/annotatiVo]: C (per modifiare il olore Nuovo olore [Trueolor/CAtalogoolori] <DALAYER>: ROSSO Digitare la proprietà da modifiare [Colore/Elev/Layer/Tipolinea/Salatl/ SPesslin-/Altezza/Materiale/annotatiVo]: (invio per ultimare il omando Comando: 4

42 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE LABORATORIO INFORMATICO Naturalmente è neessario he il tipo linea tratteggiata sia stata ariata preventivamente nel disegno. Eventualmente può essere opportuno aggiustare il fattore di sala nella rappresentazione delle linee non ontinue modifiando la variabile di sistema ltsale, sostituendo il valore per difetto on il valore he assegna alla linea l aspetto giudiato più adeguato. Possiamo poi usare il omando testo per posizionare le lettere A, B, C in prossimità dei relativi punti, on aratteri di altezza di 5 unità: Comando: testo (text Iona Stile di testo orrente: Standard Altezza del testo:.500 Annotativo: No Speifiare punto iniziale del testo o [Giustifiato/Stile]: (portare il mirino del ursore in prossimità di A e selezionare Speifiare altezza <.500>: 5 Speifiare angolo di rotazione del testo < g>: Digitare testo: A (nella finestra dei omandi o in un riquadro direttamente sull area di lavoro Comando: Si ripete poi il omando, in modo analogo, per inserire le lettere in prossimità dei punti B e C. La PFIGURA C rappresenta lo stato del disegno a questo punto dell eseritazione. 3. Individuazione del punto ausiliario di Collins Per l individuazione del punto ausiliario di Collins (he hiameremo R è neessario eseguire le seguenti operazioni grafihe: rotazione attorno ad A del segmento AC dell angolo b dalla parte opposta del punto inognito P; rotazione attorno a C del segmento AC dell angolo a dalla parte opposta del punto inognito P. Rotazione di AC attorno ad A Per non perdere, dopo la rotazione, il segmento AC traiato in preedenza, è opportuno traiare di nuovo lo stesso segmento, he poi verrà ruotato. Riordando he è anora attiva la funzione di attura Nodo selezionata in preedenza on il omando osnap, possiamo utilizzare il solito omando linea: Comando: linea (line Iona Speifiare primo punto: (posizionare il mirino sul simbolo del punto A e liare il tasto sinistro del mouse Speifiare punto suessivo o [Annulla]: (posizionare il mirino sul simbolo del punto C e liare Speifiare punto suessivo o [Chiudi/Annulla]: Es Comando: Ciò permette di atturare esattamente gli estremi A e C del segmento già disegnato, quindi di reare un nuovo segmento perfettamente sovrapposto a quest ultimo. Si tratta ora FIGURA C Aspetto del disegno dopo aver inserito e ollegato i tre punti A, B, C. Osserviamo anhe l effetto della modifia delle proprietà (olore e tipo linea del segmento AC. 4

43 MODULO E IL RILIEVO TRADIZIONALE LABORATORIO INFORMATICO di ruotare il nuovo segmento, in senso antiorario, attorno al punto A di un angolo b di -47,475 (il segno - tiene onto della rotazione antioraria per definire la prima direzione lungo la quale si trova R. Il omando da assegnare sarà ruota; in effetti si ha: Comando: ruota (rotate Iona Angolo positivo orrente in UCS: ANGDIR=orario ANGBASE= g Selezionare oggetti: U (NOTA: U equivale a selezionare l ultimo oggetto traiato trovato(i (un oggetto selezionato Selezionare oggetti: (per interrompere la selezione premere il tasto invio Speifiare punto base: (selezionare ol puntatore il punto A Speifiare angolo di rotazione o [Copia/Riferimento] < g>: Comando: Rotazione di AC attorno a C Come in preedenza, è opportuno disegnare un nuovo segmento AC he si vada a sovrapporre anora al preedente, salvo poi farlo ruotare, questa volta in senso orario, attorno a C. Per traiare di nuovo un segmento esattamente sovrapposto al preedente AC dovremo utilizzare anora il omando linea esattamente ome riportato al passo preedente. Oorre ora ruotare il nuovo segmento, questa volta in senso orario, attorno al punto C di un angolo a pari a 44,998 per definire la seonda direzione lungo la quale si trova R, dunque lo stesso punto R ome intersezione delle due direzioni. Il omando da assegnare sarà anora ome il seguente: Comando: ruota (rotate Iona Angolo positivo orrente in UCS: ANGDIR=orario ANGBASE= g Selezionare oggetti: U (NOTA: U equivale a selezionare l ultimo oggetto traiato trovato(i (un oggetto selezionato Selezionare oggetti: (per interrompere la selezione premere il tasto invio Speifiare punto base: (selezionare ol puntatore il punto C Speifiare angolo di rotazione o [Copia/Riferimento] < g>: Comando: Con il omando ambia, esattamente ome visto in preedenza, è poi possibile assegnare alle nuove linee AR e CR le stesse proprietà del segmento AC (olore rosso e tipo linea tratteggiata. È anhe possibile riutilizzare il omando testo per inserire la lettera R in prossimità dell intersezione delle due linee preedenti, ome illustrato in PFIGURA D. 4. Traiamento del erhio passante per A, C, R La ostruzione di Collins a questo punto rihiede la ostruzione del erhio passante per i punti A, C ed R. Il omando da utilizzare è erhio, he ontiene l opzione 3P he onsente di selezionare i tre punti on ui traiare il erhio. Riordando he è sempre attiva la funzione di attura Nodo del omando osnap, si ha: FIGURA D Individuazione del punto ausiliario R per intersezione di due segmenti ottenuti on opportune rotazioni di AC su A e su C. 43

44 UNITÀ E INQUADRAMENTO GENERALE LABORATORIO INFORMATICO Comando: erhio (irle Speifiare entro del erhio o [3P/P/Ttr (tangente tangente raggio]: 3P Speifiare primo punto sul erhio: (selezionare ol puntatore il punto A Speifiare seondo punto sul erhio: (selezionare ol puntatore il punto R Speifiare terzo punto sul erhio: (selezionare ol puntatore il punto C Comando: Iona Eventualmente è possibile assegnare anhe a questo erhio le stesse proprietà del segmento AC (olore rosso e tipo linea tratteggiata. 5. Individuazione del punto inognito P Per terminare la ostruzione, olleghiamo ora on un segmento il punto R e il punto B, utilizzando anora il omando linea (e riordando he sono sempre attive le modalità di attura Nodo e Intesezione ome segue: Comando: linea (line Iona Speifiare primo punto: (posizionare il mirino sul simbolo del punto R e liare il tasto sinistro del mouse Speifiare punto suessivo o [Annulla]: (posizionare il mirino sul simbolo del punto B e liare Speifiare punto suessivo o [Chiudi/Annulla]: Es Comando: Si tratta ora di prolungare questo segmento fino a interseare, dalla parte opposta di R, il erhio traiato al punto preedente. Riorriamo allora al omando estendi ome illustrato di seguito: Comando: estendi (extend Iona Impostazioni orrenti: Proiezione=UCS Spigolo=Nessuno Selezionare limiti di estensione... (selezionare su un punto qualunque del erhio Selezionare oggetti o <seleziona tutto>: trovato(i Selezionare oggetti: (invio per terminare la selezione Selezionare oggetto da estendere... (selezionare il mirino sul segmento BR in prossimità di B Selezionare oggetto da estendere... Es Comando: L intersezione tra il erhio e il preedente prolungamento è il punto P erato (PFIGURA E. Per ottenere le sue oor dinate interroghiamo AutoCAD on il omando id ome segue: Comando: id (id Speifiare punto: (selezionare il punto P X = Y = Z = Comando: Iona Le oordinate di P osì ottenute (X P = 77,663; Y P = 408,3 hanno la stessa preisione del alolo numerio. FIGURA E Aspetto della ostruzione di Collins del nostro problema. Interrogando il programma si possono ottenere i valori numerii delle oordinate del punto inognito P. 44