10 ESEMPIO DI VALUTAZIONE IN BILANCIO DI UN OPZIONE

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1 SOMMARIO 1 INTRODUZIONE ALLE OPZIONI 1.1 Teoria delle opzioni 1.2 Specifiche contrattuali delle opzioni su azioni 2 FORMALIZZAZIONI 3 PROPRIETA FONDAMENTALI DELLE OPZIONI SU AZIONI 3.1 Put-Call Parity 4 STRATEGIE OPERATIVE MEDIANTE OPZIONI 4.1 Strategie con un azione e il sottostante 4.1 Spread 4.2 Combinazioni 5 RAPPORTO DI COPERTURA 6 MODELLO BINOMIALE 6.1 Prezzaggio in tempo continuo 6.2 Prezzaggio di una opzione PUT 6.3 Modello binomiale a due periodi 7 MODELLO BLACK E SHOLES 7.1 Formule di valutazione di Black and Scholes 7.2 Proprietà delle formule di Black-Scholes 7.3 Valutazione neutrale verso il rischio 8 VOLATILITA IMPLICITE 9 CONTABILIZZAZIONE E VALUTAZIONE 10 ESEMPIO DI VALUTAZIONE IN BILANCIO DI UN OPZIONE BIBLIOGRAFIA 1

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3 1 INTRODUZIONE ALLE OPZIONI La società per azioni è una società le cui quote di capitale sono rappresentate da azioni. Se lo statuto di questo tipo di società lo prevede, queste possono quotare in mercati regolamentati le proprie azioni (dette anche titoli); i titoli quindi, una volta quotati possono essere oggetto di contrattazioni, per cui possono essere venduti e acquistati liberamente, al prezzo di mercato, trasferendo cosi la proprietà dei titoli a nuove persone (fisiche o giuridiche), coloro cioè che hanno acquistato i titoli in questione. In Italia, l'unico mercato regolamentato ufficiale dei titoli nazionali è la Borsa Valori Italiana S.p.a., con sede a Milano. Un titolo azionario rappresenta un attività finanziaria sottostante. Gli strumenti finanziari collegati ad un sottostante sono prodotti strutturati e molto spesso a elevato rischio. L'investitore è infatti esposto da un lato a guadagni potenzialmente illimitati, ma dall'altro anche a perdite pari all'intero capitale investito. Le opzioni sono dei strumenti finanziari derivati, cioè il loro valore deriva dal valore di uno strumento sottostante, che si possono riferire a differenti mercati. Infatti, esistono le opzioni sugli indici, sulle valute, sui futures, sui tassi di interesse, ecc., ma le opzioni su azioni sono senz altro le più versatili, flessibili e profittevoli, dal momento che fanno leva sul mercato azionario. 3

4 1.1 TEORIA DELLE OPZIONI Un opzione è un contratto che da il diritto di acquistare o di vendere una prefissata quantità di un bene sottostante (attività finanziarie, merci) allo scadere o entro una certa data (a seconda nel caso di opzione europea o americana) Opzione call: diritto di acquistare un titolo a un prezzo prefissato o prima di una certa data futura Opzione put: diritto di vendere un titolo a un prezzo prefissato o prima di una certa data futura Il prezzo indicato nel contratto è detto prezzo d esercizio o strike. La data indicata nel contratto è detta data di estinzione. Un opzione europea può essere esercitata solo a scadenza, un opzione americana in qualsiasi momento entro la scadenza. In un contratto di opzione l investitore deve pagare un premio iniziale. Esistono dal 1975 Borse per opzioni, scritte sia su azioni che su futures. Si sono sviluppati all inizio degli anni 80 mercati paralleli per la negoziazione di opzioni. Uno dei vantaggi delle opzioni trattate sui mercati OTC è che possono essere costruite in modo da venire incontro alle specifiche necessità del cliente. In ogni contratto di opzione esistono 2 parti. L investitore che ha acquistato opzione (holder o buyer) che ha assunto la posizione lunga, dall altra l investitore che vende l opzione (seller o writer), quest ultimo avrà la posizione corta. Attività sottostanti - Opzioni su azioni: la maggior parte delle negoziazioni di stock options avviene in borsa. - Opzioni su valute (currency options): particolarmente trattate nei mercati Over the counter. - Opzioni su indici (index options): le più diffuse su Nasdaq e Dow Jones Industrial - Opzioni su futures: di solito scadono poco prima che inizi il periodo di consegna del contratto futures. 4

5 1.2 SPECIFICHE CONTRATTUALI DELLE OPZIONI SU AZIONI Prezzi d esercizio: Sono le borse che decidono quali sono i possibili prezzi d esercizio delle opzioni. Per le opzioni su azioni i prezzi d esercizio sono in genere distanziati tra loro di 2.5, 5, 10. La regola seguita dalle borse è quello di usare un intervallo di 2.5 se il prezzo dell azione è inferiore a 25, un intervallo di 5 se è compreso tra 25 e 200 e uno di 10 se il prezzo è maggiore di 200. Di solito quando si traduce una nuova scadenza le borse scelgono i due prezzi di esercizio più vicini al prezzo corrente dell azione. Se uno di questi è molto vicino al prezzo corrente dell azione, scelgono anche un terzo prezzo d esercizio. Se il prezzo dell azione passa al di fuori dall intervallo definito dal prezzo d esercizio più basso e più alto si iniziano a trattare opzioni con un nuovo prezzo d esercizio. Per illustrare queste regole, si supponga che il prezzo dell azione sia di 84 quando si cominciano a trattare opzioni per ottobre. Le opzioni avranno prezzo d esercizio di 80, 85 e 90. Se il prezzo dell azione supera i 90 verrà offerto un prezzo d esercizio di 95; se scende sotto gli 80, verrà offerto un prezzo d esercizio di 75 e così via. Terminologia In qualsiasi istante si possono trattare per ogni attività diverse opzioni. Tutte le opzioni dello stesso tipo, siano esse Call oppure Put costituiscono una classe di opzioni. Questi derivati possono essere: in the money comporterebbe un flusso di cassa positivo se fosse esercitata immediatamente at the money comporterebbe un flusso di cassa nullo out of the money comporterebbe un flusso di cassa negativo se fosse esercitata immediatamente. Se S è il prezzo dell azione e X quello d esercizio allora: Un opzione Call è in the money quando il prezzo dell azione è superiore al prezzo d esercizio, mentre al contrario è out of the money quando il prezzo d esercizio supera il prezzo dell azione. Si dice at the money quando i due prezzi sono uguali. Un opzione Put è in the money quando il prezzo dell azione è inferiore al prezzo d esercizio, è out of the money nel caso contrario, quanto il prezzo d esercizio è inferiore al prezzo dell azione, si dice at the money quando i prezzi si equivalgono. In assenza di costi di transazione un opzione che è in the money verrà sempre esercitata alla scadenza se non è stata esercitata in precedenza. Il valore intrinseco di un opzione è definito 5

6 come il massimo tra zero e il valore che l opzione avrebbe, se fosse esercitata immediatamente. Un opzione americana in the money deve valere almeno quanto il suo valore intrinseco dato che, se il valore intrinseco è maggiore di zero il possessore può realizzarlo esercitando l opzione immediatamente. Il valore complessivo di un opzione è pari alla somma del valore intrinseco e del valore temporale. Opzioni Flessibili Questo tipo di opzioni sono caratterizzate da caratteristiche non standard quali il prezzo d esercizio o la scadenza che possono essere diversi da quelli offerti di solito. Le flex option rappresentano un tentativo compiuto dalle borse per attrarre negoziazione che di solito si svolgono sui mercati OVER THE COUNTER. E necessario specificare una dimensione minima per la negoziazione di tali contratti. Le prime opzioni Over The Counter erano protette dallo stacco dei dividenti. Se una società distribuiva un dividendo il prezzo d esercizio delle opzioni scritte sulle sue azioni veniva decurtato, nella data di stacco, dell importo del dividendo. Le opzioni trattate in borsa non vengono in genere aggiustate per conto dei dividendi. Quando si verifica lo stacco di un dividendo,le condizioni contrattuali delle opzioni non vengono aggiustate, ciò succede solo nel caso di frazionamenti.(stock splits). I frazionamenti si hanno quando le azioni esistenti vengono frazionate in più azioni. In genere dopo un frazionamento n x m il prezzo dell azione dovrebbe ridursi ad m/n-esimi del suo valore precedente. Le condizioni contrattuali dell opzione vengono modificate per tener conto della variazione attesa del prezzo dell azione. Se il prezzo dell azione si riduce nel modo atteso la posizione di chi ha scritto e di chi ha acquistato l opzione rimane invariata. Le opzioni su azioni vengono aggiustate anche nel caso di assegnazioni gratuite (stock dividends) ovvero quando la società emette azioni da assegnare gratuitamente agli azionisti; queste assegnazioni gratuite non mutano la situazione patrimoniale o reddituale della società. Il limite di posizione è il numero massimo che un investitore può possedere dello stesso segno. Di solito il limite massimo di posizione sui principali titoli è pari a contratti; il limite di esercizio è pari al limite di posizione ed è definito dal numero massimo di opzioni che un individuo può esercitare in 5 giorni lavorativi consecutivi. Questi due limiti vengono introdotti per evitare che il mercato venga indebitamente influenzato dall attività di un singolo investitore o comunque da un gruppo di investitori. 6

7 Market makers Al fine di agevolare gli scambi, la maggior parte delle borse utilizza un sistema di market makes. Il market maker di una certa opzione è colui il quale quota un prezzo denaro (bid) e un prezzo lettera (ask) per opzione ogni volta gli sia richiesto. Bid è il prezzo al quale il market maker è disposto a comprare, ask invece il prezzo al quale è disposto a vendere. Nel momento in cui fornisce le quotazioni bid e ask non sa se l operatore che gli ha chiesto le quotazioni voglia comperare o vendere l opzione. Ask è in genere più alto di bid e la differenza tra la quotazione bid e ask è chiamata bid-ask spread. Le borse fissano dei limiti superiori per i bid-ask spread: non possono essere maggiori di $0.25, $0.50, $0.75 ed $1 per le opzioni con quotazioni che risultino minori di $0.5, comprese tra $0.5 e $10, comprese tra $10 e $20 e maggiori $20. Ordini di segno opposto Chi acquista un opzione può chiudere la posizione dando un ordine di segno opposto per la vendita della stessa, analogamente, chi scrive un opzione può chiudere la posizione dando un ordine di segno opposto per l acquisto della stessa. Quando si negozia l opzione, se nessuna delle 2 controparti sta chiudendo una posizione in essere, l open interest aumenta di una unità. Se una parte sta chiudendo una posizione in essere e l altra no allora l open interest resta invariato se entrambe invece stanno chiudendo una posizione in essere allora si riduce di un unità. Commissioni Le commissioni applicate ai singoli investitori variano molto da broker a broker: i discount brokers chiedono in genere commissioni inferiori rispetto a quelle dei full-service broker. L effettivo importo richiesto è di solito pari ad un costo fisso più una posizione dell ammontare in dollari della negoziazione. Se si chiude una posizione su opzioni dando un ordine di segno opposto si pagano di nuovo le commissioni. Se l opzione viene esercitata, l investitore paga le stesse commissioni che avrebbe pagato per l acquisto o la vendita del titolo sottostante. Si tratta, in genere di un importo compreso tra l 1% e il 2% del valore del titolo. In genere il sistema delle commissioni tende a spingere gli investitori a vendere le opzioni piuttosto che ad esercitarle. Un costo non apparente nelle compravendite di opzioni è il bid-ask spread del market maker. 7

8 Depositi di garanzia I depositi di garanzia vengono richiesti nel caso di vendita delle opzioni. Quando si acquistano azioni si può pagare in contanti. Il margine iniziale è pari al 50% del valore delle azioni e il margine di mantenimento al 25%. Quando si acquistano call o put si deve pagare l intero prezzo delle opzioni. Non si possono comperare opzioni a credito (on margin) perché le opzioni contengono un alto livello di leverage. Quando si vendono opzioni scoperte, si deve effettuare un versamento in deposito di garanzia, questo viene richiesto dal broker e dalle borse stesse per garantire che l investitore non sia insolvente nel caso in cui l opzione venga esercitata. Scrivere opzioni scoperte L opzione si dice scoperta se non è compensata da una posizione di segno opposto sul titolo sottostante. Il margine iniziale per una posizione corta su una Call scoperta è pari al margine tra i risultati relativi ai 2 seguenti calcoli: % del ricavo della vendita maggiorato del 20% del prezzo dell azione sottostante meno l eventuale importo per il quale l opzione risulti out of the money; % del ricavo di vendita più un10% del prezzo dell azione sottostante. Il margine iniziale per una posizione corta su una Put scoperta è pari al maggiore tra i risultati ai 2 seguenti calcoli: % del ricavo della vendita maggiorato del 20% del prezzo dell azione sottostante meno l eventuale importo per il quale l opzione risulti out of the money ; % del ricavo di vendita più un 10% del prezzo dell azione sottostante. Se il deposito richiesto (manteinence margin) è inferiore al saldo corrente il cliente può prelevare denaro, se invece è significativamente superiore viene richiesta l integrazione dei margini. Scrivere Call coperte: Scrivere Call coperte significa scrivere call su titoli che si possiedono, questa operazione è meno rischiosa di scrivere call scoperte dato che il peggio che può succedere è che l investitore debba vendere le sue azioni ad un prezzo inferiore a quello di mercato. Le azioni che sono a fronte delle opzioni vendute possono essere acquistate a credito e con il ricavato usato per adempiere a parte degli obblighi di garanzia. Anche nel caso in cui le call scoperte siano in the money non è richiesto alcun deposito di garanzia, tuttavia il prezzo delle azioni viene ridotto dell importo per il quale l opzione risulta in the money per calcolare la posizione dell investitore. 8

9 Option Clearing Corporation: L option clearing corporation garantisce che i venditori di opzioni mantengano gli impegni presi e tiene conto di tutte le posizioni lunghe e corte. Quando si acquista un opzione, l investitore deve pagare l intero importo dovuto più il premio, entro la mattina del giorno lavorativo successivo. Questi fondi vengono depositati presso la OCC: il broker effettua un deposito di garanzia presso il socio della OCC che regola le sue operazioni, questo socio a sua volta effettua un deposito presso la OCC. Le brokerage house possono chiedere ai clienti depositi maggiori ma non minori. Le vendite presunte: Se il proprietario vende allo scoperto le stesse proprietà o delle proprietà sostanzialmente identiche le vendite vengono considerate presunte come nel caso in cui entra in una posizione futures o forward il cui sottostante è rappresentato dalle stesse proprietà o da proprietà identiche o ancora quando entra in uno o più contratti che eliminano definitivamente il rischio verso ribassi o rialzi del mercato. Le transazioni che invece riducono solo il down side risk non fanno scattare la presunzione di vendita. 9

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11 2 FORMALIZZAZIONI Un opzione call europea è il diritto di acquistare azione ad un certo prezzo d esercizio ad una determinata scadenza. Ad una certa data l holder acquista opzione e paga al writer il premio. Alla scadenza si può verificare una delle seguenti situazioni: - Il prezzo dell azione è inferiore al prezzo di esercizio (valore attività finanziaria sottostante alla scadenza è minore del prezzo dell esercizio previsto) quindi l holder non esercita l opzione (è più conveniente acquistare l attività finanziaria sul mercato) - Il prezzo dell azione è superiore al prezzo di esercizio (valore attività finanziaria sottostante alla scadenza è maggiore del prezzo dell esercizio previsto), l holder esercita l opzione e acquista l attività finanziaria dal writer, il valore dell opzione call in questo caso sarà data dalla differenza del prezzo dell azione e il prezzo di esercizio. Payoff di una posizione lunga su una call europea: valore massimo tra differenza tra prezzo azione e prezzo di esercizio e 0 St è il prezzo dell azione alla scadenza e X è il prezzo di esercizio. Come dimostrato dal grafico sotto riportato, finché St < X è conveniente acquistare l azione al prezzo di mercato, poi con l aumentare del prezzo di mercato e la possibilità di esercitare opzione, inizia il guadagno (da punto X+Pr). Un opzione put europea è il diritto di vendere azioni ad un certo prezzo d esercizio ad una determinata scadenza. Ad una certa data l holder acquista opzione e paga al writer il premio. Alla scadenza si può verificare una delle seguenti situazioni: - Il prezzo dell azione è superiore al prezzo di esercizio quindi l holder non esercita l opzione (è più conveniente vendere l attività finanziaria sul mercato) - Il prezzo dell azione è inferiore al prezzo di esercizio, quindi l holder esercita l opzione e vende l attività finanziaria dal writer. 11

12 Il valore dell opzione call in questo caso sarà data dalla differenza del prezzo di esercizio e il prezzo dell azione. Come dimostrato dal grafico sotto riportato, finché St < X è conveniente esercitare opzione e vendere l azione al prezzo di esercizio, poi con l aumentare del prezzo di mercato diventa conveniente vendere al prezzo di mercato, inizia il guadagno (da punto X-Pr) Di seguito alcune tabelle decisionali per esercizio call o put. PROFITTO CON ACQUISTO CALL acq call 7 ago $ 1,35 $ es c all X 20,00 p mercato 21 set esercitare call? profitto $ - NO $ -1,35-100% $ 5,00 NO $ -1,35-100% $ 10,00 NO $ -1,35-100% $ 16,00 NO $ -1,35-100% $ 18,00 NO $ -1,35-100% $ 20,00 NO $ -1,35-100% $ 21,00 SI $ -0,35-26% $ 22,00 SI $ 0,65 48% $ 25,00 SI $ 3,65 270% $ 28,00 SI $ 6,65 493% $ 30,00 SI $ 8,65 641% $ 32,00 SI $ 10,65 789% $ 34,00 SI $ 12,65 937% Come si può vedere, fino a quando il prezzo di mercato è inferiore al prezzo di esercizio la Call non viene esercitata. Dopo di chè il profitto aumenta all aumentare del prezzo di mercato. 12

13 STOCK + PUT stock price $ 19,26 acq put 7 ago $ 2,00 es call X $ 20,00 p mercato 21 set esercitare PUT? profitto profitto stock total 1 PUT $ - SI $ 18,00-19,26 $ -1,26 $ 5 SI $ 13,00-14,26 $ -1,26 $ 10 SI $ 8,00-9,26 $ -1,26 $ 16 SI $ 2,00-3,26 $ -1,26 $ 18 SI $ - - 1,26 $ -1,26 $ 20 NO $ -2,00 0,74 $ -1,26 $ 21 NO $ -2,00 1,74 $ -0,26 $ 22 NO $ -2,00 2,74 $ 0,74 $ 25 NO $ -2,00 5,74 $ 3,74 $ 28 NO $ -2,00 8,74 $ 6,74 $ 30 NO $ -2,00 10,74 $ 8,74 $ 32 NO $ -2,00 12,74 $ 10,74 $ 34 NO $ -2,00 14,74 $ 12,74 Come si può vedere, fino a quando il prezzo di mercato è inferiore al prezzo di esercizio la Put viene esercitata. Dopo di chè il profitto aumenta all aumentare del prezzo di mercato. Di seguito esempio di esercizio Put in caso di una azione e 2 o + put. STOCK + 2 PUT stock price $ 19,26 acq put 7 ago $ 2,00 es call X $ 20,00 p mercato 21 set esercitare PUT? profitto profitto stock total 1 puttotal 2 puttotal 3 put total 4 put $ - SI $ 18,00-19,26 $ -1,26 $ 16,74 $ 34,74 $ 52,74 $ 5 SI $ 13,00-14,26 $ -1,26 $ 11,74 $ 24,74 $ 37,74 $ 10 SI $ 8,00-9,26 $ -1,26 $ 6,74 $ 14,74 $ 22,74 $ 16 SI $ 2,00-3,26 $ -1,26 $ 0,74 $ 2,74 $ 4,74 $ 18 SI $ - - 1,26 $ -1,26 $ -1,26 $ -1,26 $ -1,26 $ 20 NO $ -2,00 0,74 $ -1,26 $ -3,26 $ -5,26 $ -7,26 $ 21 NO $ -2,00 1,74 $ -0,26 $ -2,26 $ -4,26 $ -6,26 $ 22 NO $ -2,00 2,74 $ 0,74 $ -1,26 $ -3,26 $ -5,26 $ 25 NO $ -2,00 5,74 $ 3,74 $ 1,74 $ -0,26 $ -2,26 $ 28 NO $ -2,00 8,74 $ 6,74 $ 4,74 $ 2,74 $ 0,74 $ 30 NO $ -2,00 10,74 $ 8,74 $ 6,74 $ 4,74 $ 2,74 $ 32 NO $ -2,00 12,74 $ 10,74 $ 8,74 $ 6,74 $ 4,74 $ 34 NO $ -2,00 14,74 $ 12,74 $ 10,74 $ 8,74 $ 6,74 Ora il confronto dei profitto tra un azione e una put e un azione e 2 put per capire quale è la strategia migliore a seconda del prezzo. 13

14 p mercato 21 set strategia 2 put strategia 1 put $ - $ 16,74 $ -1,26 $ 5 $ 11,74 $ -1,26 $ 10 $ 6,74 $ -1,26 $ 16 $ 0,74 $ -1,26 $ 18 $ -1,26 $ -1,26 $ 20 $ -3,26 $ -1,26 $ 21 $ -2,26 $ -0,26 $ 22 $ -1,26 $ 0,74 $ 25 $ 1,74 $ 3,74 $ 28 $ 4,74 $ 6,74 $ 30 $ 6,74 $ 8,74 $ 32 $ 8,74 $ 10,74 $ 34 $ 10,74 $ 12,74 Fino al prezzo di esercizio è conveniente esercitare la strategia con 2 put, poi la piu conveniente è la seconda. Di seguito esempio di calcolo del profitto con acquisto di una call, con indicazione dell eventualità di esercitare la call a seconda del diverso prezzo di mercato. (da Principles of Finance With Excel, Simon Benninga) PROFIT FROM BUYING A CALL acq call 7 ago $ 1,35 es call X $ 20,00 p mercato 21 set esercitare call? profitto $ - NO $ -1,35-100% $ 5,00 NO $ -1,35-100% $ 10,00 NO $ -1,35-100% $ 16,00 NO $ -1,35-100% $ 18,00 NO $ -1,35-100% $ 20,00 NO $ -1,35-100% $ 21,00 SI $ -0,35-26% $ 22,00 SI $ 0,65 48% $ 25,00 SI $ 3,65 270% $ 28,00 SI $ 6,65 493% $ 30,00 SI $ 8,65 641% $ 32,00 SI $ 10,65 789% $ 34,00 SI $ 12,65 937% Diagramma del profitto relativo a prezzo azione 14

15 Come si può notare la call verrà esercitata quando il prezzo dell azione è maggiore al prezzo di esercizio per il quale abbiamo acquistato la call, e il profitto cresce esponenzialmente al crescere del prezzo di mercato dell azione sottostante. $14,00 profitto $12,00 $10,00 $8,00 $6,00 $4,00 $2,00 $- $-2,00 $- $5 $10 $16 $18 $20 $21 $22 $25 $28 $30 $32 $34 Di seguito esempio di calcolo del profitto con acquisto di una put, con indicazione dell eventualità di esercitare la call a seconda del diverso prezzo di mercato. (da Principles of Finance With Excel, Simon Benninga) PROFIT FROM BUYING A PUT acq call 7 ago $ 2,00 es call X $ 20,00 p mercato 21 set esercitare PUT? profitto $ - SI $ 18,00 900% $ 5 SI $ 13,00 650% $ 10 SI $ 8,00 400% $ 16 SI $ 2,00 100% $ 18 SI $ - 0% $ 20 NO $ -2,00-100% $ 21 NO $ -2,00-100% $ 22 NO $ -2,00-100% $ 25 NO $ -2,00-100% $ 28 NO $ -2,00-100% $ 30 NO $ -2,00-100% $ 32 NO $ -2,00-100% $ 34 NO $ -2,00-100% 15

16 In questo caso l opzione Put sarà conveniente esercitarla se il prezzo di mercato dell azione è inferiore al prezzo di esercizio al momento dell acquisto della put. Grafici tratti dal libro: Benninga S. Principles of Finance with Excel, Oxford Un.Press

17 3 PROPRIETA FONDAMENTALI DELLE OPZIONI SU AZIONI Una delle proprietà fondamentali delle opzioni su azioni è la put-call parity che lega i prezzi di call e put europee nel caso il sottostante sia rappresentato da un titolo che non paga dividendi. Tale proprietà mostra come il valore di una call europea con un certo prezzo d esercizio ed una certa scadenza può essere dedotto dal valore di una put europea con lo stesso prezzo d esercizio e scadenza e viceversa. Se l equazione non venisse rispettata esisterebbero delle opportunità di arbitraggio. I fattori che influiscono sui prezzi delle opzioni sono: S0 Prezzo corrente dell azione ST Prezzo dell azione al tempo T X Prezzo d esercizio Le call valgono di più se il prezzo dell azione cresce e valgono meno se cresce il prezzo d esercizio. Per una put che viene esercitata il valore finale è pari alla differenza tra il prezzo d esercizio e il prezzo dell azione: si comportano in maniera opposta delle call: valgono meno se il prezzo dell azione aumenta, valgono di più se il prezzo d esercizio aumenta. T Vita residua : Per quanto riguarda il valore di calls e puts americane questo aumenta al crescere della vita residua, questo concetto per le opzioni europee però non vale sempre. σ Volatilità del prezzo dell azione: essa descrive l incertezza sul futuro comportamento del prezzo del titolo. Se la volatilità aumenta, cresce la probabilità che la performance del titolo sia molto brillante o molto modesta. Il valore delle opzioni aumenta all aumentare della volatilità. r Tasso di interesse privo di rischio a T anni: il prezzo di una put diminuisce all aumentare di r, il prezzo di una call aumenta all aumentare di r. D Valore Attuale dei dividendi attesi durante la vita dell opzione: la relazione tra il valore di una call e l importo dei dividendi attesi è negativa, per le put funziona in maniera opposta. Limiti superiori e inferiori per i prezzi delle opzioni Il prezzo dell opzione della call non potrà mai superare il prezzo corrente dell azione, quindi S0. Una put da diritto a vendere ad un certo prezzo K, pertanto il prezzo dell opzione non potrà mai essere maggiore di K. P K. Quindi p Ke rt 17

18 3.1 PUT-CALL PARITY Le opzioni put e call sono in relazione tra loro. Per capire quale è il legale tra due tipi di opzione relativa alla stessa attività finanziaria, aventi lo stesso premio, lo stesso prezzo di esercizio e la stessa scadenza, consideriamo 2 portafogli di attività: a) 1 call C 0 + importo di denaro pari a X(1+i) -t b) 1 put P 0 +1 azione (St). X è il prezzo di esercizio dell azione. Valutiamo i due portafogli all istante iniziale e alla scadenza: Istante iniziale Alla scadenza A C 0 +X(1+i) -t Max (St X, 0) + X = Max (St, X) B P 0 +S 0 Max (X- St, 0) + St = Max (X, St) Per equità se sono equivalenti alla scadenza lo saranno anche all inizio: C 0 + X(1+i) T = P 0 +S 0 da cui C 0 = P 0 +S 0 - X(1+i) T La put-call parity è valida solo per le opzioni europee, tuttavia,è possibile ricavare alcune relazioni tra i prezzi delle opzioni americane. Si può dimostrare che: -rt S 0 X C P S 0 X e Non è mai ottimale l esercizio anticipato di una call americana scritta su un titolo che non paga dividendi se l investitore ha intenzione di mantenere la posizione long asset per il resto della vita dell opzione, risulta invece, in alcuni casi, ottimale l esercizio anticipato di una put americana scritta sullo stesso titolo. L esercizio anticipato non comporta vantaggi se l investitore pensa di tenersi il titolo per il resto della vita dell opzione. Dato che: c S 0 X -rt -rt e C c C S 0 X e E dato che r>0 C>S0 X se l esercizio anticipato fosse ottimale allora C= S 0 X. Esistono due motivi per cui le opzioni americane scritte su titoli che non pagano dividendi non dovrebbero mai essere esercitate prima della scadenza: quello assicurativo e quello temporale. Valore assicurativo: una call detenuta al posto dell azione sottostante protegge il detentore contro la caduta del prezzo dell azione al di sotto del prezzo d esercizio X. Una volta che l opzione è stata esercitata ed il prezzo d esercizio viene scambiato, l assicurazione svanisce. Valore temporale: il prezzo d esercizio più conveniente quando la scadenza + più lontana. Può essere ottimale esercitare prima della scadenza una put americana scritta su un titolo che non paga dividendi, poiché, al pari della call, la put può essere considerata come una polizza assicurativa infatti l investitore si assicura contro il ribasso del prezzo dell azione sotto un certo livello. 18

19 In generale l esercizio anticipato di una put diventa più conveniente al diminuire di S0, all aumentare di r e al diminuire di σ. Il prezzo dell opzione non potrà mai superare il prezzo dell azione qualunque cosa accada. Il prezzo dell azione rappresenta un limite superiore per la call C<S0 mentre per quanto riguarda la put il prezzo non potrà mai essere maggiore di X: P<X ne segue che ora, al tempo T, il valore di p non potrà mai essere superiore al suo valore attuale: p< X e -rt Se ciò non valesse un arbitraggista potrebbe conseguire un profitto privo di rischio vendendo l opzione e disinvestendo il ricavato al tasso privo di rischio. Il limite inferiore di una call europea scritta su un titolo che non paga dividendi è dato da: Ce>S 0 X e -rt Per una put invece questo limite diventa: P> X e -rt S 0 Esempio excel di put-call parity. CALL PRICE PUT-CALL PARITY esempio esempio prezzo azione 63,00 63,00 63,00 prezzo azione 63,00 prezzo esercizio 60,00 60,00 60,00 prezzo esercizio 60,00 scadenza scadenza 1 tasso interesse 10% 10% 10% tasso interesse 10% PREZZO CALL OGGI 5,00 5,00 10,00 PREZZO CALL OGGI 15,00 PREZZO PUT 6,55 Strategia S0 63,00 63,00 63,00 Strategia acq azione Pv(x) - 54,55-54,55-54,55 prezzo put oggi 3,00 acq call - 5,00-5,00-10,00 S0-63,00 cash flow oggi 3,45 3,45-1,55 Put0-3,00 Call0 15,00 prezzo azione in T 33,00 90,00 55,00 acq azione Pv(x) 54,55 cash flow oggi 3,55 St - 33,00-90,00-55,00 x 60,00 60,00 60,00 prezzo azione in T 90,00 esercitare la Call? - 30,00 - cash flow totale in T 27,00-5,00 St 90,00 esercitare la Put? - cash flow da acq call - 30,00 Pay X - 60,00 cash flow totale in T - 19

20 20

21 4 STRATEGIE OPERATIVE MEDIANTE OPZIONI 4.1 STRATEGIE CON UN OPZIONE E L AZIONE SOTTOSTANTE: Le opzioni usate nelle strategie che presenterò sono tutte europee, le opzioni americane portano a risultati leggermente diversi a causa della possibilità dell esercizio anticipato. Una caratteristica delle opzioni è che si prestano ad essere utilizzate per creare un ampia varietà di funzioni di profitto. Se fossero disponibili opzioni europee per tutti i prezzi d esercizio potremmo creare una qualsiasi funzione di profitto. Esistono diverse strategie operative che combinano un opzione con l azione sottostante. Nella figura sotto riportata il portafoglio è composta da un azione lunga e da una call corta. La strategia rappresentata è detta vendita di una call coperta. La linea blu rappresenta il prezzo dell azione, il linea verde il profitto. La linea rossa mostra la relazione per l intero portafoglio. La posizione lunga sull azione protegge l investitore dalla possibilità di un forte rialzo del prezzo dell azione. VENDITA DI UNA CALL COPERTA La vendita della call permette all investitore l incasso del premio dell opzione e quindi un entrata di cassa. La strategia sotto rappresentata riguarda invece l acquisto di una put e dell azione sottostante. Questa strategia prende anche il nome di acquisto di una put difensiva e permette all investitore di coprirsi in caso ribasso del prezzo del titolo. 21

22 PUT DIFENSIVA 22

23 4.2 SPREAD Si parla di una strategia operativa mediante spreads quando si assumono due o più opzioni dello stesso tipo (cioè, due o più call o due o più put ). Spreads al rialzo (Bull call spreads): Si può creare uno spreads al rialzo comprando una call con un certo prezzo d esercizio e vendendone un altra con un prezzo d esercizio più alto. Entrambe le opzioni sono scritte sullo stesso titolo ed hanno uguale scadenza; dato che il prezzo della call diminuisce al crescere di X il valore dell opzione venduta sarà sempre minore del valore dell opzione comprata. Un tale investimento creato con le calls richiede un investimento iniziale. spread al rialzo mediante calls Se X1 è il prezzo d esercizio della call comprata e X2 è il prezzo d esercizio della call venduta e ST è il prezzo dell azione alla scadenza delle opzioni Prezzo Azione Valore finale Call lunga Valore finale Call corta Valore finale complessivo S T <X X 1 S T X 2 S T X 1 0 S T X 1 X 2 S T S T X 1 -(S T X 2 ) X 2 - X 1 23

24 Se il prezzo dell azione, alla data di scadenza è minore del prezzo d esercizio più basso, il valore finale è nullo, se è compreso tra i due prezzi d esercizio il valore finale sarà ST X1, se invece sarà maggiore del prezzo d esercizio più alto il valore finale sarà X2 X1. Le strategie mediante Bull-Spreads limitano i profitti in caso di rialzo e le perdite in caso di ribasso. Ci sono 3 tipi di bull-spreads: 1.Entrambe le calls sono in the money 2.Una call è in the money, l altra out the money 3.Entrambe le calls sono out the money Gli spreads più aggressivi sono quelli del primo tipo, costano però molto ed è piccola la probabilità di un valore finale alto. Lo spreads al rialzo si può costruire anche andando lunghi su una put con prezzo d esercizio basso e corti su una put con prezzo d esercizio alto. E presentato di seguito il grafico di tale strategia. La linea verde rappresenta l attività lunga, la linea azzurra la put lunga e la linea viola la put corta. La linea rossa è la strategia. Spreads al ribasso: Lo spread al ribasso si ottiene acquistando una call con un certo prezzo d esercizio e vendendone un altra con un prezzo d esercizio più basso. Chi costruisce uno spread al ribasso si augura che il prezzo dell azione scenda. 24

25 Nel caso del Bear Spread il prezzo d esercizio della call acquistata è maggiore del prezzo d esercizio della call venduta, in questo caso l incasso è immediato dato che il prezzo d esercizio della call venduta è maggiore del prezzo della call acquistata. Al pari degli spreads al rialzo gli spreads al ribasso limitano l upside potential e il down side risk. Anche questi possono essere costruiti usando le puts piuttosto che calls: si compra una put Con prezzo d esercizio alto e si vende una put con prezzo d esercizio basso Prezzo Azione Valore finale Call lunga Valore finale Call corta Valore finale Complessivo S T <X X 1 S T X 2 0 -(S T X 1 ) X 1 S T X 2 S T S T X 2 -(S T X 1 ) X 1 - X 2 Spread a Farfalla: Questa strategia si ottiene assumendo posizioni su opzioni con tre diversi prezzi di esercizio, si possono costruire comprando una call con prezzo d esercizio basso, X1, comprando una call con prezzo d esercizio alto,x3, e vendendo due calls con prezzo d esercizio intermedio, X2, vicino al prezzo corrente dell azione. Consentono profitti se il prezzo dell azione resta vicino a X2 ma generano una perdita nel caso di un rialzo o di un ribasso significativo, questa strategia è appropriata per chi ritiene improbabili variazioni estreme del prezzo dell azione. Richiedono un piccolo investimento iniziale Come per le altre strategie anche questa si può costruire usando le puts anziché le calls. 25

26 Spreads di calendario (orizzontali): Fino ad ora abbiamo considerato opzioni con la stessa scadenza per costruire gli spreads, in questo caso però le opzioni hanno lo stesso prezzo d esercizio ma hanno scadenze diverse. Gli spreads di calendario possono essere costruiti vendendo una call con un certo prezzo d esercizio e comprandone un altra con uguale prezzo d esercizio ma durata più lunga. In genere più la scadenza dell opzione è lontana più l opzione è cara. L opzione più lunga viene Venduta quando scade l opzione più breve e l operatore consegue un profitto se alla scadenza il prezzo dell azione è prossimo al prezzo d esercizio, ma consegue ad una perdita se il prezzo dell azione è significativamente maggiore o minore al prezzo d esercizio. Se alla scadenza dell opzione più breve, il prezzo dell azione è molto basso allora l opzione in scadenza non ha valore ed il valore dell opzione più lunga è prossimo a zero. L operatore subisce una perdita di poco inferiore al costo iniziale dello spread. Se invece il prezzo dell azione, S T, è molto alto quando scade l opzione più breve, l esercizio dell opzione in scadenza costa all investitore un importo pari a S T -X mentre l opzione più lunga vale poco più di S T - X dove X è il prezzo d esercizio di entrambe le opzioni. In questo caso l investitore subisce una perdita di poco inferiore al costo iniziale dello spread. Se S T è prossimo a X, l opzione in scadenza costa all investitore poco o nulla mentre l opzione lunga ha un valore non trascurabile che genera un profitto netto significativo. Negli spreads di calendario neutrali, in genere si sceglie un prezzo d esercizio prossimo al prezzo corrente dell azione, in quelli al rialzo invece si sceglie un prezzo d esercizio più alto mentre in quelli al ribasso più basso. Gli spreads inversi di calendario consistono nel comprare un opzione breve e vendere un opzione con una durata superiore. In genere questo tipo di spread genera un profitto se il prezzo dell azione, alla scadenza del opzione breve è ben al di sopra, o al di sotto del prezzo d esercizio delle opzioni, ma comporta una perdita significativa se il prezzo dell azione è vicino al prezzo d esercizio. (non ammettono rappresentazione con profit diagram) Spreads diagonali : Sono spread in cui le opzioni differiscono sia per il prezzo che per la scadenza. Esistono diversi spreads diagonali, il profilo dei profitti e delle perdite di questi dipende da una variazione del profitto proprio di uno spread al rialzo o al ribasso. (non ammettono rappresentazione con profit diagram) 26

27 4.3 COMBINAZIONI Straddles Combinazione di opzioni di diverso tipo sia PUT sia CALL relative alla stessa attività finanziaria (X1=X2) con stesso prezzo di esercizio Lo straddles prevede l acquisto di una call e una put con prezzo d esercizio e scadenze uguali. Se alla scadenza delle opzioni il prezzo dell azione è prossimo al prezzo d esercizio, lo straddle comporta una perdita, se invece il prezzo dell azione varia in modo significativo in una delle due direzioni comporta un profitto significativo. Gli straddle sono appropriati quando l operatore si aspetta una forte variazione del prezzo del sottostante ma non sa in quale direzione. Prezzo Azione Valore finale Call lunga Valore finale Call corta Valore finale complessivo ST<X 0 X-ST X-ST X1 ST ST-X ST-X E una strategia naturale, ma molto rischiosa e si pratica quando ci si aspetta una forte discontinuità (jump) del prezzo dell azione. Questa aspettativa sarà riflessa dai prezzi delle opzioni: quando l operatore cercherà di comprare le opzioni le troverà significativamente più care di quelle scritte sui titoli sui quali non vi sono aspettative di discontinuità. Affinché lo straddle sia efficace le aspettative dell operatore devono essere diverse da quelle della maggiorparti degli altri partecipanti al mercato. Lo straddle in vendita (straddle write) si ottiene vendendo una call ed una put con lo stesso prezzo d esercizio e la stessa scadenza. Se il prezzo d esercizio, alla scadenza delle opzioni, è prossimo al prezzo d esercizio, lo straddle comporta un profitto significativo però la perdita che comporta nel caso di un ampia variazione dell azione è illimitata. 27

28 Strips e straps: Gli strips vengono costruiti comprando una call e due puts con uguale prezzo d esercizio e uguale scadenza scritte sullo stesso titolo. L operatore scommette sul fatto che si verificherà una forte variazione del prezzo del sottostante, ma ritiene che i ribassi siano più probabili dei rialzi. Nel caso degli straps invece l operatore scommette che si verificherà una forte variazione del prezzo dell azione ma ritiene che i rialzi siano più probabili dei ribassi. Strip (il profitto è dato dalla linea verde). Strap (il profitto è dato dalla linea rossa) Strangles Gli strangles sono combinazioni verticali inferiori (bottom vertical combinations) che si ottengono comprando una put e una call con la scadenza ma con prezzi d esercizio diversi 28

29 Il profilo dei profitti e delle perdite di uno strangles è: Prezzo Azione Valore finale Call lunga Valore finale Call corta Valore finale complessivo S T < X 1 0 X 1 - S T X 1 - S T X 1 S T < X S T -X X 2 < S T S T - X 2 0 -X 2 +S T Lo strangle è simile allo straddle: l operatore scommette sul fatto che si verifichi una forte variazione del prezzo dell azione, ma non è certo se si tratterà di un rialzo o di un ribasso. Se il prezzo dell azione finisce con l assumere un valore centrale rispetto ai due prezzi d esercizio, la perdita subita in uno strangle è inferiore a quella di uno straddle. Il profilo dei profitti e delle perdite dipende da quanto sono distanti tra loro i prezzi d esercizio: più sono lontani, più piccolo è il down siderisk e più ampia è la variazione del prezzo dell azione per consentire un profitto. La vendita di uno strangle è una combinazione verticale superiore è appropriata se l operatore ritiene improbabile che si verifichino ampie variazioni del prezzo dell azione. Si tratta anche in questo caso di una strategia rischi o sa perché le possibili perdite sono illimitate. 29

30 30

31 5 RAPPORTO DI COPERTURA Il rapporto di copertura è un numero tra 0 e 1 per le opzioni call e tra 1 e 0 per le opzioni put (per indicare che il premio della put si muove in direzione opposta rispetto ai movimenti del sottostante). Il delta di un opzione out of the money è un numero molto piccolo e tende a zero allorquando l opzione diventa profondamente out of the money (OTM); Quando l opzione diventa in the money (ITM) il suo valore si avvicina, in valore assoluto, all unità. la volatilità del titolo sottostante ha un effetto diretto sul delta di un opzione, se il sottostante è caratterizzato da una elevata volatilità; il delta dell opzione in the money tende ad essere meno elevato, mentre il delta di un opzione out the money tende ad essere più elevato. il delta aumenta con la durata residua dell opzione: a parità di altri parametri, un opzione out of money con una settimana di vita residua avrà un delta più basso della stessa opzione out of money con vita residua di tre mesi, questo perché le probabilità che il prezzo corrente raggiunga lo strike sono molto più elevate. Un altro modo di interpretare il delta è di identificarlo con la probabilità che ha l opzione di scadere ITM e di presentare quindi un valore intrinseco alla scadenza. (Un delta di 0,33 indica il 33% di possibilità teorica di essere ITM alla scadenza ) Le opzioni at the money in cui il prezzo dell azione è uguale al prezzo di esercizio, avendo le stesse possibilità di salire e di scendere presentano un delta di 0,50. Il delta può essere usato anche per calcolare la direzionalità rialzista o ribassista del portafoglio. In ogni momento il delta totale del portafoglio è pari alla somma delle sue componenti mentre il sottostante ha sempre un delta uguale a 1, da ciò si evince che se fatta la somma il delta del mio portafoglio è negativo, io ho assunto una posizione ribassista. Il delta viene anche considerato per calcolare le coperture. Con il classico esempio di un opzione call con un delta di 0,50 ci possiamo ragionevolmente aspettare che un aumento di una unità del titolo sottostante faccia aumentare di 0,5 unità il valore dell opzione, questo significa che se invece di comprare 1000 azioni della società X, vado a comprare opzioni call su quella società per 2000 azioni, in caso di crescita del titolo otterrò i medesimi guadagni impiegando però una cifra minore, mentre se il mercato mi va contro, la mia perdita sarà limitata al prezzo di acquisto delle opzioni. 31

32 Il rapporto di copertura esprime il numero di unità di bene sottostante che neutralizza una opzione, ossia che assieme all opzione comportano un esborso complessivo nullo. Rapporto di copertura: esempio =0,5=1/2 i=1% Significa che 1 unità di bene sottostante (prezzo 1000) e 2 opzioni Call (stesso premio C, strike X=1000) si compensano. A SCADENZA OGGI S=S*u=1100 S=S*d=900 Vendita 2 call 2C Acquisto 1 unità bene Prestito1000-2C -(1000-2C)*(1+i)T -(1000-2C)*(1+i)T (1000-2C)*(1+i)T 900-(1000-2C)*(1+i)T da cui 900-(1000-2C)*(1,01) =0 e quindi C=54,455. =0,9=9/10 Significa che 9 unità di bene sottostante (prezzo 1000) e 10 opzioni Call (stesso premio C, strike X=920) e si compensano. A SCADENZA OGGI S=S*u=1100 S=S*d=900 Vendita 10 call 10C Acquisto 9 unità bene Prestito C -( C)*(1,01) -( C)*(1,01) ( C)*(1.01) 8100-( C)*(1.01) da cui 8100-( C)*(1,01) =0 e quindi C=98,020. Il prezzo di un'opzione call europea, con scadenza, valutata in, è dato da: 32

33 Per un'opzione put europea, l'espressione corrispondente è: dove: è il prezzo del titolo sottostante; è il prezzo d'esercizio dell'opzione; è il tasso d'interesse privo di rischio, espresso in base annua; e: denota la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale; è la varianza percentuale istantanea del logaritmo del prezzo del titolo sottostante, espressa anch'essa su base annua. 33

34 34

35 6 MODELLO BINOMIALE Ci sono diversi metodi per prezzare le opzioni. Il modello Binomiale proposto in una prima versione da Cox, Ross e Rubinstein nel 1979 in "Option pricing a simplified approach", rivisto e completato da Cox e Rubinstein nel 1985 in "Option Market", è uno dei metodi più efficaci per stimare il valore di opzione. Il modello binomiale è una tecnica usata per valutare le opzioni su azioni, si tratta di un albero che rappresenta i diversi sentieri che potrebbero essere seguiti dal prezzo dell azione durante la vita dell opzione. Consideriamo un titolo il cui prezzo sia S e un opzione scritta su questo titolo il cui prezzo sia f. Supponiamo l opzione scada al tempo T e che il prezzo dell azione possa salire da S a S u o scendere da S a S d con(u>1; d<1). Il tasso di variazione del prezzo dell azione in caso di rialzo è u 1 e in caso di ribasso 1 d. Se il prezzo dell azione sale a Su il valore finale dell opzione sarà f u, se il prezzo scende a S d allora scenderà a f d..se c è un movimento al rialzo del prezzo dell azione il valore del portafoglio alla fine della vita dell opzione sarà S u - f u,,se c è un movimento a ribasso invece avremmo S d - f d, le due espressioni sono uguali quando = f u - f d / S u - S d l equazione dimostra che è il rapporto tra la variazione del prezzo derivato e la variazione del prezzo dell azione che si verifica passando da un momento all altro. Se r è il tasso risk-free il valore attuale del portafoglio risulta: (S u * - f u )*e (-rt) Considerando (S* - f) il costo iniziale del portafoglio; f=e (-rt) e (rt) - d [p f u +(1-p) f d ] il costo iniziale dell opzione dove p= u d Nella formula di valutazione dell opzione non compaiono le probabilità associate al rialzo o al ribasso del prezzo dell azione poiché non si sta valutando l opzione in termini assoluti ma relativamente al prezzo del sottostante e per cui le probabilità dei futuri movimenti al rialzo o al ribasso sono già incorporate nel prezzo dell azione. Per prezzare l opzione CALL dimostriamo che esiste una combinazione dei titoli e delle opzioni che porta esattamente allo stesso profitto della call option Siano: S0 Valore del bene sottostante in t=0 i tasso di interesse periodale 35

36 In t=t possono verificarsi due situazioni: Su =S0*u> S0 Valore del bene aumentato (u>1) Sd = S0*d < S0 Valore del bene diminuito (d<1) Il valore dell opzione con quel bene sottostante sarà: Cu =max{0, Su X} Cd =max{0, Sd X} Supponiamo di acquistare un portafoglio con quote dei titoli sottostanti e B quote di bonds, allora si ha Il valore corrente dell opzione è pari al suo valore atteso al tempo T, attualizzato al tasso privo di rischio 36

37 6.1 PREZZAGGIO IN TEMPO CONTINUO Il modello in tempo continuo permette di poter stimare i parametri a partire dalle serie storiche. In base al modello di Cox, Ross & Rubinstein (1979) dove δè la volatilità del bene sottostante. Si può interpretare p come la probabilità di rialzo (1-p) come la probabilità di ribasso. Il valore atteso del prezzo dell opzione al tempo T è Assumere che p sia la probabilità di rialzo equivale ad assumere che il tasso di rendimento dell azione sia uguale al tasso privo di rischio. Rapporto di copertura (hedge ratio) Il rapporto tra la variazione del prezzo del derivato e la variazione del prezzo dell azione si chiama rapporto di copertura. E un indicatore tra le cosiddette greche ed esprime il numero di unità di bene sottostante che neutralizza una opzione, ossia che comportano un esborso complessivo nullo. Prezzaggio in tempo continuo 1 periodo Dove si ha 37

38 Prezzaggio in tempo continuo 2 periodi S0 38

39 6.2 PREZZAGGIO DI UNA OPZIONE PUT Per prezzare un opzione PUT analogamente cerchiamo una combinazione dei titoli e delle opzioni che porta esattamente allo stesso profitto della PUT Supponiamo di acquistare un portafoglio con quote dei titoli ABC e B quote di bonds. Considerazioni Una CALL assomiglia ad un portafoglio composto dall acquisto di uno stock e da una vendita short di un bond. In termini di portafoglio replicante una CALL si ha sempre: Una PUT assomiglia ad un portafoglio composto dalla vendita di uno stock e da una acquisto short di un bond. In termini di portafoglio replicante una CALL si ha sempre: >0 e B<0 In termini di portafoglio replicante una PUT si ha sempre: < 0 e B>0 Prezzi non dipendenti dalle probabilità nel calcolo dei prezzi non appaiono esplicitamente le probabilità di aumento e diminuzione. 39

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