Storia della Matematica

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1 Lezione Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 14 Aprile 2014

2 Galileo e l infinito Galileo, nel Dialogo sopra due nuove scienze si interroga sull infinitamente grande e sull infinitamente piccolo, trattando dei seguenti argomenti. Il pradosso della ruota di Aristotele La scodella di Galilei La corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e i loro quadrati La considerazione di un cerchio con raggio che diventa arbitrariamente grande e che degenera in una retta Sembra che Galileo avesse intenzione di scrivere un opera sull infinito in matematica, a conferma della percezione che si trattasse di uno dei problemi cruciali per sviluppare la nuova scienza.

3 Il paradosso della ruota Due livelli: realtà e modello. Nella realtà la ruota piccola striscia quando la grande rotola senza strisciare e la grande frena quando la piccola rotola senza strisciare È possibile dare un modello matematico di rotolamento della ruota grande in uno spazio numerico. La piccola allora, nel suo movimento teorico determina una corrispondenza biunivoca con i punti della retta tangente, ma questa corrispondenza non è un isometria Sono possibili altri modelli, non numerici, entro i quali il paradosso si risolve? Galileo sviluppa un modello discreto sostituendo ai cerchi due poligoni regolari iscritti e cercando di immaginarne il limite al crescere del numero dei lati.

4 Galileo: contributi Matematici Tra i contributi matematici, uso della parabola per modellare la traiettoria di un proiettile calcolo di volumi e baricentri interesse nelle proprietà di curve definite cinematicamente o da proprietà fisiche: cicloide, catenaria

5 Bonaventura Cavalieri ( )

6 Biografia essenziale Nacque a Milano Da giovane entrò nell ordine dei gesuati di s. Girolamo. Nel 1615 prese gli ordini minori e fu mandato a Pisa per perfezionarsi, dove incontrò Benedetto Castelli, allievo di Galileo Galilei, che diede a Cavalieri le prime lezioni di geometria e, avendone riconosciute le capacità, lo presentò a Galilei. Per più di dieci anni cercò senza fortuna un incarico per l insegnamento della matematica presso una Università. Finalmente, nel 1629, grazie anche all appoggio di Galileo, ottenne una cattedra di Matematica presso l Università di Bologna. Cavalieri non lascerà più Bologna fino alla morte, avvenuta il 30 novembre Oltre alla Geometria degli indivisibili, la sua opera più importante, pubblicò la Trigonometria plana e sphaerica, lo Specchio ustorio, le Exercitationes geometricae sex e varie opere di astronomia e di astrologia.

7 Cavalieri matematico Cavalieri fu il primo a pubblicare in Italia tavole per i logaritmi, diciotto anni dopo la loro invenzione da parte di John Neper e a illustrarne l uso. Introdusse diversi perfezionamenti, sia nell uso dei logaritmi, sia nella geometria sferica, dove dimostrò il teorema che asserisce che l area di un triangolo sferico geodetico (cioè i cui lati sono porzioni di cerchi massimi) sulla sfera unitaria è uguale alla differenza tra la somma degli angoli del triangolo e due angoli retti: A = α 1 + α 2 + α 3 π. Il principale contributo di Cavalieri alla matematica è il metodo degli indivisibili, uno snodo cruciale della storia della matematica, sia per la maggiore flessibilità rispetto al metodo di esaustione, sia per le controversie che ne seguirono, che portarono in ultima analisi allo sviluppo dei metodi infinitesimali e alla nascita del calcolo infinitesimale. Dimostrò geometricamente le formule che in notazione moderna si leggono b a x n = bn+1 n + 1 an+1 n + 1

8 Il metodo degli indivisibili Cavalieri cercò di dare una esposizione organica al metodo degli indivisibili nella sua opera Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, che affonda le sue radici nel metodo meccanico di Archimede. Meditando dunque un giorno sulla generazione dei solidi che sono originati da una rivoluzione intorno ad un asse e confrontando il rapporto delle figure piane generatrici con quello dei solidi generati mi meravigliavo moltissimo del fatto che le figure generate si discostassero a tal punto dalla condizione di quelle che la generano, da mostrare di seguire un rapporto completamente diversodal loro. per esempio un cilindro, che è ottenuto insieme ad un cono della stessa baseper rotazione attorno ad un medesimo asse, è il triplo di questo, anche se nasce per rivoluzione da un parallelogramma doppio del triangolo che genera il cono. [...]

9 Il metodo degli indivisibili (II) Avendo dunque più e più volte fermato l attenzione su tale diversità in moltissime altre figure, mentre prima, raffigurandomi ad esempio un cilindro come l unione di parallelogramm indefiniti per numero e il cono con stessa base e stessa altezza come l unione di triangoli indefiniti per numero passanti tutti per l asse, ritenevo che ottenuto il mutuo rapporto di dette figure piane dovesse subito venirne fuori anche il rapporto dei solidi da esse generate, risultando invece già chiaramente che il rapporto delle figure piane generatrici non concordava affatto con quello dei solidi generati mi sembrava si dovesse a buon diritto concludere che avrebbe perduto il tempo e la fatica e che avrebbe trebbiato inutile paglia chi si fosse messo a ricercare la misura delle figure con tale metodo.

10 Il metodo degli indivisibili (III) Ma dopo aver considerato la cosa un po più profondamente, pervenni finalmente a questa opinione e precisamente che per la nostra faccenda dovessero prendersi piani non intersecantesi tra loro, ma paralleli. In questo infatti, investigati moltissimi casi, in tutti trovai perfetta corrispondenza tanto tra il rapporto dei corpi e quello delle loro sezioni piane quanto tra il rapporto dei piani e delle loro linee [...] Avendo dunque considerato il cilindro e il cono suddetti e secati non più per l asse ma parallelamente alla base, trovai che il rapporto del cilindro al cono è uguale a quello di quei piani che chiamo nel libri II tutti i piani del cilindro a tutti i piani del cono, con riferimento alla base comune [...] Stimai perciò metodo ottimo per investigare la misura delle figure quello di indagare i rapporti delle linee al posto di quello dei pianie i rapporti dei piani al posto di quello dei solidi per procurarmi subiti la misura delle figure stesse. La cosa, ritengo, andò come nei miei voti, come risulta chiaro a chi leggerà tutto.

11 Principio di Cavalieri La Geometria degli indivisibili si compone di sette capitoli (o Libri, secondo la denominazione di allora), e contiene, tra l altro, il famoso Principio di Cavalieri Se due figure piane o solide hanno la stessa altezza; se poi, condotte nelle figure piane delle rette parallele e nelle solide dei piani paralleli, si troverà che i segmenti di retta tagliati dalle figure piane (o le superficie piane tagliate dalle solide) sono grandezze proporzionali, le due figure staranno tra loro come uno qualsiasi dei segmenti (o nei solidi una delle superfici) tagliati nella prima al corrispondente segmento tagliato nell altra. Libro II Teorema IV. Illustrazione grafica del principio di Cavalieri

12 Successo del metodo degli indivisibili Nonostante le obiezioni e i paradossi, il metodo degli indivisibili si impose rapidamente tra i matematici Opinione di Torricelli Che poi la geometria degli indivisibili sia un invenzione del tutto nuova, non oserei certo dire. Crederei, piuttosto, che gli antichi Geometri si siano valsi di questo metodo per scoprire i Teoremi più difficili, e che poi, nella dimostrazione, abbino preferito un altro metodo, sia per nascondere i segreti dell arte, sia per non offrire, a invidiosi detrattori, alcuna occasione di critica. Dalle opere. In somma, a me pare che per via degl indivisibili si trovino [...] delle conclusioni da non disprezzarsi [...]. Come dunque questa dottrina non è da stimarsi? Se costoro ammettessero le conclusioni pur belle, come credo, che bisogni concedere, converrà pur anco approvare la dottrina, almeno dovranno mostrare cje ve ne sono delle false, ma credo che dureranno fatica?