Ist. di economia, Corso di Laurea in Ing. A.T., A.A Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA PRIMA SETTIMANA

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1 Ist. di economia, Corso di Laurea in In. A.T., A.A Pro. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA PRIMA SETTIMANA LA STRUTTURA DEI PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE L'ipotesi di razionalità implica che un decisore cerchi di individuare la miliore tra tutte le alternative a sua disposizione. Un aente economico cercherà di massimizzare una unzione (il proitto, il livello di soddisazione derivante dal consumo, il benessere sociale) o di minimizzare qualcosa (i costi necessari per produrre un certo ammontare di output) dati certi vincoli. problemi di ottimizzazione = problemi relativi alla scelta dell'alternativa miliore tra quelle disponibili). I problemi di ottimizzazione prevedono tre elementi: Le variabili decisionali Queste sono le variabili di cui dobbiamo determinare il valore ottimo. E l aente che prende le decisioni a stabilirne il valore. Il consumatore, tra tutte le alternative a lui disponibili, desidera acquistare le quantità di beni che li procurano la massima soddisazione. Le variabili decisionali in questo caso sono le quantità dei beni. L'impresa desidera individuare il livello di produzione (o output) che enera il massimo proitto. L'output è la variabile decisionale. Il pianiicatore sociale deve decidere quale è il valore di un sussidio alla produzione che massimizza il benessere sociale. La unzione obiettivo Ci indica la relazione unzionale tra le variabili decisionali e certe variabili il cui valore debba essere massimizzato o minimizzato.

2 Nel caso del consumatore la unzione obiettivo mette in relazione un indice di soddisazione del consumatore stesso con le quantità dei beni che eli può acquistare. Nel caso dell'impresa la unzione obiettivo mette in relazione il proitto con il livello di output. Se la unzione obiettivo è y = (x) dobbiamo sviluppare una procedura per trovare il valore di x che renda massimo o minimo il valore di y. 3 L'insieme ammissibile L'insieme delle alternative disponibili per il decisore è deinito insieme ammissibile o insieme delle possibilità. La presenza di vincoli (ad esempio il vincolo di bilancio per il consumatore) restrine l'insieme ammissibile a un sottoinsieme dell'intero spazio. Se il problema non possiede vincoli abbiamo un caso di ottimizzazione non vincolata. QUINDI un problema di ottimizzazione è costituito da variabili decisionali, una unzione obiettivo e un insieme ammissibile. Il problema consiste nello sceliere l'alternativa preerita all'interno dell'insieme ammissibile. trovare il massimo o il minimo della unzione obiettivo rispetto alle variabili decisionali, dati certi vincoli. Dunque, l'ottimizzazione è considerata un sinonimo di massimizzazione o minimizzazione vincolata. SOLUZIONE La soluzione di un problema di ottimizzazione è data da quel vettore di valori delle variabili decisionali x che appartiene all'insieme ammissibile e che da luoo al valore massimo o minimo della unzione obiettivo. SE: (x) = (x, x,... x n ) unzione obiettivo; dove x è il vettore delle n variabili decisionali; S insieme ammissibile

3 3 ipotizzando di massimizzare la unzione obiettivo, una soluzione x* deve avere la proprietà: (x*) (x) x S, x* S In questo caso abbiamo una soluzione lobale. La unzione obiettivo assume in quel punto un valore che non è ineriore ad alcun altro punto all'interno dell'insieme ammissibile. Se invece abbiamo una soluzione locale x**, varra che: (x**) (x) x N** S dove N** è un insieme di punti in un intorno di x** I metodi di cui disponiamo ci permettono solo di individuare dei massimi locali. Ma esistono condizioni ainche un massimo locale sia anche un massimo lobale. Proprietà della unzione obiettivo Continuità una unzione y = (x) e continua se non vi sono salti o interruzioni nel suo raico. Concavità (o convessità) Se la unzione è dierenziabile in oni suo punto possiamo descrivere la curvatura in termini di derivata seconda. Per ovviare al atto che una unzione puo non essere dierenziabile in qualche suo punto si ricorre ad una deinizione più enerale. Si deiniscono unzioni concave quelle unzioni aventi la proprietà (x) altezza dell'arco altezza della corda

4 4 dove x = α x 0 + (-α ) x = α (x 0 )+ (-α ) (x ) per α (0,). Ovvero, se tracciamo una corda della unzione, questa si trova sempre al di sotto dei (o coincide con i) valori che la unzione assume tra due punti comunque scelti. Se vale la disuualianza stretta la unzione è detta strettamente concava. Si deiniscono unzioni convesse quelle unzioni aventi la proprietà (x) Se vi è una disuualianza stretta la unzione è detta strettamente convessa Deiniamo curva di livello o contorno di una unzione l' insieme dei valori del vettore x che hanno la proprietà: (x ) = c Supponendo che la unzione sia dierenziabile, calcoliamo il dierenziale totale d= + = 0 da cui = Quindi la pendenza della curva di livello in un qualsiasi punto puo essere calcolata direttamente attraverso i valori delle derivate parziali della unzione in quel punto. La nozione di curva di livello ci è utile per analizzare la quasi - concavità di una unzione. Consideriamo due vettori x' e x'' che si trovano sulla stessa curva di livello, cioe tali che (x') = (x'') = c.

5 5 Sia x una combinazione convessa di questi due punti. E detta quasi concava una unzione le cui curve di livello soddisino questa proprieta : ( x ) (x') = (x'') = c Se vale la disuualianza stretta, allora la unzione e strettamente quasi concava. Proprietà dell' insieme ammissibile. insieme non vuoto (contiene almeno un elemento).. insieme chiuso. Tutti i punti della rontiera appartenono all insieme stesso (Es.:0 x ) 3. insieme limitato: Deve essere sempre possibile includerlo in una sera di dimensioni suicientemente ampie. L'insieme 0<x< è limitato ma non è chiuso. L'insieme x 0 è non limitato e chiuso. DEF: Un insieme non vuoto che sia anche chiuso e limitato e detto COMPATTO. 4. insieme convesso. Un insieme di punti A R n è convesso se - x A, y A t x +(-t) y A per tutti i tali che 0 t - L insieme A e detto strettamente convesso se t x +(-t) y appartiene all interno di A per tutti i tali che 0<t<. Oni coppia di punti appartenenti all insieme può essere coniunta da una linea retta che iace interamente all'interno dell'insieme stesso.

6 6 Ottimo: Esistenza La prima domanda da porsi nell arontare un problema di ottimizzazione è se una soluzione ESISTA. Teorema dell' Esistenza (Weierstrass) Un problema di ottimizzazione possiede sempre una soluzione se :. la unzione obiettivo è continua. non-vuoto 3. chiuso 4. limitato e l'insieme ammissibile è COMPATTO, ovverosia: Si noti che., 3., 4., sono condizioni suicienti ma non necessarie. In altri termini possono esistere delle soluzioni anche se tali condizioni non sono soddisatte cosi come possono non esistere soluzioni. La. è invece una condizione necessaria. Ottimo Locale o Globale Se queste condizioni sono soddisatte vi sarà una soluzione al problema di ottimizzazione. Consideriamo un problema di massimizzazione vincolata: max (x, x ), >0 tale che x, x S Ci interessa determinare in quali circostanze un massimo relativo è anche un massimo assoluto. Teorema Un massimo relativo è anche un massimo assoluto se :. la unzione obiettivo è quasi concava e. l'insieme ammissibile è convesso Unicità della soluzione La questione e rilevante se un modello economico viene impieato a scopo di previsione. Se la soluzione non è unica abbiamo una corrispondenza.

7 7 Teorema dell'unicità Dato un problema di ottimizzazione in cui la unzione obiettivo è quasi concava e l'insieme ammissibile è convesso una soluzione è unica se:. la unzione obiettivo è strettamente quasi concava oppure. l'insieme ammissibile è strettamente convesso oppure 3. l'insieme ammissibile è strettamente convesso e la unzione obiettivo è strettamente quasi concava Ottimi Interni o di Frontiera Consideriamo l insieme ammissibile e suddividiamo idealmente, dato che l'insieme è chiuso, i suoi punti in due insiemi che si escludono a vicenda :. insieme dei punti interni.. insieme dei punti di rontiera Punto interno: punti dell'insieme. possiamo trovare un intorno del punto che contena solo Punto di rontiera: tutti li intorni vicini contenono punti che appartenono all'insieme e punti che non appartenono all'insieme. La distinzione e rilevante perche se una soluzione che iace sulla rontiera essa sarà sensibile a variazioni seppur piccole in almeno un vincolo. OTTIMO: COME SI INDIVIDUA LA SOLUZIONE Consideriamo il caso in cui tutte le variabili siano positive nel punto di ottimo cosicché i vincoli di non neatività non sono attivi. In altre parole x i * > 0 i.

8 8 OTTIMIZZAZIONE IN ASSENZA DI VINCOLI Consideriamo un problema di ottimizzazione in assenza di vincoli con una unzione ad una sola variabile y = (x) Condizioni necessarie che devono essere soddisatte da un punto di ottimo. Massimo (x) ha un massimo nel punto x* se: a)----condizione (necessaria) di primo ordine : ' (x*) = 0 b)----condizione (suiciente) di secondo ordine : '' (x*) < 0 (ossia la unzione è concava in un intorno di x*). Minimo (x) ha un minimo nel punto x* se: vale a) e b)----condizione di secondo ordine : '' (x*) > 0 OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA Supponiamo di dovere trovare il massimo di una unzione obiettivo y = (x, x ) nel caso in cui le variabili indipendenti debbano soddisare il vincolo: (x, x ) b Se, > 0 l'ottimo si troverà sulla curva di livello più elevata raiunibile dato l'insieme ammissibile. x* e l unico ottimo assoluto (di rontiera). E' anche un punto di tanenza: in x* la curva di livello della unzione obiettivo (x, x ) e la curva di livello della unzione di vincolo (x ) hanno pendenza uuale a quella della comune tanente T. La pendenza del curva di livello di (.) è:

9 9 la pendenza del curva di livello di (.) è: = = La soluzione ottima x* soddisa quindi le condizioni necessarie (i) (ii) = (x * *) = b Dalla (i): = = λ > 0 da cui : = λ* = λ* quindi le condizioni necessarie per un ottimo sono: - λ* = 0 - λ* = 0 (x * *) = b Possiamo risolvere questo problema di massimizzazione vincolata trasormandolo in un problema di massimizzazione non vincolata di una unzione ausiliaria detta unzione di Larane o Laraniana: Si costruisce la Laraniana

10 0 L (x, λ) = (x ) + λ[ b - (x )] Risolvendo la massimizzazione non vincolata della Laraniana rispetto alle tre variabili (x, λ) otteniamo esattamente le condizioni necessarie viste prima. Data la Laraniana L (x, λ) = (x ) + λ[ b - (x )] Si ha: L = (x*) - λ (x*) = 0 L = (x*) - λ (x*) = 0 L λ = (x * *) - b = 0 si risolve poi il sistema di tre equazioni nelle tre inconite x, x, e λ. Le condizioni necessarie che derivano dall'applicazione della procedura di Larane sono valide solamente nel caso particolare in cui tutti i vincoli risultano essere attivi nel punto di ottimo e i vincoli di non neatività non venono considerati. IL SIGNIFICATO DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE I moltiplicatori di Larane hanno una interpretazione di rilievo per le applicazioni economiche. Date le condizioni necessarie derivanti dal problema di massimizzazione vincolata: (x*) - λ (x*) = 0 (x*) - λ (x*) = 0 (x * *) - b = 0 possiamo considerarle come 3 equazioni in 3 inconite, mentre b e un parametro, ovvero possiamo scrivere: x * = h (b) x * = h (b) λ * = h λ ( b)

11 Deiniamo con v* il valore che la unzione obiettivo assume nel punto di ottimo: v*= (x *, x *) = (h (b), h (b)) = v*(b) Adesso ricaviamo: dv * * * = + db db db Poiche = λ*, = λ* Inoltre dalla: dv * = + * * λ * db db db (x * *) - b = 0 calcolando il dierenziale totale, si avra : d * = * + = db da cui: db db dv*/db = λ * Questa uualianza sta a siniicare che λ * costituisce la variazione marinale nel valore ottimizzato della unzione obiettivo ad una variazione ininitesima nel vincolo. Ad es. se (x) = utilita del consumatore e b= reddito, λ * rappresenta l utilita marinale del reddito.