3.4 Quasiconcavità e quasiconvessità

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1 Pagina 1 di Quasiconcavità e quasiconvessità Definizioni e proprietà di base Pensate ad una montagna delle Alpi Svizzere: pascoli di mucche sui pendii verdeggianti più bassi, la neve che copre le cime più alte. Ora dimenticate mucche e neve. Chiedetevi quando una funzione che descriva la superficie della montagna sia concava. Se ogni linea dritta che congiunga due punti sulla superficie giace sempre sopra la superficie o su di essa, allora la montagna è concava. Se, per esempio, la montagna è una cupola perfetta (mezza sfera), allora questa condizione è soddisfatta e la funzione definita dalla sua superficie è concava. La condizione risulta soddisfatta anche se la montagna è un cono perfetto. In questo caso, ogni segmento rettilineo che unisca due punti sulla superficie giace esattamente sulla superficie. Ora supponete che la montagna sia una deformazione di un cono e diventi progressivamente più ripida ad altitudini più elevate. (Molte montagne sembrano avere questa caratteristica quando si cerca di scalarle!). Cioè, supponete che quando si osservi da lontano, la montagna abbia una forma simile a questa: In questo caso, una retta che parte dalla cima e si congiunge a qualsiasi altro punto sulla superficie non non giace sulla o sotto la superficie, ma piuttosto passa attraverso l'aria aperta. Così la funzione definita dalla superficie della montagna non è concava. Comunque, la funzione possiede una significante caratteristica delle funzioni concave: in una mappa topografica della montagna, l'insieme dei punti all'interno di una curva isometrica è un insieme convesso: Lo stesso vale per qualsiasi intervallo si scelga tra le curve isometriche. (Possono essere distanti 10m, o 100m, o 50m, o 61m, o qualsiasi atra misura). Se modelliamo la superficie della montagna con una funzione f della sua altezza e larghezza (x, y), allora una curva isometrica diventa una curva di livello di f. Una funzione che abbia la proprietà per

2 Pagina 2 di 7 cui per ogni valore di c l'insieme dei punti (x, y) tali che f (x, y) c---l'insieme dei punti all'interno di ogni curva isometrica in una mappa topografica---è convesso, viene detta quasiconcava. Non tutte le montagne hanno questa proprietà. Infatti, se date un'occhiata a qualche mappa, vi accorgerete che quasi nessuna montagna la possiede. Una mappa topografica di una vera montagna risulta essere qualcosa di simile: Le tre linee di livello più esterne di questa montagna non racchiudono unsiemi convessi. Prendete, per esempio, quella in rosso. La linea blu, che connette due punti nell'insieme racchiuso dalla curva, giace all'esterno dell'insieme stesso. Così la funzione definita dalla superficie della montagna non è quasiconcava. Sia f una funzione multivariata definita nell'insieme S. Diciamo che f (come la funzione che definisce la superficie della montagna) è quasiconcava se, per qualsiasi numero a, l'insieme dei punti per cui f (x) a è convesso. Per qualsiasi numero reale a, l'insieme P a = {x S: f (x) a} viene detto insieme superiore di livello di f per a. (Nel caso della montagna, P a è l'insieme di tutti i punti che hanno altitudine almeno pari ad a.) Definizione Una funzione multivariata f definita in un insieme convesso S è quasiconcava se ogni insieme superiore di livello di f è convesso. (Cioè, P a = {x S: f (x) a} è convesso per ogni valore di a.) Definiamo la nozione di quasiconvessità come segue. Innanzitutto, per ogni numero reale a, l'insieme P a = {x S: f (x) a} è l'insieme di tutti i punti la cui immagine è al massimo a; è chiamato insieme inferiore di livello di f per a. (Nel caso di una montagna, P a è l'insieme di tutti i punti per i quali l'altezza è al massimo di a.)

3 Pagina 3 di 7 Definizione Una funzione multivariata f definita in un insieme convesso S è quasiconvessa se ogni insieme inferiore di livello di f è convesso. (Cioè, P a = {x S: f (x) a} è convesso per ogni valore di a.) Notate che f è quasiconvessa se e solo se f è quasiconcava. Perché gli economisti dovrebbero essere interessati alla quasiconcavità? Perché è esattamente la condizione che tipicamente imponiamo alla funzione di utilità di un consumatore: assumiamo che per ogni dato paniere di beni x, l'insieme dei panieri che il consumatore preferisce a x sia convesso, così che le curve di indifferenza del consumatore assumano una forma del genere e non come questa o come questa La nozione di quasiconcavità è più debole della nozione di concavità, nel senso che ogni funzione concava è quasiconcava. Analogamente, ogni funzione convessa è quasiconvessa. Una funzione concava è quasiconcava. Una funzione convessa è quasi convessa. Dimostrazione: chiamiamo la funzione f e l'insieme (convesso) su cui è definita S. Sia a un numero reale e siano x e y due punti appartenenti all'insieme superiore di livello P a : x P a e y P a. Dobbiamo dimostrare che P a è convesso. Cioè, dobbiamo dimostrare che per ogni λ [0,1] abbiamo (1 λ)x + λy P a. Innanzitutto notate che l'insieme S su cui f è definita è convesso, così abbiamo (1 λ)x + λy S e così f è definita nel punto (1 λ)x + λy. Ora, la concavità di f implica che f ((1 λ)x + λy) (1 λ) f (x) + λ f (y). Inoltre, il fatto che x P a significa che f (x) a, ed il fatto che y P a significa che f (y) a, così (1 λ) f (x) + λ f (y) (1 λ)a + λa = a. Combinando le ultime due disuguaglianze, abbiamo f ((1 λ)x + λy) a, così che (1 λ)x + λy P a. Allora ogni insieme di livello superiore è convesso e perciò f è quasiconcava.

4 Pagina 4 di 7 L'inverso di questo risultato non è vero: una funzione quasiconcava può non essere concava. Consideriamo, per esempio, la funzione f (x, y) = xy definita nell'insieme delle coppie di numeri reali non negativi. Questa funzione è quasiconcava (i suoi insiemi di livello superiori sono gli insiemi dei punti sopra l'iperbole), ma non è concava (per esempio, f (0, 0) = 0, f (1, 1) = 1, e f (2, 2) = 4, così che f ((1/2)(0, 0) + (1/2)(2, 2)) = f (1, 1) = 1 < 2 = (1/2) f (0, 0) + (1/2) f (2, 2)). Alcune proprietà delle funzioni quasiconcave sono date dal seguente risultato. (Vi è richiesto di provare il primo risultato in un esercizio.) Se f è quasiconcava e F è crescente, allora F ( f (x)) è quasiconcava. Se f è quasiconcava e F è decrescente, allora F ( f (x)) è quasiconcava. In uno degli esercizi vi è richiesto di dimostrare che la somma di funzioni quasiconcave può non essere quasiconcava. Funzioni di una sola variabile Le definizioni di sopra si applicano a qualsiasi funzione, comprese quelle ad una sola variabile. Per una funzione di una sola variabile, un insieme di livello superiore o inferiore è tipicamente un intervallo di punti, o un'unione di intervalli. Nella figura seguente, per esempio, l'insieme di livello superiore per il valore a---cioè, l'insieme dei valori di x per i quali f (x) a---è l'unione dei due intervalli in blu dei valori di x: l'insieme di tutti i valori che sono sia compresi tra x e x sia più grandi di x. Disegnando alcuni esempi, dovreste esser in grado di convincervi del prossimo risultato. Una funzione f di una sola variabile è quasiconcava se e solo se è essa è non decrescente, non crescente, o esiste un x* tale che f è non decrescente per x < x* e non crescente per x > x*. Notate che questo risultato NON si applica alle funzioni di più variabili! Un'altra definizione di quasiconcavità A volte è utile la seguente definizione alternativa di funzione quasiconcava (di qualsiasi numero di variabili). Una funzione multivariata f è quasiconcava se e solo se per ogni x S, ogni x S, ed ogni λ [0,1] abbiamo se f (x) f (x ), allora f ((1 λ)x + λx ) f (x ).

5 Pagina 5 di 7 Vale a dire che una funzione è quasiconcava se e solo se il segmento che unisce i punti appartenenti a due curve di livello non giace mai sotto alla curva di livello corrispondente al valore più piccolo della funzione. Questa condizione è illustrata nella seguente figura, in cui a > a: tutti i punti sulla linea verde, che uniscono x e x, giacciono su o sopra la curva di indifferenza corrispondente al valore più piccolo della funzione (a). Quasiconcavità stretta Questa definizione di quasiconcavità giustifica la seguente riguardo alle funzioni quasiconcave strettamente. Definizione La funzione multivariata f definita in un insieme convesso S è quasiconcava strettamente se per ogni x S, ogni x S con x x, ed ogni λ (0,1) abbiamo se f (x) f (x ), allora f ((1 λ)x + λx ) > f (x ). Cioè, una funzione è quasiconcava strettamente se tutti i punti, eccetto i punti di frontiera del segmento che unisce i punti appartenenti a due curve di livello, giacciono strettamente sopra la curva di livello corrispondente al valore più basso della funzione. Per una funzione di una sola variabile, questa definizione dice che una funzione strettamente quasiconcava non ha sezioni piatte. Per una funzione di due variabili, la definizione dice che nessuna curva di indifferenza di una funzione strettamente quasiconcava contiene un segmento. Due esempi di funzioni che non sono strettamente quasiconcave (sebbene le curve di livello indicate siano coerenti con la quasiconcavità della funzione) sono mostrate nella seguente figura. In entrambi i casi, la curva di livello rossa contiene un segmento. (Nel diagramma di destra, è così perché è "spessa"---vedi l'esempio di prima.) Come possiamo dire se una funzione è quasiconcava o quasiconvessa? Per determinare quando una funzione derivabile due volte sia quasiconcava o quasiconvessa, dobbiamo esaminare i determinanti dell'hessiano orlato della funzione, definito così:

6 Pagina 6 di 7 0 f 1 (x) f 2 (x)... f r (x) f 1 (x) f 11 (x) f 12 (x)... f 1r (x) D r (x) = f 2 (x) f 12 (x) f 22 (x)... f 2r (x) f r (x) f 1r (x) f 2r (x)... f rr (x) Notate che una funzione di n variabili ha n Hessiani orlati, D 1,..., D n. Sia f una funzione multivariata con derivate parziali del primo e secondo ordine continue in un insieme aperto convesso S. Se f è quasiconcava, allora D 1 (x) 0, D 2 (x) 0,..., D n (x) 0 se n è dispari e D n (x) 0 se n è pari, per ogni x in S. (Notate che la prima condizione è automaticamente soddisfatta.) Se f è quasiconvessa, allora D k (x) 0 per ogni k, per ogni x in S. (Notate che la prima condizione è automaticamente soddisfatta.) Se D 1 (x) < 0, D 2 (x) > 0,..., D n (x) < 0 se n è dispari D n (x) > 0 se n è pari per ogni x in S, allora f è quasiconcava. Se D k (x) < 0 per ogni k, per ogni x in S, allora f è quasiconvessa. Un altro modo per stabilire questo risultato è affermare che "D 1 (x) 0, D 2 (x) 0,..., D n (x) 0 se n è dispari e D n (x) 0 se n è pari, per ogni x in S" è una condizione necessaria per la quasiconcavità, dove "D 1 (x) < 0, D 2 (x) > 0,..., D n (x) < 0 se n è dispari e D n (x) > 0 se n è pari per ogni x in S" è una condizione sufficiente, e analogamente per la quasiconvessità. Notate che le condizioni non coprono tutti i casi possibili! Se, per esempio, D k (x) 0 per ogni k, per ogni x, ma D r (x) = 0 per un certo r ed un certo x, allora il risultato non ci nega la possibilità che la funzione sia quasiconvessa, ma non ci dice che lo sia. Esempio: Consideriamo la funzione f (x) = x 2 per x > 0. Abbiamo D 1 (x) = 4x 2 < 0 per ogni x > 0, deduciamo così che questa funzione è sia quasiconcava sia quasiconvessa nell'insieme {x: x > 0}. Esempio: Consideriamo la funzione f (x) = x 2 per x 0. Abbiamo D 1 (0) = 0, quindi questa funzione non soddisfa le condizioni sufficienti per la quasiconcavità o per la quasiconvessità, infatti essa è sia quasiconcava che quasiconvessa. Esempio: Consideriamo la funzione f (x 1,x 2 ) = x 1 x 2. Per x > 0 le condizioni sufficienti per la quasiconcavità sono soddisfatte, mentre le condizioni necessarie per la quasiconvessità non lo sono. Così la funzione è quasiconcava e non quasiconvessa nell'insieme {x: x > 0}. Per x 0 le condizioni sufficienti per la quasiconcavità non sono soddisfatte, ma le condizioni

7 Pagina 7 di 7 Esercizi necessarie non sono violate. (La funzione è infatti quasiconcava nel suo dominio.) Copyright by Martin J. Osborne