1. Introduzione 2. la Notazione Posizionale 3. I SISTEMI. Binario (Base 2) Ottale (Base 8) Esadecimale (Base 16) 4. Riassunto 5.

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2 1. Introduzione 2. la Notazione Posizionale 3. I SISTEMI Binario (Base 2) Ottale (Base 8) Esadecimale (Base 16) 4. Riassunto 5. Esercizi

3 Panico!!!! NOOO!!!!

4

5 Io sono un Corvo e riesco a contare fino a 4

6

7 L'Osso d'ishango

8 1 10

9 X X X X60 0 =

10

11

12

13

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15

16

17 La notazione posizionale L insieme degli oggetti e delle regole atte a rappresentare le grandezze numeriche Il valore della cifra dipende dal valore dalla posizione che occupa all interno del numero stesso. Sistema di Numerazione Sistema Posizionale Il Sistema Decimale È un sistema di Numerazione Posizionale in Base 10

18 Il Sistema Decimale È un sistema di Numerazione Posizionale in Base 10 per rappresentare un numero decimale Si usano 10 simboli diversi (Base 10) (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Ogni simbolo assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa all interno del numero. Tali simboli sono chiamati cifre. Il valore di un numero = Somma dei valori che assumono le singole cifre Il valore di una cifra = cifra stessa X Potenza della Base (l Esponente della Base dipende dalla posizione della cifra all interno del numero)

19 43210 posizione della cifra = 7 X X X X X 10 0 = 7 X X X X X 1 = Nota: 10 0 = 1

20 Un dubbio atroce Perché 10 0 = 1 Spiegazione 10 0 = 10 n - n = 10 n : 10 n = = 10 n 10 n = = 1

21 Cifra Più significativa Cifra meno significativa Cifra Posizione Base Potenza Prodotto * * * * * * * * * * * * * * * * * * 10 0 Somma

22 Ultimi dubbi Nei sistemi di numerazione posizionali se: Sposto le cifre che compongono un numero di una posizione verso destra equivale a dividere il numero stesso per la base; 124 Spostato di una posizione verso destra diventa 12,4 Sposto le cifre che compongono un numero di una posizione verso sinistra equivale a moltiplicare il numero stesso per la base; 1240 Spostato di una posizione verso destra diventa 124

23

24 0 1

25 Io parlo Italiano uuu oooo uu ah ah ah = cifre 14 cifre

26 =?

27 Panico!!!!!!

28 Binario Decimale

29 Binario Decimale

30 Panico al quadrato!!!!!!!!

31 LSB (Less Significat Bit) (Bit Meno Significativo) MSB (Most Significat Bit) (Bit Più Significativo)

32 Se n è il numero dei bit a disposizione, si possono rappresentare fino a 2 n numeri, dove 0 è il più piccolo e 2 n -1 è il più grande.

33 Esercizi Decimale Binario Binario Decimale (25)10 = (11001)2 (100100)2 = (36)10 (38)10 = (100110)2 (110000)2 = (48)10 (147)10 = ( )2 ( )2 = (121)10 (213)10 = ( )2 ( )2 = (185)10

34 Il Prof. Caro Homer dopo aver studiato il sistema binario, oggi voglio parlarti del Sistema Ottale { Panico Base = 8 Cifre = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 al quadrato!!!

35 Homer: Senta Prof. ma non le bastava il sistema binario? Era proprio necessario farmi studiare anche il sistema ottale? Il Prof. Guarda Homer, io penso di farti un favore introducendoti anche il sistema ottale Homer Ah si? E sentiamo un po, perché mi faresti un favore. Okkio che ho l indice sensibile.

36 Il Prof. Calma Homer, i numeri binari, anche quelli di valore non molto elevato, sono rappresentati da sequenze di cifre molto lunghe e quindi difficili da leggere. Ad esempio: = cifre 19 cifre Come vedi per la rappresentazione decimale occorrono solo 6 cifre. Per la stessa in binario ne occorrono 19. E non mi dire che leggi meglio il numero in binario rispetto al decimale perché non è vero

37 Homer Ok! E quante cifre risparmio se lo stesso numero lo rappresento in ottale? Il Prof. Il numero in ottale si rappresenta così: = = cifre 19 cifre 7 cifre Come vedi, per rappresentare il numero nel sistema binario occorrono 19 cifre e nel sistema ottale ne occorrono solo 7. Quindi, rispetto alla rappresentazione binaria, risparmi 19-7 = 12 cifre. Rispetto alla decimale, invece, ti occorre una sola cifra in più (7 invece che 6).

38 Panico!!!!!! Homer E come faccio ora per passare dalla base 2 alla base 8? Da BINARIO -----> OTTALE BINARIO OOO OTTALE O Il Prof. Per prima casa devi capire bene come si costruisce questa tabella e poi la devi memorizzare Ricordati che con n cifre puoi rappresentare 2 n numeri di cui o è il numero più piccolo e OO1 1 O1O 2 O11 3 1OO 4 1O1 5 11O n -1 è il numero più grande.

39 Il Prof. Fortunatamente il passaggio dalla base 2 alla base 8 è semplicissimo. Dato che 8 è una potenza di due (8 = 2 3 ), si può facilmente passare dalla base binaria (2) alla base ottale (8), raggruppando i bit tre a tre a partire da destra Numero Binario BINARIO OTTALE Bit raggruppati 3 a 3 partendo da destra OOO O OO1 1 O1O 2 Numero Ottale O11 3 1OO 4 1O1 5 ( ) 10 = ( ) 2 = ( ) 8 6 cifre 19 cifre 7 cifre 11O

40 Il Prof. Facciamo un altro esempio. Homer vai alla lavagna e vediamo se hai capito. Dimostrami che: BIN OTT OOO O OO = O1O 2 O11 3 1OO Mitico 1O1 5 11O Il Prof. Ottimo Homer. Hai preso 7.

41 Homer E se volessi passare dalla base 8 alla base 2, come si fa? Faccio il processo inverso? Il Prof. (da OTTALE ----> BINARIO) Esattamente. Vediamo se ti riesce a trasformare in binario il numero ottale BIN OOO OTT O OO1 1 O1O 2 O OO 4 1O = O

42 Il Prof. (da OTTALE ----> BINARIO) Caro Hamer, facciamo un altro esempio per meglio fissare il concetto BIN OTT OOO O OO1 1 O1O O11 3 1OO 4 1O1 5 11O =

43 Il Prof. (STATO DELL ARTE) Bene. Finora abbiamo visto come si fanno le seguenti conversioni: Binario Decimale Ottale

44 Binario Homer E se volessi passare dalla base OTTALE alla base DECIMALE (freccia verde)? Decimale Ottale Il Prof. È facilissimo a patto che ti ricordi quanto detto a proposito del sistema posizionale. E se la memoria fa i capricci, diamogli un aiutino con una piccola rinfrescata. Accidenti. Mi ricordo tutte le cose importanti ma il sistema posizionale adesso mi sfugge...

45 Il Sistema Decimale È un sistema di Numerazione Posizionale in Base 10 per rappresentare un numero decimale Si usano 10 simboli diversi (Base 10) (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Ogni simbolo assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa all interno del numero. Tali simboli sono chiamati cifre. Il valore di un numero = Somma dei valori che assumono le singole cifre Il valore di una cifra = cifra stessa X Potenza della Base (l Esponente della Base dipende dalla posizione della cifra all interno del numero)

46 posizione della cifra = 7 X X X X X 10 0 = 7 X X X X X 1 = Nota: 10 0 = 1

47 Il Prof. Ora se vuoi passare dalla base 8 alla base 10 devi applicare lo stesso procedimento, ma devi sostituire la base 10 con la base 8. OTTALE ---> DECIMALE =? POSIZIONE delle cifre = 2 * * * * * * 8 0 = 2 * * * * * * 1 = = =

48 Il Prof. Homer, vediamo se hai capito. Sapresti convertirmi il numero ottale in decimale? POSIZIONE delle cifre = 2 * * * * * 8 0 Mitico = 2 * * * * 8 + 4* 1 = = =

49 Il Prof. (STATO DELL ARTE) Caro Homer, finora abbiamo visto come si fanno le seguenti conversioni: Binario Decimale Ottale Quindi, per togliere l ultimo punto interrogativo (freccia verde), non ci rimane altro che vedere come si fa l ultima conversione da Decimale ad Ottale.

50 Il Prof. (da DECIMALE ----> OTTALE) Per trasformare un numero decimale in ottale, si fa esattamente come per la trasformazione di un numero decimale in binario, cioè effettuando delle divisioni e tenendo conto dei resti, ricordando però che si deve dividere per 8 e non per 2. Decimale ---> Ottale Decimale ---> Binario (100)10 = ( )2 = (144)8

51 Il Prof. (da DECIMALE ----> OTTALE) << Homer, se riesci a risolvere i due esercizi ti metto 8 sul registro. Te la senti? >> Meno male che che ci dovevano essere pochi calcoli Homer << Ci provo, a patto di non dover fare delle trasformazioni con molti calcoli. Sono abbastanza stanco >> (4003) 10 = (...?...) = 8 x = 8 x = 8 x = 8 x (985999) 10 = (...?...) = 8 x = 8 x = 8 x = 8 x = 8 x = 8 x = 8 x (4003) 10 = (7643) 8 (985999) 10 = ( ) 8

52 Il Prof. << Bravissimo Homer. Voglio premiare la tua pazienza ed il tuo impegno con un 9 sul registro. Mitico Adesso ti puoi anche rilassare

53 Il Prof. Riepilogando abbiamo spiegato i seguenti cambiamenti di base: Binario 118 Decimale Ottale 166

54 Esercizi per casa Dimostra che: NOO!!!!!! (780)10 = ( )2 = (1414)8 (2345)10 = ( )2 = (4451)8 OCCUPIAMO (5963)10 = ( )2 = (13513)8 (5963)10 = ( )2 = (13513)8 (358421)10 = (...?...)8 BASTA!!!!!!! SCIOPERO!!!!! (42853)10 = (...?...)8

55 Il Prof. Salve Homer oggi sostituisco il collega di informatica. Mi ha chiesto di spiegarti il Sistema Esadecimale Panico al quadrato!!!

56 Il Prof. Non capisco come mai il collega mi ha detto di stare attento. Ah SI? Il Prof. Homer non ti devi preoccupare. Il sistema ESADECIMALE è molto semplice da capire, soprattutto quando hai già assimilato la conversione tra le basi decimale, binaria ed ottale

57 Per il sistema ESADECIMALE possiamo fare le stesse considerazioni fatte per le altri basi cioè: Base = 16 = 2 4 Sistema Esadecimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Cifre = + A, B, C, D, E, F 10, 11, 12, 13, 14, 15 Quindi, per le prime 10 cifre si usano le cifre decimali, per i i numeri 10, 11, 12, 13, 14 e 15 rispettivamente le lettere A, C, C, D, E ed F.

58 Ti ricordo che, in generale, quando la base b > 10, si aggiungono ai simboli numerici le lettere dell alfabeto. Ecco perchè per il sistema esadecimale, dopo le prime cifre 10, si usano le lettere A,B,C,D,E,F rispettivamente per i valori 10,11,12,13,14,15. Panico al quadrato!!! Decimale Binario Ottale Esadecimale A B C D E F

59 Il mio collega, nelle precedenti lezioni, ti ha mostrato le seguenti conversioni. Quindi ti rimane da capire le conversioni 4, 5 e 6. Binario 1 2 Decimale 3 Ottale EsaDecimale

60 BINARIO ---> ESADECIMALE Poiché 16 è una potenza di due (16 = 2 4 ), si può facilmente passare dalla base binaria alla base esadecimale raggruppando i bit 4 a 4 (invece che 3 a 3) sempre partendo da destra B C F cifre 6 cifre ( ) 2 = (BCF834) 16 Binario ESADEC A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F

61 24 cifre 6 cifre ( ) 2 = (BCF834)16 8 cifre = ( ) 10 Il Prof. Anche per il sistema esadecimale vale lo stesso discorso che il collega ti ha fatto a proposito del sistema Ottale. Anzi qui è molto più evidente Homer È vero. Forte! Quindi per rappresentare questo numero nel sistema decimale occorrono 8 cifre, in quello binario 24 mentre in quello esadecimale solo 6. Dunque, risparmio spazio ma consumo troppo la mia preziosa materia grigia, in quanto faccio difficoltà ad associare le lettere ai numeri (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)

62 Il Prof. Io utilizzo il seguente trucchetto: associo alle 5 dita della mia mano destra le coppie (numeri, lettere) e sul palmo la coppia (15, F). A me funziona come tecnica mnemonica. E D 13 C 12 B F 15 A 10

63 0111 ESADECIMALE ---> BINARIO Binario ESADEC E se volessi passare dalla base 16 alla base 2, applico il processo inverso! IL PROF: Si, vedi che hai capito. Comunque facciamo un esempio 7AB A B A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F AB =

64 ESADECIMALE ---> BINARIO Caro Hamer, facciamo un altro esempio per meglio fissare il concetto BA8F9 16 B A 8 F Binario ESADEC A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F BA8F916 =

65 STATO DELL ARTE Bene. Finora abbiamo visto come si fanno le seguenti conversioni: Binario 1 2 Decimale 3 Ottale EsaDecimale

66 ESADECIMALE ---> DECIMALE 2A6F16 =? A6F 16 POSIZIONE delle cifre = 2 * A* * F* 16 0 = 2 * A * * 16 + F * 1 = * * 1 = = A6F 16 =

67 DECIMALE ---> ESADECIMALE Per trasformare un numero decimale in Esadecimale, si fa esattamente come per la trasformazione di un numero decimale in binario, cioè effettuando delle divisioni e tenendo conto dei resti, ricordando però che si deve dividere per 16 e non per 2. (1863) 10 = (...?...) 16 (35899) 10 = (...?...) = 16 x = 16 x = 16 x = 16 x = 16 x = 16 x = 16 x = B 3 = C 8 (1863) 10 = (747) 16 (35899) 10 = (8C3B) 16

68 STATO DELL ARTE Bene. E anche la freccia 5 è diventata verde. Rimane la freccia 6. Per esercizio, a casa prova ad effettuale la conversione Edasecimale ad Ottale e viceversa. Binario 1 2 Decimale 3 Ottale 5 4 EsaDecimale 6

69 Esercizi per casa NOO!!!!!! Dimostra che: BASTA!!!!!!! SCIOPERO!!!!! OCCUPIAMO

70 Riassunto o succo del discorso

71 Prof: ma cosa devo saper fare al compito? Devi saper effettuare le seguenti conversioni Binario Decimale Ottale EsaDecimale Nella pagina successiva ti ho fatto un esempio riepilogativo.

72 BIN OTT [B] n 2 - [H] 168 : 8 = : 8 = : 8 = [A] 7 = 1* 2 + 0* 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = [G] * * * * B [C] 1 + 1* 2 + 0* 2 1* * * * * 2 + 0* 1 = 186 [H] A 0 Dec Ott Bin ESA A :2 - [A] B :8 - [A] [B] [C] C 1101 D Dec 186 n 8 - [F] Ott 272 [B] Bin [C] Esa BA E 1111 F n 16 - [E] :16 - [D] 168 : 16 = = A [D] 11 : 16 = = B posizione numero esadecimale BA = B * 16 + A * 16 0 = 11 * * 1 = = 186 [E] posizione numero Ottale = 2 * * * 8 0 = 2 * * * 1 = = 186 [F]

73 Esercizi Conversioni tra le basi Binario 1 2 Decimale 3 Ottale EsaDecimale

74 DECIMALE --> BINARIO CONVERSIONE BINARIO ---> DECIMALE numero base quoziente resto N Binario Posizione Peso Val. Decim Prodotti = * * * * * *2 1 +1*2 0 = = numero base quoziente resto N Binario Posizione Peso Val. Decim Prodotti Somma Most Significant Digit (Bit Più Less Significant Digit (Bit Meno Significativo) = MSB LSB numero base quoziente resto N Binario Posizione Peso Val. Decim Prodotti Somma * * * * * *2 5 +1* * * * *2 0 = = = =

75 DECIMALE --> BINARIO numero base quoziente resto ESERCIZI Convertire i seguenti numeri da decimali in binario: = ( ) 2 Soluzione: = = ( ) 2 Soluzione: = = ( ) 2 Soluzione: = = numero base quoziente resto Convertire i seguenti numeri da binario a decimale: = ( ) 10 Soluzione: = = ( ) 10 Soluzione: = = ( ) 10 Soluzione: = E' possibile, senza effettuare alcuna conversione, determinare se un numero espresso in binario è pari o dispari? =

76 I numeri binari non sono facilmente leggibili: = Dall'esempio si capisce che è difficile stabilirne anche l'ordine di grandezza, se non fosse stato espresso in decimale. Per questo motivo si preferisce al sistema binario il sistema OTTALE (base 8) oppure il sistema ESADECIMALE (base 16) DECIMALE (base cifre) BINARIO (base 2-2 cifre) OTTALE (base 8-8 cifre) ESADECIMALE (base cifre) A B C D E F Sistema di numerazione OTTALE: si basa su 8 cifre (da 0 a 7) Sistema di numerazione ESADECIMALE Aggiunge alla 10 cifre del sistema Decimale (0, 1, 2,., 7, 8, 9) le prime 6 lettere dell'alfabeto (A, B, C, D, E, F)

77 CONVERSIONE BINARIO ---> OTTALE = = Essendo 8 la base del sistema ottale, ed essendo 8=2 3, per convertire un munero binario in ottale è sufficiente raggruppare le cifre binarie 3 alla volta partendo dal bit meno significativo e trasformarle nella corrispondente cifra ottale = = = = CONVERSIONE OTTALE ---> BINARIO Per convertire un numero in base 8 nel corrispondente numero in base 2 basta trasformare ogni cifra ottale nella corrispondente terna di cifra binaria (essendo 8 = 2 3 ) aggiungendo per ognuna gli zeri più significativi se necessari = = =

78 CONVERSIONE OTTALE ---> DECIMALE = 1* * *8 0 = 1*64 + 5*8 + 3*1 = = = 7*8 4 +6*8 3 +7*8 2 +4*8 1 +5*8 0 = 7*4096+6*512+7*64+4*8+5*1 = = posizione = 5* * * * * *8 0 5 * * * * * * 1 = = = posizione = 1 * * * * * * * 8 0 1* * * * *64 + 6*8 + 5*1 = = CONVERSIONE DECIMALE ---> OTTALE DIVISORE BASE QUOZ R = DIVISORE B QUOZ R DIVISORE BASE QUOZ R = DIVISORE B QUOZ R = =

79 DECIMALE (base cifre) BINARIO (base 2-2 cifre) OTTALE (base 8-8 cifre) ESADECIMALE (base cifre) A B C D E F Sistema di numerazione OTTALE: si basa su 8 cifre (da 0 a 7) Sistema di numerazione ESADECIMALE Aggiunge alla 10 cifre del sistema Decimale (0, 1, 2,., 7, 8, 9) le prime 6 lettere dell'alfabeto (A, B, C, D, E, F) Passaggio sistema esadecimale ----> sistema binario e viceversa Per quanto riguarda il sistema di numerazione in base 16 vale lo stesso discorso che abbiamo fatto per la base 8 con le dovute modifiche. In questo caso, essendo 16 = 2 4, i raggruppamenti non devono essere di 3 cifre come per la base ottale bensi di 4 cifre alla volta. Consideriamo nuovamente il numero decimale Abbiamo visto in precedenza che tale numero, trasformato in binario, risulta essere pari a: = Partendo dalla sinistra del numero binario (quello rosso per intenderci), raggruppiaqmo le sue cifre 4 a 4 e, in base alla tabella di conversione, convertiamo le 4 cifre binarie in esadecimale (vedi pagina successiva). Sicuramente la rappresentazione in base 16 risulta evidentemente più leggibile rispetto alla corrispondente base 2 in quanto è composta solamente da 5 cifre esadecimali a fronte delle 20 bimatie.

80 = F base 2 base = = F Dimostrare che: = = B4EC5 16 DIVISORE BASE QUOZ R Cifra Meno Significativa LSD Less Significant Digit passo 1: decimale > binario = ESEMPIO DI CONVERSIONE DECIMALE ----> BINARIO -----> ESADECIMALE Cifra Più Significativa MSD Most Significant Digit base 2 B 4 E C 5 base 16 Passo 2: binario -----> Esadecimale = B4EC5 16

81 Convertire il numero decimale in esadecimale direttamente senza convertirlo prima in binario. DIVISORE BASE QUOZ R DIVISORE = 966F1 16 Convertire il numero decimale in esadecimale direttamente senza convertirlo prima in binario. BASE QUOZ R Esadec Esadec C 1 F Convertire il numero prima in binario, poi in ottale ed infine in esadecimale. DIVISORE BASE QUOZ R B = B307C = = Convertire direttamente in esadecimale il numero decimale DIVISORE BASE QUOZ R Esadec B F B = 1FB F = 1FB57 16

82 Esercizio: convertire il numero esadecimale B2214FF nel corrispondente numero decimale. Primo metodo: Esadecimale ----> Binario ----> Decimale B F F posizione = Secondo metodo: Esadecimale ----> Decimale B F F = B* * * * * F* F*16 0 posizione = 11* * * * * * *16 0 = 11 * * * * * * *1 = = ESERCIZIO: trasforma il numero esadecimale A25 nel corrispondente numero decimale. A = A * * * = 10 * * *16 0 = 10 * *16 + 5*1 = = 2597 A =