Algebra Lineare Chiara Martinengo Teo Mora February 12, 2010

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1 Algebra Lineare Chiara Martinengo Teo Mora February 12, 2010

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3 1 Spazi vettoriali 5 11 Spazi vettoriali 5 12 Sistemi di generatori, dipendenza lineare 9 13 Basi, dimensione 13 2 Funzioni lineari Funzioni lineari Immagine e nucleo Composizione di funzioni lineari 24 3 Matrici Rappresentazione di spazi vettoriali finiti Matrici Aritmetica delle matrici Matrici e cambio di basi 38 4 Riduzione di Gauss Sistemi lineari e matrici Funzioni lineari e matrici a scala per colonne Calcolare dimensione e base di Im(φ) e ker(φ) Tenere un brogliaccio Riduzione di Gauss Sistemi lineari e matrici ridotte per colonne Riduzione di Gauss completa Operazioni e matrici elementari 64 5 Determinante Unicità del determinante Proprietà del determinante Determinante Calcolo del determinante 78 A Esistenza del determinante 81 A1 Linearità rispetto alle righe 81 A2 Unicità del determinante 84 A3 Determinante di Leibniz-Cramer 85 3

4 4 B Note storiche sul determinante 91 B1 Definizione ricorsiva di determinate 92 B2 Sviluppi per minori 93 B3 Proprietà del determinante 95 B4 Regola di Cramer 96 B5 Algoritmo di Bézout 96 Indice 97

5 Capitolo 1 Spazi vettoriali 11 Spazi vettoriali Notazione 1 Nel corso di questo testo F denota un qualsiasi corpo commutativo, ad es Q, R, C 1 denota l identità di F Definizione 2 Un insieme V è detto uno spazio vettoriale su F (o un F-spazio vettoriale) se è dotato di due operazioni: una somma + : V V V e un prodotto per uno scalare : V F V che soddisfano le seguenti proprietà (i) (v 1 +v 2 )+v 3 = v 1 +(v 2 +v 3 ), per ogni v 1, v 2, v 3 V (proprietà associativa); (ii) esiste un vettore 0 V, detto il vettore nullo, per cui v + 0 = v = 0 + v per ogni v V (esistenza di uno zero); (iii) per ogni vettore v V esiste un vettore v V tale che v + v = 0 = v + v (11) (esistenza di un opposto); (iv) v 1 + v 2 = v 2 + v 1 per ogni v 1, v 2 V (proprietà commutativa); 5

6 6 CAPITOLO 1 SPAZI VETTORIALI (v) v (αβ) = (v α) β per ogni α, β F e v V (proprietà distributiva del prodotto di F); (vi) v (α+β) = (v α)+(v β) per ogni α, β F e v V (proprietà distributiva della somma di F); (vii) (v 1 + v 2 ) α = (v 1 α) + (v 2 α) per ogni α F e v 1, v 2 V (proprietà distributiva della somma di V ); (viii) v 1 = v per ogni v V Lemma 3 In uno spazio vettoriale V su F valgono le seguenti ulteriori proprietà: (1) Il vettore nullo è unico; (2) per ogni vettore v V, v 0 = 0; (3) per ogni α F, 0 α = 0; (4) per ogni vettore v V il vettore v V che soddisfa (11) è unico ed è chiamato il vettore opposto di v; (5) per ogni vettore v V v ( 1) è il suo vettore opposto; (6) per ogni vettore v V e ogni α F, se v α = 0 allora o α = 0 oppure v = 0 Dimostrazione (1) supponiamo che ci siano due vettori z 1, z 2 V che soddisfano (ii): allora (2) Abbiamo da cui z 1 = z 1 + z 2 = z 2 v + v 0 = v 1 + v 0 = v (1 + 0) = v 1 = v = v + 0 v 0 = 0+v 0 = (v +v)+v 0 = v +(v+v 0) = v +(v+0) = (v +v)+0 = 0+0 = 0 (3) Fissando un qualunque vettore v V, dal risultato precedente abbiamo 0 α = (v 0) α = v (0α) = (v α) 0 = 0 (4) Supponiamo che ci siano due vettori v, v V che soddisfano (11): allora v = v + 0 = v + (v + v ) = (v + v) + v = 0 + v = v

7 11 SPAZI VETTORIALI 7 (5) Abbiamo v + (v ( 1)) = (v 1) + (v ( 1)) = v (1 + ( 1)) = v 0 = 0 (6) Supponiamo che v α = 0 ma α 0 sicchè possiede l inverso α 1 ; allora v = v 1 = v (αα 1 ) = (v α) α 1 = 0 α 1 = 0 Notazione 4 Dal momento che, per ogni v V, il suo unico opposto v V soddisfa anche la relazione v = v ( 1) è usuale denotare tale elemento anche come v = v Di conseguenza, per ogni α F la notazione vα rappresenta il vettore v ( α) Esempio 5 L esempio più ovvio di spazio vettoriale è l insieme dei vettori usati in Fisica Altri esempi significativi sono: l insieme F[X] dei polinomi a coefficienti su F, l R-spazio vettoriale delle funzioni di variabile reale definite su R, il suo sottinsieme 1 delle funzioni che sono continue (oppure derivabili; oppure dotate di tutte le derivate di qualsiasi ordine) Esempio 6 Altri esempi provengono dalla risoluzione di sistemi di equazioni lineari: ad esempio l insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee, oppure l insieme delle equazioni lineari soddisfatte da un sottospazio di uno spazio vettoriale e l insieme (Corollary 79) M mn (F) delle matrici m n ad elementi in F Esempio 7 L insieme F n, n N, delle n-uple di elementi in F a 1 F n a 2 =, a i F a n formano uno spazio vettoriale essendo dotato della somma e del prodotto definiti da a 1 b 1 a 1 + b 1 a 1 γ a 2 a 2 + b 2 a 2 γ a n + b 2 b n = a n + b n 1 in realtà un sottospazio (Definizione 9) e a 1 a 2 a n γ = a n γ

8 8 CAPITOLO 1 SPAZI VETTORIALI In particolare R n è uno spazio vettoriale su R v n Notazione 8 Per motivi che saranno chiari più avanti (Osservazione 95), è meglio considerare, come abbiamo fatto qui, ogni vettore v F n come una v 1 v 2 colonna v = mentre evidenti questioni tipografiche suggerisono di rap- presentarlo come una riga v = (v 1, v 2,, v n ) L ovvia soluzione è quella di rappresentare il vettore come una riga ma considerarlo come il trasposto (cf Definizione 65 e Osservazione 72) del vettore, che viene così sempre pensato come un vettore colonna: (v 1, v 2,, v n ) = v T, (v 1, v 2,, v n ) T = v = Definizione 9 Sia V un F-spazio vettoriale e sia W V un sottinsieme non vuoto di V W è detto sottospazio di V se valgono le due seguenti proprietà: (a) w 1, w 2 W = w 1 + w 2 W ; v 1 v 2 v n (b) w W, α F = w α W Lemma 10 Sia V un F-spazio vettoriale e sia W V un sottinsieme di V Le due seguenti condizioni sono equivalenti: (1) W è un sottospazio vettoriale di V ; (2) w 1, w 2 W, α 1, α 2 F = w 1 α 1 + w 2 α 2 W Dimostrazione (1) = (2) Per (b) abbiamo w 1 α 1 W e w 2 α 2 W sicchè per (a) abbiamo w 1 α 1 + w 2 α 2 W (2) = (1) Otteniamo (a) ponendo α 1 := α 2 := 1 e (b) ponendo α 2 := 0, α 1 := α, w 1 := w Lemma 11 Per ogni sottospazio W V vale 0 W Dimostrazione Poichè W non è vuoto, esiste w W e quindi 0 = w 0 W

9 12 SISTEMI DI GENERATORI, DIPENDENZA LINEARE 9 Esempio 12 I più ovvi, e i più cruciali, esempi di sottospazi vettorali in connessione con sistemi di equazioni lineari sono i seguenti: (1) Si consideri il sistema di equazioni lineari a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (12) Il sottinsieme di F n che consiste delle soluzioni x 1 (x 1, x 2,, x n ) T x 2 = Fn x n del sistema (12) è un sottospazio vettoriale (2) Dati v 1,, v n V, il sottinsieme n W := v j λ j, (λ 1, λ 2,, λ n ) T F n V j=1 è un sottospazio (cf Osservazione 15) 12 Sistemi di generatori, dipendenza lineare Definizione 13 Consideriamo un F-spazio vettoriale V ed un insieme v 1,, v j,, v n di elementi di V Ogni vettore v V che può essere espresso v = v 1 λ 1 + v 2 λ v j λ j + + v n λ n : λ j F, 1 j n, è detto combinazione lineare di v 1,, v j,, v n L insieme di tutte le combinazioni lineari di v 1,, v j,, v n è uno F-spazio vettoriale, rispetto alle stesse operazioni di V e si chiama lo spazio vettoriale generato da v 1,, v j,, v n Esempio 14 (a) Siano v 1 = (1, 2, 3) T, v 2 = (2, 1, 1) T e v = (7, 4, 7) T ; v è combinazione lineare di v 1 e v 2 ; infatti v = v v 2 2

10 10 CAPITOLO 1 SPAZI VETTORIALI (b) Siano v 1 = (1, 2, 3) T, v 2 = (0, 0, 0) T e v = ( 3, 6, 9) T ; v è combinazione lineare di v 1 e v 2 ; infatti v = v 1 ( 3) + v 2 1 (c) Siano v 1 = (1, 2, 3) T, v 2 = (2, 1, 1) T e v = ( 3, 6, 9) T ; v è combinazione lineare di v 1 e v 2 ; infatti v = v 1 ( 3) + v 2 0 Osservazione 15 Sia W lo spazio vettoriale generato da v 1,, v j,, v n Poichè tutte le combinazioni lineari di v 1,, v j,, v n appartengono a V, W è un sottoinsieme di V Inoltre è facile verificare che è un sottospazio Esempio 16 (a) Sia v = (1, 2, 3) T ; il sottospazio di R 3 generato da v è W = { (λ, 2λ, 3λ) T λ R } (b) Siano v 1 = (1, 2, 3) T, v 2 = (2, 1, 1) T ; il sottospazio di R 3 generato da v 1 e v 2 è W = { (λ 1 + 2λ 2, 2λ 1 λ 2, 3λ 1 + λ 2 ) T λ 1, λ 2 R } Definizione 17 Un insieme v 1,, v j,, v n di elementi di uno spazio vettoriale V si dice sistema di generatori di V se ogni vettore v V può essere scritto come combinazione lineare v = v 1 λ 1 + v 2 λ v j λ j + + v n λ n : λ j F, 1 j n, di v 1,, v j,, v n Esempio 18 (a) I vettori e 1 = (1, 0, 0) T, e 2 = (0, 1, 0) T, e 3 = (0, 0, 1) T sono un sistema di generatori di R 3 Infatti per ogni vettore v = (a, b, c) T di R 3 si ha v = e 1 a + e 2 b + e 3 c (b) I vettori e 1 = (1, 0, 0) T, e 2 = (0, 1, 0) T, e 3 = (0, 0, 1) T, w = (1, 2, 3) T sono un sistema di generatori di R 3 Infatti per ogni vettore v = (a, b, c) T di R 3 si ha v = e 1 a + e 2 b + e 3 c + w0 (c) I vettori v 1 = (1, 1, 0) T, v 2 = (0, 1, 1) T, v 3 = (0, 1, 2) T sono un sistema di generatori di R 3 Infatti ogni vettore v = (a, b, c) T di R 3 si può scrivere come combinazione lineare di v 1, v 2, v 3, cioè si possono determinare λ j R, 1 j 3, tali che v 1 λ 1 + v 2 λ 2 + v 3 λ 3 = (a, b, c) T

11 12 SISTEMI DI GENERATORI, DIPENDENZA LINEARE 11 Questo corrisponde a trovare una soluzione del sistema lineare λ 1 = a λ 1 + λ 2 + λ 3 = b λ 2 + 2λ 3 = c Si ottiene λ 1 = a, λ 2 = b a, λ 3 = c b + a Osservazione 19 Un vettore v è combinazione lineare dei vettori v 1,, v n se e solo se per ogni a F ed ogni i, 1 i n, il vettore v + av i è combinazione lineare di v 1,, v n Osservazione 20 Se v 1,, v n, v n+1 generano V e v n+1 è combinazione lineare di v 1,, v n, allora v 1,, v n generano V Osservazione 21 Se v 1,, v i,, v n generano V allora v 1,, v i b + v j a,, v n generano V per ogni i, j, ogni a F ed ogni b F, b 0 Definizione 22 Dei vettori v 1,, v j,, v n appartenenti ad uno spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se esistono dei valori λ 1,, λ n non tutti nulli tali che 0 = v 1 λ 1 + v 2 λ v j λ j + + v n λ n Si dicono invece linearmente indipendenti se l unica loro combinazione lineare che dà il vettore nullo è quella a coefficienti tutti nulli, ossia 0 = v 1 λ 1 + v 2 λ v j λ j + + v n λ n = λ j = 0 per ogni j, 1 j n Osservazione 23 Se dei vettori v 1,, v j,, v n appartenenti allo spazio vettoriale V sono linearmente dipendenti, allora esiste un indice j per cui v j appartiene allo spazio vettoriale generato da v 1,, v j 1, v j+1,, v n Infatti per ipotesi esiste una combinazione lineare 0 = v 1 λ 1 + v 2 λ v j λ j + + v n λ n in cui almeno uno dei coefficienti λ j non è nullo; per un tale indice j abbiamo v j = (v 1 λ v j 1 λ j 1 + v j+1 λ j v n λ n ) ( λ 1 j ) = v 1 λ 1 λ 1 j v j 1 λ j 1 λ 1 j v j+1 λ j+1 λ 1 j v n λ n λ 1 j

12 12 CAPITOLO 1 SPAZI VETTORIALI Osservazione 24 Se dei vettori v 1,, v j,, v n appartenenti allo spazio vettoriale V sono linearmente indipendenti, necessariamente tra di loro non compare il vettore nullo Infatti il vettore nullo può essere rappresentato in vari modi 0 λ, λ F, come combinazione lineare di se stesso Esempio 25 di R 3 sono linear- (a) I vettori e 1 = (1, 0, 0) T, e 2 = (0, 1, 0) T, e 3 = (0, 0, 1) T mente indipendenti Infatti da (0, 0, 0) T = 0 = e 1 λ 1 + e 2 λ 2 + e 3 λ 3 = (λ 1, λ 2, λ 3 ) T segue λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 (b) I vettori e 1 = (1, 0, 0) T, e 2 = (0, 1, 0) T, e 3 = (0, 0, 1) T, w = (1, 2, 3) T di R 3 sono linearmente dipendenti Infatti si ha e 1 + e e 3 3 w = 0 (c) I vettori e 1, e 2, e 3, v = (3, 0, 0) T di R 3 sono linearmente dipendenti Infatti si ha e e e 3 0 v = 0 (d) I vettori v 1 = (1, 2, 1) T, v 2 = (3, 1, 0) T Infatti da sono linearmente indipendenti (0, 0, 0) T = v 1 λ 1 + v 2 λ 2 = (λ 1 + 3λ 2, 2λ 1 + λ 2, λ 1 ) T segue da cui λ 1 = λ 2 = 0 λ 1 + 3λ 2 = 0 2λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 = 0 (e) I vettori v 1 = (1, 2, 1) T, v 2 = (3, 1, 0) T, v 3 = (4, 3, 1) T sono linearmente dipendenti Infatti da segue (0, 0, 0) T = v 1 λ 1 + v 2 λ 2 + v 3 λ 3 = (λ 1 + 3λ 2 + 4λ 3, 2λ 1 + λ 2 + 3λ 3, λ 1 λ 3 ) T che ammette la soluzione non nulla λ 1 + 3λ 2 + 4λ 3 = 0 2λ 1 + λ 2 + 3λ 3 = 0 λ 1 λ 3 = 0 λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 1 Si poteva anche osservare che v 3 = v 1 + v 2 e dedurne la combinazione lineare nulla v 1 + v 2 v 3 = 0

13 13 BASI, DIMENSIONE 13 (f) I vettori v 1 = (1, 1, 0) T, v 2 = (0, 1, 1) T, v 3 = (0, 1, 2) T indipendenti Infatti da sono linearmente (0, 0, 0) T = v 1 λ 1 + v 2 λ 2 + v 3 λ 3 = (λ 1, λ 1 + λ 2 + λ 3, λ 2 + 2λ 3 ) T segue da cui λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 λ 1 = 0 λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0 λ 2 2λ 3 = 0 Osservazione 26 Nelle definizioni di combinazioni lineari, sistema di generatori e dipedenza/indipendenza lineare i vettori v 1,, v n sono considerati come un insieme finito non come una sequenza In altri termini gli indici hanno la sola funzione di distinguere gli elementi e non quella di enumerarli In particolare se si può suppone che, in una combinazione lineare v 1 λ 1 + v 2 λ v j λ j + + v n λ n, uno dei cofficienti λ j non sia nullo, allora si può altrettanto supporre che esso sia l ultimo coefficiente λ n oppure il primo coefficiente λ 1 Alla stessa maniera, dati un numero finito di vettori v j, v j+1, v n, una volta che si è potuto dimostrare l esistenza in quell insieme di un vettore che soddisfi una particolare proprietà, si può allora supporre, a patto di rienumerare l insieme di vettori, che il vettore con tale proprietà sia v j 13 Basi, dimensione Definizione 27 Si dice base dello spazio vettoriale V un sistema di suoi generatori costituito da vettori linearmente indipendenti Proposizione 28 Se v 1, v n è una base di V allora ogni elemento v V si scrive in modo unico come combinazione lineare della base v = v 1 λ 1 + v 2 λ v j λ j + + v n λ n Dimostrazione Poichè v 1, v n sono una base di V, ogni vettore di V può essere espresso come combinazione lineare v = v 1 λ 1 + v 2 λ v j λ j + + v n λ n della base Dobbiamo solo dimostrare che ogni qualunque altra rappresentazione v = v 1 µ 1 + v 2 µ v j µ j + + v n µ n

14 14 CAPITOLO 1 SPAZI VETTORIALI come combinazione lineare della base coincide con quella data, ossia che λ i = µ i per ogni i Infatti da n i=1 v iλ i = v = n i=1 v iµ i otteniamo la combinazione lineare n i=1 v i(λ i µ i ) = 0; poichè, per ipotesi, i vettori formano una base, tale combinazione è per forza nulla, ossia λ i = µ i per ogni i, 1 i n Esempio 29 (a) I vettori e 1 = (1, 0, 0) T, e 2 = (0, 1, 0) T, e 3 = (0, 0, 1) T sono una base di R 3 Sono infatti generatori di R 3 (cf Esempio 18(a)) e linearmente indipendenti (cf Esempio 25(a)) (b) I vettori v 1 = (1, 1, 0) T, v 2 = (0, 1, 1) T, v 3 = (0, 1, 2) T sono una base di R 3 Sono infatti generatori di R 3 (cf Esempio 18(c)) e linearmente indipendenti (cf Esempio 25(f)) (c) I vettori v 1 = (1, 2, 1) T, v 2 = (3, 1, 0) T non sono una base di R 3 Infatti sono linearmente indipendenti (cf Esempio 25(d)) ma non generano R 3 Si verifica infatti facilmente che il vettore e 3 = (0, 0, 1) T non è combinazione lineare di v 1 e v 2 (d) I vettori e 1 = (1, 0, 0) T, e 2 = (0, 1, 0) T, e 3 = (0, 0, 1) T, w = (1, 2, 3) T non sono una base di R 3 Infatti sono un sistema di generatori di R 3 (cf Esempio 18(b)) ma sono linearmente dipendenti (cf Esempio 18(b)) (e) Siano v 1 = (1, 2, 1) T, v 2 = (3, 1, 0) T, v 3 = (4, 3, 1) T e sia W il sottospazio di R 3 generato da v 1, v 2, v 3 Poichè v 1, v 2, v 3 sono linearmente dipendenti (cf Esempio 18(e)), non sono una base di W Osservando che v 3 = v 1 + v 2 si conclude (da Osservazione 21) che i vettori v 1, v 2 sono un sistema di generatori di W Poichè v 1, v 2 sono linearmente indipendenti (cf Esempio 18(d)), allora {v 1, v 2 } è una base di W (f) Sia W = { (x, y, z) T 2x y + 3z = 0 } un sottospazio di R 3 Osserviamo che W = { (x, 2x + 3z, z) T al variare di x, z R } I vettori v 1 = (1, 2, 0) T (ottenuto ponendo x = 1, z = 0) e v 2 = (0, 3, 1) T (ottenuto ponendo x = 0, z = 1) sono una base di W : infatti sono linearmente indipendenti (non essendo uno multiplo dell altro) e generano W (il vettore generico di W si può scrivere come v 1 x + v 2 z) Osservazione 30 Se V = {0} diremo che l insieme vuoto è una sua base Osservazione 31 Sia V un F-spazio vettoriale non-nullo, fissiamo un vettore non nullo v 1 V e consideriamo il sottospazio V 1 := {v 1 λ : λ F} V

15 13 BASI, DIMENSIONE 15 di V generato da v 1 ; poichè v 1 0, v 1 è linearmente indipendente e quindi è una base del sottospazio V 1 che genera Ci sono due casi: o V = V 1 e v 1 è la sua base, oppure esiste v 2 V \ V 1 In questo caso possiamo considerare il sottospazio V 1 V 2 := {v 1 λ 1 + v 2 λ 2 : λ l F, 1 l 2} V generato da v 1, v 2 ; poichè v 2 / V 1, v 1, v 2 sono linearmente indipendenti e quindi sono una base di V 2 Di nuovo, se V = V 2, v 1, v 2 è una sua base; altrimenti si può scegliere un elemento v 3 V \ V 2 e quindi linearmente indipendente con v 1, v 2 e considerare il sottospazio V 1 V 2 V 3 := {v 1 λ 1 + v 2 λ 2 + v 3 λ 3 : λ l F, 1 l 3} V di cui v 1, v 2, v 3 è base Ripetendo questa procedura si può produrre un sequenza di elementi v j V e una catena di sottospazi che soddisfano V j 1 V j := { j v l λ l : λ l F, 1 l j} V l=1 V 1 V 2 V j 1 V j V ; v j V \ V j 1 per ogni j; v 1,, v j sono linearmente indipendenti, e quindi sono una base di V j Se dopo un numero finito, diciamo n, di applicazioni di questa procedura, otteniamo V n = V possiamo dire che v 1,, v j,, v n sono una base di V Osservazione 32 Da un insieme finito di generatori di V si può estrarre una base Infatti se v 1,, v j,, v n generano V e sono linearmente dipendenti, allora a patto di rienumerare (cf Osservazione 26) i vettori si può supporre che v n sia combinazione lineare di v 1,, v n 1 ; allora da Osservazione 20 segue che v 1,, v n 1 generano V Così procedendo si perviene ad un insieme v 1,, v j di vettori linearmente indipendenti, a meno che v 1 = = v n = 0 In tal caso V = {0} e una sua base è Osservazione 33 Uno spazio V finitamente generato (ossia con un sistema finito di generatori) ha una base finita Osservazione 34 Non è detto che uno spazio vettoriale possegga una base finita L esempio più semplice è quello dell insieme F[X] dei polinomi a coefficienti su F

16 16 CAPITOLO 1 SPAZI VETTORIALI Supponiamo che abbia una base finita v 1, v n e denotiamo d j il grado del polinomio v j, 1 j n, e D := max(d j : 1 j n); è sufficiente osservare che nessun polinomio di grado maggiore a D può essere espresso come combinazione lineare di polinomi di grado non superiori a D con coefficienti in F per concludere che lo F-spazio vettoriale F[X] non ha una base finita Lemma 35 (Steinitz) Sia V un F-spazio vettoriale e siano v 1,, v n un suo sistema di generatori finiti Allora n + 1 vettori di V sono sempre linearmente dipendenti Dimostrazione Consideriamo n + 1 vettori w 1, w n+1 in V Poichè v 1, v n generano V, w 1 può essere espresso come combinazione lineare dei v j ((Definizione 17): w 1 = v 1 λ v n λ n ; poichè w 1 0 (altrimenti si avrebbe subito l asserto, cf Osservazione 24) necessariamente λ j 0 per qualche j A patto di enumerare in maniera diversa gli elementi v 1, v n possiamo supporre λ 1 0 (cf Osservazione 26); abbiamo allora v 1 = w 1 λ 1 1 v 2 λ 2 λ 1 1 v n λ n λ 1 1 ; ossia v 1 è combinazione lineare di w 1, v 2, v n e quindi da Osservazione 20 si trae che w 1, v 2, v n generano V Supponiamo induttivamente di aver ottenuto a patto di ripetute reenumerazioni dei v j che i vettori generano V e dimostriamo che anche w 1,, w l 1, v l, v n w 1,, w l, v l+1, v n generano V : w l può essere espresso come combinazione lineare l 1 w l = w j µ j + j=1 n v j λ j di w 1,, w l 1, v l, v n ; se λ j = 0 per ogni j, l j n, avremmo una dipendenza lineare l 1 w l w j µ j = 0 j=1 e quindi la tesi Quindi possiamo supporre, a patto di rienumerare i v j, che λ l 0; abbiamo v l = w l λ 1 l l 1 j=1 j=l w j µ j λ 1 l + n j=l+1 v j λ j λ 1 l

17 13 BASI, DIMENSIONE 17 e possiamo sostituire nel sistema di generatori w l con v l ; abbiamo così dimostrato che w 1,, w l 1, v l, v n w 1,, w l, v l+1, v n generano V Ripetendo questa costruzione possiamo quindi concludere che w 1,, w n generano V e quindi che w n+1 è linearmente dipendente con w 1,, w n, come volevasi Teorema 36 Se uno spazio vettoriale possiede una base finita di n elementi, ogni base di V è costituita da n elementi Definizione 37 Sia V uno spazio vettoriale che possiede una base finita; il numero degli elementi di ogni base di V è detta la dimensione di V ed è indicata dim(v ) Osservazione 38 Se V = {0} si pone dim(v ) = 0 (cf Osservazione 30) Corollario 39 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n Allora n vettori v 1, v 2, v n linearmente indipendenti formano una base di V Corollario 40 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e sia W un sottospazio vettoriale di V Allora dim(w ) n e dim(w ) = n W = V Lemma 41 Per ogni j, 1 j n denotiamo e j = (e 1,, e n ) T F n { 0 i j il vettore tale che e i = 1 i = j E n := {e 1,, e n } è una base di F n che è chiamata la base canonica di F n Dimostrazione Poichè vale n e j λ j = (λ 1,, λ n ) T j=1 ogni vettore (λ 1,, λ n ) T F n è la combinazione lineare di e 1,, e n che è quindi un sistema di generatori

18 18 CAPITOLO 1 SPAZI VETTORIALI Alternativamente per ogni combinazione linerare di 0: n 0 = e j λ j = (λ 1,, λ n ) T j=1 necessariamente vale λ j = 0 per ogni j

19 Capitolo 2 Funzioni lineari 21 Funzioni lineari Definizione 42 Siano U, V due F-spazi vettoriali Una funzione φ : U V è detta lineare se verifica le seguenti proprietà: (a) φ(v 1 + v 2 ) = φ(v 1 ) + φ(v 2 ) per ogni v 1, v 2 U; (b) φ(v α) = φ(v) α per ogni v U e α F In maniera analoga a Lemma 10 vale: Lemma 43 Siano U, V due F-spazi vettoriali e sia φ una funzione φ : U V Allora le seguenti condizioni sono equivalenti: (1) φ è una funzione lineare; (2) φ(v 1 α 1 + v 2 α 2 ) = φ(v 1 )α 1 + φ(v 2 )α 2 per ogni v 1, v 2 U e α 1, α 2 F Dimostrazione (1) = (2) Per (b) abbiamo φ(v 1 α 1 ) = φ(v 1 )α 1 e φ(v 2 α 2 ) = φ(v 2 )α 2 sicchè per (a) abbiamo (2) = (1) Otteniamo φ(v 1 α 1 + v 2 α 2 ) = φ(v 1 α 1 ) + φ(v 2 α 2 ) = φ(v 1 )α 1 + φ(v 2 )α 2 (a) ponendo α 1 := α 2 := 1; (b) ponendo α 2 := 0, α 1 := α, v 1 := v Lemma 44 Se φ : U V è una funzione lineare, allora φ(0) = 0 Dimostrazione Per un qualunque v U, abbiamo φ(0) = φ(v 0) = φ(v) 0 = 0 19

20 20 CAPITOLO 2 FUNZIONI LINEARI Esempio 45 (a) La funzione φ 1 : R 3 R 3 definita da è lineare (x, y, z) T (2x + y z, y + z, x y) T (b) La funzione φ 2 : R 3 R 2 definita da è lineare (x, y, z) T (x + y 2z, 2x y + z) T (c) La funzione φ 3 : R 2 R 3 definita da è lineare (d) La funzione φ : R 3 R 3 definita da (x, y) T (x + 2y, x + y) T (x, y, z) T (x + 1, y, z) T non è lineare; basta infatti osservare che φ(0) = (1, 0, 0) T Lemma 46 Consideriamo tre spazi vettoriali U, W, V, due funzioni e la loro composta φ : U W, ψ : W V ψφ : U φ W ψ V Se φ e ψ sono lineari, anche la loro composta ψφ è una funzione lineare da U a V Dimostrazione Per ogni v 1, v 2 U e α 1, α 2 F abbiamo ψφ(v 1 α 1 + v 2 α 2 ) = ψ (φ(v 1 α 1 + v 2 α 2 )) = ψ (φ(v 1 )α 1 + φ(v 2 )α 2 ) = ψ (φ(v 1 )) α 1 + ψ (φ(v 2 )) α 2 = ψφ(v 1 )α 1 + ψφ(v 2 )α 2 Osservazione 47 Siano U, V due F-spazi vettoriali e sia φ una funzione lineare φ : U V Siano inoltre: f 1,, f j,, f n una base F di U,

21 22 IMMAGINE E NUCLEO 21 g 1,, g i,, g m una base G di V Per descrivere φ è sufficiente designare i valori di φ(f j ) V, 1 j n; infatti ogni x U è una combinazione lineare x = n j=1 f jx j degli elementi della base F e quindi si ottiene, per definizione, n n φ(x) = φ f j x j = φ(f j )x j (21) j=1 I valori di φ(f j ) V, 1 j n, sono a loro volte delle combinazioni lineari degli elementi della base G: φ(f j ) = j=1 m g i a ij, 1 j n (22) i=1 Pertanto, per ogni x = n j=1 f jx j U abbiamo φ(x) = n φ(f j )x j = j=1 n m m g i a ij x j = j=1 i=1 i=1 g i n a ij x j (23) j=1 I valori a ij F, 1 i m, 1 j n, che caratterizzano così la funzione φ sono unici (cf Proposizione 28) Osservazione 48 Se f 1,, f j,, f n è una base F di U e v 1,, v j,, v n sono vettori di V, esiste un unica funzione lineare φ : U V tale che φ(f j ) = v j, 1 j n Infatti la funzione definita ponendo, per ogni x = n j=1 f jx j U, φ(x) = n j=1 φ(f j)x j = n j=1 v jx j è lineare ed è evidentemente unica 22 Immagine e nucleo Notazione 49 Consideriamo di nuovo due F-spazi vettoriali U e V di dimensione, rispettivamente n ed m e indichiamo f 1,, f j,, f n una base F di U, g 1,, g i,, g m una base G di V Consideriamo inoltre una funzione lineare φ : U V che possiamo supporre essere descritta (cf Osservazione 47) dall assegnazione degli unici valori che soddisfino a ij F, 1 i m, 1 j n, φ(f j ) = m g i a ij i=1 sicchè in particolare vale Eq (23) per ogni x = n j=1 f jx j U

22 22 CAPITOLO 2 FUNZIONI LINEARI Definizione 50 L immagine di φ è il sottoinsieme Im(φ) := {φ(x) : x U} V Osservazione 51 Im(φ) è un sottospazio di V Risulta dim(im(φ)) m e dim(im(φ)) = m Im(φ) = V cioè se e solo se φ è surgettiva Osservazione 52 Come diretta conseguenza di (21) si ha che Im(φ) è un sottospazio di V generato dai vettori a 1,, a n, a j := φ(f j ), 1 j n In generale questo sistema di generatori non è una base In Capitolo 4 discuteremo le procedure più efficaci che permettano di ricavare dai generatori a 1,, a n una base di Im(φ) Esempio 53 In tutti i seguenti casi i vettori a j sono l immagine dei vettori della base canonica (a) Sia φ 1 : R 3 R 3 la funzione lineare di Esempio 45(a) I vettori a 1 = (2, 1, 0) T, a 2 = (1, 1, 1) T, a 3 = ( 1, 1, 0) T generano Im(φ 1 ) e sono linearmente indipendenti Infatti dalla combinazione lineare a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = (2x 1 + x 2 x 3, x 2 + x 3, x 1 x 2 ) T = (0, 0, 0) T segue x 1 = x 2 = x 3 = 0 Ne segue che a 1, a 2, a 3 sono una base di Im(φ 1 ) e che quindi Im(φ 1 ) = R 3 (cf Osservazione 51), cioè φ è surgettiva (b) Sia φ 2 : R 3 R 2 la funzione lineare di Esempio 45(b) I vettori a 1 = (1, 2) T, a 2 = (1, 1) T, a 3 = ( 2, 1) T generano Im(φ 2 ) ma non sono una base di Im(φ 2 ), perchè non sono linearmente indipendenti: sono tre vettori in uno spazio di dimensione 2 (cf Osservazione 51) (c) Sia φ 3 : R 2 R 3 la funzione lineare di Esempio 45(c) I vettori a 1 = (1, 1, 3) T e a 2 = (2, 1, 1) T generano Im(φ 3 ) e sono ovviamente indipendenti, quindi sono una base di Im(φ 3 ) Si ha dunque dim(im(φ 3 )) = 2 e φ 3 non è quindi surgettiva Definizione 54 Il nucleo di φ è il sottinsieme ker(φ) := {x U : φ(x) = 0} U

23 22 IMMAGINE E NUCLEO 23 Osservazione 55 Poichè, per ogni x 1, x 2 ker(φ) e ogni α 1, α 2 F, vale φ(x 1 α 1 + x 2 α 2 ) = φ(x 1 )α 1 + φ(x 2 )α 2 = 0α 1 + 0α 2 = 0, ker(φ) è un sottospazio di V È meno ovvio come calcolarne una base 1 Osservazione 56 Ogni elemento x = n j=1 f jx j U del nucleo di φ è una dipendenza lineare del sistema di generatori a 1,, a n di Im(φ): infatti le dipendenze lineari sono le combinazioni lineari nulle: si ha infatti n n n 0 = a j x j = φ(f j )x j = φ f j x j = φ(x) j=1 j=1 se e solo se x = n j=1 f jx j ker(φ) Esempio 57 (a) Data la funzione φ 1 : R 3 R 3 di Esempio 45(a), si ha ker(φ 1 ) = {0} Infatti, per ogni v = (x, y, z) T, da si trae da cui x = y = z = 0 j=1 (0, 0, 0) T = φ 1 (v) = (2x + y z, y + z, x y) T 2x + y z = 0 y + z = 0 x y = 0 (b) Data la funzione φ 2 : R 3 R 2 di Esempio 45(b), risulta φ 2 (v) = (x + y 2z, 2x y + z) T = (0, 0) T per ogni v = (x, y, z) T cioè { x + y 2z = 0 2x y + z = 0 da cui z = y, x = 0 Si ha quindi ker(φ 2 ) = { (0, y, y) T al variare di y R } e il vettore (0, 1, 1) T è una base di ker(φ 2 ) (c) Data la funzione φ 3 : R 3 R 2 di Esempio 45(c) risulta ker(φ 3 ) = {0} Infatti, per ogni v = (x, y) T, da si trae da cui x = y = 0 1 Ma vedasi Proposizione 104 φ 3 (v) = (x + 2y, x + y, 3x y) T = (0, 0, 0) T x + 2y = 0 x + y = 0 3x y = 0

24 24 CAPITOLO 2 FUNZIONI LINEARI 23 Composizione di funzioni lineari Notazione 58 Consideriamo tre spazi vettoriali U, W, V di dimensioni rispettativamente p, r, s: e indichiamo dim(u) = p, dim(w ) = r, dim(v ) = s f 1,, f j,, f p una base di U, h 1,, h k,, h r una base di W e g 1,, g i,, g s una base di V Consideriamo ora due funzioni lineari, φ : U W, ψ : W V rappresentate rispettivamente dai valori (cf Osservazione 47): a kj F, 1 k r, 1 j p, che soddisfino φ(f j ) = r h k a kj per ogni j, 1 j p, k=1 b ik F, 1 i s, 1 k r, che soddisfino s ψ(h k ) = g i b ik per ogni k, 1 k r i=1 La composta delle due funzioni ψφ è una funzione lineare da U a V : ψφ : U φ W ψ V ed è rappresentata dall assegnazione degli unici valori che soddisfino ψφ(f j ) = c ij F, 1 i s, 1 j p, s g i c ij per ogni j, 1 j p i=1 Valutarli non è difficile; abbiamo infatti Proposizione 59 Con la presente notazione vale c ij = r b ik a kj per ogni i, j, 1 i s, 1 j p k=1

25 23 COMPOSIZIONE DI FUNZIONI LINEARI 25 Dimostrazione Consideriamo un vettore v = p j=1 f jx j e calcoliamo gli unici valori c ij che danno p p p s ψφ(v) = ψφ f j x j = ψφ(f j )x j g i c ij x j : otteniamo j=1 j=1 ψφ(v) = ψ (φ(v)) p = ψ φ f j x j j=1 = p ψ φ(f j )x j j=1 p = ψ = = = p j=1 k=1 p j=1 k=1 r h k a kj x j r ψ(h k )a kj x j r j=1 k=1 i=1 p j=1 s s g i b ik a kj x j i=1 g i ( r k=1 j=1 i=1 b ik a kj ) x j e quindi c ij = r k=1 b ika kj per ogni i, j

26 26 CAPITOLO 2 FUNZIONI LINEARI

27 Capitolo 3 Matrici 31 Rappresentazione di spazi vettoriali finiti Ogni F-spazio vettoriale V di dimensione finita n N, dim(v ) = n, ha come modello e come rappresentazione più naturale lo F-spazio vettoriale F n, (Esempio 7) Infatti se si fissa una base f 1,, f n di V, si può definire la funzione φ : V F n, n f i a i (a 1,, a n ) T i=1 che non solo è lineare (cf Osservazione 48) ma è un isomorfismo: Lemma 60 Sia V un F-spazio vettoriale di dimensione n e sia f 1,, f j,, f n una sua base Si consideri lo F-spazio vettoriale di dimensione n F n, la sua base canonica E n := {e 1,, e n } e la funzione lineare φ : V F n, φ(f i ) e i La funzione φ assume, per ogni vettore v := n i=1 a if i, il valore ( n ) n n φ(v) = φ f i a i = φ(f i )a i = e i a i = (a 1,, a n ) T i=1 La funzione φ è un isomorfimo i=1 Dimostrazione φ è surgettiva: infatti per ogni (a 1,, a n ) T F abbiamo φ(v) = (a 1,, a n ) T per v := n i=1 f ia i φ è anche iniettiva: infatti se per v := n i=1 f ia i e w := n i=1 f ib i abbiamo i=1 (a 1,, a n ) T = φ(v) = φ(w) = (b 1,, b n ) T ne otteniamo a i = b i per ogni i, ossia v = w 27

28 28 CAPITOLO 3 MATRICI Questo modello canonico degli spazi vettoriali di dimensione finita permette di dare una rappresentazione altrettanto canonica di ogni funzione lineare tra due F-spazi vettoriali di dimensione finita Osservazione 61 Riconsideriamo la situazione discussa in Osservazione 47: un F-spazio vettoriale, U, dim(u) = n, rappresentato da una base F = {f 1,, f j,, f n }; un altro F-spazio vettoriale, V, dim(v ) = m, rappresentato da una base G = {g 1,, g i,, g m }; la funzione lineare φ : U V rappresentata dagli unici valori a ij F che soddisfano m φ(f j ) = g i a ij, 1 j n Con la nuova rappresentazione: ogni vettore i=1 (x 1, x 2,, x n ) T = x = ha come immagine il vettore n φ(x) = φ f j x j = = = j=1 n φ(f j )x j j=1 m i=1 g i sicchè si ha dunque x 1 x 2 φ(x) = φ = x n x n 1 n a ij x j j=1 n f j x j j=1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n ; (31)

29 32 MATRICI 29 l immagine di φ è generata dai vettori a j = φ(f j ) = (a 1j,, a ij,, a mj ) T, 1 j n; dato un vettore b := (b 1,, b m ) T V decidere se b Im(φ) o meno, è equivalente a decidere se esiste un vettore x = (x 1,, x n ) T U che soddisfa n n φ(x) = φ(f j )x j = a j x j = b j=1 ossia esprimere il vettore b come combinazione lineare dei vettori a j o, equivalentemente (31), risolvere il sistema di equazioni lineari j=1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m ; (32) trovare gli elementi x = (x 1, x 2,, x n ) T del nucleo di φ, cioè tali che φ(x) = 0, è lo stesso, per (31), che trovare le soluzioni del sistema di equazioni lineari omogenee a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (33) 32 Matrici Così come i vettori (colonna o riga) sono il modo più compatto e più efficiente per rappresentare gli elementi di uno spazio vettoriale finito, una notazione opportuna permette di rappresentare e manipolare efficacemente le funzioni lineari Definizione 62 Siano m, n due interi positivi Una matrice m n ad elementi in F è una collezione di mn elementi appartenti ad F e disposti in una tabella rettangolare: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A := a m1 a m2 a mn Ogni vettore r i := (a i1, a i2,, a in ), 1 i m è detto l i ma riga di A

30 30 CAPITOLO 3 MATRICI Ogni vettore a j := a 1j a 2j a mj è detto la jma colonna di A Quando n = m, la matrice è detta quadrata di ordine n Notazione 63 Gli elementi a ij che compaiono nella matrice sono chiamati i suoi elementi; più esattamente a ij denota l elemento che compare nella i ma riga e nella j ma colonna; gli indici i, j vengono chiamati, rispettivamente, indice di riga e indice di colonna In maniera più compatta la matrice A è spesso denotata A = (a ij ) Notazione 64 L insieme di tutte le matrici m n ad elementi in F è denotato M mn (F) L insieme delle matrici quadrate M nn (F) di ordine n è denotato M n (F) Definizione 65 La matrice trasposta della matrice m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A := a m1 a m2 a mn è la matrice n m A T = (b ij ) dove b ij = a ji per ogni i, j, ossia la matrice la cui i ma riga è la i ma colonna di A e la cui j ma colonna è la j ma riga di A: a 11 a 21 a m1 A T a 12 a 22 a m2 := a 1n a 2n a mn Notazione 66 Consideriamo di nuovo (Osservazione 47 e 61) due F-spazi vettoriali, U, dim(u) = n, e V, dim(v ) = m, rappresentati rispettivamente dalle basi F = {f 1,, f j,, f n } e G = {g 1,, g i,, g m }, e una funzione lineare φ : U V La matrice m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A := a m1 a m2 a mn i cui elementi a ij sono gli unici valori che soddisfano φ(f j ) = m g i a ij, 1 j n i=1

31 32 MATRICI 31 viene detta la matrice che rappresenta φ rispetto alle basi F di U e G di V e viene denotata M G φ(f) Salvo avviso contrario, per le funzioni φ : F n F m assumeremo come basi quelle canoniche E n e E m e denoteremo M φ la matrice M φ := M Em φ(e associata n) rispetto ad esse Esempio 67 (a) Si consideri la funzione lineare φ 1 : R 3 R 3 di Esempio 45(a) Poichè φ(e 1 ) = (2, 1, 0) T, φ(e 2 ) = (1, 1, 1) T, φ(e 3 ) = ( 1, 1, 0) T la matrice associata a φ 1 è M φ1 := (b) Sia φ 2 : R 3 R 2 la funzione lineare di Esempio 45(b) Procedendo come nel punto (a) precedente, si determina ( ) M φ2 := (c) Sia φ 3 : R 2 R 3 la funzione lineare di Esempio 45(c); risulta M φ3 := Notazione 68 Se denotiamo f 1,, f j,, f n la base canonica E n di F n, e g 1,, g i,, g m la base canonica E m di F m ed A = (a ij ) M mn (F) è una qualunque matrice m n la funzione lineare definita da A è la funzione lineare φ : F n F m che soddisfa A = M φ ossia tale che m φ(f j ) = g i a ij = a j dove a j è la j ma colonna di A Analogamente per due basi i=1

32 32 CAPITOLO 3 MATRICI F = {f 1,, f j,, f n } di F n e G = {g 1,, g i,, g m } di F n ed una qualunque matrice m n A = (a ij ) M mn (F) la funzione lineare definita da A rispetto alle basi F e G è la funzione lineare φ : F n F m che soddisfa A = M G φ(f) ossia tale che m φ(f j ) = g i a ij i=1 Esempio 69 Data la matrice A := sia φ : R 3 R 3 la funzione lineare definita da A Risulta φ(e 1 ) = a 1 = (1, 1, 2) T, φ(e 2 ) = a 2 = ( 1, 2, 1) T, φ(e 3 ) = a 3 = (0, 3, 1) T dove {e 1, e 2, e 3 } è la base canonica di R 3 Inoltre per v = (4, 2, 3) T si ha φ (v) = 4a 1 2a 2 + 3a 3 = (6, 9, 13) T ; w = (1, 1, 1) T si ha φ (w) = a 1 + a 2 a 3 = (0, 0, 0) T Osservazione 70 Poichè le matrici m n ad elementi in F sono (al di là dal modo con cui i loro elementi vengono disposti) collezioni ordinate di mn elementi in F, M mn (F) ha la struttura di F-spazio vettoriale di dimensione mn Inoltre, poichè le matrici rappresentano le funzioni lineari tra F-spazi vettoriali finiti, la loro composizione impone sulle matrici un ulteriore operazione, il prodotto di matrici definito secondo la formula ottenuta in Proposizione 59 Ossia, date una matrice q p A = (a kj ) ed una matrice s r B = (b il ) il prodotto BA è definito solo se r = q In tal caso il prodotto è una matrice s p C = (c ij ) definita da c ij = r b ik a kj per ogni i, j, 1 i s, 1 j p k=1 Si noti che il prodotto di due matrici non è definito per ogni coppia di matrici L aritmetica delle matrici sarà discussa in dettaglio nella Sezione 33

33 32 MATRICI 33 Osservazione 71 Se A e B sono rispettivamente le matrici associate mediante le basi canoniche alle funzioni lineari φ : F q F p e ψ : F s F r, r = q, allora (cf Proposizione 59) C = BA è la matrice associata mediante le basi canoniche alla funzione composta ψφ : F s F p Si ha quindi M ψφ = M ψ M φ (34) Osservazione 72 Ogni vettore v F n può essere considerato sia come una matrice n 1, nel qual caso parliamo di v come di un vettore colonna o di una matrice colonna, sia come una matrice 1 n, nel qual caso parliamo di v come di un vettore riga o di una matrice riga Naturalmente le due rappresentationi sono mutualmente trasposte (cf Notazione 8) Definizione 73 Una matrice quadrata di ordine n A = (a ij ) è detta diagonale se a ij = 0 per ogni i j ossia 1 : 0 0 A = triangolare inferiore se a ij = 0 per ogni i < j ossia: 0 0 A = 0 triangolare superiore se a ij = 0 per ogni i > j ossia: A = dove indica un qualunque valore (sia esso nullo o non-nullo)

34 34 CAPITOLO 3 MATRICI 33 Aritmetica delle matrici Osservazione 74 Da Osservazione 70 segue che l insieme M mn (F) è dotato naturalmente della struttura di F-spazio vettoriale, che la sua dimensione è mn e che un ovvia base consiste delle mn matrici E ij i cui elementi sono tutti 0 eccetto l elemento che compare nella i ma riga e nella j ma colonna, il cui valore è 1 Definizione 75 Siano A = (a ij ) e B = (b ij ) due matrici m n e sia γ F La somma di A e B è la matrice C := A + B, C = (c ij ) M mn (F) definita da c ij := a ij + b ij per ogni i, j, 1 i m, 1 j n Il prodotto di A per lo scalare γ F è la matrice C := A γ, C = (c ij ) M mn (F) definita da c ij := a ij γ per ogni i, j, 1 i m, 1 j n La matrice nulla è la matrice 0 i cui elementi hanno tutti valore 0 Per una matrice A la sua opposta è la matrice A := A ( 1) := ( a ij ) Lemma 76 Per ogni A, B, C M mn (F), A = (a ij ), B = (b ij ), C = (c ij ), valgono (i) (A + B) + C = A + (B + C), (proprietà associativa); (ii) A + 0 = A = 0 + A (esistenza di uno zero); (iii) Denotando C := A ( 1) l opposta di A, vale A+C = 0 = C +A (esistenza di un opposto); (iv) A + B = B + A (proprietà commutativa) Corollario 77 L insieme M mn (F) ha la struttura di gruppo commutativo Lemma 78 Valgono (v) A (αβ) = (A α) β per ogni α, β F e A M mn (F) (proprietà distributiva del prodotto di F); (vi) A (α + β) = (A α) + (A β) per ogni α, β F e A M mn (F) (proprietà distributiva della somma di F); (vii) (A + B) α = (A α) + (B α) per ogni α F e A, B M mn (F) (proprietà distributiva della somma di M mn ); (viii) A 1 = A per ogni A M mn (F) Corollario 79 L insieme M mn (F) ha la struttura di F-spazio vettoriale L insieme delle matrici importa la struttura moltiplicativa dedotta dalla composizione delle funzioni lineari (cf Osservazione 70):

35 33 ARITMETICA DELLE MATRICI 35 Definizione 80 Date una matrice s r A = (a kj ) ed una matrice q p B = (b il ) il prodotto BA è definito solo se r = q In tal caso il prodotto è una matrice s p, C = (c ij ) definita da r c ij = b ik a kj per ogni i, j, 1 i s, 1 j p k=1 Esempio 81 Siano risulata A := Per C := ( M 32 (R) e B := ( AB := BA := M 3 (R), ( ) 3 4 M (R) ) M 22 (R) si ha AC := M 32 (R) ) M 23 (R); mentre il prodotto CA non è invece definito Lemma 82 Per ogni matrice e per ogni λ F valgono A = (a kj ) M sr (F), B = (b lk ) M qs (F), C = (c il ) M pq (F), D = (d lk ) M qs (F), (ix) C(BA) = (CB)A, (proprietà associativa); (x) (B + D)A = BA + DA (proprietà distributiva rispetto al fattore destro); (xi) C(B +D) = CB +CD (proprietà distribuzione rispetto al fattore sinistro); (xii) B(A λ) = (BA) λ = (B λ)a (omogeneità)

36 36 CAPITOLO 3 MATRICI Dimostrazione (ix) L elemento che compare nella i ma riga e nella j ma colonna di C(BA) è ( q s ) c il b lk a kj ; l=1 k=1 l elemento che compare nella i ma riga e nella j ma colonna di (CB)A è ( s q ) c il b lk a kj k=1 l=1 La tesi segue dall ovvia uguaglianza ( q s ) c il b lk a kj = k=1 l=1 ( s q ) c il b lk a kj k=1 l=1 (x) s k=1 (b lk + d lk )a kj = s k=1 b lka kj + s k=1 d lka kj (xi) q l=1 c il(b lk + d lk ) = q l=1 c ilb lk + q l=1 c ild lk (xii) s k=1 b lk(a kj λ) = ( s k=1 b lka kj ) λ = s k=1 (b lkλ)a kj Corollario 83 Per ogni matrice A vale A0 = 0 = 0A Dimostrazione Basta effettuare il prodotto Lemma 84 Per A, B M mn (F), C M np (F) vale (xiii) (A + B) T = A T + B T, (xiv) (AC) T = C T A T Osservazione 85 In generale, per il prodotto di matrici non vale la proprietà commutativa anche nel caso in cui le due moltiplicazioni sono definite Data una matrice A M sr (F) e una matrice B M rs (F), sicchè AB M s e BA M r, risulta evidentemente AB BA se s r È quindi sensato porsi il problema solo quando si considerano due matrici quadrate dello stesso ordine Ma anche in questo caso, di solito AB BA Si consideri ad esempio A := ( ) ( 0 0, B := 0 1 ) per cui abbiamo AB = ( ) ( ) = BA

37 33 ARITMETICA DELLE MATRICI 37 Si osservi che l esempio mostra anche che non vale BA = 0, A 0 = B = 0 Nell insieme M n (F) delle matrici quadrate di ordine n, il prodotto di due qualsiasi elementi è sempre definito, e, nonostante che non valga la proprietà commutativa, si può considerare il concetto di identità e inverso Definizione 86 La matrice diagonale di ordine n i cui elementi diagonali sono tutti uguali a 1 è definita la matrice identica e denotata I n Sia A M n (F); se esiste una matrice B M n (F) tale che AB = I n = BA, A è detta invertibile e B viene detta la sua inversa Lemma 87 Per ogni matrice A M sr (F) vale (xv) I s A = A = AI r Lemma 88 Se A M n (F) è invertibile, esiste un unica matrice inversa di A che viene denotata A 1 Dimostrazione Siano B, C M n (F) due inverse di A Allora si ha B = BI n = B(AC) = (BA)C = I n C = C Lemma 89 Se A, B M n (F) sono entrambe invertibili, anche il loro prodotto AB è invertibile e la sua inversa è (AB) 1 = B 1 A 1 Dimostrazione Vale (AB) ( B 1 A 1) = A ( BB 1) A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n e ( B 1 A 1) (AB) = B 1 ( A 1 A ) B = B 1 I n B = B 1 B = I n Osservazione 90 ( Non ) tutte le matrici quadrate sono invertibili: ( per ) esempio 0 1 a b la matrice A := ; infatti per ogni matrice B := M 0 0 c d n (F) vale ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 a b c d 1 0 = 0 0 c d Notazione 91 Il simbolo di Kronecker δ ij è una modo compatto per indicare i valori degli elementi di una matrice identica I n ; esso infatti vale { 1 i = j δ ij = 0 i j

38 38 CAPITOLO 3 MATRICI 34 Matrici e cambio di basi Consideriamo lo spazio vettoriale F n e due sue basi F = {f 1,, f n } e F = {f 1,, f n} Chiaramente ogni f i può essere espresso come combinazione lineare degli elementi di F : f j = i f i a ij Definizione 92 La matrice A := (a ij ) è chiamata la matrice di passaggio da F a F e viene denotata M F F Lemma 93 Vale (1) per ogni vettore v = j f jx j = i f i y i si ha la relazione y i = j a ijx j ovvero (y 1,, y n ) T = M F F (x 1,, x n ) T ; (2) M F F è invertibile e il suo inverso è M F F ; (3) per ogni funzione lineare φ : F n F m e ogni base G = {g 1,, g m } si ha M G φ(f) = M G φ(f ) M F F ; (4) per ogni funzione lineare φ : F n F m e due basi G = {g 1,, g m } e G = {g 1,, g m} si ha M G φ(f) = M G G M G φ(f) ; Dimostrazione (1) i f i y i = v = j f jx j = j i f i a ijx j = ( ) i f i j a ijx j (2) Sia B = (b lj ) la matrice B = MF F sicchè f j = l f lb lj Abbiamo quindi f iδ ij = f j = f l b lj = f ia il b lj = ( ) f i a il b lj i l l i i l ossia I n = M F F M F F ; I n = MF F MF F si ottiene in modo analogo (3) Indicando B = (b hi ) la matrice B = M G φ(f ) abbiamo φ(f i ) = h g hb hi sicchè φ(f j ) = φ(f i)a ij = ( ) g h b hi a ij = g h b hi a ij i i (4) Indicando M G G = (b jh) e M G φ(f) = (a hi), sicchè h h i φ(f i ) = h g h a hi e g h = j g jb jh, si ha φ(f i ) = h g h a hi = h g jb jh a hi = j j ( ) b jh a hi g j h

39 Capitolo 4 Riduzione di Gauss 41 Sistemi lineari e matrici Notazione 94 Interpretando i vettori colonna come matrici n 1 si può osservare che nella situazione ripetutamente considerata (Osservazioni 47 e 61, Notazione 66 e 68), ossia due spazi vettoriali di dimensione finita, rispettivamente n ed m, che possiamo identificare con F n e F m, le loro basi canoniche che denotiamo, rispettivamente, E n = {f 1,, f j,, f n } e E m = {g 1,, g i,, g m }, ed una funzione lineare φ : F n F m definita dalla matrice m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A := a m1 a m2 a mn la formula di Eq (23) che esprime il valore di φ(x) per ogni vettore ossia φ(x) = x = (x 1,, x n ) T F n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n può essere espressa in maniera più compatta come φ(x) = Ax dove Ax denota il prodotto della matrice A con la matrice colonna x 39

40 40 CAPITOLO 4 RIDUZIONE DI GAUSS Osservazione 95 Si osservi che la notazione Ax per rappresentare il prodotto di una matrice A e di un vettore x rispetta la limitazione sul prodotto di matrici, ossia che il numero delle colonne del fattore sinistro A coincida col numero delle righe del fattore destro x La possibilità di interpretare il prodotto di un vettore e di una matrice in termini del prodotto di matrici è dovuto alla nostra scelta in Notazione 8 di interpretare i vettori come vettori colonna e non, sulla base di una suggestione tipografica, come vettori righe In connessione osserviamo anche che nella definizione del concetto di spazio vettoriale (Definizione 2) il prodotto per uno scalare viene considerato come un prodotto a destra vα e non a sinistra αv sempre per preservare la limitazione sul prodotto di matrici; un elemento α F può essere in effetti interpretato come una matrice quadrata di ordine 1 che moltiplica a destra il vettore colonna (ossia la matrice m 1) v; il risultato è, come deve essere, una matrice m 1, ossia il vettore colonna vα È chiaro che le notazioni xa e αv hanno il difetto di non preservare la limitazione sul prodotto di matrici Osservazione 96 Con la notazione più compatta introdotta in Notazione 66, possiamo riformulare i risultati di Osservazioni 61 in maniera più efficace: (a) le colonne a j = (a 1j,, a ij,, a mj ) T F m, 1 j n di A generano l immagine di φ; (b) dato un vettore b := (b 1,, b m ) T F m decidere se b Im(φ) o meno, è equivalente a risolvere il sistema di equazioni lineari Ax = b (cf Eq(32)); (c) ogni soluzione x F n del sistema Ax = b fornisce una rappresentazione di b come combinazione lineare dei vettori a j ; (d) trovare gli elementi x = (x 1, x 2,, x n ) T del nucleo di φ è lo stesso (Osservazione 56) che trovare le dipendenze lineari del sistema di generatori {a j, 1 j n} di Im(φ) e quindi lo stesso che trovare le soluzioni del sistema di equazioni lineari Ax = 0 cf Eq(33) La connessione tra il sistema lineare (32) e il sistema lineare omogeneo (33) è dato da Proposizione 97 Sia x 0 F n una soluzione del sistema di equazioni φ(x) = Ax = b; l insieme di tutte le soluzioni di tale sistema di equazioni è S := {x 0 + z : z ker(φ)} = {x 0 + z : Az = 0} F n

41 42 FUNZIONI LINEARI E MATRICI A SCALA PER COLONNE 41 Dimostrazione Per ipotesi φ(x 0 ) = Ax 0 = b e φ(z) = Az = 0 per ogni z ker(φ) per cui abbiamo, per ogni z ker(φ), φ(x 0 + z) = φ(x 0 ) + φ(z) = b + 0 = b Viceversa, se y F n è una soluzione di (32), ossia φ(y) = Ay = b allora z := y x 0 soddisfa Az = φ(z) = φ(y x 0 ) = φ(y) φ(x 0 ) = b b = 0 cioè z ker(φ) Esempio 98 Sia φ : R 3 R 3 la funzione lineare di Esempio 69: I vettori a 1 = (1, 1, 2) T, a 2 = ( 1, 2, 1) T, a 3 = (0, 3, 1) T generano Im(φ) ma non sono una base Abbiamo infatti già osservato che a 1 + a 2 a 3 = 0, quindi i tre vettori sono linearmente dipendenti Poichè a 3 è combinazione lineare di a 1 e a 2, anche a 1 e a 2 sono un sistema di generatori di Im(φ) Poichè sono linearmente indipendenti, una base di Im(φ) è {a 1, a 2 } Abbiamo osservato in Esempio 69 che, per w := (1, 1, 1) T, φ(w) = 0 e quindi (1, 1, 1) T ker(φ) Risolvendo poi il sistema Ax = 0 si verifica che gli elementi del nucleo sono soltanto i vettori del tipo (1, 1, 1) T λ e quindi il vettore (1, 1, 1) T è una base di ker(φ) Esempio 99 Sia φ : R 3 R 3 la funzione lineare definita dalla matrice A := Osserviamo che a 2 = a 1 2 e a 3 = a 1 3 da cui si ricava che i vettori u 1 = (2, 1, 0) T e u 2 = (3, 0, 1) T appartengono a ker(φ) I due vettori u 1, u 2 sono evidentemente linearmente indipendenti Inoltre generano ker(φ) Infatti, se si potesse determinare un vettore u ker(φ) che non sia combinazione lineare di u 1 e u 2 allora i vettori u 1, u 2, u sarebbero linerarmente indipendenti e quindi genererebbero R 3, da cui ker(φ) = R 3 ; φ sarebbe allora la funzione nulla, assurdo Abbiamo quindi provato che u 1, u 2 sono una base di ker(φ) 42 Funzioni lineari e matrici a scala per colonne Per una funzione lineare φ : F n F m il calcolo della dimensione e di una base sia del nucleo ker(φ) che dell immagine Im(φ) di φ si ottiene in una maniera molto semplice se φ è rappresentata, rispetto ad una qualche base, non necessariamente canonica, di F n, da una matrice dotata di una struttura opportuna 1 1 Consideremo invece φ sempre rappresentato rispetto alla base canonica di F m

42 42 CAPITOLO 4 RIDUZIONE DI GAUSS Definizione 100 Una matrice m n, B := (b ij ) è detta una d-matrice a scala per colonne se esistono un intero d, 1 d min(m, n) e una sequenza crescente di d interi 1 r(1) < r(2) < < r(d) m tali che si abbia (1) per ogni j, 1 j d vale (a) b r(j)j 0, (b) b ij = 0 per ogni i < r(j), (c) b r(j)k = 0 per ogni k > j; (2) per ogni j, d < j n, b ij = 0 per ogni i, 1 i m; Dalla definizione, si ricava banalmente il seguente Corollario 101 Sia B := (b ij ) una d-matrice a scala per colonne; sia 1 r(1) < r(2) < < r(d) m la corrispondente sequenza crescente di d interi e poniamo r(0) := 1 e r(d + 1) := m + 1 Per ogni i, 1 i m, se denotiamo δ, 0 δ d il valore per cui r(δ) i < r(δ + 1) si ha b ij = 0 per ogni j, δ < j n La definizione è giustificata dalla struttura visiva della matrice, dove supponiamo d = 3 e indica un qualunque valore (sia esso nullo o non-nullo): n r(1) r(1) b r(1) r(1) r(2) r(2) b r(2) r(2) r(3) r(3) b r(3)3 0 0 r(3) m 0 0