Modelli statistici multivariati per la selezione di un portafoglio azionario

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1 Università degli Studi Roma Tre Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Sintesi Modelli statistici multivariati per la selezione di un portafoglio azionario Candidata Elena Turetta Relatrice Prof.ssa Alessia Naccarato matricola: Anno Accademico 2011/2012 MSC AMS: 62M10 keywords: Serie storiche, modelli autoregressivi vettoriali, LR-Test

2 1 Sintesi La tesi si occupa di confrontare due modelli statistici per l analisi delle serie storiche al fine di individuare il modello migliore per prevedere l andamento di titoli azionari, ovvero effettuare la selezione di un portafoglio azionario. Nell ambito dell analisi delle serie storiche si distinguono due tipi fondamentali di approccio volti alla creazione di un modello per queste serie: l approccio classico e l approccio moderno. L approccio classico si basa su un analisi di tipo descrittivo e considera la serie storica come una composizione di una componente deterministica e di una componente residuale di minore interesse. L impostazione moderna, la cui nascita può essere fatta risalire agli anni che vanno dalla metà degli anni venti del secolo scorso fino alla fine della seconda guerra mondiale, si basa sull assunzione che esista un determinato processo casuale generatore dei dati. Tale processo è detto processo stocastico. Il più semplice esempio di processo stocastico è apparso alcuni anni prima, quando nel 1907 A. A. Markov introdusse la nozione di catena. Una catena è un processo tale che, se si conosce la distribuzione di probabilità al tempo presente, allora si conosce anche la distribuzione per il futuro, e tutto il passato non ha alcun effetto su di esso. Tuttavia i più grandi sviluppi per l analisi delle serie storiche ci sono stati

3 Sintesi 2 solo negli anni 20, ad opera dello statistico inglese George Udny Yule. Per la precisione, nel 1921 Yule propose uno schema a media mobile, mentre nel 1927, in uno studio sulla periodicità delle macchie solari, introdusse per la prima volta un modello innovativo oggi chiamato schema autoregressivo. Nel 1931 il fisico e statistico inglese Gilbert Thomas Walker generalizzò lo schema di Yule definendo un modello autoregressivo nella forma attualmente usata e, sette anni più tardi, introdusse il modello ARMA, ovvero un processo che combinava insieme le caratteristiche del modello autoregressivo (Auto Regressive model, AR) e quelle del modello a media mobile (Mobile Average model, MA). I processi stocastici di tipo autoregressivo negli anni successivi risultarono fondamentali anche per l analisi delle serie storiche multivariate. Il loro studio, infatti, può essere fatto risalire alla metà del secolo scorso, quando la Cowles Commission, fondazione di ricerca econometrica, effettuò le prime ricerche sistematiche sulla stima dei parametri di equazioni simultanee. Nel 1980 l economista statunitense Christopher Albert Sims introdusse il modello autoregressivo vettoriale (VAR) per lo studio simultaneo di più di una serie storica. I due modelli che prenderemo in considerazione nella tesi sono quelli di tipo autoregressivo, nel caso univariato e nel caso multivariato. In particolare, nel nostro lavoro, considereremo cinque serie storiche appartenenti allo stesso settore industriale, quello bancario, effettueremo un opportuna trasformazione in modo tale da rendere i dati trattabili e metteremo a confronto due casi: il caso in cui le cinque serie siano state generate da un modello di tipo VAR e il caso in cui, invece, ogni serie sia stata generata da un modello

4 Sintesi 3 AR. Cercheremo di capire quale sia il caso più verosimile sulla base dei valori ottenuti per le funzioni di log-verosimiglianza, in modo da riuscire a valutare quale tipo di modello permette una migliore rappresentazione della realtà e quindi la selezione di un portafoglio azionario maggiormente conveniente in termini di rendimento. Nel dettaglio la tesi è così strutturata. Nel primo capitolo si presentano i concetti fondamentali da cui parte il presente lavoro, come il processo stocastico univariato: se indichiamo con Ω lo spazio campionario e con Z un insieme al più numerabile possiamo definire un processo stocastico come un applicazione y : Z Ω R tale che per ogni t Z fissato, y(t, ω) è una variabile casuale. Quando non sarà fondamentale indicare l evento ω, denoteremo la variabile y(t, ω) semplicemente con y t. Successivamente si introduce una proprietà fondamentale per lo studio dei processi stocastici, cioè la stazionarietà in covarianza, detta anche stazionarietà debole, definita nel modo seguente: Definizione. Un processo stocastico {y t } è detto stazionario in covarianza se valgono le seguenti condizioni: E(y t ) = µ V ar(y t ) = σ 2 Cov(y t, y t s ) = γ(s) dove l ultima condizione indica che la covarianza dipende dalla distanza fra y t e y t s ma non dal riferimento temporale t.

5 Sintesi 4 Al termine di questa prima parte, viene introdotto un tipo particolare di processo stocastico, il processo white noise. Questo è il più semplice processo stocastico che si può immaginare, infatti possiede momenti (almeno) fino al secondo ordine costanti nel tempo. Tuttavia si possono dare diverse definizioni di processo white noise, alcune più deboli altre più restrittive; nel nostro lavoro abbiamo preso in considerazione la seguente definizione: Definizione. Un processo white noise {y t } è un processo stocastico in cui le variabili casuali y t sono indipendenti e identicamente distribuite con media nulla e varianza σ 2, ovvero y t i.i.d.(0, σ 2 ). Notiamo che le variabili che costituiscono tale processo non solo risultano essere incorrelate, ma anche indipendenti. Un processo white noise particolare, che useremo nei prossimi capitoli di questa tesi, è il white noise gaussiano, definito come: Definizione. Un processo white noise gaussiano {y t } è un processo white noise in cui le variabili casuali y t sono indipendenti e identicamente distribuite come una normale di media 0 e varianza σ 2, ovvero: y t N(0, σ 2 ) I processi white noise sono sicuramente processi che godono di particolari proprietà ma che, proprio per questo, il più delle volte, non possono essere scelti come modello generatore delle osservazioni che si hanno a disposizione. Abbiamo pertanto bisogno di un modello che meglio si adatti a questo scopo. Nella seconda parte del primo capitolo introduciamo, quindi, il processo autoregressivo, il cui nome deriva dal fatto che esso ha la forma di un

6 Sintesi 5 modello di regressione in cui le variabili esplicative sono i valori passati della variabile dipendente. Il numero di valori passati presi in considerazione indica l ordine del modello. Abbiamo inizialmente considerato i modelli autoregressivi più semplici, ovvero quelli di ordine 1: Definizione. Un processo stocastico si dice autoregressivo di ordine 1 (in breve AR(1)) se il valore assunto dalla variabile y t risulta legato al suo stesso valore al tempo precedente dalla relazione lineare: y t = φy t 1 + u t dove il parametro φ costituisce il coefficiente di regressione lineare e il white noise u t rappresenta il termine di errore. A seconda del valore assunto da φ si distinguono tre casi: φ = 1 il processo è random walk; φ > 1 il processo è esplosivo; φ < 1 il processo è stazionario. Un altro modo di verificare la stazionarietà del processo è quello di analizzare le soluzioni dell equazione caratteristica. φ(z) = 0 con z C dove φ(l) = (1 φl) con L operatore di ritardo che verifica Ly t = y t 1

7 Sintesi 6 Se la soluzione dell equazione caratteristica risulta avere modulo maggiore di uno il processo è stazionario. Successivamente estendiamo questo concetto al caso più generale in cui l ordine del modello sia un generico p 1. Definizione. Un processo stocastico si dice autoregressivo di ordine p (in breve AR(p)) se il valore assunto dalla variabile y t risulta legato ai suoi stessi valori passati dalla relazione lineare: y t = φ 1 y t 1 + φ 2 y t φ p y t p + u t dove i parametri φ 1, φ 2,..., φ p costituiscono i coefficienti di regressione lineare e il termine di errore u t è white noise. In questo caso φ(l) = 1 p i=1 φ i L i. Nella pratica per poter utilizzare tali processi per descrivere le serie storiche che si hanno a disposizione si ha la necessità di stimare i parametri. Il capitolo si chiude, infatti, con una trattazione sulla stima utilizzata nei capitoli successivi della tesi, quella di Massima Verosimiglianza. Sotto l ipotesi che u t non solo è white noise, ma white noise gaussiano, si ha che anche y t, in quanto esprimibile come combinazione lineare degli u t, è normalmente distribuito. La funzione di log-verosimiglianza ha, nel caso di ordine 1, la seguente forma ln l(θ, σ 2 ) = T 1 2 mentre nel caso di ordine p è ln l(θ, σ 2 ) = T p 2 ln(2πσ 2 ) 1 2σ 2 ln(2πσ 2 ) 1 2σ 2 T (y t φy t 1 ) 2 t=2 T (y t φ 1 y t 1... φ p y t p ) 2 t=p+1

8 Sintesi 7 Il secondo capitolo è dedicato alla descrizione dei processi autoregressivi di tipo multivariato, ed in particolare ai processi VAR. Definizione. Un processo stocastico multivariato di dimensione K è un applicazione y : Z Ω R K tale che per ogni t Z fissato, con Z insieme al più numerabile, y(t, ω) è una variabile casuale multivariata, denotata spesso con y t. Come nel caso univariato, anche in più dimensioni il processo stocastico più semplice è quello white noise Definizione. Un processo stocastico multivariato {y t } si dice white noise se valgono le seguenti condizioni E(y t ) = 0 E(y t y t) = Σ y E(y t, y s ) = 0 se s t con la matrice di covarianza Σ y che si assume definita positiva. Un particolare processo multivariato è il processo VAR (Vector Auto- Regressive). Definizione. Un processo autoregressivo vettoriale di ordine p è un modello della forma: y t = ν + A 1 y t 1 + A 2 y t A p y t p + u t (1)

9 Sintesi 8 dove y t = (y 1t,..., y Kt ), ν = (ν 1,..., ν K ) è un vettore di K costanti, u t = (u 1t,..., u Kt ) è un vettore di K errori white noise, mentre α 11,i α 1K,i A i =..... i = 1,..., p α K1,i α KK,i è una matrice K K. Un risultato che useremo più avanti nel nostro lavoro è il seguente: Proposizione. Ogni processo VAR(p) può essere scritto in forma VAR(1), precisamente nella forma Y t = ν + AY t 1 + U t (2) dove Y t = y t ν y t 1 0, ν =, U t =.. y t p+1 0 sono vettori di dimensione (Kp 1) e A 1 A 2 A p 1 A p I K A = 0 I K I K 0 è una matrice di dimensione (Kp Kp). u t 0. 0 Concludiamo il capitolo definendo il concetto di stabilità per processi VAR e dimostrando un importante risultato su questo argomento.

10 Sintesi 9 Definizione. Il processo VAR(p) della forma (2) si dice stabile se det(i Kp Az) 0 per z 1 il che equivale a dire che il processo VAR(p) in forma (1) è stabile se il suo polinomio caratteristico non ha radici sul o nel cerchio unitario det(i K A 1 z A p z p ) 0 per z 1 Proposizione. Se un VAR(p) è stabile allora è stazionario in covarianza. Nel terzo capitolo si illustra la procedura che ci consente di calcolare l ordine di ritardo temporale dei modelli che confronteremo. In particolare si cercherà il valore ottimale di p, ˆp, per evitare che, ad esempio, scegliendo un valore troppo grande si abbia una perdita di precisione nella previsione del modello. La strategia che utilizzeremo sarà quella di effettuare una serie di test d ipotesi del rapporto di verosimiglianza. Chiameremo M il limite superiore per p, ovvero l ordine massimo che il modello VAR potrà assumere. Considereremo la prima coppia di ipotesi: - Ipotesi nulla: H (1) 0 : A M = 0 - Ipotesi alternativa: H (1) 1 : A M 0 Se l ipotesi nulla verrà rigettata l ordine del modello sarà M, altrimenti si procederà sottoponendo al test una nuova coppia di ipotesi: - Ipotesi nulla: H (2) 0 : A M 1 = 0 - Ipotesi alternativa: H (2) 1 : A M 1 0 A M = 0

11 Sintesi 10 se anche in questo caso l ipotesi nulla non verrà rigettata si procederà ancora nella stessa maniera, finchè dopo i 1 volte che non avremo rigettato H 0 le ipotesi da sottoporre al test saranno - Ipotesi nulla: H (i) 0 : A M i+1 = 0 - Ipotesi alternativa: H (i) 1 : A M i+1 0 A M, A M 1,..., A M i+2 = 0 rigettando H 0 avremo ˆp = M i + 1. Per poter effettuare i test descritti è necessario conoscere la forma della statistica test, ovvero: λ LR = 2 [ ln l( β, Σ u ) ln l( β r, Σ r u) ] dove β e β r sono rispettivamente lo stimatore di massima verosimiglianza non vincolato e vincolato di β (β = vec(ν, A 1,..., A p )) ed hanno la seguente forma β = ( (ZZ ) 1 Z I K ) y β r = β + ( (ZZ ) 1 Σ u ) C [ C((ZZ ) 1 Σ u )C ] 1 (c C β) mentre Σ u e Σ r u rappresentano gli stimatori non vincolati e vincolati di massima verosimiglianza di Σ u ed hanno la seguente forma Σ u = 1 T (Y BZ)(Y BZ) Σ r u = 1 T (Y B r Z)(Y B r Z) Tale statistica test si distribuisce come una χ 2 (K 2 ). Proposizione. Sia y t un processo VAR(p) stabile e stazionario della forma (1) dove u t sono errori standard white noise. Supponiamo che il vettore β soddisfi la condizione Cβ = c, dove C è una matrice di dimensione

12 Sintesi 11 K 2 (K 2 p + K) e c è un vettore di K 2 elementi. Sia inoltre ln l la funzione di log-verosimiglianza e siano β r, Σ r u, β e Σ u gli stimatori di massima verosimiglianza vincolati e non vincolati. Allora λ LR = 2 [ ln l( β, Σ u ) ln l( β r, Σ r u) ] = (C β c) [ C((ZZ ) 1 Σ r u)c ] 1 (C β c) + op (1) χ 2 (K 2 ) Nel quarto capitolo effettuiamo una breve analisi descrittiva delle cinque serie storiche, riportando dei grafici che evidenziano le differenze tra le distribuzioni prima e dopo la trasformazione in rendimenti (composti). Le cinque serie storiche che prendiamo in considerazione appartengono al settore bancario e rappresentano le quotazioni mensili di cinque banche diverse riferite al periodo Gennaio 1986 Settembre Rappresentiamo l i-esima serie storica con la seguente notazione, dove ogni x (i) j x (i) = ( x (i) 1, x (i) 2,..., x (i) ) 309 rappresenta la media dei prezzi di chiusura giornalieri. I dati, in questa forma, risultano, però, poco trattabili cioè multimodali e fortemente non normali il che è in contrasto con le ipotesi di base formulate per il modello ed è per questo che si è deciso di trasformarli in rendimenti (composti). A tal proposito, per ciascuna delle cinque serie effettuiamo la seguente trasformazione x (i) = ( ln x (i) 2 ln x (i) 1, ln x (i) 3 ln x (i) 2,..., ln x (i) 309 ln x (i) ) 308 Implementando la serie di test d ipotesi descritti precedentemente otteniamo il valore ottimale di p, ˆp = 7 per cui i due modelli da confrontare, quello

13 Sintesi 12 di tipo AR e quello di tipo VAR, avranno la seguente forma y (i) t = ν (i) + φ (i) 1 y (i) t φ (i) 7 y (i) t 7 + u (i) t i = 1,..., 5 y t = ν + A 1 y t A 7 y t 7 + u t Una volta individuato tale ordine effettueremo una stima dei parametri. A questo punto il calcolo e il confronto delle funzioni di log-verosimiglianza dei modelli ci permetterà di concludere quale tra i modelli AR e VAR descrive meglio il comportamento delle nostre serie bancarie. Le seguenti tabelle riportano i valori dei parametri e il valore della funzione di log-verosimiglianza.

14 Sintesi 13 ν φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 x x x x e x σ 2 LLF x x x x x Tabella 1: Valori stimati nel caso dei 5 modelli AR(7)

15 Sintesi 14 Tabella 2: Valori stimati nel caso del modello VAR(7) ν A e A A (Continua alla pagina successiva)

16 Sintesi 15 (Continua dalla pagina precedente) A A A A Q (Continua alla pagina successiva)

17 Sintesi 16 (Continua dalla pagina precedente) LLF e+03 Tabella 2: Valori stimati nel caso del modello VAR(7) Osservando i valori della funzione di log-verosimiglianza (LLF, log-likelihood function) notiamo che il modello VAR è quello in cui la funzione di log-verosimiglianza assume valore maggiore, per cui deduciamo che tale modello descrive meglio dei cinque processi AR il comportamente delle serie storiche prese in considerazione.

18 Bibliografia 17 Bibliografia [1] Adelchi Azzalini. Inferenza Statistica, una presentazione basata sul concetto di verosimiglianza. Springer, seconda edizione, [2] Engle R.F. Bollerslev T. e Nelson D.B. ARCH model. Handbook of Econometrics, IV: , [3] Giampiero M. Gallo e Barbara Pacini. Metodi quantitativi per i mercati finanziari. Carocci editore, 2012 edizione, prima edizione [4] Hamilton J.D. Time Series Analysis. Princeton University Press. [5] Magnus J.R. e Neudecker H. Matrix differential calculus with applications in statistics and econometrics [6] Brown K. e Reilly F. Investment Analysis and Portfolio Management. South-Western College Publishing, [7] Helmut Lütkepohl. Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer-Verlag, [8] Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill, e Duane C. Boes. Introduzione alla statistica. McGraw-Hill, 1991.

19 Bibliografia 18 [9] Brandt M.W., Goyal A., Santa-Clara P., e Stroud H.R. A simulation approach to dynamic portfolio choice with an application to learning about return predictability. The Review of Financial Studies, 18(3): , [10] Domenico Piccolo. Analisi moderna delle serie storiche. In Atti del Convegno nazionale Napoli, maggio Franco Angeli Editore, [11] Luciano Pieraccini. Fondamenti di inferenza statistica. Giappichelli, 2 edizione, [12] Johansen S. Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive models. Oxford University Press, [13] Christopher A Sims. Macroeconomics and reality. Econometrica, 48(1):1 48, January 1980.