MATEMATICA. per le quinte LORENZO PANTIERI. degli Istituti professionali

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1 MATEMATICA per le quinte degli Istituti professionali LORENZO PANTIERI

2 Questo la- voro, scritto per gli alunni dell Istitu- to Versari-Macrelli di Cesena, spiega il programma di matematica degli Istituti professionali italiani. Ringrazio i Dirigenti scolastici Lorenza Prati e Mauro Tosi per aver sostenuto questo progetto, e i miei colleghi Silvia Bagnoli, Antonietta Bolognesi, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia Degli Angeli, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Giuseppe Guarrasi, Gilda Mautone, Giorgia Milandri, Emanuela Montanari, Monica Morelli, Emanuele Parini, Enrico Petroncini, Manuela Pompili, Elisabetta Turci e Carlo Zoffoli per l aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un grazie altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesura di un opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura che di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi, soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo lavoro si potrebbero spiegare meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un incomprensione vostra o di uno sbaglio mio. È con questo spirito che ho scritto questo lavoro: spero che possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere. Lorenzo Pantieri Matematica per gli Istituti professionali Copright c lorenzo.pantieri@gmail.com

3 I N D I C E 1 introduzione all analisi Funzioni 1 1. Classificazione Dominio Intersezioni con gli assi Segno Simmetrie Esercizi 5 iti 37.1 Concetto di ite 37. Calcolo dei iti 41.3 Continuità 50.4 Asintoti 54.5 Grafico probabile 58.6 Esercizi 6 3 derivate Concetto di derivata Derivate delle funzioni elementari Algebra delle derivate Funzioni crescenti e decrescenti Funzioni convesse e concave Esercizi studio di funzione Funzioni algebriche Funzioni trascendenti Esercizi 16

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5 1 I N T R O D U Z I O N E A L L A N A L I S I 1.1 funzioni Facciamo alcuni richiami al concetto di funzione, che è uno dei più importanti di tutta la matematica. Definizione 1. Dati due insiemi A e B, si definisce funzione f di dominio A e codominio B una relazione che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Si scrive f: A B. Il dominio A si indica anche con dom f. Definizione. L elemento B che è associato a un elemento A è detto immagine di. Si dice che è la variabile indipendente della funzione, mentre è la variabile dipendente. Per esempio, le relazioni rappresentate nella figura 1 sono funzioni, mentre le relazioni rappresentate nella figura non lo sono. A B A B (a) (b) Figura 1: Funzioni Definizione 3. Una funzione f: A B è iniettiva se a elementi diversi di A corrispondono sempre elementi diversi di B; è suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A; è biunivoca se è iniettiva e suriettiva. La figura 3 rappresenta alcune funzioni iniettive, suriettive e biunivoche.

6 introduzione all analisi A B A B (a) (b) Figura : Relazioni che non sono funzioni Una funzione si può rappresentare, oltre che con un diagramma a frecce, anche con un diagramma cartesiano. Definizione 4. Si chiama grafico o diagramma cartesiano di una funzione f: A B l insieme delle coppie (, ) formate da un elemento A e dal suo corrispondente B, con = f(), rappresentate nel piano cartesiano. Per esempio, la figura 4 riporta il grafico della funzione f: R R, con =, sul piano cartesiano. A B A B (a) Una funzione iniettiva ma non suriettiva (b) Una funzione suriettiva ma non iniettiva A B A B (c) Una funzione né iniettiva né suriettiva (d) Una funzione biunivoca Figura 3: Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche

7 1. classificazione (a) Grafico = (b) Alcuni valori Figura 4: La funzione = Definizione 5. Si chiama funzione reale di variabile reale una funzione il cui dominio e codominio sono entrambi sottoinsiemi di R. D ora in poi ci occuperemo solo di funzioni reali di variabile reale e intenderemo con funzione sempre una funzione reale di variabile reale. Durante il corso di matematica hai già incontrato alcune funzioni: le funzioni lineari = m + q le funzioni quadratiche = a + b + c le funzioni potenza = n, con n intero 1 le funzioni esponenziali = a e logaritmiche = log a, con a > 0 e a 1 1. classificazione Le funzioni si possono classificare in base al tipo di operazioni che compaiono nell espressione f(). Definizione 6. Una funzione si dice algebrica se contiene soltanto (un numero finito di) operazioni di somma, sottrazione, prodotto, divisione ed estrazione di radice. Altrimenti si dice trascendente. Per esempio, sono funzioni algebriche:

8 4 introduzione all analisi = = 4 1 Sono funzioni trascendenti: = 4 = = e = ln Definizione 7. Tra le funzioni algebriche = f() si distinguono: le funzioni intere (o polinomiali), in cui f() è un polinomio le funzioni fratte, in cui f() è il quoziente di due polinomi le funzioni irrazionali, in cui la compare sotto il segno di radice Per esempio: = è una funzione intera = 4 1 è una funzione fratta = 4 è una funzione irrazionale 1.3 dominio Quando si assegna l equazione che definisce una funzione senza specificarne il dominio, si sottintende che esso sia quello più ampio possibile. Definizione 8. Il dominio naturale (o insieme di definizione) di una funzione = f() è l insieme costituito dai valori reali di per cui tutte le operazioni che compaiono nell espressione f() hanno significato. Per determinare il dominio basta allora tener presenti le seguenti indicazioni: le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre definite, mentre l operazione di divisione è definita purché il divisore sia diverso da zero una radice di indice pari è definita solo se il radicando è positivo o nullo, mentre una radice di indice dispari è definita purché esista il radicando l esponenziale (con base positiva e diversa da 1) è sempre definito purché esista l esponente il logaritmo è definito se l argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1

9 1.3 dominio 5 (a) = (b) = (c) = 4 (d) = (e) = 1 (f) = 4 1 Figura 5: Dominio di alcune funzioni algebriche intere e fratte

10 6 introduzione all analisi Esercizio 1. Determina il dominio delle funzioni: = = 3 3 = 4 Soluzione. Sono tre funzioni intere: il loro dominio è R (figure 5a, 5b e 5c). Esercizio. Determina il dominio della funzione = 4 1. Soluzione. È una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: 1 0 = 1 Il dominio della funzione è perciò Vedi la figura 5d. dom f = R \ { 1 } Esercizio 3. Determina il dominio della funzione = 1. Soluzione. È una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: 1 0 = 1 Il dominio della funzione è perciò Vedi la figura 5e. dom f = R \ { 1 } Esercizio 4. Determina il dominio della funzione = 4 1. Soluzione. È una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: 1 0 da cui 1 1

11 1.3 dominio 7 Il dominio delle due funzioni è perciò Vedi la figura 5f. dom f = R \ { 1, 1 } Esercizio 5. Determina il dominio della funzione = Soluzione. Poiché una radice quadrata è definita solo se il radicando è positivo o nullo, la funzione data è definita se e solo se: Risolviamo l equazione associata: da cui, uguagliando a zero i fattori: = 0 = ( 1)( 3) = 0 = 1 = 3 La parabola associata ha la concavità verso l alto (perché il coefficiente di è positivo) e interseca l asse nei punti corrispondenti alle soluzioni dell equazione associata. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 1 3 In conclusione, il dominio della funzione è l insieme: Vedi la figura 6a. dom f = { 1 3 }

12 8 introduzione all analisi 1 3 (a) = (b) = 4 1 (c) = 3 + (d) = +1 4 (e) = log( + ) (f) = log 4 Figura 6: Dominio di alcune funzioni irrazionali e trascendenti

13 1.3 dominio 9 Esercizio 6. Determina il dominio della funzione = 4. Soluzione. Poiché una radice quadrata è definita solo se il radicando è positivo o nullo, la funzione data è definita se e solo se: 4 0 È una disequazione di secondo grado. Risolviamo l equazione associata: 4 = 0 = = 4 = = ± La parabola associata volge la concavità verso il basso (perché il coefficiente di nella disequazione è negativo) ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. In conclusione, il dominio della funzione è: Vedi la figura 6b. dom f = { } Esercizio 7. Determina il dominio della funzione = 3 +. Soluzione. Poiché una radice di indice dispari è definita purché esista il radicando, la funzione data è definita per ogni per cui ha senso l espressione +, ovvero per ogni reale. Quindi: dom f = R Vedi la figura 6c. Esercizio 8. Determina il dominio della funzione = +1. Soluzione. Poiché l esponenziale (con base positiva e diversa da 1) è sempre definito purché esista l esponente, la funzione è definita se e solo se è definita la frazione, il che accade se e solo se il suo denominatore è diverso da 0: = 1

14 10 introduzione all analisi Quindi il dominio della funzione è Vedi la figura 6d. dom f = R \ { 1 } Esercizio 9. Determina il dominio della funzione = log( + ). Soluzione. Poiché il logaritmo è definito se e solo se l argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1, la funzione data è definita se e solo se + > 0 = > Quindi il dominio della funzione è Vedi la figura 6e. dom f = { > } Esercizio 10. Determina il dominio della funzione = log 4. Soluzione. Poiché il logaritmo è definito se e solo se l argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1, la funzione data è definita se e solo se 4 > 0 Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: Denominatore: 0 = 4 0 = 4 4

15 1.4 intersezioni con gli assi 11 Costruiamo la tabella dei segni. N D F dom f + La disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+). Quindi il dominio della funzione è l insieme: dom f = { < < 4 } Vedi la figura 6f. 1.4 intersezioni con gli assi Per tracciare il grafico di una funzione è utile determinare i suoi eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani. In particolare: risolvendo l equazione f() = 0 si ottengono le ascisse (dette anche zeri della funzione) delle eventuali intersezioni con l asse ; calcolando il valore di f() per = 0, cioè f(0), si ottiene l ordinata dell eventuale intersezione con l asse. Esercizio 11. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : = 0 = ( 1)( 3) = 0 da cui = 1 = 3 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti (1, 0) e (3, 0). Troviamo le intersezioni con l asse : f(0) = = 3 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 3). Vedi la figura 7a.

16 1 introduzione all analisi Esercizio 1. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = 3 3. Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : 3 3 = 0 = ( 3) = 0 Uguagliamo a zero i fattori: = 0 3 = 0 da cui = 0 = ± 3 per cui il grafico della funzione interseca l asse nei punti: ( 3, 0) (0, 0) ( 3, 0) Troviamo le intersezioni con l asse : f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 7b. Esercizio 13. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = 4. Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : 4 = 0 = ( ) = 0 Uguagliamo a zero i fattori: = 0 = 0 da cui = 0 = ± Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti: (, 0) (0, 0) (, 0) Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 7c.

17 1.4 intersezioni con gli assi (a) = (b) = (c) = 4 (d) = (e) = 1 (f) = 4 1 Figura 7: Intersezioni con gli assi di alcune funzioni algebriche

18 14 introduzione all analisi Esercizio 14. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = 4 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio ). Troviamo le intersezioni con l asse : 4 1 = 0 da cui, einando il denominatore, 4 = 0 = = valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Ciò significa che il grafico della funzione interseca l asse nel punto (, 0). Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 4). Vedi la figura 7d. Esercizio 15. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 3). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, einando il denominatore, 1 = 0 = 0 = = 0 valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 7e.

19 1.5 segno 15 Esercizio 16. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = 4 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1, 1 } (vedi l esercizio 4). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, einando il denominatore, 4 1 = 0 4 = 0 = = 4 = = ± valori entrambi accettabili in quanto appartengono al dominio della funzione. Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti: Troviamo le intersezioni con l asse. (, 0) (, 0) f(0) = = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 4). Vedi la figura 7f. 1.5 segno Lo studio del segno di una funzione consiste nello stabilire per quali valori di risulta f() > 0, f() = 0 e f() < 0. Si conviene di risolvere la disequazione f() 0, che individua gli intervalli dove la funzione è positiva o nulla, ossia dove il suo grafico sta sopra l asse o lo interseca; la funzione sarà negativa ovunque essa non è positiva o nulla, nell ambito del suo dominio. Esercizio 17. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (1, 0), (3, 0) e (0, 3) (vedi l esercizio 11). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione:

20 16 introduzione all analisi Le soluzioni dell equazione associata = 0 sono = 1 e = 3 (vedi l esercizio 11). Disegniamo la parabola associata. 1 3 Quindi la funzione: è positiva se < 1 > 3 è nulla se = 1 = 3 è negativa altrimenti Vedi la figura 8a. Esercizio 18. Studia il segno della funzione = 3 3. Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1) e il suo grafico interseca gli assi nei punti ( 3, 0), (0, 0) e ( 3, 0) (vedi l esercizio 1). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno di ciascun fattore = ( 3) 0 Primo fattore: 0 0 Secondo fattore: 3 0 Le soluzioni dell equazione associata 3 = 0 sono = ± 3. Disegniamo la parabola associata.

21 1.5 segno (a) = (b) = (c) = 4 (d) = (e) = 1 (f) = 4 1 Figura 8: Segno di alcune funzioni algebriche

22 18 introduzione all analisi 3 3 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. F 1 F f + + Quindi la funzione: è positiva se 3 < < 0 > 3 è nulla se = 3 = 0 = 3 è negativa altrimenti Vedi la figura 8b. Esercizio 19. Studia il segno della funzione = 4. Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (, 0), (0, 0) e (, 0) (vedi l esercizio 13). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno di ciascun fattore. Primo fattore: 4 0 = ( ) 0 0 L unica soluzione dell equazione associata = 0 è = 0. Disegniamo la parabola associata. 0

23 1.5 segno 19 Secondo fattore: 0 L equazione associata = 0 ha per soluzioni = ±. Disegniamo la parabola associata. Costruiamo la tabella dei segni della funzione. F 1 F f + + Quindi la funzione: è positiva se < > è nulla se = = 0 = è negativa altrimenti Vedi la figura 8c. Esercizio 0. Studia il segno della funzione = 4 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio ) e il suo grafico interseca gli assi cartesiani nei punti (, 0) e (0, 4) (vedi l esercizio 14). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: 4 0 =

24 0 introduzione all analisi Denominatore: 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + + Quindi la funzione: è positiva se < 1 > è nulla se = non è definita se = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 8d. Esercizio 1. Studia il segno della funzione = 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 3) e il suo grafico interseca gli assi nel punto (0, 0) (vedi l esercizio 15). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: 1 0 Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: 0 L unica soluzione dell equazione associata = 0 è = 0.

25 1.5 segno 1 0 Denominatore: 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + Quindi la funzione: è positiva se > 1 è nulla se = 0 non è definita se = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 8e. Esercizio. Studia il segno della funzione = 4 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1, 1 } (vedi l esercizio 4) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (, 0), (, 0) e (0, 4) (vedi l esercizio 16). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

26 introduzione all analisi Numeratore: 4 0 Risolviamo l equazione associata: 4 = 0 = = 4 = = ± Disegniamo la parabola associata. Denominatore: 1 0 Risolviamo l equazione associata: 1 = 0 = = 1 = = ±1 Disegniamo la parabola associata. 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f Quindi la funzione: è positiva se < 1 < < 1 > è nulla se = = non è definita se = 1 = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 8f.

27 1.6 simmetrie simmetrie Il grafico di una funzione può presentare alcune particolari simmetrie: queste caratteristiche vengono formalizzate dalle definizioni di funzione pari e dispari. Definizione 9. Una funzione si dice pari se f( ) = f() per ogni appartenente al dominio della funzione. Una funzione si dice dispari se f( ) = f() per ogni appartenente al dominio della funzione. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine: vedi la figura 9. Esercizio 3. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 4( ) + 3 = Poiché quest ultima espressione non coincide né con f() né con f(), la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 8a e 35a. Esercizio 4. Stabilisci se la funzione = 3 3 è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(). f( ) = ( ) 3 3( ) = = ( 3 3) = f() La funzione è dispari. Vedi le figure 8b e 35b. P P P P (a) Una funzione pari (b) Una funzione dispari Figura 9: Funzioni pari e dispari

28 4 introduzione all analisi Esercizio 5. Stabilisci se la funzione = 4 è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 4 ( ) = 4 = f() La funzione è pari. Vedi le figure 8c e 35c. Esercizio 6. Stabilisci se la funzione = 4 1 è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 4 1 = 4 1 = Poiché quest ultima espressione non coincide né con f() né con f(), la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 8d e 35d. Esercizio 7. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. 1 Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 1 = 1 = + 1 Perciò la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 8e e 35e. Esercizio 8. Stabilisci se la funzione = 4 è pari o dispari. 1 Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 4 ( ) 1 = 4 1 = f() La funzione è pari. Vedi le figure 8f e 35f.

29 1.7 esercizi esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 1 La relazione f: { studenti del Versari-Macrelli } { classi del Versari-Macrelli } «lo studente è iscritto alla classe» è una funzione? È suriettiva? È iniettiva? È biunivoca? La relazione f: { bambini } { madri } «è figlio naturale di» è una funzione? È suriettiva? È iniettiva? È biunivoca? 3 La relazione f: { bambini } { donne } «è figlio naturale di» è una funzione? È suriettiva? È iniettiva? È biunivoca? 4 La relazione f: { Paesi dell Unione Europea } { capitali dei Paesi dell UE } «ha per capitale» è una funzione? È suriettiva? È iniettiva? È biunivoca? 5 La relazione f: { Regioni italiane } { mari italiani } «è bagnata da» è una funzione? Determina il dominio delle seguenti funzioni algebriche: 6 = = = = = = = = = = + 1 ( 4) [ { R \ ± 3 }] [R \ {, 3 }] [ R \ { 5 [R] }] [R \ { 7, 1 }] [R \ { 1, 10 }] [R \ { 0 }] [R \ { 7 }] [R \ { 7, 1 }] [R \ {, 0, }] 1 16 = [R \ { 0, 4 }] 17 = 5 [ { R \ ± }] 5 18 = 4 19 = = = 3 1 [R \ { }] [R \ { ±3 }] [R \ { 4, 5 }] [R \ { 0 }] = = [R \ {, 0 }] [R \ { 0 }] 4 = [R \ { 0 }] 5 = 16 [ 4 4] 6 = 5 [ 5 5] 7 = 1 [ 1 1] 8 = 10 [0 10] 9 = [ 5 6] 30 = [R] 31 = [ 5] + 3 = [ < 5 ] + 5

30 6 introduzione all analisi 5 33 = [0 5 3] = [R \ { 1, 0 }] = [ > 3] = [ > 4] 4 37 = 5 + [ 5] 38 = [ 1] 3 39 = [ < 4 3] = = = = 6 [ 1 > 0] [ 8 < < ] [ > 1] [ 1, 3] 44 = 3 [R] 45 = 1 3 [R \ { 0 }] 46 = 3 8 [ < 4] = [R \ { 4, 1, }] = [R \ { 1, 3, 4 }] 4 49 = 1 [ 1 < 0 1 < 4] 50 = 4 1 [ ] + 51 = [ 0 > 1] 1 8 [ 5 = < < < ] 4 53 = [ 7 < 11 ] = [ < 1 > ] 55 = 1 3 [ 3 ] 3 Determina il dominio delle seguenti funzioni trascendenti. 56 = ln( ) [ > ] 57 = 1 ln [R \ { 1 }] 58 = ln( 5 + 6) [ < > 3] 59 = e [R] 60 = e 1 [R \ { 0 }] 61 = e 1 4 [R \ { }] 6 Determina il dominio della funzione rappresentata nella figura 10a (il tratteggio indica che il grafico prosegue indefinitamente).

31 1.7 esercizi 7 (a) (b) Figura 10: Lettura di un dominio sul grafico Soluzione. Il dominio è l insieme delle ascisse dei punti che appartengono al grafico della funzione. Per individuare il dominio per via geometrica immaginiamo di proiettare tutti i punti del grafico sull asse (figura 10b): otteniamo la semiretta costituita dai punti dell asse di ascissa minore o uguale a, compresa l origine della semiretta che ha coordinate (, 0). Perciò il dominio della funzione è l insieme dom f = { } 63 Determina il dominio delle funzioni rappresentate nella figura 11. (a) (b) (c) (d) (e) Figura 11: Lettura di domini sul grafico (f)

32 8 introduzione all analisi Determina il dominio, gli eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani e il segno delle seguenti funzioni: dom f = R 64 = ( 1)( )( 3) intersezioni con gli assi: (1, 0), (, 0), (3, 0), (0, 6) è positiva per 1 < < > 3 65 = ( 1)( )(3 ) dom f = R intersezioni con gli assi: (1, 0), (, 0), (3, 0), (0, 6) è positiva per < 1 < < 3 66 = dom f = R intersezioni con gli assi: ( 11, 0), (0, 0), (1, 0) è positiva per 11 < < 0 > 1 dom f = R 67 = intersezioni con gli assi: ( 74 ), 0, (0, 0), (, 0) è positiva per 7 4 < < 0 > dom f = R 68 = intersezioni con gli assi: (±1, 0), (±, 0), (0, 4) è positiva per < 1 < < 1 > dom f = R 69 = intersezioni con gli assi: (± 1 ) (, 0, (±1, 0), 0, 1 ) 4 4 è positiva per < 1 1 < < 1 > 1 dom f = R 70 = 5 3 intersezioni con gli assi: (0, 0), (±1, 0) è positiva per 1 < < 0 > 1 71 dom f = R \ { 5, 1 } = intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per 5 < < 0 > 1 7 = = = = 4 dom f = R \ { ± } intersezioni con gli assi: ( 1, 0), (3, 0), ( 0, 3 ) 4 è positiva per < 1 < < > 3 dom f = R \ { } intersezioni con gli assi: ( 3, 0), (1, 0), è positiva per 3 < < 1 > ( 0, 3 ) dom f = { 0 } intersezioni con gli assi: ( 1, 0) positiva per < 1 > 0 dom f = R \ { ± } intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per < < 0 >

33 1.7 esercizi 9 76 = = = = = = = = = = = = = 1 dom f = R intersezioni con gli assi: (1, 0), (0, 1) è positiva per > 1 dom f = R \ { 5 } dom f = R \ { 1 } intersezioni con gli assi: (0, 1) è positiva per > 1 intersezioni con gli assi: (3, 0), (7, 0), è positiva per 3 < < 5 > 7 ( 0, 1 ) 5 dom f = R \ { ±1 } intersezioni con gli assi: (0, 1) è positiva per < 1 > 1 dom f = R \ { 1 } intersezioni con gli assi: (0, 0), (4, 0) è positiva per 0 < < 1 1 < < 4 dom f = R \ { 1, } intersezioni con gli assi: (, 0), ( 1, 0), (0, 1) è positiva per < 1 < < 1 > dom f = R \ { ±1 } intersezioni con gli assi: (, 0), (0, 4) è positiva per < 1 > 1 dom f = R \ {, 4 } intersezioni con gli assi: (1, 0), (3, 0), ( 0, 3 ) 8 è positiva per < 1 < < 3 > 4 dom f = R \ { 0, 1 } non interseca gli assi è positiva per < 0 > 1 dom f = R \ { 0 } intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per < 0 > 1 dom f = R intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per > 0 dom f = R \ { 1, 3 } intersezioni con gli assi: ( 3 ), 0, (0, 1) è positiva per 3 < < 1 > 3 dom f = { 1 1 < > } intersezioni con gli assi: (±1, 0) positiva per < 1 >

34 30 introduzione all analisi (a) (b) (c) (d) (e) Figura 1: Funzioni pari e dispari (f) 89 = 4 dom f = { 0 < 4 } passa per l origine è positiva per 0 < < 4 90 Stabilisci se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari: a. = + 1 b. = 8 5 c. = d. = 8 6 e. = 4 1 f. = 5 3 g. = h. = 4 1 [Tre funzioni pari, tre dispari, due né pari né dispari] 91 Stabilisci se le funzioni aventi i grafici riportati nella figura 1 sono pari o dispari. 9 In riferimento al grafico della funzione f rappresentato nella figura 13, rispondi alle seguenti domande. Qual è il dominio di f? Quanto vale f( 4)? E f(4)? Per quali valori f si annulla? In quali punti f interseca gli assi? f() è positivo o negativo? E f( )? La funzione è pari? È dispari? 93 Indica la risposta corretta.

35 1.7 esercizi 31 Figura 13: Una funzione a. La funzione = + è definita: A R B R, C D per nessun valore reale di per ogni valore di, tranne = b. Data la funzione = si può affermare che: A la variabile indipendente è C = ( + 1) B la funzione è intera di sesto grado D la funzione è sempre definita c. La funzione = è definita: A per tutti i valori di diversi da ±1 C R, 0 B R D solo per > 1 d. Quale delle seguenti rappresenta una funzione f tale che f( ) = 3 e f(3) =? A = + 1 B = + 5 C = 5 D = 1 e. La funzione = + è definita per: log( 1) A 1 < B > 1 con C 1 con D > 1 f. Data la funzione f() = 1 il suo dominio è: A 0 1 B 0 1 C 0 < 1 D 0 g. Data la funzione f( + 1) = f() + e f(1) = quanto vale f()?

36 3 introduzione all analisi A 0 B 1 C D 3 h. Il dominio di f() = ln(e 1) è: A > B < 0 > C > e 3 D > 3 i. Data la funzione = si può affermare che: + 1 A per = 1 non è definita C per = 5 è definita B per = 0 non è definita D è definita solo per = ±1 j. Indica fra le seguenti l affermazione errata: A B la funzione = log( + 1) è definita R la funzione = 3 è definita ovunque C la funzione = non è definita per = 8 7 D la funzione = 4 non è definita per = 3 94 Indica la risposta corretta. [Una risposta A, tre B, quattro C e due D] a. Data la funzione = + 15 indica quale affermazione è vera: A è definita per 5 3 C è definita solo per 3 B è definita per 5 3 D nessuna delle precedenti b. Data la funzione = log( + 1) indica l affermazione falsa: A per = 4 non è definita C per = 3 non è definita B per = 4 non è definita D per = 5 è definita c. Data la funzione = log A il suo dominio è > 0 5 indica quale affermazione è vera: + 1 C il suo dominio è R B il suo dominio è 0 D per = 0 vale = 0 d. La funzione f() = ln è positiva nell intervallo

37 1.7 esercizi 33 A (0, e ) B (, ) C (0, + ) D (e, + ) e. Data la funzione f() = , il suo dominio è: A R \ { 0 } C { < 1 > 3 } B R D R \ { 1 } f. Per trovare il dominio di quale tra le seguenti funzioni si risolve la disequazione A() 0? A = 1 A() B 3 A() C = ln A() D = A() g. Il dominio della funzione = 9 è: A ( 3, 3) B [ 3, 3] C R \ { ±1 } D (, 3] h. Il dominio della funzione = è: A R C > 0 B < 5 > 0 D 5 0 i. La funzione f() = + 3 interseca l asse delle ascisse nel punto: + 4 A (0, 3) B (, 0) C ( 3, 0) D (3, 0) j. Il dominio della funzione = è: A R C R \ {, 3 } B { < > 3 } D { < < 3 } [Cinque risposte A, tre B, una C e una D] 95 Vero o falso? a. La funzione = è pari. V F b. La funzione = è dispari. V F c. Una funzione che non è pari è dispari. V F d. Una funzione pari è simmetrica rispetto all asse. V F e. Una funzione dispari è simmetrica rispetto all asse. V F [ affermazioni vere e 3 false]

38 34 introduzione all analisi 96 Indica la risposta corretta. a. La funzione = 9 : A è sempre definita C è sempre positiva B passa per l origine degli assi D non è definita per = 3 b. La funzione = 3 6 si annulla per: A = B = 0 C = D = 4 c. Quale tra le seguenti funzioni è pari? A = 4 B = 4/ C = 10 D = 3 d. Quale tra le seguenti funzioni è dispari? A = 3 3 B = 4/ C = 9 D = 3 e. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa? A Esistono funzioni simmetriche rispetto all asse B C D Esistono funzioni simmetriche rispetto all asse Esistono simmetriche rispetto all origine Esistono funzioni né pari né dispari f. Quale tra le seguenti funzioni non interseca mai gli assi cartesiani? A = B = g. Quale tra le seguenti funzioni ha come dominio R? C = + 1 D = 1 + A = log( ) B = + 1 C = + D = La funzione = f() = è iniettiva? Soluzione. Poiché [Due risposte A, due B, una C e due D] f() = = ( 1)( 3) = f(1) = f(3) = 0 ci sono due valori distinti del dominio (1 e 3) che hanno la stessa immagine (0): la funzione non è iniettiva.

39 1.7 esercizi La funzione = f() = è suriettiva? Soluzione. Poiché 0 per ogni R, non esiste alcun tale che f() = 1: la funzione non è suriettiva. 99 Stabilisci se le curve rappresentate nella figura 14 sono funzioni o no. (a) Una funzione (b) Una relazione che non è una funzione Figura 14: Test delle rette verticali Soluzione. Data una curva nel piano cartesiano, si può stabilire se essa è il grafico di una funzione facendo il test delle rette verticali: una curva è il grafico di una funzione se e solo se nessuna retta verticale la interseca più di una volta. Quindi: la curva 14a è il grafico di una funzione (perché nessuna retta verticale la interseca più di una volta); la curva 14b non è il grafico una funzione (perché c è almeno una retta verticale che la interseca due volte). 100 Stabilisci se le funzioni f: R R rappresentate nella figura 15 sono iniettive, suriettive o biunivoche. Soluzione. Dato il grafico di una funzione f: R R si può stabilire se essa è iniettiva, suriettiva o biunivoca facendo il test delle rette orizzontali: una funzione è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il suo grafico al massimo una volta; una funzione è suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il suo grafico almeno una volta; una funzione è biunivoca se e solo se ogni retta orizzontale interseca il suo grafico esattamente una volta.

40 36 introduzione all analisi (a) Una funzione iniettiva ma non suriettiva (b) Una funzione suriettiva ma non iniettiva (c) Una funzione né iniettiva né suriettiva (d) Una funzione biunivoca Figura 15: Test delle rette orizzontali Quindi: la funzione 15a è iniettiva (perché ogni retta orizzontale interseca il suo grafico al massimo una volta), ma non suriettiva (perché c è almeno una retta orizzontale che non lo interseca); la funzione 15b è suriettiva (perché ogni retta orizzontale interseca il suo grafico almeno una volta), ma non iniettiva (perché c è almeno una retta orizzontale che la interseca due volte); la funzione 15c non è né iniettiva né suriettiva; la funzione 15d è biunivoca.

41 L I M I T I Questo capitolo introduce un concetto fondamentale dell analisi matematica, quello di ite. Cominceremo ad analizzare questa nozione attraverso alcuni esempi, in cui ci familiarizzeremo con l idea di ite a livello intuitivo..1 concetto di ite Esempi introduttivi Limite finito quando tende a un valore finito Data la funzione = 9 3 studiamo il suo comportamento quando assume valori sempre più prossimi a 3. analisi numerica La funzione non è definita per = 3, tuttavia possiamo calcolare i valori di per valori di vicini a 3. Attribuendo per esempio a i valori indicati in tabella, con l aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di riportati.,9,99, ,001 3,01 3,1 5,9 5,99 5,999 non definita 6,001 6,01 6,1 6 Vediamo che quando la variabile assume valori sempre più prossimi a 3, i corrispondenti valori di si avvicinano sempre più a 6. Per esprimere questo comportamento della funzione in prossimità del valore = 3 (si dice anche «in un intorno di 3») scriviamo 3 f() = 6 che si legge «il ite di f() per che tende a 3 è 6». interpretazione grafica Si può avere conferma di questo comportamento della funzione per vicino a 3 anche tracciando il suo grafico, perché f() = 9 3 = ( 3)( + 3) 3 = + 3 per 3

42 38 iti 6 f() = f() = (a) Limite finito quando tende a un valore finito (b) Limite finito quando tende a infinito 0 f() = + + f() = + (c) Limite infinito quando tende a un valore finito (d) Limite infinito quando tende a infinito Figura 16: Esempi di iti Il grafico della funzione è una retta, privata del punto di ascissa 3 (figura 16a). Limite finito quando tende a infinito Data la funzione = studiamo il suo comportamento quando assume valori positivi via via sempre più grandi. analisi numerica Attribuendo a i valori indicati nella tabella seguente, con l aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di riportati ,980 0,990 0,993 0,995 0,996 0,998 0,999 1

43 .1 concetto di ite 39 Vediamo così che quando la variabile assume valori positivi sempre più grandi (si dice «tendenti a più infinito»), i corrispondenti valori di si avvicinano sempre più a 1. Per esprimere questo comportamento della funzione scriviamo f() = 1 + che si legge «il ite della funzione f() per che tende a più infinito è 1». interpretazione grafica Il grafico della funzione = f() = presenta la retta = 1 come asintoto orizzontale (vedi la figura 16b e il paragrafo.4). Limite infinito quando tende a un valore finito Data la funzione = f() = 1 studiamo il suo comportamento quando assume valori sempre più prossimi a 0. analisi numerica La funzione non è definita per = 0, tuttavia possiamo calcolare i valori di quando si avvicina a 0. Attribuendo per esempio a i valori indicati nella tabella seguente, otteniamo i valori approssimati di riportati. 0,1 0,01 0, ,001 0,01 0, non definita i valori di diventano sempre più grandi Vediamo così che quando assume valori sempre più vicini a 0, i corrispondenti valori di diventano sempre più grandi, ovvero «tendono a più infinito». Scriveremo f() = + 0 che si legge «il ite di f() per che tende a 0 è più infinito». interpretazione grafica Il grafico della funzione = f() = 1 l asse come asintoto verticale (vedi la figura 16c e il paragrafo.4). presenta Limite infinito quando tende a infinito Data la funzione = f() = studiamo il suo comportamento quando assume valori positivi via via sempre più grandi.

44 40 iti 1 f() = f() = Figura 17: Limite destro e ite sinistro analisi numerica Attribuendo per esempio a i valori indicati nella tabella seguente, otteniamo i valori approssimati di riportati i valori di diventano (rapidamente) sempre più grandi Vediamo così che quando la variabile assume valori positivi via via più grandi («tendenti a più infinito»), anche i corrispondenti valori di diventano sempre più grandi (ovvero tendono anch essi a più infinito). Scriveremo allora f() = + + che si legge «il ite di f() per che tende a più infinito è più infinito». interpretazione grafica La funzione esaminata è una funzione esponenziale che, com è noto, al crescere di assume valori che tendono rapidamente a + (figura 16d). Limite destro e ite sinistro Per poter dire che il ite di una funzione per a, con a R, è l, è necessario controllare che f() tenda a l sia quando si avvicina ad a per valori maggiori di a (ossia da destra rispetto ad a) sia quando si avvicina ad a per valori minori di a (ossia da sinistra rispetto ad a). avvicinamento da sinistra a avvicinamento da destra

45 . calcolo dei iti 41 In alcuni casi può accadere che il comportamento della funzione a destra di a sia diverso dal comportamento a sinistra di a. Per indagare queste situazioni si parla di ite destro e di ite sinistro e si scrive: f() per indicare il ite destro a + f() per indicare il ite sinistro a Per esempio, consideriamo la seguente funzione (chiamata anche segno di ): { 1 se > 0 f() = 1 se < 0 La funzione non è definita per = 0. La figura 17 mostra il grafico della funzione: per > 0 abbiamo che f() = 1, quindi per < 0 abbiamo che f() = 1, quindi f() = f() = 1 0 Si noti che non esiste invece il ite dalla funzione per 0, perché i due iti destro e sinistro sono diversi tra loro. Come si può intuire da quest ultimo esempio, il ite di una funzione per a, con a R, esiste se e solo se i due iti, destro e sinistro, esistono e sono uguali. Definizione di ite Dagli esempi precedenti dovrebbe emergere in modo sufficientemente chiaro il concetto di ite, di cui diamo la seguente definizione intuitiva. Definizione 10. Data una funzione f(), supponiamo che a e l rappresentino due numeri reali, oppure + o. Diremo che il ite della funzione f() per che tende ad a è l, e scriveremo f() = l a se la funzione f() assume valori vicini quanto si vuole a l tutte le volte che i valori di sono sufficientemente vicini ad a (con eventuale esclusione del punto = a, dove la funzione può non essere definita).. calcolo dei iti Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto e definito il concetto di ite. Il problema che ci poniamo adesso è invece quello del calcolo dei iti.

46 4 iti Limiti di alcune funzioni elementari In base alla definizione di ite, si può dimostrare che valgono i iti riassunti nella tabella 1. Tabella 1: Limiti di alcune funzioni elementari (a rappresenta un numero reale) a n = a n = a a a 3 = 3 a a = a a log = log a per ogni n intero Risultati analoghi valgono per le radici di indice (intero positivo) qualsiasi, e per le funzioni esponenziali e logaritmiche di base qualsiasi (purché > 0 e 1). Nel caso delle funzioni elementari il calcolo del ite per a, con a R appartenente al dominio della funzione, si riduce quindi a effettuare una semplice sostituzione. Per esempio: 3 = 3 = 9 Le figure 18 e 19 mostrano i iti di alcune importanti funzioni elementari agli estremi del loro dominio. Per esempio: ± 3 = ± ± 4 = + Algebra dei iti Ci chiediamo ora: a partire dai iti mostrati nella tabella 1, si possono determinare i iti di funzioni più complicate, costruite a partire dalle funzioni elementari mediante operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione? Per esempio, sappiamo che = 4 e che 3 = 8; possiamo dire che ( + 3 ) = 1 è la loro somma? In altre parole, vogliamo studiare il comportamento dell operazione di ite rispetto alle operazioni tra funzioni. Cominciamo dal caso più semplice, in cui i iti delle funzioni in gioco sono finiti. Regole di calcolo nel caso in cui i due iti sono finiti Se due funzioni f e g hanno iti finiti per a, l operazione di ite si comporta bene rispetto alle ordinarie operazioni.

47 . calcolo dei iti 43 = c, c R = (a) c = c c = c + (b) = = + + = n, n naturale pari = n, n naturale dispari 3 (c) n = + + n = + (d) n = + n = + Figura 18: Limiti della funzione costante e delle funzioni potenza agli estremi del dominio Proposizione 1. Supponiamo che le funzioni f e g siano entrambe definite in un intorno di a (numero reale o ± ), eccetto al più a, e che sia a f() = l 1 a g() = l dove l 1, l sono numeri reali. Allora risulta: a [f() ± g()] = l 1 ± l a [f() g()] = l 1 l f() a g() = l 1, se l 0 l a [ c f() ] = c l1, per ogni c R

48 44 iti = = 3 (a) = = + + (b) 3 = 3 = + + = = (1/) 1 1 (c) = 0 + = + (d) ( 1 ) = + + ( ) 1 = 0 = log = log (e) log 0 + = log + = + (f) log = + log + 1 = Figura 19: Limiti di alcune funzioni elementari agli estremi del dominio

49 . calcolo dei iti 45 Esercizio 9. Calcola il ite ( + 3 ). Soluzione. ( + 3 ) = + 3 = = 1 Esercizio 30. Calcola il ite 3. Soluzione. = = 3 = Regole di calcolo nel caso in cui uno dei due iti è infinito La proposizione 1 non contempla i casi in cui uno dei due iti l 1 o l sia infinito, o se l = 0 nel ite del quoziente tra f() e g(). Valgono i risultati seguenti (a è un numero reale oppure, che rappresenta genericamente + oppure ). Se a f() è Tabella : Regole per la somma e a g() è allora a [f() + g()] è l R + + l R Se a f() è Tabella 3: Regole per il prodotto e a g() è allora a [f() g()] è l R con l 0 Se a f() è Tabella 4: Regole per il quoziente e a g() è f() allora a g() è l R 0 l R con l 0 0 l R

50 46 iti Nelle tabelle 3 e 4 il segno del ite del prodotto e del quoziente si determina con la consueta regola dei segni, tenendo conto che si attribuisce un segno anche a 0: lo 0 è considerato positivo, e indicato con 0 +, se una funzione tende a 0 per eccesso, cioè assumendo valori positivi, mentre è considerato negativo, e indicato con 0, se una funzione tende a 0 per difetto, cioè assumendo valori negativi. Per esempio: 0 + = = 0 = + I casi esclusi dalla proposizione 1 e dalle tabelle precedenti sono chiamati forme di indecisione (o forme indeterminate) e si possono sintetizzare con le scritture compatte: + 0 / 0/0 Si parla di forme di indecisione perché non si può stabilire una volta per tutte se il ite esista, sia finito o infinito, ma bisogna procedere caso per caso, in quanto il risultato dipende dalle particolari funzioni implicate. Esercizio 31. Calcola + 1. Soluzione. + 1 = 1 + = 0 Esercizio 3. Calcola ( + 1 ) Soluzione. Tenendo conto che quando 1 + si ha che si ha: ( + 1 ) = = 1 + = + Forme di indecisione di funzioni algebriche Questo paragrafo presenta le più comuni forme di indecisione che si presentano quando si lavora con funzioni algebriche intere e fratte. Limiti di funzioni intere Le funzioni intere sono definite in tutto R, quindi si può incorrere in forme di indecisione solo nel calcolo dei iti per ±. In questo caso, ci si può

51 . calcolo dei iti 47 imbattere in una forma di indecisione del tipo +. Per esempio, ciò accade se si vuole calcolare: + (3 3) La risoluzione di questa forma di indecisione si basa sul seguente ragionamento. Raccogliendo 3 si ha che: ( [ )] + Il termine dopo 1 dentro le parentesi tonde tende a 0 per +, quindi il fattore tra parentesi tende a 1. Ne segue che + (3 3) = + 3 = + Questo ragionamento può ripetersi similmente per qualsiasi polinomio; possiamo quindi concludere che: per calcolare il ite di un polinomio per ± basta calcolare il ite del suo termine di grado massimo. Esercizio 33. Calcola + ( 4 + 3). Soluzione. + ( 4 + 3) = + = + Esercizio 34. Calcola (4 ). Soluzione. (4 ) = 4 = + Esercizio 35. Calcola ( ). Soluzione. ( ) = 3 =

52 48 iti Funzioni fratte Consideriamo ora una funzione fratta, cioè una funzione del tipo dove P() e Q() sono polinomi. f() = P() Q() Le funzioni fratte hanno come dominio l insieme R privato degli eventuali valori di che annullano il denominatore. Nel calcolo dei iti di queste funzioni si può incorrere in due tipi di forme di indecisione: / nel calcolo dei iti per ± oppure 0/0 nel calcolo dei iti per a, dove a R è un punto in cui la funzione non è definita. Analizziamo separatamente i due casi. forme di indecisione del tipo / Per esempio, consideriamo il ite Sia il numeratore che il denominatore tendono a + per +, quindi il ite si presenta nella forma indeterminata /. La risoluzione della forma di indecisione si basa sul seguente ragionamento. Raccogliamo anzitutto al numeratore e al denominatore i termini di grado massimo: = + ( ) 1 ) ( 1 1 L addendo dopo 1, sia all interno delle parentesi al numeratore che all interno delle parentesi al denominatore, tende a 0 per +, quindi i due fattori tra parentesi tonde tendono entrambi a 1. Ne segue che: = + = = + Un ragionamento simile può ripetersi nel caso di tutti i iti di funzioni fratte che si presentano nella forma /. Possiamo quindi concludere che per calcolare il ite del rapporto tra due polinomi per ± basta calcolare il ite del rapporto dei loro termini di grado massimo.

53 . calcolo dei iti 49 Esercizio 36. Calcola + 1. Soluzione. + 1 = + = = + + Esercizio 37. Calcola + 1. Soluzione. + 1 = + = 1 + = 0 Esercizio 38. Calcola Soluzione = 3 + = 3 I tre esempi precedenti mostrano i tre diversi casi che si possono presentare P() nel calcolo del ite, dove P() e Q() sono polinomi di gradi ± Q() rispettivamente n ed m: se n > m (vedi l esempio 36), allora se n < m (vedi l esempio 37), allora se n = m (vedi l esempio 38), allora ± ± P() Q() = ± P() Q() = 0 P() ± Q() = rapporto tra il coefficiente di n e il coefficiente di m forme di indecisione del tipo 0/0 Se il ite del rapporto di due polinomi P() e Q() si presenta nella forma indeterminata 0/0 per a R, deve essere P(a) = Q(a) = 0, quindi i due polinomi P() e Q() devono essere divisibili per ( a). L indeterminazione si rimuove scomponendo P() e Q() in fattori e semplificando la frazione P()/Q(). Il ite della funzione ottenuta dopo la semplificazione del fattore ( a) coincide con quello della funzione originaria: infatti le due funzioni sono uguali se = a e, ai fini del calcolo del ite, è ininfluente il valore della funzione in a.

54 50 iti Esercizio 39. Calcola Soluzione. Osserviamo che ( 3 + ) = 0 ( 4) = 0 quindi il ite si presenta nella forma 0/0. Per risolvere la forma di indecisione scomponiamo il numeratore e il denominatore e semplifichiamo il fattore in comune: ( )( 1) = ( )( + ) = 1 + = continuità Intuitivamente, una funzione è continua se per tracciare il suo grafico non si stacca mai la penna dal foglio. Il concetto di ite permette di definire questa nozione in modo preciso. Continuità in un punto Definizione 11. Sia f una funzione definita in un intorno di a R. Se f() = f(a), la funzione f si dice continua in a. a È importante fare alcune osservazioni. Mentre l operazione di ite per a R riguarda il comportamento di una funzione in un intorno di a, disinteressandosi di ciò che accade nel punto a, la definizione di continuità richiede invece l analisi del comportamento della funzione sia in un intorno di a sia nel punto a, e impone che i due comportamenti non siano difformi. Intuitivamente, la condizione f() = f(a) si può interpretare dicendo a che «se è vicino ad a, allora f() è vicino a f(a)» (figura 0a). Questa condizione non è verificata se f non è continua in a (figura 0b).

55 .3 continuità 51 f(b) f(b) f(a) f(a) a b a b (a) La funzione f() è continua in a: spostandoci di poco da a, per esempio in b, il valore f(b) si discosta di poco da f(a) (b) La funzione f() non è continua in a: spostandoci di poco da a, per esempio in b, il valore f(b) si discosta in modo significativo da f(a) Figura 0: Funzioni continue e discontinue Funzioni continue Definizione 1. Se una funzione f di dominio D è continua in tutti i punti di un insieme A D, diremo che f è continua in A. Se f è continua in tutti i punti del suo dominio, diremo semplicemente che f è una funzione continua. Per esempio: le funzioni potenza = n con n N sono continue in R la funzione = 1 è continua in R \ { 0 } la funzione esponenziale = è continua in R la funzione logaritmica = log è continua in (0, + ) Punti di discontinuità e loro classificazione Sia f una funzione definita in un intorno di a R. La condizione di continuità della funzione in a equivale alla seguente: f() = f() = f(a) a + a quindi richiede che siano verificate tre condizioni: 1. i due iti f() e f() devono esistere finiti a + a

56 5 iti (a) Discontinuità di tipo salto (o di prima specie) (b) Discontinuità di seconda specie 3 (c) Discontinuità einabile (o di terza specie) Figura 1: Punti di discontinuità. devono essere uguali tra loro 3. devono essere uguali a f(a) Se almeno una di queste tre condizioni non è soddisfatta, diremo che a è un punto di discontinuità della funzione. Si possono allora avere tre tipi diversi di punti di discontinuità, a seconda di quale di queste tre condizioni viene a cadere. Analizziamo singolarmente ciascuno di questi casi. Punti di salto (o discontinuità di prima specie) Il primo tipo di discontinuità che analizziamo è relativo al caso in cui cade la condizione, cioè se i iti f() e f() esistono finiti ma sono diversi a + a tra loro. Definizione 13. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è un punto di salto (o di discontinuità di prima specie) se i iti di f per a + e a esistono finiti, ma sono diversi tra loro. In tal caso il valore assoluto della differenza a f() f() si dice salto di f in = a. + a Esercizio 40. Studia i punti di discontinuità della funzione { 1 se > 0 f() = 1 se < 0 Soluzione. La funzione è definita e continua in R \ { 0 } (figura 1a). È immediato verificare che f() = 1 f() =

57 .3 continuità 53 Perciò i iti dalla destra e dalla sinistra di f per 0 esistono e sono finiti ma sono diversi tra loro. La funzione presenta in = 0 un punto di salto; precisamente, il salto vale. Discontinuità di seconda specie Un altro tipo di discontinuità si presenta se cade la condizione 1, cioè quello in cui almeno uno dei due iti f() e f() non esiste o è infinito. a + a Definizione 14. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è di seconda specie se almeno uno dei due iti f() e f() non a + a esiste o è infinito. Esercizio 41. Studia i punti di discontinuità della funzione 1. Soluzione. La funzione è definita e continua in R \ { 0 } (figura 1b). I iti della funzione per 0 + e 0 sono infiniti; precisamente f() = f() = 0 quindi = 0 è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione. La retta = 0 (cioè l asse ) è un asintoto verticale per la funzione. Discontinuità einabili (o discontinuità di terza specie) L ultimo caso che ci resta da esaminare è quello in cui si verificano le condizioni 1 e, ma cade la 3, cioè quando esiste finito il ite f(), ma questo non è uguale a a f(a). Definizione 15. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f è einabile in ciascuno di questi due casi: se esiste finito a f() ma f non è definita in a se esiste finito a f() ma il valore del ite è diverso da f(a)