LICEO SCIENTIFICO STATALE E.FERMI

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1 LICEO SCIENTIFICO STATALE E.FERMI SEDE: VIA MAZZINI, 17/ BOLOGNA Telef: 051/ F: 051/ Cdice fiscle: Sede Asscit: Vi Nzile Tsc, S Lzzr di Sve Telef: 051/ F: 051/ E-mil: ps0000d@istruzie.it sit: PROGRAMMA DI MATEMATICA DELLA CLASSE 5ª G. s. 017/018 DOCENTE: GABRIELE MARIANI Lir di test: L mtemtic clri vl. 5, L. Sss, Petrii. Nel séguit viee riprtt l elec degli rgmeti trttti. L iettiv priciple che ci si è psti è csistit el preprre gli lui ll svlgimet dell secd prv e ciò h ifluit su lcue scelte didttiche che si s rese ecessrie ell ffrtre u prgrmm certmete piuttst estes, mggir rgie vist l impstzie dei prlemi e dei quesiti secd le uve Idiczii Nzili i vigre dll esme di Stt del 015. Pertt lcui rgmeti ecessri d ffrtre il tem di Mtemtic, quli equzii differezili e distriuzii di prilità, m che lcui spetti dell lisi (dlle premesse di tplgi ll utilizz dell derivt secd) s stti trttti i md priciplmete pertiv, cus dell ggettiv difficltà risctrt el trttre pprfditmete tutti gli rgmeti previsti el temp dispsizie, ed esputi dl prgrmm richiest gli studeti i sede di verific rle. Ricrd iltre che l gemetri litic dell spzi, seppur previst l quit elle Idiczii Nzili, è stt ticipt l qurt. Per gevlre u lettur rgit del prgrmm svlt, s stti iseriti lcui cmmeti. umer delle re cmpresiv delle re di esercitzie e verifiche; il clcl per i sigli uclei fdti è d csiderrsi pprssimt e quidi purmete idictiv (sti pesre lle re lle verifiche elle quli qusi sempre s cmprsi più uclei, ppure lle re l ripss). L smm delle re crrispde lle 155 re di mtemtic effettivmete svlte durte l. 1- Nucle fdte: LIMITI DI FUNZIONI (cpitli 1,, 3) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt: Richimi sulle fuzii: defiizie di fuzie f : A B y = f ( ) cme relzie tr gli isiemi vuti A e B che ssci d gi elemet di A u ed u sl elemet di B ; termilgi, immgii e ctrimmgii, vriile idipedete e dipedete, dmii D f e isieme delle immgii Imm(f), grfic di u fuzie; le fuzii reli di vriile rele. Mssim e miim, qud esisteti, di u sttisieme di R. Mssim e miim (ssluti) di u fuzie (itesi cme mssim e miim dell isieme delle immgii). Isiemi limitti ed illimitti. Estrem iferire ed estrem iferire di u sttisieme di R. Estrem iferire ed estrem iferire di u fuzie (cei). Defiizie di itr cmplet di u put, itr destr, itr siistr. Defiizie di put di ccumulzie per u sttisieme di R. Defiizie di put islt. 30 Reltivmete questi ftti di tplgi dell rett rele, per qut rigurd le zii di estrem superire e iferire e di put di ccumulzie/put islt s stte sì presette i termii rigrsi e frmli (estrem superire di u sttisieme A di R limitt superirmete defiit cme il miim dei mggirti; put di ccumulzie 0 di u sttisieme A di R defiit cme u put tle che i gi itr di 0 cde lme u elemet di A divers d 0 ) m di ftt esse stte utilizzte el séguit (é richieste ll rle): ssi per qut rigurd l idividuzie del sup e dell if di u isieme, piché im sempre vut che fre c isiemi semplici (tipicmete u itervll uii fiite di itervlli), ess risult ituitiv ed immedit, rgi per cui u studete medimete sprà che sup [0,1[ =1 sez prilmete ricrdre che 1 è il miim dei mggirti e ll stess md sprà che π, m ptree vere prlemi el frmlizzre il ccett. All stess md, l zie di put di sup rct = R ccumulzie sree fdmetle ell defiizie di limite, m di ftt viee supert qud l stess lir di test l richim esplicitmete ell defiizie di limite presett, defied i md del tutt equivlete il limite di u fuzie per tedete d 0 per fuzii defiite i u itr di 0 evetulmete privt di 0. I stess h ltert l diciture i 0 viee chimt put di ccumulzie i cui di dice semplicemete che f 1

2 è defiit i u itr di 0 evetulmete privt di 0. N s stti svlti esercizi specifici di ricerc del sup/if dei puti di ccumulzie di u isieme, m ci si è cctetti di lcui esempi presetti i clsse per illustrre l zie, prefered u pprcci ituitiv. Ifie segl che sul lir è presete u ce l legme tr l esistez del sup per isiemi limitti e l cmpletezz di R, m i e im ftt mezie. Riferimeti sul lir di test: L. Sss L Mtemtic Clri, vlume 5; cpitl 1, prgrfi 1,, 3, 4 (c lcui tgli). L defiizie di limite (utilizzd gli itri) ei quttr csi: limite fiit l di u fuzie per che tede u umer fiit 0; limite destr e siistr, limite ifiit di u fuzie per che tede u umer fiit 0 (sitti verticli); limite destr e siistr; limite fiit l di u fuzie per tedete ll ifiit (sitti rizztli); limite ifiit di u fuzie per tedete ll ifiit. N rilevz dell evetule vlre di f i 0 i relzie lim f ( ) (distizie tr vlre putule e vlre limite, zie di ccett lcle vs ccett putule vs ccett glle: l zie di limite è u ccett lcle, ssi il vlre limite dipede sl dl cmprtmet dell fuzie itr 0, m i 0. APPLICAZIONI: Esercizi di verific di u vlre limite ssegt medite l defiizie di limite (ricerc di u pprprit itr i cui è verifict l disequzie che cmpre ell defiizie di limite). 0 I tre teremi sui limiti: L1 : terem dell uicità del limite (c dimstrzie) L: terem dell permez del seg (c dimstrzie): se f ( ) > 0 i u itr di 0 privt l più di 0. L3: terem del cfrt ( dei due criieri ) (c dimstrzie). N ivertiilità del terem dell permez del seg c ctresempi (es. ( ) psitiv i u itr di 1 privt di 1, m lim y 1 del seg: se f ( ) > 0 i u itr di 0 lim f ( ) = 0 0 l (m ecessrimete >). lim f ( ) = > 0 0 l llr y = 1 è strettmete è psitiv) ed ivers dele del terem dell permez privt l più di 0 e se esiste fiit lim f ( ) 0, llr APPLICAZIONI: utilizz del terem del cfrt per dimstrre i md rigrs e frmle limiti quli d esempi si lim = 0 i cui il umertre è limitt e il demitre tede ifiit, ssi limiti dell frm ± lim ( h( ) g( ) ) = 0 c h limitt i u itr di 0 e g ifiitesim per 0. 0 Il clcl dei limiti: L lger dei limiti (sez dimstrzii): limite dell smm, dell differez, del quziete di due fuzii, del reciprc di u fuzie; ccett di pseudugugliz (es. umer [ + + ] = +, = 0,... ) cme cmde scritture che permett u sitesi rpid dei teremi reltivi ll lger dei limiti. Itrduzie di ltre pseuduguglize [ e ] = +, [ e ] = 0,[l 0 ] =,[l + ] = +... ) cme sitesi rpid di ltri risultti ti di clcl dei limiti ( ( ) ricvili i md frmle medite l defiizie. 0,,, 0, 0,, 1 + e metdi per l determizie del vlre limite 0 Frme di idecisie [F.I.]: [ ] [ ] 0 0 ei csi i cui si preset u frm di idecisie: limite per le fuzii rzili itere per ± (regl rpid del grd mssim ricvt cme cseguez del rccglimet frzt del mmi di grd mssim); limite (regl rpid del grd per le fuzii rzili irrzili frtte per ± che preset l F.I. [ ] mssim che pplict i più pssggi, ricvt cme cseguez del rccglimet frzt dell ptez di di grd mssim); limite per tedete d u vlre fiit di u fuzie rzile frtt che preset l F.I [ 0 0 ] (metd dell scmpsizie); limiti di fuzii irrzili frtte che preset l F.I [ 0 0 ] [ + ] (metd dell rzilizzzie) ecc. si Prim limite tevle (c dimstrzie): lim = 1 e limiti rilevti derivti. 0 1 Secd limite tevle: lim 1+ = e (sez dimstrzie) e limiti rilevti derivti. Successii: l defiizie di successie cme fuzie rele di vriile turle, limite di u successie per

3 tedete ll ifiit. Prgressii ritmetiche e gemetriche (cei). Pricipi di iduzie. L serie gemetric cvergez di u serie gemetric e clcl dell reltiv smm. Reltivmete quest prte, s stte trttte tutte e 4 le defiizii di limite, iclusi limiti d destr e d siistr (m limiti per eccess per difett, ppe ccete sul str lir di test ed illustrti ituitivmete sui grfic). Nel prim cs si è mi richiest egli esercizi di utilizzre l defiizie ell frm ε δ (ciè ε... δ...), m sl ell frm che i idic cme itr (di l )-itr (di 0) (ciè itr di l... itr di 0) e pi ε-itr (ciè ε... itr di 0); ll stess md el secd cs si è mi richiest egli esercizi di utilizzre l defiizie ell frm Μ δ, m sl ell frm itr (di ifiit)-itr (di 0) e pi M-itr (ciè Μ... itr di 0...); ll stess md el terz cs si è mi richiest egli esercizi di utilizzre l defiizie ell frm ε Ν, m sl ell frm itr (di l ) - itr (di ifiit) e pi ε-itr (ciè ε... itr di ifiit...); ed ifie el qurt cs si è mi richiest egli esercizi di utilizzre l defiizie ell frm Μ Ν, m sl ell frm itr (di ifiit) -itr (di ifiit) e pi M-itr (ciè Μ... itr di ifiit...); Per qut rigurd i tre teremi sui limiti (uicità, permez del seg, cfrt/due criieri) l ultim terem è stt dimstrt sl i quell che sul lir viee idict cme l prim versie del terem del cfrt (ssi se h() f() g() i u itr di 0 l più privt di 0 e h() l e g() l per tedete 0, llr che f() l per tedete 0 ), dimstrd, ivece, le ltre due versii che civlg fuzii tedeti ll ifiit. Sul lir è presete che u ltr terem (limiti per f mte) che è stt emme mezit. Tutti i teremi sull lger dei limiti s stti dimstrti. Per qut rigurd il clcl dei limiti el csi i cui si preset frme di idecisie, s stti presette le tiplgie mezite i precedez, m sez eccedere i tecicismi e csi cmplessi (perltr preseti sul lir di test). N si è prlt di rdii di ifiit e ifiitesim é di pricipi di sstituzie di ifiiti/ifiitesimi (che se di ftt l si è utilizzt el cs prticlre dell fuzii rzili/irrzili stt frm dell regl del grd mssim) e quidi i quell fse dell gli studeti er i grd di clclre limiti quli ep()/ per tedete ll ifiit di l() per tedete zer, rimdd l risluzie di tli limiti d u fse successiv (utilizz del t. di Hôpitl). Riferimeti sul lir di test: L. Sss L Mtemtic Clri, vlume 5; cpitl, prgrfi 1,, 3 (sl i prte), 4,5,6 ( prgrf 7). Reltivmete gli ultimi tre puti dell elec (successii e prgressie rit./gem., pricipi di iduzie, serie gemetric) essi cmpi el cpitl 3; ci si è sffermti mlt sulle successii che di ftt s stte trttte cme cs prticlre delle fuzii reli di vriili rele (d esempi per le teciche di clcl dei limiti); si è ftt sl u rpidissim ce d lcui teremi sulle successii preseti sul lir presetti, qud pssiile cme csi prticlri degli lghi teremi delle fuzii reli di vriile rele, ppure semplicemete cceti (esempi se u succ. è limitt e mt llr è cvergete) m sez frire dimstrzii. Ache l zie di prgressie ritmetic e gemetric è stt è prticlrmete pprfdit (che perché sul test s preseti sl lcui richimi, vist che ess trtt tli rgmeti el vlume 3) e prticmete s stti svlti esercizi reltivmete d esse. Ci è sffermti di più su esempi reltivi l pricipi di iduzie. Ifie l trttzie delle serie è stt filizzt esclusivmete frire gli studeti l cpcità di trttre le serie gemetriche ell evetulità che esse pss cmprire i u quesit dell II prv scritt: si è dt rpidmete l zie di serie sscit d u successie e quidi si è pssti trttre l serie gemetric, fced vedere che ess cverge se e sl se l su rgie è strettmete cmpres tr -1 e 1. I prticlre s stte trttte le serie telescpiche preseti sul test. Riferimeti sul lir di test: L. Sss L Mtemtic Clri, vlume 5; cpitl 3, prgrfi 1, (sl i prte), 3, 4 (sl i prte). Dmde teriche ricrreti elle iterrgzii rli reltivmete quest prte: 1. frisci l defiizie di limite (ed evetulmete utilizzl i csi semplici per verificre u limite ssegt);. euci e dimstr i tre teremi sui limiti (uicità, permez seg, cfrt); 3. mstr u ctresempi per fr vedere che vle il terem ivers del terem dell permez del seg; 4. dimstr il prim limite tevle si lim = Nucle fdte: FUNZIONI CONTINUE (cpitl 4) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt Defiizie di fuzie ctiu i u put e i u itervll. L zie di ctiuità i u put è si u ccett lcle che putule, ssi dipede si dl cmprtmet dell fuzie itr 0, m che dl su cmprtmet i 0 ; l zie di ctiuità i u itervll è si u ccett lcle che glle. L lger dei limiti e le fuzii ctiue (l smm, il prdtt ecc. di fuzii ctiue i 0 è u fuzie ctiu i 0 ); l ctiuità i gi put del dmii delle fuzii elemetri y =, y =, y = lg, y = si, y = rcsi e delle fuzii espresse medite u uic espressie litic tteiili d queste medite u umer fiit di perzii di ddizie mltipliczie medite cmpsizie. Puti di disctiuità (il put di ccumulzie 0 pprtiee l dmii di f) e lr clssificzie (I tip slt, II tip e III tip elimiile ); iterpretzie grfic. 0 3

4 Puti di siglrità (il put di ccumulzie 0 pprtiee l dmii di f ) e lr clssificzie (I tip slt, II tip e III tip elimiile ); iterpretzie grfic. APPLICAZIONI: Clcl dei limiti pplict ll studi dell ctiuità di u fuzie e ll ricerc e clssificzie dei puti di siglrità/disctiuità; imprre che u fuzie defiit trtti (c prmetri) si c ctiu sul su dmii. APPLICAZIONI: Clcl dei limiti pplict ll ricerc degli sitti verticli, rizztli ed liqui (frmule sez dimstrzie per l determizie dei prmetri m e q dell sitt liqu). I tre teremi sulle fuzii ctiue (sez dimstrzie): C1 Il terem di Blz ( di esistez degli zeri): u fuzie defiit su u itervll chius e limitt [, ] e ivi ctiu se ssume vlri discrdi gli estremi dell itervll llr mmette lme u zer c f c iter ll itervll: ], [ : ( ) = 0. Esempi e ctresempi: ecessità delle iptesi, ssi il terem è ver se u delle iptesi viee mcre, el ses che esist fuzii che sddisfced u delle iptesi sddisf l tesi: ctresempi i cui si preset u fuzie che, defiit su [, ] e ctiu che ssume vlri ccrdi gli estremi, h zeri. Il terem esprime u cdizie sufficiete m ecessri per l esistez di u zer, ssi esist fuzii che sddisf l tesi del terem sez sddisfre le iptesi: ctresempi i cui si preset u fuzie defiit su u [, ] h zeri che se è ctiu che se ssume vlri ccrdi gli estremi dell itervll chius e limitt [, ]. Osservzii sull uicità dell zer: se l fuzie è (strett.) mt su [, ] llr è iiettiv e quidi mmette u uic zer (m ctresempi per fr vedere quest è cdizie sufficiete m ecessri per vere l uicità dell zer). APPLICAZIONE di T.B.: utilizz del metd di isezie per l ricerc degli zeri di u fuzie. C Il terem di Weierstrss ( sull esistez del mssim e miim sslut): u fuzie defiit su u itervll chius e limitt [, ] e ivi ctiu mmette m e mi ssluti [, ] : f ( ) f ( ) [, ] ; m put di mssim sslut m mssim sslut. [, ] : f ( ) f ( ) [, ] mi put di miim sslut mi miim sslut Esempi e ctresempi: il terem esprime u cdizie sufficiete m ecessri per l esistez del mssim e del miim sslut di f: u fuzie può vere mssim e miim sslut che se il dmii è u itervll chius e limitt se l fuzie è ctiu su [, ]. Necessità delle iptesi, ssi il terem è ver se u delle iptesi viee mcre, el ses che esist fuzii che sddisfced u delle iptesi sddisf l tesi: ctresempi i cui si preset u fuzie che, defiit su itervll chius m limitt, ppure su u itervll limitt m chius, ppure defiit su [, ] m ctiu su ess, mmette mssim e miim sslut. C3 Il terem di Dru u fuzie defiit su u itervll qulsisi e ivi ctiu h per isieme delle immgii u itervll ( ecessrimete dell stess tip, c esempi). Esempi e ctresempi: il terem esprime u cdizie sufficiete m ecessri ffiché l isieme delle immgii si u itervll: u fuzie può vere cme isieme delle immgii u itervll che se il dmii è u itervll se l fuzie è ctiu sul su dmii. Necessità delle iptesi, ssi il terem è ver se u delle iptesi viee mcre, el ses che esist fuzii che sddisfced u delle iptesi sddisf l tesi: ctresempi i cui si preset u fuzie che, defiit su isieme divers d u itervll che è defiit su u itervll m è ctiu, h per isieme delle immgii u isieme divers d u itervll. Crllri (Dru+Weierstrss): il terem dei vlri itermedi: u fuzie defiit su u itervll chius e limitt [, ] e ivi ctiu ssume lme u vlt tutti i vlri cmpresi ymi = f ( mi ) e y y y y y [, ] f ( ) = y m = f ( m ) ssi mi m R. Nte: si è ftt u precis scelt (i ccrd, filmete, c l presete edizie del lir di test) di distiguere tr il ccett di put di disctiuità (che deve pprteere l dmii dell fuzie) e quell di puti di siglrità. I effetti sul lir di test tutti questi puti s siglri e, i prticlre, se pprteeti l dmii, veg chimti puti di disctiuità, che quidi per Sss s u sttisieme dei puti siglri. I il più delle vlte h utilizzt u liguggi leggermete differete, riservd l lcuzie put siglre l cs di put di ccumulzie del dmii pprteete l dmii, tteed quidi due isieme disgiuti per puti siglri e di disctiuità di u fuzie. D tre iltre che il lir di test preset il terem di Dru ell frm spr espst, m espe direttmete il terem dei vlri itermedi chimdl che T. di Dru (e e dà u dimstrzie, che è stt ftt). 4

5 Ifie v dett che il ftt i teremi di Blz, Weierstrss, Dru si pss eucire ell frm cdizie sufficiete m ecessri ffiché u fuzie... m pi si prli di ecessità delle iptesi (ssi dell impssiilità di riucire d u delle iptesi) può crere qulche prlem gli studeti sempre vvezzi quest tip di liguggi. Riferimeti sul lir di test: L. Sss L Mtemtic Clri, vlume 5; cpitl 4, prgrfi 1,, 3, 4. Dmde teriche ricrreti elle iterrgzii rli reltivmete quest prte: 5. frisci l defiizie di fuzie ctiu i u put; 6. frisci l defiizie di put siglre/ di put di disctiuità ei vri csi ed illustrl grficmete; 7. euci il terem di Blz; illustrl grficmete; stilisci, c u pprtu ctresempi, perché ess esprime u cdizie sufficiete m ecessri ffiché u fuzie i u zer; spieg che cs si itede per ecessità delle iptesi, fred gli pprtui ctresempi; 8. euci il terem di Weierstrss; illustrl grficmete; stilisci, c u pprtu ctresempi, perché ess esprime u cdizie sufficiete m ecessri ffiché u fuzie i mssim e miim ssluti; spieg che cs si itede per ecessità delle iptesi, fred gli pprtui ctresempi; 9. euci il terem di Dru; illustrl grficmete; stilisci, c u pprtu ctresempi, perché ess esprime u cdizie sufficiete m ecessri ffiché u fuzie i qule isieme delle immgii u itervll; spieg che cs si itede per ecessità delle iptesi, fred gli pprtui ctresempi; 10. euci il terem dei vlri itermedi e spieg perché ess discede immeditmete di t. di Weirstrss e Dru. 3- Nucle fdte: DERIVATA DI UNA FUNZIONE: (cpitl 5) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt L defiizie di rpprt icremetle di put iizile 0 [, ] e icremet h di u fuzie y = f ( ) defiit su [, ] e il su sigifict gemetric cme pedez dell rett secte il grfic di f e psste per i puti del grfic di f sciss 0 e 0 + h. L defiizie di derivt prim di u fuzie i u su put cme limite del rpprt icremetle per h 0, mmess che tle limite esist fiit, e il su sigifict gemetric ituitiv cme pedez dell rett tgete l grfic di f e el su put di sciss 0 (l qule per defiizie h pedez pri f '( 0) ). 0 APPLICAZIONE: l ricerc dell rett tgete l grfic di u fuzie i u su put. Il clcl dell derivt prim i u put utilizzd l defiizie. Terem: l derivilità i u put implic l ctiuità, m vicevers (c dimstrzie e ctresempi per fr vedere che vle il terem ivers; y = : ctiu i = 0 m derivile i = 0). Puti (di ctiuità m) di derivilità e lr clssificzie (puti glsi, puti di fless tgete verticle e puti di cuspide, csi misti, puti tgete verticle, esempi: y = : che preset u put gls i = 0; y = che preset u put tgete verticle i = 0; verticle i 0 = ; y = 3 che preset u put di cuspide i = 0). y 3 = che preset u put di fless tgete APPLICAZIONE: imprre che u fuzie defiit trtti c prmetri si ctiu e derivile (c ticipzie m sez dimstrzie frmle del criteri di derivilità cme cs prticlre del terem sul limite dell fuzie derivt : se y = f ( ) è ctiu i = c e derivile itr c e lim f '( ) = lim f '( ) (fiiti), ssi se + c c f '( c) = f '( c) (fiiti), llr f è derivile che i = c e il vlre (fiit) cmue di tli limiti è f '( c )). + L fuzie derivt prim. L fuzie derivt prim di lcue fuzii elemetri ( y =, y =,..., y = si, y = e, y = l... ) c clcl dirett segued l defiizie. Le regle di derivzie (lger delle derivte); l derivt del prdtt di u fuzie per u cstte, dell smm di due fuzii, del prdtt di due fuzii (sez dimstrzie), del quziete di due fuzii, del reciprc di u fuzie e l derivt dell fuzie cmpst (sez dimstrzie). Il terem sull derivt dell fuzie ivers (c dimstrzie, semplifict). APPLICAZIONE: l derivt delle fuzii gimetriche iverse. Nte: il terem sul limite dell derivt è stt dimstrt che perché vree richiest T. di Hôpitl); è stt evidezit che f '( c) = f '( c) di + per sé implic f derivile i c vist che quell ugugliz ptree sussistere per u fuzie disctiu i c e ddirittur che i certi csi ( ptlgici ) lim f '( ), lim f '( ) ptreer esistere sez che ciò implichi che l mct derivilità i c (che i tl cs dree verific + c c 5

6 direttmete c l defiizie e l utilizz del rpprt icremetle, m s stti svlti esercizi su quest, limitdsi l cs csuet di fuzii defiite trtti i cui viee richiest di imprre ctiuità e derivilità; è stt precist che v impst l ctiuità prpri per permettere l ppliczie del terem sul limite dell derivt (ltrimeti vist che l derivilità implic l ctiuità steree imprre lim f '( ), lim f '( ) uguli e fiiti). + c c Per qut rigurd le ppliczii delle derivte ll fisic e lle scieze preseti sul test, ci si limitti per l più ll velcità cme derivt dell psizie ecc. Ifie, seppur presete sul lir di test i u pprfdimet, per precis scelt didttic è MAI stt trttt l zie di differezile. Riferimeti sul lir di test: L. Sss L Mtemtic Clri, vlume 5; cpitl 5, prgrfi 1,, 3 (sez dimstrzii), 4, 5, 6, 7 (sl cei). Dmde teriche ricrreti elle iterrgzii rli reltivmete quest prte: 11. frisci l defiizie di derivt; 1. clcl medite l defiizie, l derivt prim di u fuzie i u put; ricv medite l defiizie l espressie litic delle fuzii derivte di lcue fuzii; 13. f vedere che se u fuzie è derivile i u put llr è ctiu i quel put; mstr c u ctresempi che vle il vicevers; 14. frisci l defiizie di put gls, di cuspide, di fless tgete verticle; frisci esempi specifici reltivi; 15. euci e dimstr (c dim. semplifict) il terem dell derivt dell fuzie ivers; 16. pplic il terem dell derivt dell fuzie ivers per clclre l derivt di lcue fuzii, i prticlre delle fuzii gimetriche iverse; 4- Nucle fdte: I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE (cpitl 6) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt Il terem di Fermt (c dimstrzie): se c è u put estremte reltiv iter l dmii di u fuzie derivile i c, llr f '( c ) = 0 (ssi è u put stziri); vlidità del terem ivers (esistez puti di fless tgete rizztle), c ctresempi: y 3 = i cui 0 = è u put stziri, m u put estremte reltiv (è u put di fless tgete rizztle). Osservzie: i u put estremte reltiv l derivt può esistere se per iptesi è grtit l derivilità. Terem di Rlle (c dimstrzie) e su iterpretzie gemetric. Terem di Lgrge (c dimstrzie) e su iterpretzie gemetric; i due crllri del T. di Lgrge (c dimstrzie): se u fuzie defiit su u itervll h derivt ideticmete ull llr è cstte (m se il dmii è u itervll llr l cstte può essere divers per gu degli itervlli disgiuti i cui è pssiile suddividere il dmii: fuzii cstti m cstti trtti ); se due fuzii defiite sull stess itervll h derivte uguli llr differisc per u cstte; ppliczie: per dimstrre che u fuzie defiit su u itervll è cstte st verificre che l derivt è ideticmete ull, esempi rcsi rccs y = APPLICAZIONI: imprre che u fuzie c prmetri sddisfi le tre hp del T. di Rlle le due hp. del T. di Lgrge. I teremi di De L'Hôpitl (sez dimstrzie), ppliczie dirett l clcl di limiti che preset l F.I. [ 0 0 ] e [ ] e limiti ricduciili che preset l F.I. [ 0 ]; essezilità dell iptesi esiste il limite del rpprt delle derivte mstrt medite ctresempi (d esempi 4 + si 4 lim = = (tteut c rccglimet 5 + cs cs frzt + terem del cfrt) m il limite del rpprt dell derivte lim esiste i qut tle 5 si rpprt è u fuzie peridic e tutte le fuzii peridiche ( cstti) h limite per ). Terem su seg dell derivt prim e mti dell fuzie, csiddett criteri di mti (c dimstrzie); se per u fuzie derivile f si h f '( ) > 0 su u itervll llr f è crescete su quell itervll; vlidità del terem ivers: u fuzie può essere (str.) crescete su itervll, m l derivt 3 può essere vuque psitiv: ctresempi y =, fuzie crescete su R m i cui = 0 è u put stziri; vlidità dell ivers dele: se u fuzie derivile f è crescete su u itervll, llr f '( ) 0. Puti di mssim e miim reltiv di u fuzie e lr ricerc medite l studi del seg dell derivt prim. L ricerc del mssim e miim sslut di u fuzie ctiu su [, ]: prlemi di mssim e miim sslut i gemetri pi, slid, litic, i prlemi di trigmetri, ei csiddetti prlemi dll reltà. Ccvità/cvessità e puti di fless, l rett tgete iflessile; studi dell cvessità/ccvità e ricerc dei puti di fless c l us dell fuzie derivt secd ssi medite l studi del seg dell derivt secd 6

7 (tutt sez dim.). APPLICAZIONI: imprre che u fuzie c prmetri sddisfi lcue cdizii ssegte (tipicmete pssggi per u put, vere i u dt put u put di mi/m reltiv, vere i u dt put u put di fless...). APPLICAZIONE: dl grfic di f l grfic di f '. NOTA: ci è ccetrti livell teric sui teremi di Fermt, Rlle, Lgrge e sulle sue csegueze (crllri e criteri di mti per fuzii derivili). D tre che differez di ltri, i esclud che u put estremte reltiv pss ricdere i u estrem (iclus) del dmii. N è stt mezit il ftt che esist, i csi ptlgici, puti stziri che s é di mssim/mii reltiv, é puti di fless tgete rizzte (il test preset u esempi). Seppur presete sul lir di test è stt mezit il terem di Cuchy (vist che l su uic utilità i u crs di scul secdri superire csiste ell dimstrzie del T. di De l Hôpitl, l qule è stt svlt); si è ftt u rpid cce l metd dell derivt secd per stilire l tur di u put stziri (m si è emme ccet il metd delle derivte successive); i geerle tutt l prte reltiv ccvità/cvessità, ricerc degli itervlli di ccvità/cvessità e puti di fless è stt ftt livell teric mlt rpidmete (e sez dimstrzii), putd sprttutt fr cquisire gli studeti gli spetti pertivi. Riferimeti sul lir di test: L. Sss L Mtemtic Clri, vlume 5; cpitl 6, prgrfi 1,, 3, 4 (cei), 5 (i prte e sez dim.). Dmde teriche ricrreti elle iterrgzii rli reltivmete quest prte: 17. euci e dimstr il terem di Fermt; 18. mstr c pprtui esempi perché essere put stziri è é cdizie ecessri (esistez di puti di derivilità che s che puti di m/mi reltiv), é sufficiete (esistez dei puti di fless tgete rizztle) ffiché u put si di estrem reltiv; 19. euci, dimstr ed iterpret grficmete il t. di Rlle; 0. euci, dimstr ed iterpret grficmete il t. di Lgrge; 1. euci e dimstr i due crllri del t. di Lgrge; che cs si può dire i geerle se u fuzie h derivt ideticmete ull?. euci e dimstr il criteri di mti per fuzii derivili; 3. spieg perché, c pprtu ctresempi, ess è ivertiile; 5- Nucle fdte: LO STUDIO DI FUNZIONE: (cpitl 7) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt L studi cmplet di fuzie rele di vriile rele: dmii, simmetrie derivti d evetule prità/disprità, seg se lgericmete fttiile, itersezii c gli ssi itersezie c l sse se lgericmete fttiile-, limiti gli estremi del dmii ed evetuli sitti (rizztli, verticli, liqui), ctiuità e ricerc e clssificzie degli evetuli puti di disctiuità e di siglrità; clcl dell fuzie derivt prim e su dmii turle e ricerc e clssificzie degli evetuli puti di derivilità; studi del seg dell derivt prim e ricerc degli itervlli di mti, dei puti di mssim e miim reltiv e dei puti di fless tgete rizztle; clcl dei mssimi e miimi reltivi; clcl dell fuzie derivt secd (sl se trpp cmpless lgericmete) e studi dell '' cvessità/ccvità medite l studi del seg di f ; puti di fless, evetule ricerc delle rette tgeti iflessili; isieme delle immgii; grfic prile (e quidi stilire, se richiest, se l fuzie è iiettiv, suriettiv, ivertiile). Metd di Newt-Rphs (cei). 6- Nucle fdte: CALCOLO INTEGRALE: (cpitli 8, 9, 10) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt Defiizie di primitiv di u fuzie su u itervll e di itegrle idefiit. Regle di itegrzie immedite (lierità dell pertre ) Itegrli idefiiti immediti e lr geerlizzzie el cs delle fuzii cmpste. e sue ppliczii che stdrd Itegrzie per prti: f ( ) g '( ) d = f ( ) g( ) f '( ) g( ) d (itegrzie per prti itert, itegrzie per prti ricrsiv, c utilizz del fttre 1 per l itegrzie per prti di y = l, di y = rcsi... ). f ( ) d f ( t) φ '( t) dt. Itegrzie per sstituzie: = ( φ ) Itegrzie delle fuzii rzili frtte (cs umertre di grd 0 1 e demitre di secd grd ei tre csi > 0, = 0, < 0 (sl cei i quest ultim cs). Defiizie di itegrle defiit (itegrle di Riem) per u fuzie ctiu defiit sull itervll [, ] cme limite cmue dell successie delle smme superiri S e iferiri s per + (si è dett, sez dimstrzie, che prtire del ftt che f è ctiu i [, ] si ptree dimstrre che tli limiti esist, s fiiti e 7

8 cicid, cme suggerit dll ituizie gemetric) e sigifict dell itegrle defiit el cs i cui f ( ) 0 su [, ] (re del sttgrfic di f rispett ll sse delle ). c, f ( ) d = ( ) c Alcue prprietà dell itegrle defiit: f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d (sez dim.). f ( ) g ( ) [, ] f ( ) d g ( ) d f d, Il clcl dell re che el cs di fuzie egtiv su [, ] seg vriile; il clcl dell re rcchius tr i grfici di due più fuzii; esempi c sttgrfici rispett ll sse y (evetule utilizz dell fuzie ivers). Il vlr medi (itegrle) dimstrzie) e su sigifict gemetric. L fuzie itegrle elemetre F( ) f ( t) dt 1 f = f ( ) d di u fuzie su u itervll; il terem dell medi itegrle (c = Terem fdmetle del clcl itegrle di Trricelli-Brrw (c dimstrzie): se f è u fuzie ctiu llr F, l fuzie itegrle di f, è derivile e vle F '( ) = f ( ), ssi F è u primitiv di f. Il crllri (csiddett regl di clcl) del terem fdmetle del clcl itegrle che permette di clclre u itegrle defiit ricducedsi ll determizie di u qulsisi primitiv (e quidi dell itegrle idefiit): [ ] f ( ) d = h ( ) = = h ( ) h ( ) ve h è u qulsisi primitiv di f (c dimstrzie). = =. APPLICAZIONE: dl grfic di y = f ( ) l grfic di F( ) f ( t) dt φ ( ) L itegrzie per sstituzie e gli itegrli defiiti: = ( φ ) 1 f ( ) d f ( t ) φ '( t ) dt φ 1 ( ) Le fuzii itegrli cmpste β ( ) = f t dt e G( ) ( ) β ( ) = f t dt e le lr fuzii derivte prime: α ( ) H ( ) ( ) G '( ) = f ( β ( )) β '( ), H '( ) = f ( β ( )) β '( ) f ( α( )) α '( ). Appliczii: limiti di fuzii itegrli, ricerc dei put stziri di u fuzie itegrle, ricerc dell rett tgete. Clcl del vlume di slidi di rtzie itr ll'sse e ttr ll sse y; metd dei gusci cilidrici (sez dim.). I geerle il clcl dei vlumi cl metd delle sezii rmli Itegrli i ses geerlizzt (itervll illimitt fuzie illimitt). Metdi di qudrtur: il metd dei rettgli (cei). Le equzii differezili: ccett geerle; il prlem di Cuchy; risluzie delle equzii differezili vriili seprili. NOTE: reltivmete lle teciche di itegrzie v dett che, che cus dei tempi ristretti, ci si limitti lle tiplgie più ricrreti (e cmplesse) i vist dell esme di Stt, che perché elle Idiczii Nzili si f esplicit riferimet csi semplici e i prticlre si s sltte l itegrzie per sstituzie di fuzii irrzili quli y = ± di fuzii gimetriche del tip y = 1/ si. Ache l itegrzie delle f. rzili frtte è stt limitt qusi esclusivmete l cs: demitre di II grd c > 0. Per qut rigurd l itegrle defiit, si è scelt di seguire l teri del lir di test (che utilizz le smme di Riem); si è preferit defiire l itegrle defiit utilizzd le smme iferiri e superiri, i cseguez di quest scelt cmi rispett l lir diverse dimstrzii (terem fdmetle del clcl, chimt sul lir II terem fdmetle del clcl itegrle, lddve quell che per i è il crllri del terem fdmetle del clcl itegrle sul lir è il I terem fdmetle del clcl itegrle e e viee tict l dim.). Reltivmete quest prte, s stte frite gli studeti dispese su file d ltr test (Mtemtic lu vl. 5 di Trife-Bergmii). Reltivmete l clcl di ree e vlumi, si s trttte le frmule per il clcl dell lughezz di u curv e dell re di u superficie di rtzie (perltr espute che d quest edizie del lir di test). N c è prticmete stt l pssiilità di vedere i md cmpiut, se cme rpid ce, l ppliczie degli itegrli ll fisic. Per qut rigurd gli itegrli imprpri, s stti trttti i criteri di cvergez (ivece preseti sul lir di test): gli studeti s vlutre l cvergez di u itegrle imprpri sl medite clcl dirett e vlutd l dmet sittic dell fuzie itegrd. Al di là degli itegrli imprpri, I geerle si è trttt il ccett di itegrilità, ssi delle cdizii stt le quli esiste f ( ) d vist che ell defiizie di itegrle defiit è stt ssut che fsse f ctiu su [,](ed è t che f ctiu su [,] implic f itegrile su [,]) che se pi elle ppliczii si s di ftt itegrte che fuzii disctiue (es. l desità di pr. di u distr. espezile) Ifie è stt presett rpidissimmete il metd dei rettgli cme semplice esempi di tecic di qudrtur, sprttutt i vist di u pssiile cmprs ll priv scritt dell esme di Stt, m è stt mi richiest elle verifiche ftte i clsse e s stti trttti ltri metdi. 8

9 L trttzie delle equzii differezili è stt filizzt esclusivmete mettere gli studeti elle cdizii di rislvere prlemi sti su mdelli che e preved l utilizz e ci si è limitti lle sle equzii differezili vriili seprili, presetd l usule tecic di risluzie, m metted i evidez c gli studeti che l miplzie di simli quli dy/d cme se fsse u ver quziete è semplicemete u rtifici utile d tteere l crrett sluzie, m rime u miplzie purmete simlic. Riferimeti sul lir di test: L. Sss L Mtemtic Clri, vlume 5; cpitl 8 (it. idefiit), prgrfi 1,, 3, 4, 5 (cei); il cpitl 9 (itegrle defiit) è stt sstituit dlle dispese per mlti spetti; per qut rigurd il cp. 10 (equ. diff.) s stti trttti i sli prgrfi 1 e prte del. Dmde teriche ricrreti elle iterrgzii rli reltivmete quest prte: 4. frisci l defiizie di primitiv e spieg perché tutte le primitive differisc per u cstte; 5. frisci l defiizie di itegrle di Riem; 6. frisci l defiizie e l iterpretzie gemetric di vlr medi (itegrle) di u fuzie; euci e dimstr il terem dell medi itegrle; 7. euci e dimstr il terem fdmetle del clcl itegrle; 8. euci e dimstr l regl di clcl per gli itegrli defiiti; 9. spieg perché gi fuzie ctiu su [,] mmette u primitiv su [,]. 7- Nucle fdte: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ (cpitl 11) Argmeti svlti i relzie l ucle sprccitt: Ripss rpid del prgrmm del qurt : spzi cmpiri Ω, esiti (elemeti di Ω) ed eveti (sttisiemi di Ω); perzii tr gli eveti; defiizie clssic; l pprcci ssimtic (gli ssimi di Klmgrv), prilità dell uie di due eveti P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) e i prticlre l regl dell smm per eveti icmptiili (ssi tli che A B = ): P( A B) = P( A) + P( B) ; prilità cdizit: l defiizie di prilità cdizit p( A B) p( A / B) = ; eveti idipedeti; l prilità cmpst (pr. dell itersezie di p( B) due eveti): p( A B) = p( A) p( B / A) e l regl del prdtt per eveti idipedeti: p( A B) = p( A) p( B) se p( A/ B) p( A) = ; il terem dell prilità ttle ( legge delle ltertive frmul di disitegrzie) p( E) = p( E / C1) p( C1) p( E / C) p( C) e il terem di Byes p( E / Ck ) p( Ck ) p( Ck / E) = c C,... 1 C (cuse) prtizie dell spzi cmpiri. p( E / C ) p( C ) p( E / C ) p( C ) Vriili letrie discrete e distriuzii di prilità di u vriile letri discret; u vriile letri cme fuzie X : Ω R ω X ( ω ) = i i i vriili letrie discrete, ssi che pss ssumere sl u umer fiit ( l più umerile) di vlri. L distriuzie di prilità di u vriile letri discret e fiit. Vlr medi ttes V ( X ) = σ = µ p = p µ i= 1 i che ssci d gi esit di u esperimet letri u umer rele; E( X ) = µ = p e vriz i= 1 i i ( ) i i i i di u vriile letri discret (e fiit). Sigifict del vlre ttes, cme vlre cui tede l medi ritmetic dei vlri ssuti d X se si ripete l esperimet letri u umer grde di vlte. Gichi equi, ssi gichi i cui il vlre ttes dell vriile letri gudg/perdit è ull. Il prlem delle prve idipedeti - ripetute (prcess di Berulli): l distriuzie imile di prmetri e p : B( ; p ) ssi l distriuzie che segue u vriile letri X che ct il umer k di successi i prve idipedeti (prcess di Berulli) c p = prilità del success i u sigl prv; l frmul k k p( X = k) = p (1 p) k V ( X ) = p(1 p) se X B( ; p) (sez dimstrzie).. Medi e vriz di u vriile letri imile: E( X ) = p, L distriuzie di Piss (es. di vriile letri discret, m ifiit); defiizie di u vriile letri X che k λ λ segue u distriuzie di Piss di prmetr λ se p( X = k) = e ; medi e vriz di u vriile k! letri che segue u distr. di Piss: E( X ) = λ, V ( X ) = λ se X P( λ) (sez dimstrzie). Vriili letrie e distriuzie ctiue: l fuzie f di desità di prilità per clclre l prilità che X X p( X i ) 1... = p 1 p... p 9

10 ssum vlri pprteeti d u itervll I : p( X I) f ( ) d c p( X c) f ( ) d + + =, i prticlre ( ) ( ) ecc.; medi = E( X ) = µ = ( ) ( ) (sl cei gli spetti geerli). V ( X ) = σ = µ f ( ) d = f ( ) d µ I + p X f d =, f d e vriz Vriili letrie X che segu u distriuzie espezile di prmetr λ ; l desità di prilità di u vriile letri che segue u distriuzie espezile: λe λ se 0 f ( ) ; medi e vriz di u vriile = 0 se < 0 letri che segue u distr. espezile: 1 E( X ) =, 1 V ( X ) = se X Esp( λ) (c clcl dirett per qut λ λ rigurd il vlre ttes). σ ; l desità di prilità di u Le vriili letrie X che segu u distriuzie rmle di prmetri µ e vriile letri che segue u distriuzie rmle: 1 f ( ) = e (cei); medi e vriz di u σ π vriile letri che segue u distr. di rmle: E( X ) = µ, V ( X ) = σ se X N ( µ ; σ ) (sez dimstrzie); stdrdizzzie di u rmle stdrd: l vriile letri rmle stdrd X µ Z = che σ h µ Z = 0 e σ Z = 1; us delle tvle di Shepprd per clclre le prilità di u vriile letri rmle stdrd. Nt: cme già dett, tutt quest prte è stt svlt i md prettmete pertiv e di cseguez MAI è stt richiest elle verifiche rli (perltr termite prim dell su trttzie). L itrduzie del ccett di vriile letri (discret) è stt ftt sstzilmete itrduced l esempi dell vriile letri X gudg/perdit sscit d u qulche esperimet letri. N ci si è sffermti sull vr. letrie discrete i geerle, prefered rrivre rpidmete presetre le vr. letrie che segu u distr. imile di Piss. Nel cs dell v.. di imile v dett che l frmul k k è stt rpidmete giustifict i clsse, m l dimstrzie è mi stt richiest, prefered ccetrrsi p( X = k) = p (1 p) k sull spett pplictiv. Per qut rigurd l distr. di Piss per mtivi di temp è stt mstrt il legme tr l distriuzie imile e quell di Piss, seppur presete sul lir di test. Nt: l itrduzie del ccett di vriile letri ctiu è stt filizzt l rggiugimet d prte degli studeti dell cpcità di svlgere semplici esercizi reltivi lle distriuzii espezile e rmle; ci si è sffermti sugli spetti geerli delle vriili letrie ctiue; è stt emme mit l fuzie di riprtizie e di cseguez i legmi tr ess e l desità. N è stt trttt l distriuzie uifrme; per qut rigurd l distriuzie espezile, è stt presett il legme tr quest e l distr. di Piss. Ifie per qut rigurd l distr. rmle, v dett che l di là dell presetzie teric, si è mi utilizzt egli esercizi l espressie litic dell desità di prilità. ( µ ) σ Riferimeti sul lir di test: L. Sss L Mtemtic Clri, vlume 5; cpitl 11, prgrfi 1,,3, 4,5 m c i umersi tgli summeziti). cmpresive delle re di esercitzie delle verifiche ttle re 155 Blg, 5 giug 018 FIRMA DEL DOCENTE FIRMA DEGLI STUDENTI