Esame di Fluidodinamica delle Macchine (I modulo)

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1 Esame di Fluidodinamica delle Macchine (I modulo Cognome/Nome Matricola N 5 Febbraio Il flusso potenziale dovuto ad una sorgente posta a distanza a da una parete piana (si veda la Fig. 1 infinitamente estesa si può ottenere come sovrapposizione di due sorgenti di eguale portata poste specularmente rispetto all asse x, a distanza a da esso. Si determini: le funzioni potenziale φ(x,y e di corrente ψ(x,y; le componenti cartesiane u(x,y e v(x,y del campo di velocità; la forza netta esercitata dal flusso su una delle facce della parete, ipotizzando che l altra faccia sia esposta ad un campo di pressione uniforme, pari a p 0. Nel rispondere a questo terzo quesito si utilizzino i seguenti dati: q/(π 1 m s 1, a 0.35 m, ρ 1 kg/m 3. k e x + e y Nm 1 Nel rispondere al terzo quesito, può tornare utile la conoscenza del seguente integrale indefinito: x (x +a dx 1 ( x a tan 1 1 x a x +a Il potenziale complesso è quindi: F (z π [ln(z z 1+ln(z z 1 ] π ln[(z z 1(z z 1 ] π ln[ ] z z(z 1 +z 1 +z 1 z 1 π ln( z +a (1a (1b (1c (1d 1

2 Figura 1: Flusso potenziale dovuto ad una sorgente posta a distanza a da una parete piana di estensione infinita In passing from Eq. (1c to (1d we have taken into account the fact that: z 1 ia z 1 ia The velocity potential and stream function immediately follow from Eq. (1d: [ (x φ(x,y ln y +a ] +4x y (a 4π ψ(x,y tan 1 xy (b π (x y +a It follows immediately that the complex velocity reads: W (z z (3a π z +a (x+iy x +a y ixy (3b π (x +a y +ixy (x +a y ixy x(x +y +a iy(x +y a π (x +a y (3c +4x y and, therefore: u v x(x π +y +a (x +a y (4a +4x y y(x π +y a (x +a y (4b +4x y The scalar velocity potential and streamfunction can also be very easily deduced using a bi-polar reference frame having the two poles in the sources; one

3 immediately gets: φ 4π lnr 1r +φ 0 4π ln{[ (y a +x ][ (y +a +x ]} ψ π (θ 1 +θ ( 1 y a 1 y +a tan +tan π x x (5a (5b (5c (5d The equivalence between Eqs. (a and (5b is readily verified by noting that the argument of the logarithm in Eq. (5b may be re-written as: [ (y a +x ][ (y +a +x ] [(y a(y +a] +x 4 + x [ (y a +(y +a ] ( y a +x 4 + x ( y +a Using Eq. (4, the velocity distribution along the x axis, i.e. when y 0 follows: u(x,y x π(x +a v(x,y 0 (6a (6b The net force exerted by the wall on the fluid may then be calculated as: f ( p p 0 dxey (7a 1 ρ u(x,0 dxe y (7b 1 q ( ρ x π (x +a dxe y (7c gives: f 1 ρ π π a e y (8 The net force exerted by the fluid on the wall, which is equal but opposite in sign, is directed along the negative y axis, as expected.. Un cilindro chiuso da un pistone contiene aria in quiete a pressione e temperatura rispettivamente pari a p Pa e T K. Il pistone viene impulsivamente messo in moto con velocità costante pari a u. Sapendo che dopo 1 ms l onda d urto generata dal pistone precede il pistone di m, si calcolino: la velocità dell onda d urto W s e la velocità del pistone u. 3

4 t traiettoria del pistone traiettoria dell urto m 1 ms Figura : Pistone impulsivamente messo in moto: evoluzione nel piano x t. Svolgimento W s m/s; u m/s. Sia la traiettoria dell urto che quella del pistone sono rette (si veda la Fig., la cui pendenza è, rispettivamente, W s e u. Pertanto, posto x m e t 10 3 s: W s u x m/s (9 t Ponendosi in un sistema di riferimento solidale con l urto: M r1 W s /a 1 (10 M r (W s u /a x/ t a (11 È possibile risolvere in modo iterativo il problema scrivendo l equazione di conservazione dell energia nel sistema solidale all urto e la relazione che lega il Mach relativo a monte con quello a valle: T T 1 ( 1+δM r1 ( x/ t M r1 1+δM r γm r δ c p x (1a (1b Ipotizzato un valore di primo tentativo per M r1, l Eq. (1a fornisce la temperatura di valle, mentre il numero di Mach (relativo a valle lo si ottiene 4

5 Tabella 1: Convergenza dello schema iterativo descritto dalle Eq. (1. k M k r 1 M r M k+1 r 1 T W s u come: M r ( x/ t γrt che, sostituito nell Eq. (1b, consente di calcolare un nuovo valore del Mach (relativo a monte. La convergenza dello schema iterativo, scelto quale valore di primo tentativo M 0 r 1 1., è mostrata in Tab Un serbatoio contenente aria a pressione p 0 ( N kpa è collegato ad un condotto a sezione costante attraverso un ugello convergente-divergente caratterizzato da un rapporto fra l area della sezione di uscita e l area della sezione di gola pari a +(N/10. Il flusso all interno del condotto a sezione costante è assimilabile ad un flusso di Fanno, caratterizzato da un valore del coefficiente di attrito pari a f Il flusso all interno dell ugello convergente-divergente è assimilabile ad un flusso isoentropico. Si calcoli il valore del rapporto (L/D tra la lunghezza ed il diametro del condotto a sezione costante per il quale il flusso raggiunge condizioni soniche contemporaneamente nella sezione di uscita del condotto a sezione costante e nella gola dell ugello, restando subsonico altrove. In tali condizioni, si calcoli il valore che la pressione statica assume all uscita del condotto a sezione costante. L/d ; p kpa. 5