Proprietà Meccaniche dei Fluidi

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1 Prorietà Meccaniche dei Fluidi Fluidi non hanno forma roria, assumono quella del reciiente che li contiene non sostengono gli sforzi di taglio (scorrimenti) GS non hanno forma e volume rori, occuano tutto lo sazio a disosizione sono facilmente comrimibili LIQUIDI hanno volume definito e suerficie limite sono incomressibili, 3,3Kg / m 0 3 Kg/m 3 Comortamenti diversi dovuti a diverse forze di legame tra le molecole nella fase liquida e gassosa. Romero Fluidi

2 DENSIT M V 3 [ ] [ ML ] Sazio interstellare Kg/m 3 Vuoto di laboratorio 0-8 Kg/m 3 Idrogeno T0 o C ; P atm Kg/m 3 ria T0 o C ; P atm,3 Kg/m 3 T00 o C ; P atm 0,95 Kg/m 3 T0 o C ; P50 atm 6,5 Kg/m 3 Ghiaccio 0,9 0 3 Kg/m 3 cqua T0 o C ; P atm 0 3 Kg/m 3 T00 o C ; P atm 0, Kg/m 3 T0 o C ; P50 atm, Kg/m 3 lluminio,7 0 3 Kg/m 3 Mercurio, Kg/m 3 Platino,4 0 4 Kg/m 3 Terra Densita media 5,5 0 3 Kg/m 3 Densita del nucleo 9,5 0 3 Kg/m 3 Densita della crosta,8 0 3 Kg/m 3 Sole Densita media,4 0 3 Kg/m 3 Densita nel centro ~,6 0 5 Kg/m 3 Unita di misura: S.I.! kg m -3 Stelle Nane Bianche Densita centrale 0. Romero Fluidi Kg/m 3 Nucleo Uranio ~ 0 7 Kg/m 3 Varia con:. ressione. temeratura Varia:. Poco nei liquidi. Molto nei gas

3 Caratteristiche dei fluidi e forze Fluidi sono sistemi continui comosti da infiniti elementi di massa dm dv Caratteristica dei fluidi: ossibilità di scorrimento di una qualsiasi arte di fluido risetto ad una adiacente o alla arete del contenitore L attrito interno si oone allo scorrimento, non c è forza di attrito statico che determina equilibrio come nei solidi quindi se fluido è in quiete le forze tra gli elementi di fluido sono normali alla suerficie di searazione altrimenti gli elementi scorrerebbero tra di loro Non si uò arlare di forza alicata ad un unto di un fluido: er ciascun elemento dm si considerano: Forze di volume roorzionali a dv Forze di suerficie roorzionali a ds Pressione non ha caratteristiche direzionali! in figura l elemento di fluido è in equilibrio. Perchè ciò avvenga devo avere a b c

4 Pressione La ressione er un fluido non ha caratteristiche direzionali, essa è funzione scalare del unto che si considera all interno del fluido e non diende dall orientazione della suerficie su cui è misurata La ressione in un unto di un fluido è il raorto tra la forza agente su una suerficie infinitesima che circonda il unto e l area della suerficie stessa lim ΔS 0 ΔF ΔS df ds df ds F S Se nei unti della suerficie S finita, la ressione è costante Unità di misura SI N m altre unità: ( Pa) bar 0 5 Pa atm.03 0 Torr mm Hg Dimensioni: [ MLT ] [ L ] [ ML T ] 5 N m La PRESSIONE è uno scalare.03 Bar. Romero Fluidi 4 la ressione in un fluido 760 mm Hg 760 Torr atm si misura ad es con il Barometro aneroide (scatola deformabile)

5 ( v) d F! ( S) d F! ds n! Forze di volume Per ciascun elemento di massa dm del fluido si considerano forze di volume roorzionali a dv, come ad esemio la forza eso Forze di suerficie Forze di suerficie si manifestano sulle suerfici di contatto e/o di searazione di fluidi e sono roorzionali alla suerficie. NOT: dfn ds Sforzo normale df V) ( gdm g dv df τ t ds Sforzo di taglio. Romero Fluidi 5 F F t n ( S) ( S) ( S) dft ds dfn ds ( S) τ scalari ( ) df s ds In un fluido in equilibrio sono assenti gli sforzi di taglio e si hanno solo forze normali nei fluidi in moto si hanno anche sforzi di taglio

6 df dsà dh dv Lavoro delle forze di ressione Suoniamo di avere forza df ds che agisce ortogonalmente a ds, che si sosta di dh. Il lavoro è: dwf dh ds dh dw dv con dv volume infinitesimo W dv Struttura microscoica dei fluidi Solidi!forza di legami tra i comonenti atomi o molecole tale che restano fisse o oscillano attorno a osizione di equilibrio. Solidi difficili da deformare alto valore di modulo di Young Liquidi!legame meno forte, comonenti si muovono, ma restano legati (no forma roria, imossibilità a resistere a sforzo di taglio, incomressibilità) Gas! molecole in movimento e molto distanti tra loro. Forze intermolecolare decrescono con distanza, non riescono a tenere legate le molecole (no forma e volume. Romero rorio, facilmente comressibili, Fluidi no resistenza a sforzi di taglio) 6

7 Equilibrio di un fluido in resenza della forza eso Un fluido si dice in quiete, se tutti gli elementi del fluido hanno accelerazione e velocità nulla, in un sistema di riferimento inerziale Consideriamo un iccolo elemento di volume di fluido in equilibrio Forze agenti sull elemento dm: - forza esterna di volume: forza eso (F v ) - forze di ressione, dovute al fluido circostante (F ) Forza eso (F v ) df v df y,v gdm gdy Forza di ressione (F ) df ( + d) ( + d) dmdv dy Fluido in quiete df + df 0 v y dy 0 y d F! dy ( + d) d F! ( + d) gdy 0 d gdy d dy g

8 ( + d) Legge di Stevino d dy g d gdy y dy 0 y d F! dy ( + d) d F! se in un fluido agisce la forza eso, la ressione nel fluido non uò essere costante, ma varia in accordo con la relazione sora er avere l equilibrio statico Tra due unti qualsiasi alle quote y e y in un fluido: d g y y dy y Se y è sulla suerficie libera corrisonde a 0 : 0 gh Con h rofondità di ( y ) g y y 0 + gh Questa relazione è detta legge di Stevino e mostra che in un liquido con costante, la ressione cresce linearmente con la rofondità. Romero Fluidi 8

9 Legge di Stevino + gh 0 Se fluido ha densità costante la ressione cresce linearmente con la rofondità Se ho bacino di acqua che ha 0 3 Kg/m 3 sottoosto a ressione atmosferica Pa Ho che la ressione ad una certa rofondità h: (h) (0 5 +9,8 0 3 h ) Pa ogni 0 metri la ressione aumenta di circa un bar (circa atm) Considero l acqua raticamente incomressibile quindi a densità costante E ossibile trovare la legge di Stevino calcolando il eso di colonna di liquido alta h F ghs mg Vg Shg gh S S. Romero Fluidi 9

10 . Legge di Pascal F! h i i 0 h Conseguenze della legge di Stevino Dalla legge di Stevino: 0 + gh Con 0 ressione esterna Segue che ogni cambiamento della ressione esterna dà luogo a un uguale variazione di in tutto il fluido 0 + gh Δ 0 i gh i Se la ressione esterna subisce una variazione: ' + Δ i ' i + Δ Tutti i unti nel fluido subiscono la stessa variazione di ressione 0 0. Romero Fluidi 0

11 Conseguenze della legge di Stevino. Suerfici isobariche La suerficie di searazione di liquidi di diversa densita è semre orizzontale Si suonga che non sia così. 0 h In figura sono raresentati due fluidi di densità diverse e searati da una suerficie non orizzontale. Per la legge di Stevino alla stessa quota ci deve essere la stessa ressione indiendentemente dalla coordinata x. Dunque considerando osizioni x diverse osso esrimere come segue: x 0 + gh 0 + gh 0 +gh 0 + gh gh gh Essendo: Perché sia soddisfatta questa eguaglianza bisogna che: h 0. Romero Fluidi

12 3. Paradosso idrostatico Conseguenze della legge di Stevino Una conseguenza della legge di Stevino è che la ressione diende solo dalla rofondità alla quale essa viene misurata e non dalla forma del reciiente che contiene il fluido. Consideriamo i tre reciienti raresentati in figura aventi ugual base e riemiti con uno stesso liquido fino ad una altezza h. La ressione sul fondo di ogni reciiente dovuta al eso del liquido, secondo la legge di Stevino, assume lo stesso valore nei tre vasi. gh La forza F che agisce sul fondo è: F gh Ovvero la forza è uguale al eso del liquido di volume V h, cioè il eso del liquido contenuto nel vaso (). Il aradosso idrostatico consiste rorio in questo: ur essendo il eso del liquido contenuto nei vari reciienti diverso a seconda dei casi, la forza esercitata sul fondo ( nelle condizioni sora indicate ) è uguale er tutti e tre i casi e ari al eso del liquido contenuto nel reciiente ().. Romero Fluidi

13 Conseguenze della legge di Stevino Paradosso idrostatico - continuazione La forza esercitata sul fondo è uguale er tutti e tre i casi e ari al eso del liquido contenuto nel reciiente (). Per il reciiente () il eso del liquido contenuto è maggiore della forza esercitata sul fondo. Il aradosso in questo caso si siega con il fatto che arte del eso del liquido contenuto è sostenuto dalla forza normale R, avente comonente P' verso l'alto, esercitata dalle areti del reciiente stesso. In effetti la orzione di liquido ombreggiata è sostenuta dai lati del reciiente. Per lo stesso rinciio nel caso del reciiente (3) la forza di reazione delle areti del reciiente avrà una comonente P' verso il basso che andrà a sommarsi al eso del liquido a quella quota e darà comunque come risultato una forza F di intensità equivalente al eso del liquido contenuto in () in questo caso il eso del liquido contenuto in (3) è. Romero Fluidi 3 minore di quello contenuto in ().

14 Conseguenze della legge di Stevino 4. Vasi comunicanti Conseguenza della legge di Stevino è che in un sistema di vasi comunicanti il fluido contenuto raggiunge la stessa quota indiendentemente dalla forma dei reciienti. Nel caso raresentato in figura la differenza di ressione tra due unti qualsiasi si calcola attraverso la formula: ( y ) g y Poiché, er la legge di Stevino si ha differenza di ressione solo in corrisondenza di variazioni di quota, se le suerfici e B sono soggette alla stessa ressione, Δ0, allora saranno alla stessa quota y y Condizione di equilibrio Condizione di non equilibrio. Si osserva un flusso di liquido fino allo stabilirsi della stessa quota. Romero Fluidi 4

15 Conseguenze della legge di Stevino 4. Vasi comunicanti - Misura di densità Se il tubo è riemito con liquidi non miscibili di densità diverse e, le altezze raggiunte dal fluido nei due rami saranno diverse: h e h. Sulla suerficie S di searazione tra i due liquidi agiranno risettivamente verso il basso e verso l'alto le ressioni idrostatiche delle colonne h e h. In condizioni di equilibrio le due ressioni si bilanceranno: gh gh h h Pertanto due liquidi non miscibili in vasi comunicanti raggiungono altezze inversamente roorzionali alle rorie densità.. Romero Fluidi 5

16 Conseguenze della legge di Stevino 4. Vasi comunicanti - Barometri a tubo aerto P +gy + gy Se il fluido ha densità : P h y ( y y ) + gh +g Se 0 ressione atmosferica : y 0 + gh 0 gh ressione differenziale artire dalla misura di h si ricava il valore di. Romero Fluidi 6

17 h y y Misura della ressione (atmosferica). E. Torricelli ( ) 0 y gh Per convenzione il livello di riferimento della ressione atmosferica è quello esercitato da una colonna di mercurio: - alla temeratura di 0 C, - con h76 cm, - 3, kg/m ( Kg / m )( 9.8m/s )( 0.76 m).03 0 N/ m atm Hg y atm Pa Pa bar mbar atm Torr Pa N/m bar 0.MPa mbar 0 Pa atm 760 Torr Romero Torr mm Hg 33.3 Fluidi

18 Caratteristiche medie dell atmosfera ltitudine (Km) Pressione (bar) Densita (K g/m 3 ) Temeratur a C ltezza di scala (Km) troosfera trooausa Stratosfera Ionosfera Nubi(90%H O) ozono Ionizzata e condutrice, riflessione delle Radioonde, aurore boreali. Romero Fluidi 8

19 densità roorzionale a (Tcost.) g costante (indiendente da h) La Pressione tmosferica La ressione atmosferica è originata dall attrazione gravitazionale da arte della terra della massa di gas che la circonda. Quindi la ressione atmosferica diminuisce con l altezza: il eso della colonna d aria è minore Iotesi: il gas atmosferico obbedisce alla legge dei gas erfetti (Vcost.) Chiamando y la quota: d dy g con: d dy d g g 0 dy dy a Con: a g 0 0 5, ,95 0 m 8km 9,8,3 0 d a y 0 dy ln 0 z a y ltezza di scala 0 g y y. Romero 0 Fluidi a 9 0e 0e

20 La Pressione tmosferica (atm) aria altezza(km) 0 e y a Nell atmosfera isoterma la ressione decresce esonenzialmente con l altezza. Romero Fluidi 0

21 Princiio di rchimede Un coro immerso in un fluido riceve una sinta dal basso verso l alto ari al eso del fluido sostato. In un fluido in equilibrio sotto l azione della gravità isoliamo idealmente un volume finito di fluido V di forma qualsiasi. La risultante delle forze di ressione, esercitate dal resto del fluido sulla arte isolata, è uguale ed oosta alla forza eso della stessa. Infatti er la condizione di equilibrio del volume V, si ha: + mg 0 mg F!! F Forza di ressione esercitata sul fluido di volume V dal resto del fluido m V Con : densità del fluido. Romero Fluidi

22 Princiio di rchimede!!! F mg Vg Se ora sostituiamo allo stesso volume V di fluido un identico volume di qualsiasi altra sostanza di densità e massa: m V. Forza di ressione esercitata sul fluido di volume V dal resto del fluido La risultante F delle forze di ressione esercitate dal fluido circostante non cambia, mentre varia la forza eso del volume reso in considerazione, dunque la forza risultante risulta:!!!!!! + mg + m' g Vg + 'Vg ( ' ) Vg F! R! F m'g F! R F! ( ' ) Vg Se > la forza risultante ha la stessa direzione e verso di g e quindi il coro scende nel fluido, se invece < il coro sale La sinta verso l alto ricevuta dal coro è detta sinta di rchimede:. Romero Fluidi R!! F! F! Vg

23 Princiio di rchimede metacentro f C B B' Vgˆj C B F! P C B' B Profilo di barca C c e n t r o d i m a s s a (baricentro) Bcentro di sinta Se il centro di sinta ed il centro di gravita non sono sulla stessa verticale si hanno momenti che agiscono in modo da riortare o allontanare dall equilibrio il sistema ll equilibrio: Il centro di sinta di rchimede è sulla verticale er C (centro di massa) Se C è iù basso di B à eq. stabile Se C Bàeq. indifferente Se C è meno rofondo di Bà eq. instabile. Romero Fluidi 3

24 acqua ressione (atm) Esemio rof. (Km) Quale frazione del volume totale di un iceberg emerge dall acqua? Sia la densità del ghiaccio i 0.9 g/cm 3 e quella dell acqua di mare a.03 g/cm 3. eso dell iceberg: P i i V g eso dell acqua sostata ( sinta di rchimede ): ll equilibrio: P a P i i i Con: V i : volume totale dell iceberg V g i a V a g P a a V a g Con: V a : volume sommerso dell iceberg i V V a % emerge % del volume dell iceberg a i. Romero Fluidi 4

25 Misura di densità e volume Un coro comatto di massa m c è soseso a un dinamometro che all equilibrio segna T 5,88 N. E oi immerso comletamente in acqua e il dinamometro segna T 3,70 N. Trovare il volume V del coro e la sua densità c. T è la forza eso del coro mentre T è il eso meno la sinta di rchimede. Quindi T m c g e T m c g m a g! m a g T -T con m a g a Vg Trovo la massa m c T /g 0,6 Kg e V da V a g T -T! V, 0-4 m 3 c m c /V,7 0 3 kg/m 3. Romero Fluidi 5

26 Misura di densità e volume Se immergo comletamente cilindro di massa m e volume V noto e misuro con una bilancia la tensione T ottengola densità ignota di un liquido T è il eso meno la sinta di rchimede. Quindi T-m c g m l g! l Vg T - m c g da cui ricavo facilmente la densità del fluido Se ho aralleleiedo di densità immerso in arte in liquido di densità ignota l ho che eso di coro e sinta di archimede sono eguali Vg l V s g V s è la arte di liquido sostato da cui ricavo facilmente la densità del fluido dato che i volumi sonoroozionali a h e h s l V V h. Romero s h s Fluidi 6

27 ttrito interno. Viscosità Quando si verifica una condizione di scorrimento relativo tra due elementi di fluido, comare lungo l area di contatto una forza tangenziale di attrito, detta forza di attrito interno, con verso semre contrario a quello della velocità relativa. L elemento esercita una forza sull elemento e viceversa: le forze sono uguali e contrarie. Se la velocità v >v, la forza di attrito interno è ritardante er il rimo elemento e accelerante er il secondo Serimentale si trova che il modulo della forza di attrito interno si uò esrimere come: df ηds dv dn Con: ds: area di contatto dv/dn: variazione del modulo di velocità lungo la direzione ortogonale η: viscosità del fluido (diende dal tio del liquido e dalla temeratura nei liquidi η decresce all aumentare della temeratura, nei gas cresce). Romero Fluidi 7

28 dv df ηds dn Unità di misura SI Viscosità η: viscosità del fluido N s Kg m s s [ η] m m [ kg m s ] m m Dimensioni di η: [ η ] [ ML T ] m m nche se nel S.I l unità di misura è il kg/ms, nella ratica si usa l unità di misura: oise e il sottomultilo centioise lcun valori: olio ricino: (0 C) Glicerina:.5 (0 C) cqua: (0 C); sangue: (0 C); (00 C) olio lubrificante SE 0: 0.3 (40 C) Fluidi ideali oise 0. Romero Fluidi 8 kg m Si definisce fluido ideale, un fluido la cui viscosità η è nulla (η0) e la cui densità è costante (cost) Un fluido ideale è un fluido non viscoso e incomrimibile s

29 . Romero Fluidi 9

30 Moto di un fluido Regime stazionario Fluido in moto stazionario: la velocita delle articelle in ogni unto del fluido e costante nel temo. Cioè, la velocita di ogni articella che assa in un dato unto e semre la stessa, mentre unti differenti sono in genere caratterizzati da velocità diverse. Nel regime stazionario quindi la velocità è funzione della sola osizione v v(x,y,z) Fluido in moto non stazionario: la velocità in ogni unto del fluido è, in generale, diendente dal temo. Romero Fluidi 30

31 Tubi di flusso In un fluido stazionario la velocita in ogni unto è costante àogni articella che arriva nei diversi unti in P, Q, R ha velocità V P, V Q, V R ) P Linea di flusso v! Q v! Q v! R R. Due linee di flusso non ossono mai incrociarsi. L insieme delle linee di flusso non cambia nel temo 3. L insieme delle linee di flusso assanti er una linea chiusa immersa nel fluido definisce un: tubo di flusso In un tubo di flusso: le velocità delle articelle di fluido che si muovono sulla suerficie è arallela alla suerficie stessa Durante il moto nessuna articella uò entrare o uscire dal T.d.F.. Romero Fluidi 3

32 Equazione di continuita Consideriamo un tubo di flusso di sezione infinitesima ds, ortogonale alle linee di corrente: il rodotto dqvds è detto ortata del tubo di flusso e raresenta tutto il volume che assa attraverso la suerficie S in un secondo Un tubo di flusso uò cambiare sezione, ma se: - il fluido è ideale (quindi incomrimibile), cioè se la densità è costante - se si è in condizioni di regime stazionario (cioè la configurazione di linee di corrente rimane immutabile) la ortata è la stessa in qualsiasi sezione Infatti fissate due qualsiasi sezioni del tubo di flusso, la massa ivi contenuta uò entrare e uscire solo dalle sezioni, se è in regime stazionario, e non uò cambiare densità se è un fluido ideale vds costante. Romero Fluidi 3

33 Equazione di continuita vds costante Per un tubo di flusso di dimensioni finite, la ortata è data da: q dq S S vds S v m media delle velocità nei vari unti di S v m S costante Equazione di continuità er i fluidi ideali in regime stazionario Dove la sezione diminuisce, la velocità aumenta e dove la sezione aumenta la velocità diminuisce. Romero Fluidi 33

34 Equazione di Bernoulli Consideriamo un fluido: incomressibile non viscoso in moto stazionario lungo una tubazione. v v Δl y y Δl Consideriamo lo sostamento del fluido nel condotto che orta la massa che si trova tra le sezioni e a trovarsi doo un intervallo di temo Δt tra i unti ' e '. Il volume entrante sarà uguale a quello uscente (er l'incomrimibilità): e la massa di questo fluido sarà: Δm ΔV Δl Δl. Romero Fluidi 34

35 Equazione di Bernoulli v Per effetto del movimento del fluido la massa Δm nel temo Δt è stata sostata dalla quota y alla quota y e la sua velocità è variata da v a v. y v Δl Δl y Per trovare una legge che regola il moto in questo tio di condotto è necessario alicare il teorema dell'energia cinetica al fluido contenuto inizialmente tra i unti e ovvero alla massa di fluido Δm. Variazione Energia Cinetica: Lavoro della forza eso ΔE W c g Δmv Δmg Δmv ( y y ) Lavoro forze di ressione: W W + W l ) + ( Δ ) Δ ( ) V ( l Δ. Romero Fluidi 35

36 Equazione di Bernoulli Dal teorema dell energia: ΔE W + W c g v Δmv ( ) ΔV Δmg( y ) Δmv y v Δl y Δm ΔV y Δl ( ) ΔV gδv( y y ) + ΔV( v ) v ( ) g( y y ) + ( v ) v + gy + v + gy + v + gy + v cost. Teorema di Bernoulli Nota: Se il fluido è in quiete Legge di Stevino. Romero Fluidi 36

37 . Romero Fluidi 37 Conseguenze del teorema di Bernoulli ) Venturimetro è usato er misurare la velocità dei fluidi. In una condotta orizzontale si ha che: cost. v + Per un fluido incomrimibile, se cresce la velocita deve diminuire v v v v + + v v v v + + v ( ) ( ) v v! v! v! h l 0 ' ( ) ( ) v Dalla misura di Δ si ossono ricavare v e v ( ) costante v

38 Conseguenze del teorema di Bernoulli ) Tubo di Pitot usato er misurare la velocità dei gas. In una condotta orizzontale, viene osto un unto di ostacolo. In tale unto b il fluido è fermo b a a b h b: zona di stagnazione + 'gh v ' gh a ' a v a + v a a Dalla misura della differenza di ressione tra il unto b in cui il fluido è fermo e il unto a, si ricava la velocità Si usa er misurare velocità di aereo che si muove risetto a fluido a hg' Se ho manometro a Hg che segna dislivello di 0 cm calcolare velocità di aereo b b v hg' 0, 9,8 3,6 0,9 m ,7 s 3 aereo Km 57 h. Romero Fluidi 38

39 Conseguenze del teorema di Bernoulli 3) Teorema di Torricelli Da un foro osto ad una altezza h dalla suerficie sueriore di un fluido contenuto in un serbatoio, il fluido esce con una velocità ari a quella che avrebbe se scendesse in caduta libera er un tratto h. a alicando l'equazione di Bernoulli ai unti (a) e (b) della figura, consederando v a (circa) nulla, data la grande massa di fluido nel reciiente y a y b b a + gy a b + gy b + v b Essendo sia (a) che (b) in comunicazione con l'atmosfera, a e b saranno uguali e ari alla ressione atmosferica, quindi risolvendo risetto v b : v b g(y y ) gh v b gh a b. Romero Fluidi 39

40 Teorema di Torricelli: esemio che distanza arriva il getto di acqua che fuoriesce dal foro nella arete verticale con la velocità aena trovata se l altezza del fluido nel reciiente è y a? a Il fluido esce con velocità orizzontale v b e oi segue il moto del roiettile con equazioni y a y b b v v ; x v x b y y gt b b t yb 0 y gt t b g La gittata si trova mettendo y0 e trovando il temo quindi sostituendolo nella esressione di x ( si oteva anche usare l equazione della arabola) y g b x gh 4hyb 4( ya yb) y b Se il foro è ad altezza h y b ho stessa gittata infatti : x' 4y b (y a y b ) L altezza a cui fare il foro er avere la gittata massima è la metà del reciiente er ragioni di simmetria della formula o facendo la derivata. Romero Fluidi 40

41 Fluidi reali il moto laminare Nei fluidi reali η 0 - resenza di attriti interni al fluido -esistenza di forze tangenziali che fanno scorrere strati di fluido gli uni sugli altri Moto laminare: il regime è stazionario, con le linee di corrente costanti nel temo l Suoniamo che il fluido scorra in un condotto cilindrico di raggio R. In questo tio di moto, il fluido a contatto con le areti del condotto è fermo. vvicinandosi all asse del condotto la velocità aumenta, er cui abbiamo strati cilindrici coassiali di fluido che scorrono l uno dentro l altro con velocità diverse. Velocità massima sull asse del condotto. Romero Fluidi 4

42 Fluidi reali il moto laminare La Forza necessaria er mantenere il moto laminare tra due lastre distanti h in regime stazionaro è v F ηs h Si considera un condotto orizzontale, lungo l, con una differenza di ressione - agli estremi, si dimostra:. Velocità massima er r 0 v(r) 4ηl ( R r ) v max 4ηl er r R, alla arete v min 0 La ortata del condotto è data dalla legge di Hagen-Poiseuille: q πr 8η R 4 l NOT: nel regime laminare la ortata, la velocità dei singoli strati e la velocità media sono roorzionali al gradiente di ressione. Romero Fluidi 4

43 Moto vorticoso Il moto di un fluido viscoso e incomrimibile uò avere due regimi diversi: il regime laminare o il regime vorticoso o turbolento, in cui gli strati liquidi acquistano velocità quasi uguale alla massima a breve distanza dalle areti, inoltre si formano vortici visibili all'interno del liquido. Si osserva serimentalmente che un flusso laminare, al variare di alcune condizioni, uò diventare turbolento. Osborne Reynolds, attorno al 883, studiò serimentalmente e teoricamente la natura di queste condizioni: attraverso eserimenti nei quali un flusso d'acqua di velocità regolabile era reso osservabile iniettandovi dei coloranti, egli ricavò la formula di un arametro adimensionale che caratterizza il tio di moto del fluido, er un condotto cilindrico: Con: v R densità del fluido velocità del fluido raggio del condotto R e vr η η coeff. di viscosità del fluido. Romero Fluidi 43

44 . Romero Fluidi 44

45 Moto vorticoso R e vr η Numero di Reynolds Si ha la transizione da regime laminare a regime vorticoso, quando il arametro adimensionale R e ha il valore di 00. La velocità critica er la transizione vale dunque: v c η 00 R v << v c v v c v >> vc In regime vorticoso si dimostra che: k v l R m Il gradiente di ressione è una funzione quadratica della velocità anziché lineare. Romero Fluidi 45

46 Moto in un fluido. Resistenza del mezzo Moto di un coro immerso in un fluido L interazione con il fluido si manifesta attraverso una forza, che si oone al moto e si chiama resistenza del mezzo, il cui effetto diende dal moto relativo tra coro e fluido Si consideri una sfera immersa in un fluido in moto. Se il fluido è ideale (fig.a) si ha comleta simmetria delle linee di corrente e quindi la stessa ressione a monte ed a valle della sfera. La sfera non subisce alcuna sinta e rimane ferma (aradosso di D lembert) Se invece il fluido è reale si forma una scia vorticosa. Dunque la ressione a valle è minore di quella a monte e quindi si manifesta una forza che trascina la sfera. I arametri che determinano la resistenza del mezzo sono la forma e le dimensioni del coro. Romero Fluidi 46

47 Moto in un fluido. Resistenza del mezzo Esressione generale della resistenza del mezzo F res csv Dove c è un coefficiente adimensionale che diende dalla forma. F! v! C fluido In regime vorticoso c è costante e F res è roorzionale a v F res v In regime laminare c è funzione dell inverso della velocità, F res risulta lineare con la velocità (forza di attrito viscosa già studiata)!! F v Kηv η>0:coefficiente di viscosità K>0:diende dalla forma del coro F res v Per un coro sferico: K 6πR!! F v 6πRηv Legge di Stokes. Romero Fluidi 47

48 Esemio Consideriamo una sferetta S di raggio R e densità che si muove verticalmente in un fluido di densità < cosicchè S scende verso il basso. La sferetta è sottoosta alle seguenti forze: ' F! S fluido F! v P! 4π R 3 3 z! ' F!! 4 P mg R 3! π g forza eso 3! 4 3! m'g ' πr g sinta idrostatica (rchimede) 3! F v dv! 6πRηv legge di Stokes! P! F '! + F v! dv m dt + m R ( ' ) g 6πRηv dt ( ' ) g 6πRηv m. Romero Fluidi 48! dv dt 4π 3 ( ' )! 3! 4π R 3 3 dv g 6πRηv m dt

49 ' F! S fluido F! v P! Esemio -continuazione Soluzione dell equazione: v αt ( t) + Be v v ( ) ( )( α ) 0 t v e t ( ) v ( ) con: 6πRη α α m ( ' ) 9η R 0 g 0.63 v,b:dai valori di ( ). Romero Fluidi 49 v v er t t α 0 e t t