Dopo una distanza di propagazione z = 1 km, il raggio dello spot size vale. *, m # 0,8 ( 0,633 # 0,8. (0) rispetto a k è quindi

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Rebecca Lillo
4 anni fa
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1 ESERCIZIO 1 Si consideri la radiazione emessa da un laser elio-neon, costituita da un fascio gaussiano al waist con = 0,5 mm e lunghezza d onda λ = 633 nm. Si calcolino: - la divergenza del fascio; - il raggio w dopo una distanza di propagazione z = 1 km; - il valore iniziale (in z = 0) della derivata della fase di Gouy e della costante di propagazione efficace. Dapprima valutiamo la distanza di Rayleigh: = w 0 # 3,14 $ (0,5) = mm = 1,4 m. %3 0,633$10 L angolo di divergenza vale poi d = # $ = = 0,5%10&3 1,4 = 0,4 mrad. Dopo una distanza di propagazione z = 1 km, il raggio dello spot size vale ( z = ) d z = 40 cm. Al beam waist (z = 0) la derivata della fase di Gouy vale d G dz (0) = 1 # 0,8 rad/m # 0,5 / cm, mentre la costante di propagazione efficace vale eff (0) = k # 1 = $ % # 1 = ' $ &106 ) ( 0,633 # 0,8 *, m # 0,8 + La variazione relativa di eff (0) rispetto a k è quindi ( ) m -1. = # $ k k % $ 0, & $10$7 cioè una diminuzione (per effetto Gouy) dell ordine di una parte su dieci milioni!

2 ESERCIZIO Si applichi un espansore di fascio 10x al fascio gaussiano dell esercizio precedente, ottenendo un waist con = 5 mm. Si calcolino: - il valore iniziale (in z = 0) della derivata della fase di Gouy; - il raggio w dopo una distanza di propagazione z = 1 km. La distanza di Rayleigh è proporzionale al quadrato di, quindi un espansione 10x del fascio comporta un aumento di un fattore 100 della distanza di Rayleigh, rispetto all esercizio precedente: = w 0 # = 100 $1,4 m = 14 m. Al beam waist (z = 0) la derivata della fase di Gouy vale d G dz (0) = 1 # 8 mrad/m # 0,5 / m. Dopo una distanza di propagazione z = 1 km (grande rispetto alla distanza di Rayleigh): ( z ( 4 cm.

3 ESERCIZIO 3 Si determini il raggio al waist per un fascio gaussiano con lunghezza d onda λ = 633 nm e distanza di Rayleigh = 1 km. Si calcoli anche il raggio w dopo una distanza di propagazione pari proprio alla distanza di Rayleigh, cioè z =. Si ottiene = # = 0,633$10%3 3,14 m & 1,4 cm. = ( cm

4 ESERCIZIO 4 Si consideri un fascio gaussiano generato da un laser elio-neon alla lunghezza d onda λ = 633 nm e con un raggio al waist = 0,5 mm. L accoppiamento ottimale di tale fascio con il modo fondamentale di una fibra ottica prevede d impiegare una lente di focale f per ottenere un nuovo waist con = µm. Si calcolino: - l angolo di divergenza, la derivata della fase di Gouy e la costante di propagazione efficace al waist in prossimità della fibra ottica; - la focale f della lente. La distanza di Rayleigh associata al nuovo waist all ingresso della fibra ottica è = # ( w 0 ) $ = 3,14 % 4 0,633 µm & 0 µm e l angolo di divergenza vale # d = $ = w 0 = % 0 = 0,1 rad & 6. La derivata della fase di Gouy è poi d # G dz (0) = 1 = 1 0 $10 %6 rad/m = 5$10 4 rad / m e la costante di propagazione efficace vale # eff (0) = k $ 1 = % & $ 1 = ( % '106 0,633 $ + * ) 5'104 - m $ 5'10 4, La variazione relativa di eff (0) rispetto a k è quindi ( ) m -1. = # $ k k % $ 5&10$ = $5&10 $3 = $0.5%. Si noti come l angolo di divergenza e la variazione della costante di propagazione efficace siano in questo caso piccoli, ma non piccolissimi, dato che il raggio del waist è di soli micron (quindi più grande della lunghezza d onda, ma non di molto)

5 Vogliamo ora determinare la focale della lente f per trasformare il waist iniziale con = 0,5 mm nel waist finale con = µm. Mettendo una lente in corrispondenza del waist iniziale, si ottiene un nuovo waist dopo una distanza di propagazione pari circa alla focale f nell ipotesi che sia f << z R o equivalentemente f >>. In tale condizione vale la relazione approssimata # # $ %f da cui f # w $ 0 $ % = w $ 0 = 0,5 & d $ 0,1 mm = 5 mm. Il valore approssimato così ottenuto per la focale è valido, dato che risulta f 5 mm >> # = 0 µm.

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