PROGETTAZIONE DELLA TRAIETTORIA 1 Considerazioni generali

Transcript

1 Uerstà d Bolog Meccc de Robot PROGETTAZIONE DELLA TRAIETTORIA Cosderzo geerl U robot, er relzzre l comto rescrtto, dorà geerle muoers ello szo d u cofgurzoe zle d u fle. L oszoe e l oretmeto del membro termle rsetto d u sstem d rfermeto fsso ossoo essere rresett ttrerso u ettore esdmesole x. Se t e t soo rsettmete gl stt zle e fle del mometo, l cur x(t) (t [t, t ]) costtusce l cmmo dell mo. Cscu suo uto rreset s l oszoe s l oretmeto dell ter moble rsetto quell fss u dto stte. Ad og ettore x ello szo crteso corrsode u ettore q ello szo de gut, le cu comoet soo le coordte che dduo l oszoe relt de membr collegt d coe ttute. L cemtc del robot forsce l legme tr x(t) e q(t), oché tr le rsette derte. Per trettor s tede l seme delle fuzo che esrmoo l dmeto el temo dell oszoe, dell eloctà e dell ccelerzoe d cscu grdo d lbertà. L trettor ello szo crteso è x t, x t, x t q t, q& t, q&& t è quell ello szo de gut. { } { } duque () &() &&(), metre () I quest sede c occueremo de metod utl ll rogettzoe dell trettor l fe d relzzre momet desdert rsettdo col ssegt. Quest ultm, geerle, ossoo essere: Vcol szl. D solto s rescre che l mo s muo ttrersdo lcu od o ut d terolzoe: u cofgurzoe zle x, u cofgurzoe fle x, lcue (eetul) oszo termede x (=,, -). L orzoe d cmmo comres tr due od è dett segmeto. Vcol temorl. L utete uò desderre che lcu momet ego etro determt tem, oure che lcu ut l mo bb eloctà e/o ccelerzo rescrtte. Vcol ertet l qultà del moto. Per lmtre l logormeto dell mcch e l esco d brzo è bee sscurre che l moto s dolce, oss che lo sostmeto s cotuo sseme lle sue derte rm e secod. Occorre, oltre, mmzzre momet o strettmete ecessr ( gt ). L trettor uò essere rogettt co metod esclusmete cemtc oero teedo che coto l dmc del moltore. Nel rmo cso, le legg d moto soo determte modo d rsettre tutt col most, sez erò cosderre l effett cctà de motor d slure le ccelerzo rcheste. Al ù, è ossble fr modo che tl ccelerzo so feror tlu lor mssm refsst, dltdo oortumete tem ecessr ercorrere segmet dell trettor. Tutt, l mggor rte degl ttutor o è crtterzzt d u sgol co o ccelerzoe mssm, m uttosto d u cur co/eloctà. Poché er o eccedere le cctà del sstem succtt lor mssm deoo essere scelt modo cutelto, ell mggor rte delle crcostze le effette otezltà del moltore o soo sfruttte. Per ore cò, è ossble rogettre l trettor teedo coto dell dmc del robot, oché delle crtterstche d co, eloctà e ccelerzoe d og motore, rsoledo u roblem d ottmzzzoe. L trettor, oltre, uò essere rogettt ello szo de gut oure quello crteso. Nel rmo cso, col szl, soltmete esress term crtes, deoo essere trdott, ttrerso l cemtc ers del robot, col relt lle coordte d guto; l trettor q t, q& t, q&& t de essere o terolt. I ltre role, er cscu guto de essere { () () ()} ddut u legge d moto che coset ll mo d ttrersre ut d terolzoe ssegt e d rsettre og ltro colo mosto. Il temo rchesto er ercorrere sgol segmet de essere egule er tutt gut, modo d sscurre che, corrsodez delle oszo odl, s rggut l effett cofgurzoe crtes rescrtt. Poché l legge d moto è most sul mometo delle coe ttute, o è lcu cotrollo sull effett form del cmmo crteso tr ut d terolzoe. L form succtt uò essere secfct

2 Uerstà d Bolog Meccc de Robot rogettdo l trettor drettmete ello szo crteso. Ad esemo, sesso s h l desdero che l mo ercorr u cmmo rettleo. Cò s uò relzzre rogettdo l trettor ello szo de gut e scegledo tt od molto rossm tr loro, tutt stut sull stess rett. Tutt, srebbe coeete oter morre u ercorso rettleo tr ut che molto dstt tr loro. U trettor rogettt soddsfcedo questo crtero è dett moto rettleo crteso. I geerle, rogettre u trettor el modo crteso, sebbee d l effetto cotrollo del moto dell mo, comort u sere d stgg. Occorre z tutto teer resete che l frequez co cu soo geert eserczo ut dell trettor (th udte rte) costtusce u colo suerore ll rdtà del sstem d cotrollo, l qule rcee tl dt come ut e forsce comd ecessr gl ttutor. Poché l mggor rte degl lgortm d cotrollo oer sulle coordte d guto, u quluque trettor crtes rchederebbe l trsformzoe, fse d geerzoe, tl coordte, oerzoe quest che è comutzolmete oeros e sesso comort l llugmeto de tem d cotrollo. Ioltre, uò ccdere che determt cmm descrtt ello szo crteso o rsulto fftto esegubl, oché s ttrerso cofgurzo d sgolrtà cu è mossble sceglere eloctà fte er gl ttutor l fe d otteere l desdert eloctà dell mo, oure oché, oostte le oszo zle e fle dell mo so ll tero dello szo d loro, lo stesso o è ero er tutt ut gcet su u segmeto retto che le coguge. V è che u ltro roblem. Qulor s olesse teer coto dell dmc del robot, rogettre l trettor ello szo crteso mlcherebbe ffrotre u roblem d ottmzzzoe le cu equzo d colo srebbero esresse due ders sstem d coordte, oché le crtterstche d co, eloctà e ccelerzoe d og motore srebbero comuque esresse term d coordte d guto. Per tutt mot ctt, metod che oero ello szo de gut soo d gr lug ù dffus. Nel roseguo foclzzeremo l ttezoe su metod urmete cemtc tt ll rogettzoe dell trettor ello szo de gut. Metod cemtc er l rogettzoe dell trettor ello szo de gut L trettor d cscu co ttut uò essere relzzt medte u sgol fuzoe cotu oure ttrerso sezzo oortumete rccordt. Geerlmete s mego de olom, quto soddsfo le esgeze edezte el Pr.. Idcheremo co (=,, ) olom (d grdo m ) utlzzt er relzzre l trettor q(t) del geerco guto e co t (=,, -) gl stt d temo cu quest s rccordo tr loro. Essedo l geerco (t) defto ell terllo [ t, t], er comodtà d trttzoe ltc è bee effetture l seguete cmbo d rble: t t () = t t che cosete, tutt gl sezzo dell trettor, d esrmere olom fuzoe d u quttà rble tr e. Ne term dell uo rble, el geerco trtto l eloctà e l ccelerzoe soo dt d: () t( ) () t( ) d d d d = = = dt d dt d d d d d d dt d dt d d = = = = È comodo defre che: t : = t e t : = t.

3 Uerstà d Bolog Meccc de Robot doe: (4) = t t Nell scelt de olom d utlzzre è bee teer resete che quell d grdo eleto ho dmet eccessmete osclltor e tedoo roocre momet suerflu, olte oortu, er cu l loro mego è geerlmete scosglble. Dstgueremo tre crcostze, secod che so reset o meo ut d terolzoe termed e che ess s desder ssegre solo l oszoe o che l eloctà e l ccelerzoe.. No soo od termed I questo cso, col d morre rgurdo: le oszo zle e fle: (5) qt (6) qt l cotutà dell eloctà e dell ccelerzoe elle oszo zle e fle (geerlmete d quete): (7), t t = (8), t t = l cotutà dell oszoe, dell eloctà e dell ccelerzoe e ut d rccordo tr ders olom: (9) = + = + = t t t t t t + =, K, S trtt totle d 6 + ( ) equzo. Per fr sì che so soddsftte, coeffcet de olom deoo essere scelt modo oortuo. Poché u olomo d grdo m ossede (m +) coeffcet, ffché l roblem s be osto de essere: () ( m + ) = 6+ ( ) oss: () = = m = + Qulor s utlzz u uco olomo, questo de essere d 5 grdo (Trettor 5, Fg. ). Lo sostmeto, l eloctà e l ccelerzoe rsulto: = () () 4 ( ) = ( )

4 Uerstà d Bolog Meccc de Robot 6 (4) ( ) = ( ) Le codzo (5) e (7) orgoo: (5) e duque: (6) Le codzo (6) e (8) offroo qud: (7) () () = = = = = () = q 5 4 = = = 5 4 Il sstem (7) uò essere osto ell seguete form mtrcle: q q 4 = 6 5 ( ) (8) 4 5 dll qule s rc: (9) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( ) ( ) q q 4 q + + q q Qulor, er mot su esost, s desder utlzzre olom d grdo ferore l 5, è ossble relzzre l trettor megdo u olomo d ed uo d 4 grdo (Trettore -4 e 4-), oero tre olom tutt d grdo (Trettor --, Fg. ). Nel rmo cso m = 7, el secodo m = 9 ; etrmbe le crcostze, l codzoe () è soddsftt. L secod ozoe h l tggo d megre olom et tutt lo stesso grdo. Esmmol el dettglo. Cscuo de tre olom, seme lle sue derte, h l seguete form: 4

5 Uerstà d Bolog Meccc de Robot () Le codzo (5), (7), (9), (6) e (8) deto: () = = ( + + ) = ( + ) = =,, () () L Eq. () orge: (4) coscché dll Eq. () s rc: (5) (6) e dll Eq. (): = + () + () = () () + = = = q = = = + + = + = =, 5

6 Uerstà d Bolog Meccc de Robot (7) = Le Eq. (5), (6) e (7) costtuscoo, form mtrcle, l seguete sstem: (8) q = q Il roblem uò essere rsolto u olt che s scelgo gl terll (=,,), qul, s ot, o costtuscoo u secfc del roblem e ossoo essere scelt d rbtro. Se s oe: t t (9) = = = : = l sstem (8) orge: () ( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) + ( + ) 8( ) 8 ( ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) 8( ) 7( ) ( + ) ( ) + ( 7 + ) 8( q q) 8 ( + ) ( q q) ( ) ( ) ( q q ) ( + ) + ( ) 6 q q 6 6 q 5q q q q q 8 5 = q q q q Ne od termed è most solo l oszoe I questo cso, lle equzo d colo (5), (6), (7), (8) e (9), occorre ggugere le codzo relte lle oszo termede (che soo ): () qt =, K, Il umero comlesso d equzo det 6 + ( ) + ( ), e l Eq. () s trsform : 6

7 Uerstà d Bolog Meccc de Robot () ( m + ) = 6+ ( ) + ( ) oss: () = = m = + + S suog d oler mometre u oggetto e s ogl esser scur che l mo o urt cotro le suerfc su cu l oggetto è rsettmete rccolto e deostto: u ossble strteg cosste ell morre che l mo ss er due ut c rsettmete ll oszoe zle ed quell fle, oché gcet sulle orml uscet dlle due suerfc (codzo d buo rtez e d buo rro). I questo cso occorre morre due codzo termede (=), er cu s h: (4) = m = + 5 L mego d u uco olomo d 7 grdo è scosglble. Qulor se e uso tre, dorà essere m = : ossbl soluzo reedoo l mego d due olom d 4 grdo ed uo d (Trettor 4--4), oero d due olom d grdo ed uo d 5 (Trettor -5-). Allorché s doero cque olom ( m = 5 ), quest otro essere tutt d grdo (Trettor 5). Qudo le codzo termede soo umerose, u ossble strteg er etre d rcorrere olom d grdo eleto cosste ell megre tt olom qut soo col termed ù uo e d rccordrl corrsodez de od. I questo modo s h: (5) oché (6) t = t = =, K, L Eq. () det: (7) = m = = + l qule dmostr che è suffcete megre due olom d 4 grdo ll zo ed ll fe dell trettor e olom d grdo e segmet termed (Trettor 4- ( )-4, Fg. ). Alzzmo questo cso el dettglo. Nel geerco segmeto, lo sostmeto è dto dl olomo: (8) ( t), t [ t, t] oero, rcorddo l defzoe (): (9), [, ] Ne segmet zle e fle s rà rsettmete: (4) =, K, =, K, = = ( ) 4 6 = ( + + ) 4 7

8 Uerstà d Bolog Meccc de Robot (4) I quell termed: (4) = = ( ) 6 = ( ) = = ( + + ) = ( + ) =, K, S osser che, er quto osserto el Pr., gl terll deoo essere questo cso medesm er tutt gut del moltore. Rsult, ftt, = t t ( =, K, ). Dlle codzo d colo (5) e () s rc: (4) e dlle (7): (44) Le Eq. (4) e (44) cosetoo d orre: = =, K, = = = = q 4 (45) ( ) 4 (46) (47) 4 = q =, K, = q 4 Dlle codzo (6) e (8) s ottee: (48) () Le codzo d colo (9) orgoo: (49) oss: = q 4 () = ( ) 4 = + + = () ( 6 ) 4 () + () = 8 + =, K,

9 Uerstà d Bolog Meccc de Robot (5) 4 + q 4 + = = q + + = (5) ( ) +, + ( + ) = +, + =, K, Le Eq. (5), (5) e (48) costtuscoo u sstem d equzo ltrettte cogte, l qule uò essere osto ell seguete form mtrcle: (5) doe: L L 4 4 L L δ 6 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L δ L L = + +, +, L L + L +, L L L L L L L L L L L L L L L L L δ L L L L L 4 L L 6 4 (5) δ q =, K, Il sstem (5) uò essere scrtto ell seguete form comtt: (54) C = b doe le defzo soo edet. L Eq. (54) cosete d rcre coeffcet cogt: (55) Nel cso rtcolre = (Trettor 4-4) s h: = C b 9

10 Uerstà d Bolog Meccc de Robot (56) ed quello = (Trettor 4--4, Fg. 4): (57) δ = δ δ 4 6 = δ δ S ot che l mtrce C è l medesm er tutte le coe ttute, quto dede soltto dgl terll temorl ; ceers l ettore de term ot b è geerle derso er og guto.. Ne od termed è most l oszoe, l eloctà e l ccelerzoe (58) I questo cso, corrsodez degl od termed, soo moste le seguet codzo: L Eq. () det : ( ) ( ) qt qt & qt && & && (59) ( m + ) = 6+ ( ) + ( ) oss: (6) = = m = + =, K, Il roblem uò essere rsolto utlzzdo rsultt cosegut e Pr.. e., doe s è studto come rogettre u trettor el cso cu so ssegte oszoe, eloctà ed ccelerzoe egl stt zle e fle del mometo. Tl rsultt ossoo essere qu megt er cscu trtto comreso tr due ut d terolzoe: og segmeto è così rsolto

11 Uerstà d Bolog Meccc de Robot dedetemete dgl ltr. Metre l lczoe delle trettore rcte el Pr.. è mmedt, l mego delle trettore rcte el Pr.. rchede u commeto, quto o è rest, tr dt del resete roblem, l resez d ut, termed tr ut odl, cu s secfct l oszoe. L cogruez uò essere suert ggugedo de od d comodo. Ad esemo, qulor s olesse doerre u trettor 4-4, s otrebbe rgoeolmete rchedere che, u temo r ll metà del temo ecessro ercorrere l tero segmeto, l guto relzz metà dello sostmeto totle... Esemo S suog d doer rogettre l trettor d u moltore se grd d lbertà, ssegte che so: l oszoe, l eloctà e l ccelerzoe + ut d terolzoe: x x& && x ( t) ( t) ( t ) = x = x& = && x =, K, l oszoe due ut molto rossm quell zle e fle, l fe d sscurre u buo rtez ed u buo rro: ( t + ) = ( t ) x x x =x, Il roblem uò essere rsolto rocededo questo modo: s effettu er og odo l ls cemtc ers: q q& q&& c.. x, x&, && x q =, =, L q& L q&& = L ; q q& q&& q q c.. x, x q =, = L q L q 6 q 6 =, K, el segmeto zle, egl stt zle e fle del qule soo moste l oszoe, l eloctà e l ccelerzoe e u stte termedo l oszoe (codzoe d buo rtez), s doer u trettor 4-4 (Pr..); el segmeto fle, egl stt zle e fle del qule soo moste l oszoe, l eloctà e l ccelerzoe e u stte termedo l oszoe (codzoe d buo rro), s doer cor u trettor 4-4 (Pr..); cscu segmeto termedo, e cu stt zle e fle soo moste l oszoe, l eloctà e l ccelerzoe, s doer u trettor -- (Pr..) oero u trettor 4-4 (Pr..), ggugedo l codzoe termed: t + t q + q = q =, K,

12 Uerstà d Bolog Meccc de Robot q(t) t t t = (t) t t t = t t t Fg. : Trettor 5 q(t) = = = t t t t t t (t) = = = t t t t t t (t) t t t = t t t = (t) t t t t t Fg. : Trettor --

13 Uerstà d Bolog Meccc de Robot q(t) = + = + = t t t t t t t + (t) t t t = + (t) (t) t t t = (t) t t t t t t + t t Fg. : Trettor 4- (-)-4 q(t) = = = = t q t t t t t t (t) = = = = t q t t t t t t (t) t t t = t t t = (t) t t t t t Fg. 4: Trettor 4--4