Integrale di Riemann su R n

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1 CAPITOLO 5 Integrle di iemnn su n 1. Funzioni integrbili secondo iemnn In questo cpitolo dremo l definizione di funzione integrbile secondo iemnn su n. Come già ftto nel cso delle funzioni integrbili su, l definizione srà tle d fornire, qulor l funzione si non negtiv, il volume di un oggetto n + 1 dimensionle. Se, d esempio, f : A, con A un sottoinsieme di 2, e f, l integrle di f su A (o, meglio, l integrle doppio di f su A srà un numero rele (non negtivo che rppresent il volume dell prte di 3 compres tr il pino z =, l superficie z = f(x, y, l vrire di (x, y in A. Vedremo nche come, trmite l definizione di integrle di un funzione definit su n, srà possibile clcolre ree di oggetti di n ; dremo inoltre degli strumenti prtici per il clcolo di un integrle n-dimensionle, che verrà ricondotto l clcolo di n integrli unidimensionli (niente di nuovo sotto il sole, dunque... Le definizioni che seguono sono completmente nloghe l cso unidimensionle. Per comodità, lvoreremo solo in 2 (il cso n-dimensionle essendo completmente nlogo. efinizione 1.1. Un rettngolo in 2 è un prodotto di due intervlli chiusi e limitti di : = I 1 I 2. Indicheremo con I l lunghezz dell intervllo I (modulo dell differenz dei due estremi, e con = I 1 I 2 l re del rettngolo. icordimo che un prtizione P dell intervllo I = [, b] è dt d un numero finito di punti t = t 1 t 2 t k = b. Un prtizione del rettngolo = I 1 I 2 è semplicemente un coppi P = (P 1, P 2 dove P 1 = (t,..., t k è un prtizione di I 1 e P 2 = (s,..., s m è un prtizione di I 2. Chirmente il rettngolo è suddiviso d P in k m sottorettngoli S dell form [t i 1, t i ] [s j i, s j ]. Indicheremo l clsse di questi sottorettngoli con S P = S : S sottorettngolo di in un prtizione P }. Notre che questi sottorettngoli possono vere bordi sovrpposti, m le loro prti interne sono sempre disgiunte. 1

2 1. FUNZIONI INTEGABILI SECONO IEMANN 2 efinizione 1.2. to un rettngolo, un su prtizione P e un funzione f : limitt, possimo definire l somm inferiore s(f, P = S inf f S S S P e l somm superiore s(f, P = S sup S S S P Le somme sono effettute su tutti i sottorettngoli di dell prtizione P, e chirmente si h sempre s(f, P s(f, P. Procedimo esttmente come nel cso delle funzioni di un sol vribile e introducimo l efinizione 1.3. Un prtizione P è più fine dell prtizione P se ogni sottorettngolo di P si può scrivere come unione di sottorettngoli di P (ossi: P si ottiene d P ggiungendo punti di suddivisione. È evidente che in tl cso s(f, P s(f, P s(f, P s(f, P. Notimo che se P, P sono due prtizioni qulunque, possimo comunque dire che s(f, P s(f, P ; inftti bst considerre l prtizione P ottenut unendo tutti i punti di suddivisione si di P che di P, e osservndo che P è più fine si di P che di P si h subito s(f, P s(f, P s(f, P s(f, P. Simo pronti per definire il concetto di integrle di iemnn: efinizione 1.4. Si un rettngolo e f : un funzione limitt. L integrle inferiore di f su è il numero f = sups(f, P : P prtizione di }. mentre l integrle superiore di f su è il numero f = infs(f, P : P prtizione di } iremo che f è integrbile secondo iemnn su qundo questi due numeri coincidono, e il loro vlore comune si dirà l integrle di iemnn di f su : f = f(x, ydxdy = f = f. f.

3 1. FUNZIONI INTEGABILI SECONO IEMANN 3 È chiro che quest definizione è proprio l estensione più dimensioni dell integrle di iemnn su. Notimo però un prim differenz importnte: su bbimo definito il simbolo b f(xdx che tiene conto dell ordine in cui si trovno i punti e b, e precismente bbimo deciso che b f(xdx = b f(xdx. Quest notzione divent molto scomod in più dimensioni (in qule vribile invertimo il verso? e inftti scrivimo per sottolinere che non tenimo conto dell ordine m solo dell insieme su cui si st integrndo. Qulche volt srà comodo indicre nche l integrle su un intervllo I = [, b] di un funzione di un vribile con l nuov notzione: I f = b f(xdx. Le proprietà elementri dell integrle in 2 sono identiche quelle note su e si dimostrno nello stesso modo (non è vero, sono ncor più noiose: se f, g : sono due funzioni limitte integrbili su vlgono le proprietà seguenti: Linerità: per ogni α, β in, nche αf + βg è integrbile su e (αf + βg = α f + β g; Monotoni: se f g llor nche f Additività: se si spezz nell unione di due rettngoli = che non hnno punti interni in comune (m solo punti di frontier llor f = f + f. Osservzione 1.5. Notimo esplicitmente che è l second volt che scrivimo l frse senz punti interni in comune. Esempio 1.6. Si f(x, y = 1 su = [, b] [c, d]. L funzione f è evidentemente limitt, per cui h senso chiedersi se si integrbile o meno (sppimo già l rispost, nche perché se le funzioni costnti non fossero integrbili, ndremmo mle.... Si g;

4 1. FUNZIONI INTEGABILI SECONO IEMANN 4 llor P un prtizione di qulsisi. È chiro che, qulsisi si S sottorettngolo di S P, si h inf S f(x, y = 1 = sup f(x, y, S e quindi s(f, P = S = = S = s(f, P. S S P S S P Ne segue pertnto che f è integrbile su, ed il suo integrle vle f(x, y dx dy = = (b (c d. Con clcoli nloghi, si dimostr che se f ssume il vlore costnte c su un rettngolo, llor f è integrbile, ed il suo integrle vle c. Esempio 1.7. Si or = [, 1] [, 1] e 1 (x, y (Q Q, (x, y = (x, y \ (Q Q. È chiro che, qulsisi si l prtizione P del rettngolo, e qulsisi si S in S P, si h inf (x, y =, sup (x, y = 1, S S e quindi s(, P = e s(, P =. Ne segue che non è integrbile. Esempio 1.8. Notimo che, dt un qulsisi funzione limitt f (integrbile o no possimo comunque stimre le somme superiori e inferiori come segue: inf f f f sup f; inftti tutte le somme inferiori sono mggiori di inf f e tutte le somme superiori sono minori di sup f. ll formul precedente segue (come già bbimo visto che se f è costnte, llor è integrbile. Anche in più vribili un conseguenz immedit dell definizione è il criterio di integrbilità: Proposizione 1.9. (Criterio di integrbilità Si f : limitt sul rettngolo di 2. Allor f è integrbile su se e solo se per ogni ɛ > esiste un prtizione P ɛ di tle che (1.1 s(f, P ɛ s(f, P ɛ < ɛ.

5 1. FUNZIONI INTEGABILI SECONO IEMANN 5 imostrzione. Se vle (1.1 per ogni ɛ >, chirmente l integrle superiore e inferiore di f coincidono, quindi f è integrbile. Vicevers, se f è integrbile, dll definizione di integrle inferiore e superiore ottenimo che per ogni ɛ fissto esistono due prtizioni P e P tli che f = f < s(f, P + ɛ/2, f = f > s(f, P ɛ/2 d cui s(f, P + ɛ/2 > s(f, P ɛ/2 e quindi se chimimo P ɛ l prtizione ottenut unendo i punti di P, P ottenimo d cui l tesi. s(f, P ɛ + ɛ/2 s(f, P + ɛ/2 > s(f, P ɛ/2 s(f, P ɛ ɛ/2 Il criterio precedente è molto utile per dimostrre ltri teoremi, m non ci consente ncor di distinguere nei csi concreti le funzioni integrbili secondo iemnn. imostreremo or un criterio più efficce, che tuttvi richiede l introduzione di un concetto nuovo: quello di insieme trscurbile (secondo Peno-ordn. efinizione 1.1. Un insieme E di 2 si dice trscurbile (secondo Peno- ordn se per ogni ɛ > è possibile ricoprire E con un numero finito di rettngoli 1,..., m tli che m < ɛ. Notimo subito che se E, F sono trscurbili nche E F e E F sono trscurbili, e che tutti i sottoinsiemi di un insieme trscurbile sono trscurbili. Esercizio Un segmento prllelo un sse è trscurbile. Un segmento non prllelo gli ssi è trscurbile. Osservzione Il grfico di un funzione continu su intervllo chiuso e limitto è trscurbile. icordimo inftti che un funzione continu su un intervllo chiuso e limitto [, b] è integrbile secondo iemnn. Ciò vuol dire che, per ogni ɛ >, esiste un prtizione P ɛ di [, b] tle che, detti si h s(f, P ɛ = n i= (1.2 < s(f, P ɛ s(f, P ɛ = min f(x (t i+1 t i, s(f, P ɛ = [t i,t i+1 ] n i=1 n i= mx f(x (t i+1 t i, [t i,t i+1 ] [ mx f(x min f(x] (t i+1 t i < ɛ. [t i,t i+1 ] [t i,t i+1 ]

6 Considerimo or il rettngolo 1. FUNZIONI INTEGABILI SECONO IEMANN 6 i = [t i, t i+1 ] [ min f(x, mx f(x], [t i,t i+1 ] [t i,t i+1 ] che h come misur [mx [ti,t i+1 ] f(x min [ti,t i+1 ] f(x] (t i+1 t i. È llor chiro d (1.2 che n i < ε, i= e quindi che il grfico di f, che è contenuto nell unione degli i, è trscurbile. Possimo or enuncire il nostro criterio fondmentle: Teorem Si un rettngolo e f : limitt. Indichimo con E l insieme di tutti i punti di in cui f è discontinu. Se E è trscurbile, llor f è integrbile secondo iemnn su. Premettimo ll dimostrzione del Teorem il Teorem di Heine-Cntor sull uniforme continuità delle funzioni continue su insiemi chiusi e limitti: Teorem Si f : C un funzione continu sull insieme C chiuso e limitto. Allor per ogni ɛ > esiste δ > tle che per ogni coppi di punti x, y C con x y < δ si h f(x f(y < ɛ. imostrzione. Procedimo per ssurdo. Quindi supponimo che esist un ɛ = ɛ > che viol l tesi, cioè tle che per qunto piccolo si prend δ > si possno sempre trovre due punti con x y < δ e f(x f(y ɛ. Allor prendendo successivmente δ = 1, δ = 1/2, δ = 1/3,..., δ = 1/k,... ottenimo due successioni di punti x k e y k in C con In prticolre notimo che x k y k < 1 k, f(x k f(y k ɛ. x k y k. Or ricordimo che dll successione x k contenut nel chiuso limitto C è possibile estrrre un sottosuccessione convergente d un punto x C. Estrimo d y k l successione corrispondente gli stessi indici; ottenimo quindi le successioni x kj e y kj, l prim delle quli converge x. Siccome x kj y kj tende zero, per il Teorem dei Crbinieri nche y kj tende x. Si h llor un ssurdo dl ftto che f(x kj f(y kj tende zero per l continuità dell f, mentre l differenz f(x kj f(y kj si mntiene sempre mggiore di ɛ.

7 1. FUNZIONI INTEGABILI SECONO IEMANN 7 imostrzione. (del Teorem. Fissto ɛ >, possimo ricoprire l insieme E di discontinuità di f con k rettngoli 1,..., k tli che k < ɛ. Notimo che qulche punto x E potrebbe cdere sul bordo di un j ; per evitre che ciò ccd bst ingrndire leggermente i lti di tutti i rettngoli senz superre l re totle ɛ; quindi simo in grdo di ricopire E con k rettngoli k < ɛ in modo che i punti di E sino interni ll unione dei rettngoli j. Or si C l chiusur dell insieme \ ( 1 k ; l funzione f è continu su C, chiuso e limitto, quindi per il lemm precedente esiste un δ > tle che se x, y C soddisfno x y < δ, si deve vere f(x f(y < ɛ. Costruimo desso un prtizione di nel modo seguente. Anzitutto mettimo insieme tutti i vertici dei rettngoli j e chimimo P l prtizione di che ne deriv. Chirmente possimo infittire quest prtizione ggiungendo punti, in modo che i sottorettngoli S ottenuti sino rbitrrimente piccoli; in prticolre possimo richiedere che se x, y sono due punti dello stesso sottorettngolo S, llor x y < δ (bst scegliere i lti dei sottorettngoli più piccoli di δ/ 2. issumendo, bbimo costruito un prtizione P del rettngolo in modo tle che l clsse di tutti i sottorettngoli S P si può dividere in due gruppi distinti SP 1 e SP 2 : i primo tipo: i sottorettngoli S contenuti in qulche j. Indichimo l clsse di questi sottorettngoli con SP 1. to che l unione di questi S è ugule ll unione di 1,..., k bbimo che (1.3 S = k < ɛ. S S 1 P ii secondo tipo: tutti gli ltri; indichimo quest second clsse con SP 2. I sottorettngoli S SP 2 sono contenuti in C, e inoltre se x, y S si h x y < δ e quindi f(x f(y < ɛ (in qunto f è continu su C. Possimo concludere l dimostrzione. Nell quntità s(f, P s(f, P = S (sup f inf f S S S S P seprimo i termini con S SP 1 d quelli con S S2 P : s(f, P s(f, P = S (sup f inf f + S (sup f inf f. S SP 1 S S S SP 2 S S to che f è limitt, cioè f M, l prim somm si stim subito usndo l (1.3 : S (sup f inf f 2M S < 2Mɛ; S S S S 1 P S S 1 P

8 2. IL TEOEMA I FUBINI 8 invece l second somm si può stimre osservndo che f è continu su ogni S S 2 P, quindi h mssimo e minimo in due punti x, y S: sup f inf f = f(x f(y S S ed essendo x y < δ (per tutti i punti di S concludimo che sup f inf f = f(x f(y < ɛ S S d cui S (sup f inf f ɛ S ɛ. S SP 2 S S S SP 2 Nell ultimo pssggio bbimo usto il ftto che l somm delle ree di tutti i sottorettngoli dell prtizione non può superre l re del rettngolo di prtenz. In conclusione s(f, P s(f, P < (M + ɛ e per l rbitrrietà di ɛ, dl criterio di integrbilità segue l tesi. Osservzione A ptto di definire rettngolo di n il prodotto crtesino di n intervlli di, e misur del rettngolo il prodotto delle lunghezze degli n intervlli, l teori precedentemente introdott si estende gevolmente l cso generle di n. 2. Il Teorem di Fubini Abbimo definito l integrle di iemnn per un funzione di due vribili, m non bbimo ncor un procedimento per clcolrlo. Un ide molto nturle è l seguente: se voglimo integrre f(x, y sul rettngolo = [, b] [c, d], potremmo provre d integrre prim rispetto x, poi rispetto y: d ( b f(x, ydx dy o nche nell ordine opposto: c b ( d c f(x, ydy dx. Queste quntità si chimno gli integrli iterti dell funzione f sul rettngolo ; chirmente per molti tipi di funzione simo in grdo di clcolrli usndo le regole già note per funzioni di un vribile, considerndo, né più né meno come si f per il clcolo delle derivte przili, l vribile rispetto ll qule non si integr come un costnte. Tuttvi c è un problem: come possimo essere sicuri che i due metodi dino lo stesso vlore, e che questo vlore si ugule proprio ll integrle di f su

9 2. IL TEOEMA I FUBINI 9 precedentemente definito? E, inoltre, se simo in grdo di clcolre esplicitmente uno solo dei due integrli, chi ci dice che il procedimento è corretto? Esempio 2.1. Supponimo di vere l funzione f(x, y = y sen(x+y sul qudrto [, π] [, π]. Allor mentre π π Integrndo il primo rispetto d y, si h mentre per il secondo π f(x, y dx = 2y cos(y, f(x, y dx = π cos(x 2sen(x. π 2y cos(y dy = 4, [π cos(x 2sen(x] dx = 4. Nturlmente non si trtt di un cso: in generle, l integrle di f si può clcolre proprio come un integrle iterto, ed è indifferente l ordine di integrzione, quindi d esempio possimo scegliere quello che rende il clcolo più fcile. Il Teorem di Fubini ci dà delle condizioni su f sufficienti perché ciò ccd: Teorem 2.2. Si = I un rettngolo di 2 e f : un funzione limitt. Supponimo che f si integrbile su, e inoltre che per ogni x I l funzione y f(x, y si integrbile su. Allor l funzione x f(x, ydy è integrbile su I, e il suo integrle è ugule ll integrle di f su : ( f = f(x, ydxdy = f(x, ydy dx. Un risultto nlogo vle scmbindo l ordine degli integrli. Premettimo ll dimostrzione un Lemm (che in effetti è un versione ncor più generle del Teorem di Fubini: Lemm 2.3. Si = I un rettngolo, P un prtizione di, e f : un funzione limitt. Allor vle l disuguglinz ( ( s(f, P f(x, ydy dx f(x, ydy dx s(f, P. I I I

10 2. IL TEOEMA I FUBINI 1 imostrzione. Notimo subito che l disuguglinz centrle è ovvi; le disuguglinze d dimostrre sono l prim e l ultim. t l prtizione P = P 1, P 2 }, ogni sottorettngolo S S P è dell form S = S 1 S 2 con S 1 S P1 e S 2 S P2. Quindi possimo scrivere (2.1 s(f, P = S inf f ( S 1 S 2 inf f S S 1 S 2 S S P S 1 S P1 S 2 S P2 essendo S = S 1 S 2. Or possimo osservre che, per ogni x S 1 fissto, S 2 inf f(x, y f(x, ydy y S 2 S 2 (vedi l Esempio 1.8 e quindi prendendo l estremo inferiore per x S 1 S 2 inf f inf f(x, ydy. S 1 S 2 x S 1 S 2 Introducendo quest disuguglinz nell (2.1 ottenimo s(f, P ( S 1 inf f S 1 inf S 1 S 1 S P1 S 2 S S S 1 2 P2 S 1 S P1 S 2 S P2 dove nell ultimo pssggio bbimo usto il ftto che l estremo inferiore di un somm di funzioni è mggiore dell somm degli estremi inferiori. Infine bst osservre che f = f(x, ydy S 2 S 2 S P2 per l dditività dell integrle inferiore ( dire il vero bbimo enuncito quest proprietà per l integrle, m l dimostrzione per l integrle inferiore è nlog, nzi più fcile e ottenimo s(f, P S 1 inf f. S 1 S 1 S P1 L somm secondo membro è proprio l somm inferiore, per l prtizione P 1, dell funzione g(x = f, e quindi per definizione di integrle inferiore ( S 1 inf f = s(g, P 1 g = S 1 S 1 S f(x, ydy dx I I P1 cioè bbimo dimostrto l prim disuguglinz del Lemm. L ultim disuguglinz si prov in modo nlogo (sostituendo gli inf con dei sup e rovescindo le disuguglinze. S 2 f

11 2. IL TEOEMA I FUBINI 11 imostrzione. (del Teorem di Fubini. Si trtt di un fcile ppliczione del Lemm. Inftti, considerimo l funzione g(x = f(x, ydy f(x, ydy f(x, ydy (gli integrli coincidono perché per ipotesi f è integrbile in y per ogni x fissto. Allor dl Lemm segue che per ogni prtizione P di s(f, P g g s(f, P. I ltr prte, sppimo nche che f è integrbile su, quindi usndo il criterio di integrbilità vedimo che per ogni ɛ > fissto possimo scegliere P in modo che s(f, P s(f, P < ɛ; quindi si deve vere nche g g < ɛ I e per l rbitrrietà di ɛ questo vuol dire che g è integrbile su I. Inoltre bbimo dimostrto che per ogni prtizione P si h ( s(f, P f(x, ydy dx s(f, P e questo vuol dire nche che I ( f = I I I f(x, ydy dx (perché?, ossi l tesi. L dimostrzione dell formul con x e y scmbiti è identic. Esempio 2.4. Considerimo l funzione f(x, y = y e xy sul qudrto E = [1, 2] [1, 2]. Se scrivimo 2 ( 2 2 f(x, y = y e xy dx dy = [e 2y e y ] dy, E 1 e quest ultimo integrle è di fcile clcolo. Se, invece, vessimo scritto 2 ( 2 f(x, y = y e xy dy dx, E ci sremmo trovti dover clcolre 2 e x [1 x + e x (2x 1] dx, 1 x 2 che non si s fre

12 3. EIVAZIONE SOTTO IL SEGNO I INTEGALE 12 Osservzione 2.5. Un nlogo del teorem di Fubini vle in dimensione qulsisi, nche se evidentemente sono possibili più riduzioni. Se, d esempio, bbimo un funzione f(x, y, z definit ed integrbile su un rettngolo = I K, llor ( ( f(x, y, z dx dy dz = f(x, y, z dz dy dx, m nche e (soprttutto f(x, y, z dx dy dz = f(x, y, z dx dy dz = I ( I K ( ( K I K f(x, y, z dx dz dy, f(x, y, z dy dz dx. 3. erivzione sotto il segno di integrle Si f : = I un funzione continu; è llor ben definit l funzione g(x = f(x, y dy. Quli proprietà di regolrità h g? È continu? È derivbile? In questo prgrfo risponderemo queste domnde, dndo le ipotesi corrette su f. Teorem 3.1. Si f : = I un funzione continu. Allor g è continu su I. imostrzione. Essendo f continu su, chiuso e limitto, llor è uniformemente continu (si ved il Teorem Pertnto, per ogni ɛ >, esiste δ ɛ > tle che se (x 1, y 1 e (x 2, y 2 sono in, con d 2 ((x 1, y 1, (x 2, y 2 < δ ɛ, llor f(x 1, y 1 f(x 2, y 2 < ɛ. Si or x n in I convergente x in I. Allor g(x n g(x f(x n, y f(x, y dy. Fissto ɛ >, si n ɛ tle che x n x < δ ɛ per ogni n n ɛ. Allor, per ogni y in, d 2 ((x n, y, (x, y < δ ɛ, e quindi f(x n, y f(x, y < ɛ. Pertnto, g(x n g(x ɛ dy = ɛ, d cui segue che g(x n converge g(x. Se fccimo un ipotesi ulteriore su f, llor g è nche derivbile.

13 4. L INTEGALE SU INSIEMI MISUABILI 13 Teorem 3.2. Si f : = I un funzione continu, e supponimo che esist f x : = I, nche ess continu. Allor g è derivbile su I e si h g (x = f x (x, y dy, x I. imostrzione. Supponimo che I = [, b], e si s in [, b]. efinimo ( k(x = f x (x, y dy, h(s = f x (x, y dx. Siccome f x (x, y è continu per ipotesi, l funzione k è continu per il teorem precedente. Pertnto, per il teorem fondmentle del clcolo integrle, h è un funzione derivbile, e l su derivt è proprio k(s. ltr prte, essendo verificte le ipotesi, è possibile pplicre il Teorem di Fubini: ( h(s = f x (x, y dx dy = f x (x, y dx dy. [,s] Or, sempre per il teorem fondmentle del clcolo integrle, f x (x, y dx = f(s, y f(, y, e quindi [,s] h(s = [,s] [,s] [f(s, y f(, y] dy = g(s g(. Ne segue llor che g(s = h(s + h( è derivbile e che g (s = k(s, come volevsi dimostrre. Osservzione 3.3. isultti nloghi vlgono nel cso in cui si bbino funzioni dell form g(x 1,..., x n = f(x 1,..., x n, y 1,..., y m dy 1... dy m, con rettngolo di m, e (x 1,..., x n in un rettngolo di n. 4. L integrle su insiemi misurbili to un insieme C limitto, l su funzione crtteristic è l funzione che vle 1 su C e fuori: 1 se x C 1 C (x = se x C. È fcile verificre che l insieme dei punti di discontinuità di 1 C in n è esttmente l frontier di C (perché?.

14 4. L INTEGALE SU INSIEMI MISUABILI 14 In genere 1 C non è integrbile secondo iemnn; d esempio, l generlizzzione dell funzione di irichlet studit nell Esempio 1.7 è l funzione crtteristic di ([, 1] [, 1] (Q Q; m ricordndo il Teorem 1.13 ottenimo subito che se C è limitto e l su frontier C è trscurbile, llor 1 C è integrbile secondo iemnn. In questo cso si us nche l notzione m(c = e l quntità m(c si chim l misur secondo Peno-ordn dell insieme C, mentre un insieme C limitto con frontier trscurbile si dice nche misurbile secondo Peno-ordn. Più in generle, considerimo un funzione f : definit e continu su un rettngolo, e si C con frontier trscurbile. Allor l funzione f 1 C può essere discontinu solo nei punti di C (perché?, quindi f è integrbile secondo iemnn. L integrle di f 1 C si indic nche con le notzioni f = f(x, ydxdy = f 1 C C C e si chim l integrle di f su C. Notre che non er necessrio prtire d un funzione continu su tutto il rettngolo : bst considerre un funzione f : C continu (su C, ed estendere f ponendo f(x = per x C; il risultto è esttmente lo stesso. Se l form del dominio C è descritt in modo esplicito, d esempio il bordo di C è il grfico di un funzione not, possimo dre un procedimento generle per clcolre l integrle di un funzione su C. Precisimo i domini che ci interessno: efinizione 4.1. Un dominio normle è un insieme del tipo = (, b; φ, ψ = (x, y: x b, φ(x y ψ(x} dove b, e φ, ψ sono due funzioni continue su [, b] con l proprietà φ(x ψ(x per ogni x. Nturlmente nche un insieme del tipo 1 C (x, y: c y d, φ(y x ψ(y} si chim dominio normle. Qundo è necessrio distinguere si prl di dominio normle rispetto x o rispetto y. Notimo che l frontier di è compost di quttro prti: il grfico di φ, il grfico di ψ, e due segmenti verticli corrispondenti x = e x = b (che eventulmente possono ridursi due punti, qundo φ( = ψ( oppure φ(b = ψ(b. In prticolre, l frontier di un dominio normle è sempre trscurbile (Esercizio 1.11 e Osservzione 1.12.

15 4. L INTEGALE SU INSIEMI MISUABILI 15 L ultim osservzione ci permette subito di ffermre che se = (, b; φ, ψ è un dominio normle e f : è un funzione continu, llor f è integrbile su. M possimo fre molto di più. Anzitutto è contenuto in un rettngolo = [, b] [m, M] (d esempio possimo prendere m ugule l minimo di φ e M ugule l mssimo di ψ, e per il Teorem di Fubini f M per x fissto, è chiro che M m f 1 = b ( M m f(x, y1 (x, y dy f(x, y1 (x, y dy dx. ψ(x φ(x f(x, ydy perché l integrndo vle se y > ψ(x oppure y < φ(x. In ltri termini bbimo ottenuto l formul esplicit b ( ψ(x f = f(x, ydy dx, = (, b; φ, ψ φ(x che si chim formul di riduzione per gli integrli doppi su un dominio normle. Ovvimente un formul nlog vle per domini normli rispetto y: d ( ψ(y f = f(x, ydx dy, = (, b; φ, ψ. c φ(y Osservzione 4.2. Le stesse formule di riduzione vlgono per integrli su sottinsiemi di 3. Se, d esempio, = (x, y, z 3 : (x, y E, (x, y z b(x, y}, con E dominio di 2 e (x, y e b(x, y due funzioni continue su E, llor ( b(x,y f(x, y, z dx dy dz = f(x, y, z dz dx dy. E (x,y Se nche E è un dominio normle (rispetto d uno dei due ssi, llor nche l integrle su E potrà essere ridotto due integrli unidimensionli; se d esempio E = (x, y 2 : x b, α(x y β(x}, llor f(x, y, z dx dy dz = b ( β(x α(x ( b(x,y (x,y f(x, y, z dz dy dx.

16 5.1. Cmbimento di vribili. 5. ISULTATI ULTEIOI isultti ulteriori Teorem 5.1. (Cmbimento di vribili per integrli multipli Si A perto di n, g : A n iniettiv di clsse C 1. Allor per ogni f integrbile su g(a si h f(ydy = f g det g dx. g(a A Esempio 5.2. Si g : [, b] di clsse C 1 ([, b], iniettiv. Allor l formul precedente divent f(y dy = f(g(x g (x dx. g([,b] [,b] Quest formul non è proprimente nuov. H inftti, lmeno d un prim occhit, un forte rssomiglinz con l formul di integrzione per sostituzione: g(b g( f(y dy = b f(g(x g (x dx. In effetti, le due formule sono l stess. Perché? Perché qundo scrivimo g([, b], intendimo con quest notzione l intervllo immgine di [, b] trmite g, scritto nell ordine corretto ; ovvero [g(, g(b] se g è crescente, [g(b, g(] se g è decrescente. M nel primo cso g (x = g (x, mentre nel secondo g (x = g (x, ed ecco che (mircolosmente i segni sono tornti posto... Esempio 5.3. Si or g : n n, con g(x = M x + b, M essendo un mtrice invertibile, e b un vettore qulsisi. In questo cso, det(g(x = det(m, e quindi f(y dy = f(a x det(m dx. g(a Nel cso prticolre in cui f 1, l formul precedente divent A m(g(a = det(m m(a, d cui segue che il fttore det(m rppresent il fttore di scl con il qule vengono trsformte le ree (volumi,... dll ppliczione linere g. Siccome i primi termini dello sviluppo di Tylor di un qulsisi ppliczione C 1 sono g(x = g(x + g(x (x x, l quntità det(g(x rppresent l vrizione infinitesim di re (volume,... (in questo modo si cpisce nche l formul, più o meno.... Tle ftto è ulteriormente

17 5. ISULTATI ULTEIOI 17 chirito dll scelt di f = 1 E nel Teorem 5.1: in tl cso si ottiene m(e = det(g(x dx. g 1 (E Esempio 5.4. Il Teorem 5.1 continu vlere nche qundo l funzione g non è iniettiv, m l insieme su cui g non è iniettiv h misur zero (ovvero, è trscurbile. Il cso più usto di quest versione del teorem è quello delle coordinte polri: si un dominio in 2, e scrivimo x = ρ cos(θ, y = ρ sen(θ (si noti che l trsformzione non è iniettiv solo per (ρ, θ = (, θ, e che tle segmento h misur null. In questo modo ( cos(θ ρ sen(θ g(ρ, θ =, sen(θ ρ cos(θ d cui det(g(ρ, θ = ρ = ρ. Si h llor f(y dy = f(ρ cos(θ, ρ sen(θ ρ dρ dθ. g(a A Se, d esempio, = (x, y 2 : 2 x 2 + y 2 4}, llor = g(, con e quindi = (ρ, θ : θ 2π, 1 ρ 2}, f(x, y dx dy = f(ρ cos(θ, ρ sen(θ ρ dρ dθ. Esempio 5.5. Vedimo or un ppliczione sorprendente dell esempio precedente: clcolimo + e x2 dx, integrle improprio che sppimo essere finito, m che non sppimo clcolre dl momento che non bbimo disposizione un primitiv esplicit di e x2. Inizimo con l osservre che si h ( + e x2 dx 2 = = = ( + ( + ( + e x2 dx ( + e x2 dx e (x2 +y 2 dx dy, e x2 dx e y2 dy dove = (x, y 2 : x, y }. Pssndo coordinte polri, si h = g(, con = (ρ, θ : θ π 2, ρ },

18 cosicché Or, per le formule di riduzione, π e ρ2 2 ρ dρ dθ = Pertnto, e quindi 5. ISULTATI ULTEIOI 18 e (x2 +y 2 dx dy = ( e ρ2 e ρ2 ρ dρ dθ = 1 2 e x2 dx = π 2, e x2 dx = π. ρ dρ dθ. π 2 ρ=+ e ρ2 dθ = π Integrle di superficie. L integrle di superficie su un superficie in form prmetric φ : A S è definito dll formul f dσ = f φ det(φ T φ dt. S Per un superficie C 1 trtti, S = S 1 S N, si h f dσ = f dσ + + f dσ. S 1 S N S A Il cso più interessnte è quello di un superficie S m+k di dimensione m in form crtesin, ossi qundo k vribili sono espresse in funzione delle restnti m: x m+1 = ψ 1 (x 1,..., x m,..., x m+k = ψ k (x 1,..., x m. Si trtt come è noto di un cso prticolre dell form prmetric φ(t, bst porre φ 1 (t = t 1,..., φ m (t = t m e invece φ m+j (t = ψ j (t. unque bbimo φ = (I m, ψ [I m è l ppliczione identic d m in m ], d cui φ = ( Im ψ, φ T φ = ( I m ψ T ρ= ( Im = I ψ m + ψ T ψ e quindi, scrivendo x = (x 1,..., x m, φ(x = (x, ψ(x, f dσ = f(x, ψ(x det(i m + ψ T ψ dx 1... dx m. S A Ad esempio, se x 3 = ψ(x 1, x 2 è un superficie di dimensione 2 in 3, φ = 1 ( 1 I2 =, ψ 1 ψ 2 ψ

19 quindi φ T φ è dto d d cui e quindi S ( 1 1 ψ 1 2 ψ f(x dσ = 5. ISULTATI ULTEIOI 19 1 ( (1 ψ = 2 1 ψ 2 ψ 1 ψ 2 ψ 1 ψ 2 ψ 1 + ( 2 ψ 2 det(φ T φ = 1 + ( 1 ψ 2 + ( 2 ψ 2 A f(x 1, x 2, ψ(x 1, x ( 1 ψ 2 + ( 2 ψ 2 dx 1 dx 2. In prticolre l re di S è dt d 1 dσ = 1 + (1 ψ 2 + ( 2 ψ 2 dx 1 dx 2. S A Anlogmente se x n = ψ(x 1,..., x n 1 è un superficie di dimensione n 1 in n, in form crtesin, si h n 1 f(xdσ = f(x 1,..., x n 1, ψ(x 1 + ( j ψ 2 dx 1... dx n 1. S A Qundo m = 1, ossi qundo S = γ è un curv, l integrle di superficie si dice nche integrle di line; se l curv è prmetrizzt come φ : [, b] n, si h φ T φ = φ 2, quindi b f(x dσ = f(φ(t φ (t dt, γ ritrovndo così l formul not; nel cso di un curv in 2 in form crtesin, ossi φ = (x, ψ(x, bbimo b f dσ = f(x, ψ(x 1 + ψ (x 2 dx. γ Notimo che B(x, r n è il luogo di zeri di F (x = x x 2, quindi è un superficie regolre semplice espress in form implicit. In prticolre è definit l misur di superficie su di ess. Si or f : n continu e sommbile; llor per ogni x vle l formul ( f(xdx = f(xdσ dr B(x,r j=1

20 5. ISULTATI ULTEIOI 2 dett espressione dell integrle in coordinte polri. ll formul precedente segue che per ogni r > ( d f(xdx = f(xdσ. dr B(x,r B(x,r L formul precedente è solo un cso prticolre dell formul di core: si u : n un ltr funzione di clsse C 1 tle che per qusi ogni r gli insiemi di livello x n : u(x = r} sono superfici regolri semplici di dimensione n 1, llor + ( f(x u dx = f(xdσ dr u=r} (omettimo le dimostrzioni. Ad esempio scegliendo u(x = x ottenimo l formul per coordinte polri L formul di Guss-Green. In dimensione 1, il teorem fondmentle del clcolo ci dice che se f è un funzione di clsse C 1 ([, b], llor b f (x dx = f(b f(. Il risultto f(b f( può essere interpretto come un sort di integrle -dimensionle, pensndolo come 1 f(b+( 1 f(. Se pensimo 1 e 1 rispettivmente come versori normli esterni ll intervllo [, b], possimo interpretre il teorem fondmentle del clcolo come f (x dx = f(x ν, [,b] dove con ν bbimo denotto l normle estern ll intervllo [, b]. Ci chiedimo or se tle risultto si vlido in dimensioni mggiori di 1, evidentemente interpretndo le derivte nell mnier corrett. Il primo risultto è il seguente Teorem 5.6. si 2 un dominio normle = (, b; φ, ψ, con φ e ψ di clsse C 1 ([, b]. Si f in C 1 (. Allor (5.1 dx dy = f dy x + e (5.2 dx dy = f dx y + [,b]

21 5. ISULTATI ULTEIOI 21 imostrzione. Inizimo con il cso in cui si normle rispetto ll sse y: = (x, y 2 : y b, α(y x β(y}. Allor bbimo, per le formule di riduzione, ( b β(y dx dy = x x dx dy, e, per il teorem fondmentle del clcolo, β(y α(y α(y dx = f(β(y, y f(α(y, y, x cosicché b dx dy = [f(β(y, y f(α(y, y] dy. x Prmetrizzimo or γ = +. Abbimo γ = γ 1 γ 2 γ 3 γ 4, con x(t = α(t x(t = t γ 1 : t [b, ], γ 2 : t [α(, β(]. y(t = t y(t = γ 3 : x(t = β(t y(t = t t [, b], γ 4 : x(t = t y(t = b t [β(b, α(b]. Se integrimo lungo γ l form differenzile ω(x, y = f(x, y dy, l integrle lungo γ 2 γ 4 è nullo (dto che y (t. Si h pertnto b f dy = f(α(t, t dt + f(β(t, t dt, + che è esttmente il risultto ottenuto in precedenz. Supponimo or che si normle rispetto ll sse x: b = (x, y 2 : x b, α(x y β(x}. In questo cso è necessrio ricorrere d un funzione usiliri; si (x, y in e si γ x,y l curv dt d γ 1 γ 2, con x(t = t x(t = x γ 1 : t [, x], γ 2 : t [α(x, y]. y(t = α(t y(t = t efinimo F (x, y = f dy = γ x,y x f(t, α(t α (t dt + y α(x f(x, t dt.

22 5. ISULTATI ULTEIOI 22 Si h, per il teorem fondmentle del clcolo, e derivndo sotto l integrle (Teorem 3.2, F y x = f(x, α(x y α (x + α(x x (x, t dt f(x, α(x α (x = (x, t dt, α(x x e F = f(x, y. y ltr prte, essendo l form differenzile df = F F (x, y dx + (x, y dy estt, e x y + chius, si h df =, + e quindi F f dy = + + y dy = F + x dx. Esplicitndo + trmite l prmetrizzzione γ = γ 1 γ 2 γ 3 γ 4, con x(t = t x(t = b γ 1 : t [, b], γ 2 : t [α(b, β(b]. si h γ 3 : y(t = α(t x(t = t y(t = β(t + F x dx = = t [b, ], γ 4 : b α(t α(t b β(t α(t Pertnto, per le formule di riduzione, b β(t f dy = + α(t y(t = t x(t = y(t = t (t, s ds dt + x (t, s ds dt. x β(t (t, s ds dt = x L formul (5.2 si dimostr in mnier nlog. b α(t t [β(, α(], (t, s ds dt x dx dy. x icordndo che se è un dominio regolre di 2 (ovvero un perto limitto l cui frontier si un curv loclmente C 1, llor è decomponibile come unione finit di domini normli regolri, bbimo il seguente risultto. Teorem 5.7. (Formule di Guss-Green Si un dominio regolre di 2 e si f di clsse C 1 (. Allor (5.3 dx dy = f dy x +

23 e ( ISULTATI ULTEIOI 23 dx dy = y + f dx icordndo che l misur m( di un insieme è l integrle di 1, dlle (5.3 e (5.4 bbimo il seguente teorem. Teorem 5.8. Si un dominio regolre di 2. Allor m( = x dy = y dx = 1 (x dy y dx imostrzione. È sufficiente pplicre le (5.3 e (5.4 con f(x, y = x e f(x, y = y rispettivmente. Esercizio 5.9. Perché pplicre (d esempio l (5.3 con f(x, y = x + c, c numero rele qulsisi, dà luogo llo stesso risultto? Osservzione 5.1. Se contiene l origine, e l frontier di è espress in coordinte polri come ρ = ρ(θ, con θ vribile in [, 2π], si h x(θ = ρ(θ, cos(θ e y(θ = ρ(θ sen(θ. Pertnto, e e quindi + x dy = ρ(θ cos(θ [ρ (θ sen(θ + ρ(θ cos(θ] y dx = ρ(θ sen(θ [ρ (θ cos(θ ρ(θ sen(θ], m( = (x dy y dx = 1 2 2π ρ 2 (θ dθ. È evidente che, essendo = (ρ, θ : θ 2π, ρ ρ(θ}, l stess formul si ottiene usndo le coordinte polri: m( = 2π ρ(θ ρ dρ dθ = 1 2 2π ρ 2 (θ dθ. Un importnte conseguenz delle formule di Guss-Green è il seguente teorem, che generlizz l cso bidimensionle il teorem fondmentle del clcolo. Teorem (Teorem dell divergenz Si un dominio regolre di 2, e si F = (F 1, F 2 : 2 un ppliczione di clsse C 1 (. Allor ( F1 div(f dx dy = x + F 2 dx dy = (F 1 ν 1 + F 2 ν 2 ds, y +

24 5. ISULTATI ULTEIOI 24 dove (ν 1, ν 2 è l normle estern e l integrle è prmetrizzto secondo l sciss curviline: se γ = + è dt d x = x(t γ : t [, b], y = y(t llor si definisce s = s(t = t [x (t] 2 + [y (t] 2 dt, l lunghezz dell curv d γ( γ(t, e si sceglie s come nuovo prmetro (lo si può fre perché s(t è monoton crescente. imostrzione. Applichimo (5.3 e (5.4 : ( F1 x + F 2 dx dy = y + [F 1 dy F 2 dx]. Supponimo or che l frontier di, orientt nel verso positivo, bbi un prmetrizzzione dell form γ(t = (x(t, y(t. Allor il vettore tngente è γ (t = (x (t, y (t, e quindi il vettore normle esterno è n(t = (y (t, x (t, cosicché il versore normle è dto d ( y (t ν(t = [x (t] 2 + [y (t], x (t. 2 [x (t] 2 + [y (t] 2 Pertnto, lungo l frontier di, mentre Pertnto, + F 1 ν 1 + F 2 ν 2 = F 1(x(t, y(t y (t F 2 (x(t, y(t x (t [x (t] 2 + [y (t] 2, (F 1 ν 1 + F 2 ν 2 ds = ds = [x (t] 2 + [y (t] 2. = b + [F 1 (x(t, y(t y (t F 2 (x(t, y(t x (t] dt [F 1 dy F 2 dx], come volevsi dimostrre. Se l frontier di è l unione di più curve regolri trtti, si spezzno gli integrli sui differenti sottodomini di ottenuti dlle vrie prti di +, e si ottiene lo stesso risultto per dditività.