Fissati due punti A, B su una retta r, lo spostamento di un punto P può avvenire sia da A verso B (fig. 3.a) sia da B verso A (fig. 3.b).

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1 lgeba dei ettoi Stumenti pe la fiica Definizione di ettoe Uno potamento di un punto P nel piano, qualunque ia la dinamica del moimento che lo poduce, è indiiduato dalla poizione iniziale, che indichiamo con, e dalla poizione finale, che poiamo indicae con (fig. ). P P P P igua igua 2 Nel piano euclideo, il pecoo minimo che un punto P può compiee pe andae dal punto al punto è il egmento, lungo la etta pe e (fig. 2). La miua del egmento è il modulo dello potamento. iati due punti, u una etta, lo potamento di un punto P può aenie ia da eo (fig. 3.a) ia da eo (fig. 3.b). igua 3.a igua 3.b Quando i fia un eo di pecoenza u un egmento, i dice che il egmento è tato oientato; gaficamente i appeenta l oientazione con una feccia che ha la punta nel punto di aio. La punta della feccia indica il eo dello potamento. La etta dà la diezione dello potamento. patie da queto eempio intoduciamo una definizione di caattee geneale. Definizione un eo. hiamiamo ettoe una gandezza definita da un modulo, una diezione e Hanno la tea diezione tutti i ettoi che giacciono u ette paallele a. In genee un ettoe è indicato da una lettea minucola con opa una feccia, pe eempio, o dal nome dei punti che ono gli etemi del ettoe omontati da una feccia:. Il punto di oigine è detto coda del ettoe, mente la punta della punta feccia è detta punta del ettoe (fig. 4). Se è aegnato il punto iniziale del egmento, il ettoe i dice applicato, altimenti è detto libeo. coda igua RS Libi S.p.., ETS - ndeini, Manaa, Petipino, Sapoiti - Matematica ontoluce

2 Il modulo del ettoe è indicato dalla lettea enza la feccia. I ettoi di modulo uguale a ono detti unitai o anche eoi della etta a cui appatengono. Si conidea anche il ettoe che ha modulo uguale a zeo, detto ettoe nullo: 0. Tutti i ettoi che hanno lo teo modulo, lo teo eo e la tea diezione poducono lo teo potamento: ei ono detti equipollenti. In figua 5 ono appeentati ettoi che hanno lo teo modulo: E D H G igua 5 e D ono equipollenti (giacciono u ette paallele e hanno lo teo eo); e E non ono equipollenti peché hanno diea diezione; e GH non ono equipollenti peché hanno la tea diezione ma eo oppoto. Se due ettoi hanno tea diezione, teo modulo, ma eo oppoto, i dicono oppoti. Si può coì die che a ogni ettoe è aociato il ettoe oppoto, indicato con. Oeazioni. In iica ci ono gandezze che ono cotituite da diezione, eo e modulo, e ono peciò dette gandezze ettoiali. Ne ono eempi la elocità, l acceleazione, le foze. Tali gandezze ono dunque indicate con ettoi e le ditinguiamo da alte gandezze, definite olo da un numeo, come il olume o la maa. Quete ultime ono dette gandezze calai. 2. In Geometia, i identifica con un ettoe una tafomazione detta talazione, che epime lo potamento di ogni punto nel piano di una ceta quantità in una aegnata diezione (fig. 6). Una talazione ha l effetto di potae le figue nella diezione e nel eo dato, enza modificane né la foma né le dimenioni. T T igua RS Libi S.p.., ETS - ndeini, Manaa, Petipino, Sapoiti - Matematica ontoluce

3 Opeiamo ui ettoi Lo tudio della iica intoduce gandezze definite da ettoi, ui quali i intoducono diee opeazioni. Non è noto compito entae nell oigine di tali opeazioni, le peentiamo da un punto di ita matematico, ataendo dalle epeienze concete. Somma ettoiale Immaginiamo un eicolo che pocede in linea etta pe 0 km, poi i fema, ucceiamente ipate e pecoe, lungo la tea diezione, in linea etta alti 5 km (fig. 7). Non eitiamo a die che il eicolo ha pecoo 25 km, e che pe andae da a i è potato di 25 km. 0 km 5 km igua 7 La omma di due ettoi non tiene peò conto olo delle loo lunghezze, ma anche della loo diezione e del loo eo: ediamo che coa uccede e ee non i mantengono. Se un eicolo i pota u un tatto di tada ettilineo pe 3 km, poi gia a inita e pecoe un alto tatto in linea etta pe 4 km (fig. 8), lo pazio pecoo è di 7 km, ma eo non coincide con lo potamento iultante del eicolo dalla poizione iniziale a quella finale. Lo potamento è dato dal ettoe, che ha pe modulo la miua dell ipotenua del tiangolo, = 5 km, ed è dietto da a. igua 8 La iione geometica ci guida pe appeentae la omma di due ettoi qualiai a e b. Il metodo punta-coda Pe ommae due ettoi a = e b =, tali che la punta di uno coincide con la coda dell alto (fig. 9), i diegna il ettoe che ha la coda nella coda imata libea e la punta nella punta imata libea. La omma dei ettoi appeentati in figua 5 ha la coda coincidente con la coda di a e la punta nella punta di b. = a + b a b igua 9 In geneale, e i ettoi a e b ono dipoti in un modo qualunque nel piano, come in figua 0, i eeguono due paaggi: b i diegna il ettoe b che è equipollente a b e ha la coda coincidente con la punta di a; b i unice la coda di a con la punta di b. a Si ottiene coì il ettoe = a + b igua RS Libi S.p.., ETS - ndeini, Manaa, Petipino, Sapoiti - Matematica ontoluce

4 on il metodo punta-coda i ommano anche più di due ettoi. Pe eempio, in figua ono diegnati te ettoi a, b, c. Pe appeentae la loo omma i diegna la poligonale che i foma ipotando la coda di un ettoe nella punta del ettoe pecedente. Il ettoe omma, i ottiene unendo la coda del pimo ettoe con la punta dell ultimo. Il ettoe omma è anche detto ettoe iultante. c a b a D c b igua Pe la omma ettoiale algono le eguenti popietà:. a + b = b + a popietà commutatia ( ) + = + ( + ) 2. a + popietà aociatia b c a b c 3. a + ( a) = ( a) + a = 0 La egola del paallelogammo Pe ommae due ettoi non paalleli i poono anche diegnae i due ettoi con la coda nello teo punto, e cotuie il paallelogammo che ha i due ettoi come lati conecutii. La loo omma è la diagonale del paallelogammo che pate dalla coda comune ai due ettoi (fig. 2): = a + b = Il ettoe omma è lo teo che aemmo ottenuto con il metodo punta-coda: in tal cao aemmo diegnato un ettoe equipollente a b con la coda in e la punta in. Diffeenza di ettoi La definizione di diffeenza ta ettoi icalca quella di diffeenza ta numei. Poiamo epimela dicendo: la diffeenza a b è quel ettoe d che ommato a b dà a (fig. 3.a) oppue la diffeenza a b è la omma del ettoe a e del ettoe oppoto di b: d = a b = a + ( b) (fig. 3.b). D b a igua 2 b d = a b a b b d = a + ( b) a igua 3.a igua 3.b RS Libi S.p.., ETS - ndeini, Manaa, Petipino, Sapoiti - Matematica ontoluce

5 omponenti di un ettoe. Dalla definizione di omma e dalla popietà aociatia, abbiamo la poibilità di compoe un ettoe in due ettoi di diezione abitaia, i ettoi componenti di. Pe ottenee i due ettoi componenti lungo le ette e, diegniamo le ette e fiiamo la coda del ettoe nel loo punto di inteezione. Dalla punta del ettoe conduciamo le ette paallele alla ette e che le inteecano in due punti. I ettoi componenti ono e, che hanno la coda nella coda del ettoe e la punta nei punti di inteezione delle ette paallele con le ette e (fig. 4). igua 4 In figua 20 i iconoce che è la omma ettoiale dei uoi componenti lungo due diezioni pefiate: = Se, ono due ette oientate, poiamo definie le componenti di un ettoe : e è oientato come alloa la componente è uguale al modulo di, mente e ha eo oppoto a quello di la componente è l oppoto del modulo di ; e è oientato come alloa la componente è uguale al modulo di, mente e ha eo oppoto a quello di la componente è l oppoto del modulo di. Se le diezioni e ono ta loo pependicolai (fig. 5), indicato con α l angolo compeo ta e il ettoe, pe quanto abbiamo ito ulle funzioni cicolai, poiamo eidenziae una elazione inteeante ta il modulo di e le componenti: = co α = en α Nel piano cateiano è di uo fequente la compoizione di un ettoe nei ettoi componenti ta loo otogonali, x e y, paalleli agli ai x e y del itema di ifeimento. α igua 5 ESEMPI. Sono dati i ettoi a e b, pependicolai ta loo, di modulo ipettiamente 3 e 4. alcoliamo il modulo del ettoe omma e del ettoe diffeenza d e diegniamo e d. Dato che a e b ono pependicolai, il paallelogammo che li ammette come lati è un ettangolo: da qui poiamo dedue che e d ono uguali (fig. 6). Il loo aloe può eee calcolato applicando il teoema di Pitagoa: = d = a + b = = 5 igua 6 I ettoi e d hanno lo teo modulo ma non ono equipollenti peché hanno diea diezione. b d a RS Libi S.p.., ETS - ndeini, Manaa, Petipino, Sapoiti - Matematica ontoluce

6 2. è un tiangolo equilateo il cui lato miua 0 cm. Si conideano i lati,, come egmenti oientati. Quanto ale la loo omma? I egmenti oientati fomano una poligonale chiua: la loo omma è nulla. 3. Nel piano cateiano (fig. 7) è dato il ettoe ulla etta e i ogliono deteminae i uoi componenti paalleli agli ai cateiani. Dopo ae tacciato le paallele agli ai cateiani paanti pe la punta di, tacciamo i ettoi componenti x e y, paalleli all ae x e all ae y, che hanno la coda nella coda di e la punta ulle ette paallele. y O x y x igua 7 Moltiplicazione di un ettoe pe un numeo ita la omma algebica di ettoi, ci i può chiedee e nell inieme dei ettoi è poibile anche la moltiplicazione. edemo che non olo è poibile, ma i può moltiplicae in più modi. ominciamo con la moltiplicazione di un ettoe pe un numeo, detto anche, in iica, uno calae. Queta opeazione non modifica la diezione del ettoe, ma olo il uo modulo ed eentualmente, il uo eo. Moltiplicando il ettoe pe un numeo m, i ottiene un nuoo ettoe m. Il ettoe m: ha la tea diezione di ; ha eo coincidente con quello di e m è poitio, eo oppoto e m è negatio; ha modulo uguale a m, cioè il modulo di m è dato dal podotto del modulo di pe il aloe aoluto di m. In figua 8 i mota l effetto della moltiplicazione di un ettoe a pe il numeo 3 e pe il numeo 2. a 3a 2a igua RS Libi S.p.., ETS - ndeini, Manaa, Petipino, Sapoiti - Matematica ontoluce

7 ESERIZI lgeba dei ettoi 2 3 eo o falo? a. La lunghezza di un egmento è una gandezza ettoiale. b. L aea di una upeficie è una gandezza calae. c. La omma di due ettoi è un ettoe. d. La diezione di uno potamento è un ettoe. Su un foglio quadettato egnae un punto e, eguendo il contono dei quadetti, andae in u di 2 quadetti e a inita di 3 e egnae il punto. Dal punto andae in u di 2 quadetti e egnae il punto, poi andae a inita di 3 e in giù di 2 e egnae il punto D. Indicae come ono ta loo i ettoi: a. e b. e D c. ipetto ai ettoi e [oppoti; equipollenti; omma] Un punto i muoe di cinque quadetti in una diezione e di alti te nella tea diezione. È poibile che abbia compiuto uno potamento di due quadetti? [ì, con potamenti di eo oppoto] Dopo ae ipotato i ettoi di ciacuna figua ul quadeno, diegnae il ettoe omma e il ettoe diffeenza dei due ettoi. 4 c Nelle eguenti figue ono appeentati te ettoi: diegnae il ettoe iultante e calcolae il uo modulo RS Libi S.p.., ETS - ndeini, Manaa, Petipino, Sapoiti - Matematica ontoluce

8 8 9 0 In un tatto molto ipido di un pecoo di alita in montagna è tacciato il entieo in figua: diegnae il ettoe iultante. Nel ettangolo D deciee il ettoe omma e il ettoe diffeenza dei due ettoi e D. D Nel ettangolo D i compiono gli potamenti --D: diegnae il ettoe iultante. Due ettoi a e b, con a = 3 cm e b = 5 cm, fomano ta loo un angolo di 30. Diegnae il ettoe omma c = a + b con il metodo punta-coda o con la egola del paallelogammo. Una pulce compie alti uguali di 3 cm: pate dal punto, fa te alti in una diezione, quatto alti nella diezione pependicolae e aia nel punto. Il punto è unico? Deciee il ettoe che unice il punto con il punto. [ e 2 ono immetici ipetto al pimo potamento, con = 2 = 5] Un alta pulce compie alti uguali di 3 cm: pate dal punto, fa te alti in una diezione, ei alti nella diezione che foma 60 con la pima diezione e aia nel punto. Diegnae il ettoe che unice il punto con il punto. Scompoe il ettoe nelle diezioni e indicate in figua. 5 Scompoe il ettoe di ciacuna figua nelle diezioni tatteggiate, ta loo pependicolai. c. Diegnae i ettoi di cui ono dati i ettoi componenti lungo le ette tatteggiate RS Libi S.p.., ETS - ndeini, Manaa, Petipino, Sapoiti - Matematica ontoluce

9 8 Diegnae i ettoi componenti del ettoe lungo le diezioni pependicolai e e ciee l epeione delle loo componenti in funzione dell angolo α che il ettoe foma con la etta. α α 9 [ = coα, = enα] Diegnae i ettoi componenti del ettoe lungo le diezioni pependicolai e e calcolae le componenti. α = 0 α = [a. =, = 0; b. = 0, = ] Diegnae nel piano cateiano i ettoi x e y componenti del ettoe e calcolae le componenti conocendo il modulo di, = 4,6 e l angolo che il ettoe foma con l ae x. y y 60 x 30 x [a. 2,3 e 2,3 `3; b. 2,3 `3 e 2,3] ESERIZIO GUID Deteminiamo le componenti del ettoe nel cao in cui uno o entambi i ettoi componenti ono oientati dieamente dalla etta a cui appatengono. Oeiamo il ettoe in figua, di cui ono tati diegnati i ettoi componenti e : la componente = 2, è negatia peché è oientata nel eo oppoto ipetto alla etta mente è poitia, uguale a 3. Nel piano cateiano deteminae le componenti dei eguenti ettoi a. coda nell oigine e punta nel punto di coodinate ( 3; 0); b. coda nel punto di coodinate ( 3; 2) e punta nel punto di coodinate (2; 2). [a. 3 e 0; b. 5 e 0] a. coda nel punto di coodinate ( 2; ) e punta nel punto di coodinate ( 2; ); b. coda nel punto di coodinate ( ; 3) e punta nel punto di coodinate ( ; 2). [a. 0 e 2; b. 0 e 5] a. coda nel punto di coodinate ( 3; ) e punta nel punto di coodinate (; 4); b. coda nel punto di coodinate (; 4) e punta nel punto di coodinate (3; ). [a. 4 e 3; b. 2 e 3] RS Libi S.p.., ETS - ndeini, Manaa, Petipino, Sapoiti - Matematica ontoluce

10 24 Nel piano cateiano diegnae i ettoi x e y, componenti del ettoe, e calcolae le ue componenti conocendo l ampiezza dell angolo che la etta a cui appatiene foma con l ae x e apendo che il modulo di è = 4: 28 Un aeeo pate da e ola pe 00 km in diezione nod, poi ia di 45 eo oet e poegue pe alti 50 km fino a. Scegliee una unità di miua e appeentae il pecoo dell aeeo. Diegnae quindi lo potamento iultante a. b. y O y O [a. 2; 2 `3; b. 2; 2 `2; 2; 2 `2] Un palo è tacinato dalla coente di un fiume e mente pecoe 2 m nella diezione dell acqua iene tiato da una fune, che lo pota pependicolamente alla ia di 5 m. Qual è il modulo del ettoe iultante? [3] Un ecchio iene calato dall alto di un muo con una caucola pe 4 m mente i pota di 0,9 m pe un fote ento che offia in diezione oizzontale. Deciee lo potamento iultante. [ = 4, m] Una pelle di daino iene tiata in aie diezioni pe eee conciata. Diegnae e deciee il tiante da applicae in in modo che il iultante dei tianti ia nullo. x x Nel deeto una caoana pecoe 5 km in diezione nod-et poi poegue pe alti 4 km eo et. Diegnae il ettoe potamento omma dei due potamenti. In una patita di calcio il calciatoe, da cento campo, tia in diezione della pota ma il pallone iene deiato di 90 a metà pecoo dal calciatoe aeaio e infine a a battee conto il palo della pota, deiato di 45 dal calciatoe. Diegnae gli potamenti del pallone e lo potamento iultante. eo o falo? a. Due potamenti ucceii di un meto equialgono empe a uno potamento di due meti. b. Lo potamento iultante di due potamenti ucceii di un meto può eee al maimo di due meti. c. Lo potamento iultante di due potamenti ucceii può eee nullo. d. Se la diezione è la tea, due potamenti ucceii hanno iultante maggioe di ciacuno dei due. Nel tio alla fune la quada fonteggia la quada : il fazzoletto che egna il cento della coda i pota eo di 0,5 m, poi di 0,75 m eo, poi di 0,45 m eo e infine di 0,30 m eo : chi ha into? Rappeentae gli potamenti e lo potamento iultante. [] 33 In un foglio quadettato diegnae un ettoe a di modulo 3 quadetti. Sullo teo foglio 2 diegnae i ettoi b = 2 a e c = a. 3 [da, in giù di 3 q, a inita di 3 q] 34 In un foglio quadettato diegnae un ettoe a di modulo 2 quadetti. Sullo teo foglio diegnae i ettoi b = 2 a e c = a RS Libi S.p.., ETS - ndeini, Manaa, Petipino, Sapoiti - Matematica ontoluce