A grande richiesta, esercizi di matematica.!

Transcript

1 A grande richiesta, esercizi di matematica.! A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = sinx disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) =sin(x+π/4); g(x) = sin(x-π/3) g(x) =sin(2x); g(x) = sin(x/3) g(x) =1+sinx; g(x)= 3sinx g(x) =1-sinx; g(x) = sinx ; g(x) = sin x g(x) = 1-sinx ; g(x) = sinx + sinx g(x) =1/ (1+sinx) ; g(x) =1/(1-sinx) g(x) =1/ (1-2sinx) ; g(x) =1/(1+ 2sinx)

2 Funzione seno Consideriamo la funzione sin(2x), si osserva che essa, come la funzione sinx, è periodica. Calcoliamo il suo periodo, cerchiamo T tale che : f(x)=f(x+t), dunque sin(2x)=sin(2(x+t)), dunque 2T=2π, da cui T= π, vale a dire che il periodo di sin(2x) è la metà del periodo di sinx. Il grafico di sin(2x) è analogo a quello di sinx, ma con periodo dimezzato.

3 Funzione seno Consideriamo la funzione sin(x/3), si osserva che essa, come la funzione sinx, è periodica. Calcoliamo il suo periodo, cerchiamo T tale che : f(x)=f(x+t), dunque sin(x/3)=sin((x+t)/3), dunque T/3=2π, da cui T=6 π, vale a dire che il periodo di sin(x/3) è il triplo del periodo di sinx. Il grafico di sin(x/3) è analogo a quello di sinx, ma con periodo triplicato.

4 In figura i grafici di sinx e cosx a confronto

5 Si osserva che il grafico di sin(x+π/4) si ottiene dal grafico di sinx mediante una traslazione orizzontale di π/4 verso sinistra, mentre il grafico di sin(x- π/3) mediante una traslazione orizzontale di π/3 verso destra

6 Ancora la funzione seno. Il grafico della funzione 1+sinx, si ottiene traslando in verticale di 1 unità verso l alto il grafico di sinx. Il grafico di 1-sinx si ottiene nel modo seguente: - si ottiene il grafico di -sinx simmetrizzando rispetto all asse delle ascisse il grafico di sinx; -si trasla verticalmente di 1 unità verso l alto il grafico di -sinx La funzione 3sinx ha lo stesso periodo di sinx, ma assume valori compresi tra -3 e 3

7 In figura il grafico di sinx, che si ottiene lasciando inalterato il grafico di sinx negli intervalli dove sinx>0, vale a dire (2kπ, (2k+1)π ) per ogni k intero, simmetrizzando rispetto all asse delle ascisse il grafico di sinx negli intervalli dove sinx<0

8 In figura il grafico di sin x ; si osserva che sin x è una funzione pari, che coincide con sinx quando x>0, quindi basta disegnare il grafico di sinx per x>0 e simmetrizzarlo ri spetto all asse delle ordinate

9 In figura il grafico della funzione sinx + sinx, che corrisponde al grafico della funzione 2sinx negli intervalli dove sinx>0, vale a dire (2kπ, (2k+1)π ) per ogni k intero, vale invece 0 negli intervalli per cui sinx 0

10 In figura il grafico della funzione 1/(1+sinx), si osserva che la funzione non è definita nei punti -π/2 +2kπ, per ogni k intero, dove la funzione sinx=-1; tali punti costituiscono delle singolarità per la funzione; si osserva inoltre che la funzione è sempre positiva, essendo 1+sinx>0 per x -π/2 +2kπ

11 In figura il grafico della funzione 1/(1-sinx), si osserva che la funzione non è definita nei punti π/2 +2kπ, per ogni k intero, dove la funzione sinx=1; tali punti costituiscono delle singolarità per la funzione; si osserva inoltre che la funzione è sempre positiva, essendo 1-sinx>0 per x π/2 +2kπ

12 A grande richiesta, esercizi di matematica.! A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = cosx disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) =cos(x+π/4); g(x) = cos(x-π/3) g(x) =cos(2x); g(x) = cos(x/3) g(x) =1+cosx; g(x)= 3cosx g(x) =1-cosx; g(x) = cosx ; g(x) = cos x g(x) = 1-cosx ; g(x) = cosx + cosx g(x) =1/ (1+cosx) ; g(x) =1/(1-cosx) g(x) =1/ (1-2cosx) ; g(x) =1/(1+ 2cosx)

13 Si osserva che il grafico di cos(x+π/4) si ottiene dal grafico di cosx mediante una traslazione orizzontale di π/4 verso sinistra, mentre il grafico di cos(x- π/3) mediante una traslazione orizzontale di π/3 verso destra

14 In figura il grafico di cosx+ cosx, che corrisponde al grafico di 2cosx negli intervalli (-π/2 +2kπ, π/2+2kπ), per ogni k intero, dove cosx>0, vale 0 dove cosx 0

15 In figura il grafico della funzione1/(1-2cosx); si osserva che la funzione non è definita per x=π/3+2kπ e per x=-π/3 +2kπ, per ogni k intero, dove cosx=1/2; tali punti costituiscono delle singolarità per la funzione. La funzione è positiva per π/3+2kπ <x< 7π/3+2kπ, dove 1-2cosx>0, vale a dire cosx<1/2

16 In figura il grafico di 1/(1+ 2cosx); si osserva che la funzione non è definita per x=3π/4+2kπ e per x=-3π/4 +2kπ, per ogni k intero, dove cosx= 1/ 2; tali punti costituiscono delle singolarità per la funzione. La funzione è positiva per -3π/4+2kπ <x< 3π/4+2kπ, dove 1+ 2cosx>0, vale a dire cosx> -1/ 2

17 In figura il grafico di cosx che si ottiene lasciando inalterato il grafico di cos x negli intervalli dove cosx>0, vale a dire (-π/2 +2kπ, π/2 +2kπ) per ogni k intero, simmetrizzando rispetto all asse delle ascisse il grafico di cosx negli intervalli dove cosx<0

18 In figura il grafico di cos x =cosx, essendo cosx una funzione pari

19 A grande richiesta, esercizi di matematica.! A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = tanx disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) =tan(x+π/4); g(x) = tan(x-π/3) g(x) =tan(2x); g(x) = tan(x/3) g(x) =1+tanx; g(x)= 3tanx g(x) =1-tanx; g(x) = tanx ; g(x) = tan x g(x) = 1-tanx ; g(x) = tanx + tanx g(x) =1/ (1-tanx) ; g(x) =1/(1+tanx) g(x) =1/ ( 3 -tanx) ; g(x) =1/(1+ 3tanx)

20 In figura il grafico di tanx

21 Si osserva che il grafico di tan(x+π/4) si ottiene dal grafico di tanx mediante una traslazione orizzontale di π/4 verso sinistra, mentre il grafico di tan(x- π/3) mediante una traslazione orizzontale di π/3 verso destra

22 In figura il grafico della funzione tanx+ tanx che corrisponde a 2tanx negli intervalli dove tanx>0, vale a dire (kπ, π/2 +kπ), vale 0 fuori di tali intervalli dove tanx 0

23 In figura il grafico di 1/(1+tanx); la funzione non è definita per x=-π/4+kπ, per ogni k intero,(oltre che per x=π/2+kπ, dove non è definita tanx), essendo in essi 1+tanx=0; la funzione risulta positiva per 1+tanx>0, dunque per -π/4+kπ < x < π/2+kπ; inoltre la funzione ha limite 0 per x π/2+kπ, dove la funzione tanx tende a

24 In figura il grafico di 1/( 3-tanx); la funzione non è definita per x=π/3+kπ, (oltre che per x=π/2+kπ, dove non è definita tanx), per ogni k intero, essendo in essi 3-tanx=0; la funzione risulta positiva per 3-tanx >0, dunque per -π/2+kπ < x < π/3+kπ, dove tanx< 3; inoltre la funzione ha limite 0 per x π/2+kπ, dove la funzione tanx tende a