I VETTORI IN FORMA CARTESIANA Il metodo grfico per ssegnre i ettori e fre le operzioni con essi present difficoltà di esecuzione. Se di un ettore è noto il modulo e l su direzione (ngolo rispetto d un rett di riferimento) dopo erne stilito l scl di rppresentzione il trccimento richiede l uso del righello e del goniometro. DATI = 00 m Scl disegno 00 m Rett di riferimento L costruzione su crt delle schem per ottenere l somm o differenz comport poi delle ineitili inesttezze doute l ftto che per pplicre il metodo del poligono si dee riportre esttmente un ettore sull punt di un ltro mntenendo lo stesso modulo e l stess direzione del ettore originle utilizzndo le squdrette. R I ettori inizili Metodo grfico: il ettore è trsportto sull punt del ettore Il lto che chiude il poligono è l risultnte R (in erde) Il disegno sopr, come tutti gli ltri, è relizzto con un progrmm di CAD ed è estremmente preciso cos che utilizzndo le squdrette non è ssolutmente possiile. M esiste un metodo più efficce per operre con i ettori eitndo gli errori grfici ed è il metodo crtesino. Prtimo dl ftto che un qulsisi ettore può essere immginto come l somm di due ettori qulsisi: nell figur seguente il ettore disegnto in erde è l somm si due ltri ettori. Vettori in form crtesin Pg.
c d e f h n m g Quindi ci sono infinite coppie di ettori che sommndosi dnno per risultto. Non solo: può essere immginto come l somm di o più ettori c d f e Esprimere un ettore come somm di o più ettori si chim SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE. Vedimo come ci può essere utile. Sul foglio imo l qudretttur che ci permette di disegnre fcilmente linee orizzontli e erticli rispetto l foglio. Pertnto scomponimo il ettore in un somm di un ettore orizzontle e di un ettore erticle Introducendo un sistem di riferimento crtesino con gli ssi X ed Y imo che V ettore orizzontle diretto come l sse X e detto COMPONENTE ORIZZONTALE di V ettore erticle diretto come l sse Y e detto COMPONENTE VERTICALE di Vettori in form crtesin Pg.
Sommndo i due ettori componenti si h proprio il ettore Quindi un qulsisi ettore può essere descritto medinte le sue componenti V V (doe i lori numerici e sono titolo di esempio) Altro modo più comptto per scriere il ettore è il seguente doe i ettori e stnno significre che è l componente lungo l sse X e è l componente lungo l sse Y. In lternti i ettori e (utilizzti sul ostro testo) engono utilizzte con lo stesso significto le lettere i e j (notzione che io preferisco) perciò il ettore si esprime come: i j Vedimo or come questo modo ci ntggi per le operzioni: prtimo d due ettori e 0 9 9 0 Scriimo in due ettori in form crtesin leggendo le loro componenti dll figur i j i j Adesso fccimo l somm con il metodo grfico del poligono Vettori in form crtesin Pg.
0 9 0 9 0 9 R 9 I ettori inizili 0 9 0 Metodo grfico: il ettore è trsportto sull punt del ettore Ottengo leggendo sul grfico che l risultnte le R i j 9 0 Il lto che chiude il poligono è l risultnte R (in erde) M osserimo che non c er fftto isogno di fre l costruzione grfic del poligono perché possimo rgionre in questo modo: i j i j R i j In questo modo non c è più isogno di fre costruzioni grfiche m si può operre solo lgericmente Posso nche clcolre l differenz tr senz fre tutt l procedur grfic con il ettore opposto Vettori inizili e Si clcol il ettore - Vettori in form crtesin Pg.
Metodo grfico: il ettore è trsportto sull punt del ettore Il lto che chiude il poligono è l risultnte R (in erde) Ottengo leggendo sul grfico che l risultnte le R i j Senz ricorrere ll procedur grfic il clcolo dient molto più fcile e rpido: Inoltre si possono fre intere espressioni Se dee essere clcolt l espressione i j i j R i j col metodo grfico si dee fre innnzitutto il doppio di e fre il triplo di e poi sommre grficmente con R Vettori in form crtesin Pg.
E sul pino crtesino in modo nlogo 0 9 0 9 9 0 9 0 0 0 9 9 9 0 D cui si h leggendo sul grfico il risultto R i j R 9 0 Inece si può fre semplicemente e direttmente in questo modo (i j) i j d cui si ottiene e i j i j R i j (i j) i j O ncor più RAPIDAMENTE: (i j) (i j) i j ( ) i ( ) j Si possono considerre nche le operzioni nche con tre o più ettori. Aggiungendo un terzo ettore c i j eseguimo l operzione c. Vettori in form crtesin Pg.
Si h inftti: c (i j) (i j) (i j) ( ) j 9i j ( ) i Altro esempio: c (i j) (i j) (i j) ( ) j i j ( ) i Ed infine qunto le il modulo del ettore di cui si conoscono le componenti crtesine? Ci iene in iuto l mico Pitgor perché il ettore e le sue componenti costituiscono un tringolo rettngolo in cui il modulo del ettore è l ipotenus pertnto. Per il ettore i j 90 V V si h ESEMPIO SVOLTO Con i ettori lto eseguire le seguenti operzioni: ) ) c c) d) e) c e clcolre i moduli dei ettori risultnti. 0 9 c 9 0 Vettori in form crtesin Pg.
Scriimo i ettori, e c i j Vettore i j i j c c i j Risultti Operzione i j Soluzione ) 9 R i 9 j ) c 0 R i 0 j c) - R i j d) R i j e) c i j R R,0,0,0,9, Adesso ffrontimo due prolemi oero: ) Se di un ettore si conoscono il modulo e l ngolo che f con l sse X qunto lgono le componenti crtesine? ) se si conoscono le componenti crtesine di un ettore qunto le l ngolo che f il ettore con l sse X? Per questi due prolemi si dornno introdurre necessrimente le funzioni goniometriche che frete in modo completo in mtemtic l terzo nno. Si prte d un tringolo rettngolo in cui l ipotenus misur Se si conosce il lore dell ngolo è possiile conoscere il lore del cteto orizzontle e del cteto erticle. Inftti il cteto orizzontle si chim coseno dell ngolo scritto come cosmentre il cteto si chim seno dell'ngoloscritto come senoppure sinperchè in inglese il seno mntiene il nome ltino di sinus Vettori in form crtesin Pg.
Conoscendo il lore dell ngolo tr l ipotenus e il cteto orizzontle e possiile clcolre il lore dei due cteti con l impiego dell clcoltrice scientific (trnne per lcuni csi prticolri detti ngoli noteoli in cui se ne può fre meno). L clcoltrice present i tsti sin e cos per il clcolo del seno e del coseno. Per esempio: = cos =0,90 e sen = 0,. = cos =-0,9 e sen = 0,00 = cos =-0, e sen = -0,00 Il risultto numerico è un numero compreso tr - e + e generlmente present un prte decimle illimitt. USO DELLA CALCOLATRICE Ci sono tre modi di misurre gli ngoli: oi conoscete per or già dlle elementri solo quello con il grdo sessgesimle. Nel triennio del liceo utilizzerete l misur in rdinti mentre non utilizzerete mi (lmeno scuol) il terzo metodo di misur con il grdo centesimle che h un uso specilistico in prticolre nell geomtic (perché l gestione numeric dell ngolo sessgesimle è complict ed è più coneniente ere l ngolo retto diiso in 00 prti). Qulsisi clcoltrice mmette l uso di tutti e tre i modi pertnto prim di procedere l clcolo del seno e del coseno occorre controllre il settggio dell clcoltrice. Sul displ dell clcoltrice dee pprire l letter D o l scritt DEG (inizile di degrees che sree il grdo sessgesimle in inglese). Vettori in form crtesin Pg. 9
Se non compiono l D o l scritt DEG m R/RAD (per il rdinte) o G/GRAD (per il Grdo CENTESIMALE) occorre modificre l unità di misur. Per questo lcuni clcoltrici hnno il tsto DRG che premuto modific l unità ngolre: premuto fino fr comprire D/DEG. In ltre clcoltrici inece occorre premere il tsto MODE e scegliere l opzione che compre sul displ Dopo er erificto il settggio dell unità dell ngolo per clcolre il coseno e il seno st premere il tsto cos ed inserire l ngolo in grdi e premere il tsto = o il tsto ENTER, in modo nlogo per il seno si preme il tsto sin e si inserisce il lore dell ngolo. Per ltri clcoltrici (più scdenti) isogn inserire prim il lore dell ngolo e poi premere il tsto dell funzione goniometric desidert. CONSIGLIO iste tutte queste differenze opertie tr le clcoltrici fte prtic con l ostr clcoltrice su queste operzioni e in occsione di compiti in clsse non i fte prestre d ltri l clcoltrice perché potree funzionre in modo dierso dll ostr e perdereste tempo per comprenderne il funzionmento o peggio sglire i risultti. Vettori in form crtesin Pg. 0
Come clcolre le misure dei cteti se l ipotenus non le? Bst un semplice proporzione (Cteto ) : (Ipotenus c) = (cos ): Applicndo l proprietà dell proporzione (prodotto dei medi = prodotto degli estremi) si tro: Cteto = (Ipotenus c) (cos ) Oppure in form più comptt E per il cteto erticle è possiile trore inece = i cos = i sen Or è possiile scriere le componenti crtesine di un ettore di cui è noto il modulo e l ngolo che form con l direzione orizzontle X. Inftti il ettore non è ltro che l ipotenus di un tringolo rettngolo V V i V Esempio: j V V doe V V risult V V V cos V sin perciò V V cos i V sin V cos cos 9,9 V sin sin,9 Sui lori ottenuti occorrerà fre un pprossimzione dettt dlle necessità del prolem, se il ettore rppresent uno spostmento in metri ci si può fermre ll second decimle che esprime i centimetri V V 9, V 9,i, j, j Vettori in form crtesin Pg.
quindi non il risultto estto con TUTTI i decimli m pprossimto qunto si uole in se lle necessità del prolem d risolere Operzioni tr ettori Esempio l somm tr due ettori V W V e W V 9,i, j e W,0i 0, 9j R V W,i, 9 j L somm le nche qui dunque non imo il risultto estto ll ultim cifr decimle m con un errore che conoscimo (in questo cso di un centesimo) e che possimo stilire in se lle necessità del prolem INVECE con il metodo grfico non simo in grdo nenche di lutre l entità dell errore che commettimo, sppimo che non è corretto m non possimo conoscere l entità mssim dell errore. Considerimo dei csi complicti c c c c Nel ettore l componente orizzontle è negti; Nel ettore si l componente orizzontle che quell erticle sono negtie; Nel ettore c l componente erticle c è negti. Come si deono trttre queste situzioni? NON OCCORRE RAGIONARE SUL TRIANGOLO RETTANGOLO formto dl ettore m BASTA APPLICARE DIRETTAMENTE le formule V V V cos V sin L cos importnte è che l ngolo si misurto prtendo dl semisse positio X e ORIENTATO oero lutto in SENSO ANTIORARIO. Conenzionlmente in Vettori in form crtesin Pg.
mtemtic e fisic quest ngolo è considerto POSITIVO. Inece lutndo in SENSO ORARIO l ngolo è NEGATIVO. Y X Applicndo le formule si h: cos 0 cos c cos (fermndoci ll second decimle) i sin0 j,0i, j i sin j,9i, j 0 i sin0 j c,i, j I risultti numerici ottenuti CONCORDANO con qunto osserto sul segno delle componenti crtesine dei ettori, e c. Come mi questo mircolo? (N.B.: l pien comprensione dell prte seguente non è necessri ll utilizzo delle funzioni goniometriche nel clcolo ettorile.) Per comprendere questo spetto occorre conoscere l er ntur delle funzioni seno e coseno presentte prim semplicemente come cteti del tringolo rettngolo di ipotenus ugule. Si prte d un circonferenz con rggio pri d uno con il centro nell origine degli ssi X e Y (quest circonferenz è dett circonferenz goniometric) Si consider un rggio dell circonferenz chimto rggio ettore che form un ngolo con l conenzione indict prim. Il rggio ettore indic sull circonferenz un punto P che h sciss e ordint. Vettori in form crtesin Pg.
Y P Rggio ettore Rggio= X Per l sciss e l ordint del punto P si hnno le seguenti FONDAMENTALI relzioni cos sin Oero le funzioni coseno e seno esprimono rispettimente l sciss e l ordint di un punto P sull circonferenz l rire dell ngolo Or i due ssi crtesini diidono il pino in quttro regioni che si chimno qudrnti (numerti in senso ntiorrio) doe sciss e ordint ssumono segni diersi e di conseguenz nche il coseno e il seno Qudrnte II <0 cos <0 >0 sin >0 Qudrnte III Y Qudrnte I + + + + + + >0 cos >0 >0 sin >0 + + + + + + <0 cos <0 >0 cos >0 <0 sin <0 <0 sin <0 X Qudrnte IV Per il punto P sull circonferenz second dell rco in cui è diis dgli ssi crtesini si h llor l seguente situzione. Posizione di P Angolo Coseno Seno Qudrnte I 90 Qudrnte II 0 Qudrnte III 0 Qudrnte IV 0 POSITIVO + POSITIVO + 90 NEGATIVO - POSITIVO + 0 NEGATIVO - NEGATIVO - 0 0 POSITIVO + NEGATIVO - Vettori in form crtesin Pg.
Questo spieg perché pplicre l formul V V cos i V sin j port immeditmente ll scrittur corrett del ettore in form crtesin ( ptto di rispettre l conenzione per il clcolo dell ngolo Rimne desso il punto più difficile oero se sono note le componenti crtesine di un ettore qunto le l ngolo che il ettore form con l sse? Questo è l spetto più complicto per l prticolrità delle funzioni goniometriche Doimo introdurre l terz funzione goniometric. Prtendo sempre dlle due relzioni ottenute per il tringolo rettngolo con le due relzioni: c cos c sin oppure in lternti rgionndo sui due tringoli con l proporzione sin : cos : è possiile ricre quest relzione sin cos Il rpporto tr seno e coseno costituisce l terz funzione goniometric tngente dell ngolo scritt come tn olte su lcuni testi si tro nche tgo più rrmente tng In definiti l definizione di tngente è sin tn cos Vettori in form crtesin Pg.
Per esempio: = cos =0,90 sen = 0,. tn =0,000. = cos =-0,9 sen = 0,00 tn =-0,00 = cos =-0,.. sen = -0,00 tn =.99 Anche il segno che ssume l tngente dipende dll ngolo Angolo cos sin tn 0 90 POSITIVO + POSITIVO + POSITIVO + 90 0 NEGATIVO - POSITIVO + NEGATIVO - 0 0 NEGATIVO - NEGATIVO - POSITIVO + 0 0 POSITIVO + NEGATIVO - NEGATIVO - Riprendendo in considerzione il tringolo rettngolo imo l importnte relzione sin tn cos tn Per le ppliczioni che incontrerete nel triennio le l relzione (rict d quell sopr) tn oero un cteto è ugule l prodotto dell ltro cteto per l tngente dell ngolo opposto. Per quello che rigurd il clcolo ettorile il cteto orizzontle è l componente V mentre il cteto erticle è l componente V =V L relzione perciò diiene =V V tn V i j Ad esempio considerndo il ettore si h V tn oero tn 0, V Vettori in form crtesin Pg.
L tn 0, costituisce un prolem dierso dl precedente. Inftti imo clcolto il lore di un funzione goniometric (seno e coseno) di un ngolo, or inece doimo cercre l ngolo NOTO il lore dell funzione goniometric. Ciò costituisce un EQUAZIONE GONIOMETRICA che si studi in terz clsse m possimo già risolerle perché esiste un gruppo di funzioni che ci permette di trore l ngolo qundo è noto il lore dell funzione goniometric. Queste funzioni sono le FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE L funzione che ci permette di risolere il prolem è l rcotngente di reito con rctn (oppure rctg o olte nche tn ) doe è il lore che ssume l funzione goniometric. L formul d utilizzre per ottenere l ngolo è llor V rctn V Quindi per l esempio si dee clcolre rctn rctn(0,) Sull clcoltrici non esiste il tsto rcotngente m in corrispondenz del tsto tn c è l scritt tn - che indic (improprimente) proprio l funzione rcotngente Anche per il seno e il coseno esistono le funzioni inerse rcoseno e rcocoseno (reite rispettimente in rcsen e rccos ) mentre sull clcoltrice sono presenti in corrispondenz dei tsti sin e cos le diciture sin - e cos - ) Come si f utilizzre le funzioni inerse? Bisogn ttirle premendo nell mggior prte clcoltrici il tsto Second Funzione (ndf nell foto sotto), in ltre occorre premere il tsto SHIFT o ltri tsti con indiczioni dierse (cmi d modello modello) Quindi Tsto ndf Tsto Tn lore numerici- Tsto =go Enter (Attenzione nelle clcoltrici scdenti prim inserito il lore numerico) Nell esempio rctn(0,) procedendo come indicto si ottiene sul displ Vettori in form crtesin Pg.
tn (0,) Premendo il tsto inio o enter ppre il lore,99 Questo risultto si legge grdi (sessgesimli) e centesimi di grdo (NON primi!!!) Per ottenere l misur in grdi minuti secondi occorre premere un ltro tsto che in lcune clcoltrici è in ltre DMS All fine si ottiene il lore dell ngolo: = Finito? Assolutmente NO. Anzi se penste che finor er difficile desso rri il peggio! Considerimo il ettore w i j w Applicndo l formul rctn rctn rctn(0,) w di nuoo si ottiene = w C è qulcos che non qudr!!!! Il ettore W form chirmente un ngolo mggiore di 0 con il semisse positio delle m l clcoltrice dice ltro. Cos è successo? Un mlfunzionmento dell clcoltrice? Tutto è douto ll prticolrità delle funzioni inerse rcoseno, rcocoseno e rcotngente. Per dei motii che i srnno chiriti in seguito queste funzioni sono VINCOLATE dre come risultto lori che rientrno in un interllo en preciso detto CODOMINIO Prendimo in esme le situzioni in figur doe iene ripres l circonferenz goniometric di rggio uno doe il coseno e il seno sono rispettimente l sciss e l ordint di un punto P sull circonferenz. Vettori in form crtesin Pg.
Y Y P X P* P X P* Il punto P e il punto P* hnno l stess sciss quindi lo stesso coseno m risolendo rccos (0,) si ottiene solo il primo ngolo = m non il secondo ngolo Quli sono codomini llor per le tre funzioni inerse? Funzione iners Codominio In grdi sessgesimli Il punto P e il punto P* hnno l stess ordint quindi lo stesso seno m risolendo rcsen (0,) si ottiene solo il primo ngolo = m non il secondo ngolo Se >0 Se <0 Arcsen 90 90 0 90 90 0 Arccos 0 0 0 90 90 0 Arctn 90 90 0 90 90 0 Infine troimo l ngolo che il ettore w i j form con l sse. Riconsiderimo nche il ettore i j che form con l sse l ngolo =. Poiché i lori delle loro componenti sono opposte ( e -, e -) i due ettori w e sono OPPOSTI Questo è eidente riportndo sullo stesso grfico i due ettori. 0 w " Pertnto l ngolo che il ettore w form con l sse si ottiene sommndo 0 ll ngolo che il ettore form con l sse = + 0 = Sommre 0 l lore ottenuto con l funzione iners è l regol generle per ngoli del secondo e terzo qudrnte. Vettori in form crtesin Pg. 9
In definiti si possono presentre SOLO i csi mostrti nell seguente tell SCHEMA OPERATIVO CON ESEMPI NUMERICI V V Risultto CASO w i j + + e QUADRANTE 0 90 0 I V rctn V + Azione d compiere NULLA =+ w - + 90 0 - Sommre 0 =+ i j II Sommre 0 w i j - - 0 0 III + =+ w i j + - 0 0 IV - NULLA = - Oppure per non ere l ngolo negtio sommre 0 =+ Vettori in form crtesin Pg. 0
Elementi noti FORMULARIO Elementi d determinre Modulo V ed ngolo del ettore Componenti crtesine V V cos V V sin Vettore in form crtesin V V i V j Modulo V V V ed ngolo rctn V ESEMPI Vettore Modulo Angolo di i 9 9, 0 9 i 0,0 0 0 i,0 i 9-9 oppure 9 ) j ) j c) j d) j Rimne d edere l operzione di prodotto tr ettori che errà utilizzt nel triennio. Vettori in form crtesin Pg.