LE IDEE FONDAMENTALI DEL CALCOLO INFINITESIMALE

Muro Sit LE IDEE FONDAMENTALI DEL CALCOLO INFINITESIMALE Versioe provvisori. Ottobre 2017 Quest itroduzioe l clcolo iiitesimle è stt propost i u clsse quit di liceo scietiico e riciesto tutto il mese di settembre (20 giori, 4 ore ll settim). Gli rgometi proposti miro itrodurre il cocetto di derivt, quello di itegrle e il loro legme el primo mese dell o scolstico zicè el secodo qudrimestre. Lo scopo è duplice: d u prte rede possibile i d subito l utilizzo i isic dell otzioe dierezile e itegrle, dll ltr cosete di ticipre lcui rgometi su cui si bs l secod prov scritt dell esme di stto. Il vtggio, o per meglio dire l sperz, è quell di migliorre l preprzioe degli studeti per l prov stess. Per cosigli, critice o seglzioi di errori scrivere, per vore, : murosit@tiscliet.it

Muro Sit Idice 1 Alcue deiizioi 3 2 Limiti 5 3 Fuzioi cotiue 6 3.1 Fuzioi cotiue su u itervllo......................... 6 4 Alcui iti odmetli 7 5 Derivte 7 5.1 Problem: trovre l velocità qudo si coosc l posizioe.......... 7 5.2 Derivt di x, N............................... 9 5.3 Derivt del logritmo (i bse e)......................... 9 5.4 Derivt di e x................................... 10 5.5 Iterpretzioe geometric di derivt...................... 11 5.6 Fuzioi derivbili su u itervllo........................ 12 6 Itegrli (di Riem) 14 6.1 Problem: trovre lo spzio percorso, qudo si coosc l velocità....... 14 7 Relzioe tr l derivt e l itegrle. Il teorem odmetle del clcolo 16 7.1 Utilizzo dell itegrle per il clcolo di u re................... 16 7.2 Prime proprietà dell itegrle........................... 19 1 1 Nome ile.tex: Itroduzioe l clcolo iiitesimle 2017.tex 2

Muro Sit 1 Alcue deiizioi I quest sezioe si ricimo lcue deiizioi, utilizzte i seguito, reltive uzioi reli deiite su u sottoisieme di umeri reli. Deiizioe 1.1 (Fuzioe.). U uzioe d A i B cosiste di: 1. u isieme A detto domiio dell uzioe; 2. u isieme B detto codomiio dell uzioe; 3. u regol o zioe ce sseg d ogi elemeto del domiio u uico elemeto b del codomiio. L elemeto b si cim immgie di trmite e si idic co il simbolo () (si legge: di ). Si scrive A B (oppure : A B) per deotre u uzioe il cui domiio è A e il cui codomiio è B. Deiizioe 1.2 (Immgie.). Si cim immgie Im dell uzioe A B il sottoisieme del codomiio Im = {y B x A (x) = y} Deiizioe 1.3 (Cotroimmgie o ibr.). Si cosideri l uzioe A B e u elemeto b del codomiio. Si cim cotroimmgie di b medite (e si scrive 1 (b) ) il sottoisieme di A così deiito 1 (b) = { A () = b} L isieme 1 (b) si cim ce ibr di sull elemeto b. Esso può essere ormto d uo o più elemeti oppure coicidere co l isieme vuoto. U uzioe per l qule il domiio si ugule l codomiio, si cim edouzioe. Deiizioe 1.4 (Grico.). Si A B u uzioe. Il grico G di è il sottoisieme del prodotto crtesio A B G = {(, b) A B b = ()} Deiizioe 1.5 (Zeri.). Si cosideri il sottoisieme D di R e l uzioe D (x). Gli zeri di soo gli elemeti x D per i quli risult (x) = 0 Gli zeri di soo le scisse dei puti di itersezioe del grico G di co l sse x. R, y = 3

Muro Sit Deiizioe 1.6 (Fuzioe pri.). L uzioe R proprietà R, y = (x) è pri se vle l x R ( x) = (x) Se è pri il grico G di è simmetrico rispetto ll rett x = 0 (sse y). Deiizioe 1.7 (Fuzioe dispri.). L uzioe R R, y = (x) è dispri se vle l proprietà x R ( x) = (x) Deiizioe 1.8 (Fuzioe crescete, decrescete, mootò.). Si dice ce u uzioe D R è crescete (o crescete i seso lto) su D (sottoisieme quluque di R, o ecessrimete u itervllo), se, per ogi x 1, x 2 D, Se per ogi x 1, x 2 D, si dice ce è strettmete crescete su D. x 1 < x 2 = (x 1 ) (x 2 ) (1.1) x 1 < x 2 = (x 1 ) < (x 2 ) (1.2) I modo logo si deiiscoo le uzioi decresceti e le uzioi strettmete decresceti. Le uzioi cresceti oppure decresceti si dicoo mootòe.le uzioi strettmete cresceti oppure strettmete decresceti si dicoo strettmete mootòe. Deiizioe 1.9 (Mssimo (miimo) locle.). Si D R u uzioe deiit su u sottoisieme D R. 1. U puto x 0 i D è puto di mssimo locle per, e il vlore (x 0 ) si cim u mssimo locle per, se esiste u itoro I di x 0 tle ce per ogi x I D si bbi (x 0 ) (x) (1.3) Se l disugugliz (1.3) vle co il simbolo > di mggiore i seso stretto per ogi x x 0, si dice ce x 0 è puto di mssimo locle stretto. 2. U puto x 0 i D è u puto di miimo locle per, e il vlore (x 0 ) si cim u miimo locle per, se esiste u itoro I di x 0 tle ce per ogi x I D si bbi (x 0 ) (x) (1.4) Se l disugugliz (1.4) vle co il simbolo < di miore i seso stretto per ogi x x 0, si dice ce x 0 è puto di miimo locle stretto. 4

Muro Sit 2 Limiti I quest sezioe si vuole orire u primo pproccio l cocetto di ite per uzioi reli di vribile rele, l deiizioe rigoros verrà presett i u secodo tempo. Izi tutto se I è u itervllo di umeri reli, per esempio (0, 1], (, 0), [1, + ), si cim rotier di I l isieme costituito dgli estremi dell itervllo. L rotier di I degli itervlli electi sopr è, ell ordie: {0, 1}, {, 0}, {1, + } (si oti ce i puti di rotier di I possoo pprteere oppure o ll itervllo). Si cosideri or l uzioe I scrittur R e si x 0 u puto di I oppure dell su rotier. L dove x 0 e L possoo essere ±, dice quto segue: (x) = L (2.1) x x 0 qudo l vribile idipedete x tede x 0, l uzioe (x) tede L. Per cquisire milirità co il cocetto di ite soo utili le segueti due tipologie di esercizi Esercizio 2.1. Dell uzioe R 1) (x) = 2+ x 2) (x) = x +1 3) (x) = 3 x +1 + 4) (x) = x + R si s ce Per ogi ite trccire u possibile grico locle di. Esercizio 2.2. Dedurre, dl grico dell uzioe riportto i igur, i iti ll rotier del domiio. 1 0 Figur 1: Grico dell uzioe. 5

Muro Sit Soluzioe. Il domiio di è l itervllo rele ( 1, + ) e i puti ll rotier del domiio soo 1 e +. Dl grico si deduce ce (x) = +, (x) = x 1 + x + 0+. 3 Fuzioi cotiue Deiizioe 3.1. Si I cotiu i x 0 I se R, u uzioe il cui domiio è l itervllo rele I. si dice (x) = (x 0 ) (3.1) x x 0 Teorem 3.2. Si I 1) è cotiu i x 0. R u uzioe e x 0 u puto di I. I segueti tti soo equivleti: 2) (x) (x) = (x 0 ). x x 0 x x + 0 3) Per ogi successioe x ( N) di elemeti di I, se x = x 0 llor (x ) = (x 0 ) + + (L dimostrzioe verrà propost i seguito). 3.1 Fuzioi cotiue su u itervllo Se l uzioe I R è cotiu i ogi puto x I si dice ce è cotiu sull itervllo I. I termii euristici si può ermre ce l uzioe I R è cotiu su I se e solo se è possibile trccire il grico G di sez mi dover stccre l pe dl oglio. Per esempio, l uzioe (, + ) R, (x) = x 2 è cotiu sull itervllo (, + ); si trtt di u prbol co vertice ell origie e cocvità rivolt verso l lto. Il grico di può essere trccito sez mi stccre l pe dl oglio. L uzioe (, + ) R, (x) = 1 x se x 0 1 se x = 0 o è cotiu sull itervllo (, + ). Itti, per x 0 il grico di è l iperbole equilter vete per sitoti gli ssi crtesii metre i x = 0 l uzioe ssume vlore 1; questo obblig stccre l mtit dl oglio! Si dice ce i x = 0 l uzioe preset u puto di discotiuità slto. D questo esempio si cpisce ce l cotiuità è u proprietà di crttere putule, cioè u uzioe può essere cotiu i i u puto e discotiu i u ltro. Segue ce l cotiuità deve essere veriict i ogi puto del domiio dell uzioe. 6

Muro Sit 4 Alcui iti odmetli () ( 1 + 1 x = e x ± x) (b) x 0 (1 + x) 1 x = e l(1 + x) (c) = 1 x 0 x e x 1 (d) = 1 x 0 x Del ite () o è stto propost l dimostrzioe percè diicile; tutti gli ltri soo stti dimostrti. 5 Derivte I quest sezioe si vuole mostrre ce l derivt i x 0 dell uzioe R R, y=(x) è l rpidit di vrizioe di y rispetto x. Se è l legge orri di u moto e x = t l vribile di tempo llor l derivt di rispetto t è l velocità istte. I ltre prole, l velocità istte è l derivt dello spzio rispetto l tempo. 5.1 Problem: trovre l velocità qudo si coosc l posizioe Nel bieio dei licei scietiici, durte il corso di isic, si itroduce il cocetto di velocità medi e subito dopo quello di velocità istte. Nel cso del moto rettilieo il procedimeto seguito è stto ll icirc questo: u puto mterile si muove lugo u rett co velocità vribile. Idict co s l rett e issto su di ess u sistem di rierimeto 2, si suppog di cooscere l legge (uzioe) s = s(t) ce esprime, per ogi istte di tempo t, l posizioe s(t) del puto mterile sull rett 3. L velocità medi del puto mterile reltiv ll itervllo di tempo t = t 1 t 0 (t 0 idic l istte iizile e t 1 quello ile) è il rpporto tr lo spzio percorso e l itervllo di tempo impiegto per percorrerlo v m = s t = s(t 2) s(t 1 ) t 1 t 0 (5.1) L deiizioe (5.1) o preset diicoltà metre quell di velocità istte scode qulce isidi: si cim velocità istte l tempo t 0 il rpporto tr lo spzio percorso s e l itervllo di tempo t qudo t divet sempre più piccolo. L deiizioe di velocità istte scode u pssggio l ite. Itti, posto t 1 = t 0 + 4, l velocità medi 2 Ossi, issto su s u puto (l origie), u uità di misur e u verso di percorrez. 3 s = s(t) è l legge orri del moto 4 idic l itervllo di tempo trscorso dll istte iizile t 0. L icremeto può essere positivo o egtivo. 7

Muro Sit ssume l orm v m = s(t 0+) s(t 0 ) metre l velocità istte v(t) ll istte t 0 è il vlore del seguete ite (mmesso ce esist iito) v(t) 0 s(t 0 + ) s(t 0 ) (5.2) Questo è quto è stto detto el corso del bieio di scuol superiore. Or, geerlizzdo u poco il rgiometo, si giuge immeditmete ll deiizioe di derivt prim Deiizioe 5.1. Si cosideri l uzioe I R, dove I è u itervllo dell rett rele e t 0 I. Si cim derivt prim di el puto t 0 il ite (se esiste iito) (t 0 + ) (t 0 ) (5.3) Dovrebbe essere ciro ce l velocità istte (cocetto oto d lcui i) di u puto mterile il cui moto è descritto dll legge orri s = s(t) ltro o è ce l derivt di s rispetto l tempo. Per idicre l derivt di u uzioe si uso due diereti otzioi, ossi (t 0 + ) (t 0 ) = (t 0 ) d dt (t 0) (5.4) L otzioe (t 0 ) è dovut Newto 5, metre d dt (t 0) è stt itrodott d Leibiz. Newto e Leibitz soo i due scopritori del clcolo iiitesimle. Esempio. L derivt prim dell uzioe R R, (x) = x 2 el puto x 0 = 2 è (2) 0 (2 + ) (2) 0 (2 + ) 2 4 0 4 + 2 0 (4 + ) = 4 Esempio. L derivt prim dell uzioe R R, (x) = x 3 el puto x 0 = x è 5 I reltà per idicre l derivt Newto utilizzv il puto: cioè. 8

Muro Sit (x) 0 (x + ) (x) 0 (x + ) 3 x 3 0 x 3 + 3x 2 + 3x 2 + 3 x 3 0 (3x 2 + 3x + 2 ) = 3x 2 5.2 Derivt di x, N Teorem 5.2 (Derivt di x ). L derivt di x, N, è Dimostrzioe. Dx = x 1 (5.5) Si x u umero rele issto e u quluque icremeto. Il rpporto icremetle di (x) = x è dto (per lo sviluppo del biomio di Newto) d: 1 [(x + ) x ] = 1 [ ( ) ( ) ( ] x + x 1 + x 2 2 + + ) x 1 2 = 1 [( ) ( ) ( ] x 1 + x 2 2 + + ) 1 2 = 1 ( ) ( ] [x 1 + x 2 + + ) 1 2 [ ( ) ( ] = x 1 + x 2 + + ) 1 2 Qudo tede zero, l espressioe coteut ell ultim pretesi qudr tede x 1. 5.3 Derivt del logritmo (i bse e) Teorem 5.3 (Derivt del logritmo). L derivt di l x (logritmo turle, i bse e) è D l x = 1 x L derivt del logritmo log (x) i bse rbitrri è (5.6) D log x = 1 x log e (5.7) 9

Muro Sit Dimostrzioe. l(x + ) l(x) ( ) l x(1 + /x) l(x) l(x) + l(1 + /x) l(x) l(1 + /x) 0 1 0 x = 1 x 0 = 1 x y 0 l(1 + /x) /x l(1 + /x) /x l(1 + y) y = 1 x y 0 l [ (1 + y) 1/y] (Si è posto /x = y). = 1 x [ l (1 + y) 1/y ] (Per l cotiuità di l). y 0 Dll ultim ugugliz scritt, ricorddo ce y 0 [ (1 + y) 1/y ] = e, segue D l(x) = 1 x L dimostrzioe ce D log (x) = 1 x log e è molto simile ll precedete e per questo è lscit per esercizio. 5.4 Derivt di e x Teorem 5.4 (Derivt dell espoezile). L derivt dell espoezile e x è De x = e x (5.8) L derivt di x è D x = x l (5.9) 10

Muro Sit Dimostrzioe. x 0 = x: Si trtt di determire il ite del rpporto icremetle di e x reltivo e x+ e x e x e e x e x e 1 = e x e 1 = e x 1 (Percé e 1 = e x = 1) Esttmete ello stesso modo si dimostr ce D x = x l : x+ x x x x 1 = x 1 = x 1 l (Percé = l ) 5.5 Iterpretzioe geometric di derivt Dire ce l uzioe I R, y = (x) è derivbile (dierezibile) el puto x 0 equivle d ermre ce il grico di possiede rett tgete el puto (x 0, (x 0 )); tle rett è uic e o può essere verticle. (x 0 + ) (x 0 ) Itti, d = (x 0 ) si può scrivere, per 0, (x 0 + ) (x 0 ) = (x 0 ) + α() dove α() idic u qutità iiitesim (per 0). Quidi l icremeto di è (x 0 + ) (x 0 ) = (x 0 ) + α() dove α() è u uzioe iiitesim di ordie superiore rispetto (el seso ce, divis per, tede zero per ce tede zero). 11

Muro Sit y = (x) (x 0 + ) (x 0 ) A D C B α() t (x 0 ) x 0 x 0 + Figur 2: L derivt è il coeiciete golre dell rett tgete i A l grico di. Si osservi l igur 2: si cosideri l uzioe R R derivbile el puto x 0 R. Il rpporto icremetle (x 0+) (x 0 ) di reltivo x 0 è il coeiciete golre dell rett ce itersec il grico di ei puti A = (x 0, (x 0 )) e D = (x 0 +, (x 0 + )). Per ce tede 0, l secte AD ssume l posizioe dell rett t, ossi dell tgete l grico di i A; quidi l derivt (x 0 ) è il coeiciete golre dell rett tgete t. I ltri termii, l icremeto di è rppresetto i igur dl segmeto BD = BC + CD, dove BC = (x 0 ) è l icremeto dell rett tgete l grico di i (x 0, (x 0 )) metre CD = (x 0 + ) (x 0 ) (x 0 ) = α() è u uzioe iiitesim di ordie superiore rispetto. 5.6 Fuzioi derivbili su u itervllo Si I R u uzioe derivbile sull itervllo rele I. Come si è detto ell sezioe precedete, (x) è il coeiciete golre dell rett tgete l grico di el puto (x, (x)); se per ogi x I, risult (x) > 0 llor l uzioe è (strettmete) crescete su I (se per ogi x I, (x) < 0, è (strettmete) decrescete su I). Quest osservzioe, ce verrà rigorosmete dimostrt i seguito, permette di trovre i mssimi e i miimi locli di. Per esempio, si (, b) R u uzioe derivbile i (, b) e c (, b). Se (x) > 0 i (, c) (x) = 0 x = c (x) < 0 i (c, b) 12

Muro Sit llor è (strettmete) crescete i (, c), (strettmete) decrescete i (c, b) e il grico di rett tgete orizzotle i x = c. Segue ce il puto (c, (c)) è u mssimo locle di. 13

Muro Sit 6 Itegrli (di Riem) 6.1 Problem: trovre lo spzio percorso, qudo si coosc l velocità. Il cso del moto uiorme. Si cosideri u puto ce, ell itervllo di tempo r l istte iizile t = e l istte ile t = b, si muove lugo u rett co velocità costte. Si s(t) l posizioe del puto ll istte t e v(t) = v l su velocità, suppost costte. Qul è lo spzio percorso dl puto? L rispost questo quesito è ovvi m sigiictiv: l distz percors dl puto, dll istte ll istte b, è il prodotto dell velocità v (costte) per l itervllo di tempo b s(b) s() = v (b ) (6.1) Tle grdezz mmette l seguete iterpretzioe geometric: il grico dell velocità i uzioe del tempo, si osservi l igur 3, è u segmeto prllelo ll sse dei tempi metre l distz percors s(t) s(t 0 ) e l re del rettgolo ombreggito. v s(b) s() b t Figur 3: Moto rettilieo uiorme: grico dell velocità i uzioe del tempo. Il cso del moto velocità vribile. U puto si muove lugo u rett co velocità ce vri i modo cotiuo rispetto l tempo. Si s(t) l posizioe del puto ll istte t e v(t) = s (t) l su velocità. Qul è lo spzio percorso dl puto ell itervllo di tempo r l istte iizile t 0 e l istte ile t? L ide è quell di suddividere l itervllo di tempo b i tti itervllii tlmete piccoli d poter supporre ce su oguo di essi l velocità si costte. Lo spostmeto del puto durte uo di questi itervllii di tempo è pprossimtivmete ugule l prodotto v(t) t, dove t è u istte rbitrrio ce pprtiee quell itervllio di tempo e t è l mpiezz dello stesso itervllio di tempo. I ltre prole, se t 0 = < t 1 <... < t = b soo gli istti, su ogi itervllo di tempo [t i 1, t i ] (i = 0, 1, 2,..., ) si sceglie i modo rbitrrio u ltro istte di tempo t [t i 1, t i ] sul qule vle, i modo pprossimtivo, l ugugliz s(b) s() v(t) t i=1 14

Muro Sit Quest ugugliz pprossimt srà tto più precis, quto più piccoli sro gli itervlli di tempo t. Quidi, ce el cso di velocità vribile, l distz percors dl puto è rppresett dll re deitt dl grico dell uzioe velocità e dll sse del tempo. = t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 = b = t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 14 = b Figur 4: L uzioe velocità, su ogi itervllio di tempo, è pprossimt d u vlore costte: più piccoli soo gli itervllii migliore è l pprossimzioe. Per determire i termii estti tle re si è llor codotti predere i cosiderzioe il ite delle somme del tipo i=1 v(t) t qudo t tede zero. Il ite di tle somme (ce verrà deiito i modo rigoroso e si dimostrerà esistere) si deot v(t) dt, cioè si poe, per deiizioe, v(t) t = v(t) dt (6.2) t 0 i=1 D quest deiizioe si ottiee l ugugliz estt v(t) dt = s(b) s() (6.3) l qule orisce lo spzio percorso ell itervllo di tempo r l istte e l istte b. 15

Muro Sit 7 Relzioe tr l derivt e l itegrle. Il teorem odmetle del clcolo L ugugliz (6.3) è molto importte i quto, oltre orire l soluzioe del problem esposto ell precedete sezioe, ess esprime l relzioe esistete tr derivt e itegrle precisdo i ce seso gli opertori di derivzioe e di itegrzioe soo uo l iverso dell ltro. Ricorddo ce l velocità v(τ) è l derivt di s rispetto τ (v(τ) = s (τ)), d (6.3) si ottiee t t 0 s (τ) dτ = s(t) s(t 0 ) (7.1) L ormul (7.1) costituisce il cosiddetto teorem odmetle del clcolo itegrle. Ess dice ce per clcolre l itegrle t t 0 s (τ) dτ bisog trovre u uzioe s l cui derivt si ugule ll uzioe itegrd (si dice ce s è u tiderivt o primitiv dell uzioe itegrd). I tl cso, l itegrle è dto dll vrizioe s(t) s(t 0 ) dell uzioe s sull itervllo di itegrzioe. I termii più geerli, il teorem odmetle del clcolo erm ce per clcolre l itegrle (x) dx bisog trovre u primitiv di (x), ossi u uzioe F (x) per l qule F (x) = (x) e poi clcolre l vrizioe F (b) F () dell uzioe sull itervllo (, b). (x) dx = F (b) F () (7.2) 7.1 Utilizzo dell itegrle per il clcolo di u re. Trovre l re S dell igur compres tr il grico dell prbol (x) = x 2 e l sse delle x, qudo x vri ell itervllo [0, 1]. (x) = x 2 S 0 x i 1 x i 1 Figur 5: Approssimzioe dell re l di sotto del grico medite l somm delle ree di rettgoli. 16

Muro Sit Si suddivid l itervllo [0, 1] i itervllii, cioè si issio i puti x 0 = 0 < x 1 <... < x = 1 Su ogi itervllio [x i 1, x i ] l uzioe (x) = x 2 ssume vlore miimo ell estremo di siistr e il suo vlore è (x i 1 ) metre l mpiezz di ogi itervllio [x i 1, x i ] è x i = x i x i 1 Pertto si può rgioevolmete pprossimre per dietto l re S deitt dll prbol, dll sse x e dll rett x = 1 medite somme di ree di rettgoli (come i igur) di bse x i e ltezz (x i 1 ): S (x i 1 ) x i i=1 Se si vuole otteere u ver ugugliz (e o u ugugliz pprossimt) occorre pssre l ite S λ 0 (x i 1 ) x i = i=1 1 dove λ è l mssim mpiezz degli itervllii [x i 1, x i ]. 0 (x) dx (7.3) Per determire l re S si può re così: si scelg l prtizioe x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2,...... x i = i,...... x = 1 L itervllo [0, 1] risult diviso i itervllii [x i 1, x i ] (co i = 1, 2,..., ) oguo dei quli mpiezz x = x i x i 1 = 1. Ioltre (x i 1) = ( ) i 1 2. Quidi l re S si può pprossimre per dietto così S ( ) i 1 2 1 = 1 3 i=1 (i 1) 2 (7.4) i=1 Ricorddo ce, per ogi itero positivo k vle l ormul l ugugliz (7.4) si scrive 1 2 + 2 2 +... k 2 = 1 k(k + 1)(2k + 1) 6 S 1 3 1 ( 1) (2 1) 6 17

Muro Sit Per otteere u ver ugugliz (e o u ugugliz pprossimt) bisog pssre l ite per x 0 o equivletemete per +. Si ottiee S = + 1 3 1 6 ( 1) (2 1) = 1 3 L esempio ppe presetto mostr ce il problem del clcolo delle ree l stess orm mtemtic del problem del clcolo dello spzio, ot l velocità. Utilizzdo il teorem odmetle del clcolo si trov immeditmete l rispost l problem posto ll iizio di quest sezioe: si trtt di trovre uzioe F (x) tle ce F (x) = (x) e poi cocludere ce S = 1 Bst predere F (x) = 1 3 x3 per otteere S = 1 0 0 (x) dx = F (1) F (0) (x) dx = F (1) F (0) = 1 3 0 = 1 3 I coclusioe, l re S dell igur compres tr il grico dell prbol (x) = x 2 e l sse delle x, qudo x vri ell itervllo [0, 1] vle 1 3 metre l re del segmeto prbolico (cioè dell regioe di pio itt dll prbol e dll rett y = 1) è ugule 2 3 dell re del rettgolo circoscritto l segmeto prbolico. Questo è u cso prticolre di u clssico risultto dimostrto d Arcimede co metodi purmete geometrici. 18

Muro Sit 7.2 Prime proprietà dell itegrle L itegrle (x) dx può esistere oppure o, ciò (ovvimete) dipede dll scelt dell uzioe itegrd; el cso esist 6, si dice ce è (Riem) itegrbile i [, b]. Teorem 7.1. Per l itegrle di Riem vlgoo le proprietà segueti: 1. (Additività dell itegrle rispetto ll uzioe itegrd.) Per ogi, g itegrbili i [, b] ( + g)(x) dx = (x) dx + g(x) dx (7.5) 2. (Omogeeità dell itegrle.) Per ogi itegrbile i [, b] e per ogi umero rele k k (x) dx = k (x) dx (7.6) 3. (Additività dell itegrle rispetto ll itervllo di itegrzioe.) Per ogi itegrbile i [, b] e per ogi c (, b), le restrizioi di gli itervlli [, c] e [c, b] soo itegrbili e (x) dx = c (x) dx + c (x) dx (7.7) 4. (Mootoi dell itegrle.) Se, g soo itegrbili i [, b] e (x) g(x) per ogi x [, b], llor (x) dx g(x) dx (7.8) 5. Se, g soo itegrbili i [, b], llor ce il loro prodotto g è itegrbile i [, b]. Deiizioe 7.2 (Itegrle orietto). Se > b, si poe, per deiizioe, Co quest deiizioe, l ugugliz (x) dx = (x) dx = c b (x) dx + (x) dx (7.9) c (x) dx (7.10) vle per ogi scelt di, b, c (ce se c o è compreso tr e b), ptto ce gli itegrli cosiderti esisto. 6 I seguito si mostrerà ce l clsse delle uzioi itegrbili i [, b] è molto mpi. 19