8 Trigonometria 81 Seno, coseno, tangente Un angolo α può essere definito geometricamente come la parte di piano compresa tra due semirette, dette lati dell angolo, aventi origine nello stesso punto O, detto vertice dell angolo Le misure degli angoli possono essere espresse in gradi (sessagesimali o centesimali) o in radianti Se si considera una circonferenza con centro coincidente con il vertice dell angolo i suoi lati intersecano la circonferenza individuando un arco AB La lunghezza di tale arco dipende dal raggio r della circonferenza, ma il rapporto AB dipende esclusivamente dall ampiezza dell angolo, tale rapporto è un numero puro che rappresenta l ampiezza dell angolo espressa in r radianti Per definizione l angolo di ampiezza 1 radiante è quell angolo i cui lati individuano un arco di lunghezza uguale al raggio della circonferenza L angolo giro, che individua un arco di lunghezza pari all intera circonferenza vale perciò r = radianti, un angolo retto che individua un r r arco pari ad 1 di circonferenza vale = r radianti E importante per molte ragioni che gli angoli siano espressi in radianti Per trasformare i gradi sessagesimali in radianti si utilizza la proporzione α gradi : α radianti = 180 : dove i simboli α gradi ed α radianti indicano rispettivamente la misura dell angolo in gradi ed in radianti Da qui si ottengono le seguenti formule α radianti = α gradi 180 α gradi = α radianti 180 Esempio 18 = 18 180 = 1 10 radianti 1
Esempio Un radiante, espresso in gradi, vale 1 180 = 57, 958 r P O α H Per definire le funzioni goniometriche elementari risulta opportuno far coincidere il vertice O dell angolo con l origine di un sistema di riferimento cartesiano ed il semiasse positivo delle x con una delle due semirette che definiscono l angolo; si può rappresentare l angolo α nel piano cartesiano scegliendo per convenzione come positivi gli angoli ottenuti ruotando il semiasse positivo delle x in verso antiorario e negativi gli altri Sia P =(x P,y P ) un generico punto della semiretta r che individua l angolo α si definiscono il seno, il coseno, la tangente e la cotangente dell angolo α rispettivamente mediante i seguenti rapporti: sin α = y P PO = PH PO cos α = x P PO = HO PO tan α = y P x P cot α = x P y P = PH HO = HO PH Essendo definiti come rapporti di lunghezze, seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo sono perciò numeri puri (in quanto rapporti di grandezze uguali)
Considerando la circonferenza di equazione x + y = 1 (avente centro O e raggio 1, detta circonferenza goniometrica), tale circonferenza interseca l angolo nel punto di coordinate (1,0) (punto di intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle x, cheè lato di ogni angolo) ed in un secondo P punto dipendente da α Avendo scelto il raggio della circonferenza pari a 1, l ascissa e l ordinata del punto P risultano quindi essere rispettivamente il coseno ed il seno dell angolo α r O α P =(cosα, sin α) Valgono inoltre le seguenti tan α = sin α cos α cot α = 1 tan α = cos α sin α Utilizzando considerazioni di carattere geometrico si ottengono i seguenti valori per gli angoli notevoli α gradi α radianti sin α cos α tan α cot α 0 0 0 1 0 non esiste 1 0 6 5 1 1 60 1 90 1 0 non esiste 0 180 0-1 0 non esiste 70-1 0 non esiste 0 60 0 1 0 non esiste NB: i valori ottenuti per l angolo 0 e l angolo di ampiezza coincidono
in quanto tali angoli sono individuati dallo stesso punto P La stessa considerazione può essere ripetuta per tutti gli angoli che differiscono per un numero intero di giri Esempio Determinare i valori di seno e coseno per un angolo di 0 Considerando il triangolo rettangolo OPH di pagina, se un suo angolo vale 0 il restante angolo vale ovviamente 60 Per un tale triangolo, se l rappresenta la lunghezza dell ipotenusa, le lunghezze dei cateti valgono rispettivamente PH = l (infatti tale triangolo èmetà di un triangolo equilatero di lato l ed altezza OH )e dal teorema di Pitagora OH = l = ( ) l l Dalla definizione, si ha quindi che sin 0 = 8 Curve goniometriche I grafici sono i seguenti: l l = 1 e cos 0 = l l = y 1 6 0 6 x 1 Figure 1: seno y 1 6 0 6 x 1 Figure : coseno
y 1 1 0 1 1 x Figure : tangente 8 Principali formule trigonometriche 81 Identità fondamentale della trigonometria Per ogni angolo α, sinα e cosα sono le coordinate (rispettivamente ordinata ed ascissa) del punto P (α) che appartiene alla circonferenza goniometrica di raggio unitario di equazione x + y = 1 e quindi si ha che α: cos α +sin α =1 8 Formule di addizione e sottrazione Permettono di ottenere i valori delle funzioni trigonometriche fondamentali della somma e della sottrazione di angoli a partire da quelli degli angoli stessi: sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ cos(α + β) =cosα cos β sin α sin β sin(α β) =sinα cos β cos α sin β cos(α β) =cos α cos β +sinα sin β Esempio sin (75 )=sin(0 +5 )=sin0 cos 5 +cos 0 sin 5 = 1 + 6 + = Esempio cos (15 )=sin(5 0 )=cos5 cos 0 +sin 5 sin 0 = 1 + 6 + = 5
8 Angoli complementari, supplementari, esplementari sin ( + α) =cosα sin ( α) =cosα cos ( + α) = sin α cos ( α) =sinα sin ( + α) = sin α cos ( + α) = cos α sin ( α) =sinα cos ( α) = cos α sin ( + α) = cos α sin ( α) = cos α cos ( + α) =sinα cos ( α) = sin α sin ( + α) =sinα cos ( + α) =cosα sin ( α) = sin α cos ( α) =cosα 8 Formule di duplicazione Permettono di ottenere i valori delle funzioni trigonometriche fondamentali del doppio di un angolo a partire da quelle dell angolo stesso: sin α =sin α cos α cos α =cos α sin α Esempio Determinare il valore di cos 10 cos 10 =cos 60 sin 60 = 1 = 1 Esempio Determinare il valore di sin 10 sin 10 =sin60 cos 60 1 = = 6
85 Formule di bisezione Permettono di ottenere i valori delle funzioni trigonometriche fondamentali della metà di un angolo a partire da quelle dell angolo stesso: ( α ) 1 cos α sin = ± ( α ) 1+cosα cos = ± Esempio Determinare il valore di cos 75 ( ) 150 cos(75 1 + cos(150 ) 1 )=cos = ± = ± = ± epoiché l angolo richiesto si trova nel primo quadrante si sceglierà ilsegno positivo Esempio Determinare il valore di sin 75 ( ) 150 sin 75 1 cos(150 ) 1+ + =sin = ± = ± = ± e poiché l angolo richiesto si trova nel primo quadrante si sceglierà ilsegno positivo 86 Formule parametriche Sono formule che esprimono razionalmente le funzioni goniometriche di un angolo mediante la tangente dell angolo metà : sin α = tan α 1+tan α cos α = 1 tan α 1+tan α Tali espressioni si dicono parametriche poiché posto tan α sin α = t 1+t = t si ha cos α = 1 t 1+t 7
che forniscono le coordinate di un punto della circonferenza come funzioni razionali del parametro t 8 Risoluzione di triangoli Risolvere un triangolo significa determinarne tutti gli elementi (lati e angoli), ed è possibile quando siano noti tre di questi fra i quali uno almeno sia un lato 81 Triangoli rettangoli Dato il triangolo rettangolo in figura, a β c b α si hanno i seguenti teoremi Teorema In un triangolo rettangolo la misura di un cateto èugualeal prodotto di quella dell ipotenusa per il coseno dell angolo adiacente oppure al prodotto di quella dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto cioè riferendosi alla figura: a = c cos β = c sin α, b = c cos α = c sin β Teorema In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell altro cateto per la tangente dell angolo opposto al primo cateto cioè riferendosi alla figura: a = b tan(α), b = a tan(β) Esempio Di un triangolo rettangolo si conoscono l ipotenusa c = 1 cm ed un angolo acuto β =60 (per le notazioni, vedere la figura a inizio pagina) 8
Risolvere il triangolo Risolvere un triangolo significa determinare le misure di tutti i suoi lati ed angoli Per quanto visto sui triangoli rettangoli, si ha che b = c sin β = 1 sin 60 = 1 = 7 cm, mentre a = c cos β = 1 cos 60 =1 1 = 7 cm Dal momento che la somma degli angoli interni di un qualunque triangolo vale 180,sihacheα = 180 (90 + β) =0 Esempio Risolvere un triangolo rettangolo di cui si conoscono le misure dei cateti a = e b = (per le notazioni, vedere la figura della pagina precedente) Dal terorema precedente sui triangoli rettangoli si ha che tan β = b a = =, e l unico angolo (compreso tra 0 e 180 perché angolo interno ad un triangolo) avente tangente pari a è quello di 60 per cui β =60 Quindi si ha che α = 180 (90 + β) = 0 L ipotenusa può essere ricavata sia mediante il teorema di Pitagora che utilizzando le relazioni tra lati ed angoli di un triangolo rettangolo; ad esempio invertendo la relazione a = c cos β si ottiene che c = a cos β = cos 60 = 1 =6 8 Triangoli qualunque Dato il triangolo b α c γ a β si hanno i seguenti teoremi Teorema dei seni In un triangolo qualsiasi il rapporto tra un lato ed il seno dell angolo opposto ècostante cioè riferendosi alla figura: a sin(α) = b sin(β) = c sin(γ) 9
Esempio Determinare il lato AB del triangolo ABC di cui si conoscono i seguenti elementi: BC = a =, AC = b =6, BAC= α =0 a Per il teorema dei seni si ha sin α = b b sin α quindi sin β = = sin β a 6sin0 = Vi sono due possibili angoli (minori di 180 perché angoli interni di un triangolo) il cui seno vale e precisamente β 1 =60 e β = 10 In corrispondenza di ciascun valore di β si trova un valore di γ ed un valore di c, e precisamente: per β 1 = 60 si ottiene γ 1 = 180 (α + β 1 ) = 90 e quindi c 1 = a sin γ 1 sin α = sin90 sin 0 = per β = 10 si ottiene γ = 180 (α + β ) = 0 e quindi c = a sin γ sin α = sin0 sin 0 = Si hanno perciò due possibili triangoli come soluzione del problema dato, e le due possibilità per il lato cercato sono AB = oppure AB = Osservazione: la situazione dell esempio precedente, in cui si hanno due possibili triangoli come soluzioni entrambe accettabili del problema dato, si può verificare solo nel caso in cui siano noti due lati del triangolo ed un angolo non compreso tra essi Teorema di Carnot In un triangolo qualsiasi il quadrato costruito su un lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati diminuita del doppio prodotto degli stessi per il coseno dell angolo tra essi compreso Ad esempio, per il calcolo del lato a in figura, utilizzando il teorema si ottiene che a = b + c bc cos α e quindi a = b + c bc cos α Analogamente si calcolano le lunghezze deglialtri due lati Esempio Di un triangolo sono noti i lati a =7, b = e l angolo tra essi compreso γ = 7 Risolvere il triangolo Il lato c si ottiene applicando il teorema di Carnot c =9+ 8 cos ( ) 7 = 776 Perciò c = 776 = 56 Applicando nuovamente il teorema 10
di Carnot cos(β) = a +c b ac si ottiene cos(β) = 019 cioè β = 18- rad Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo pari a,per sottrazione si ottiene α = 11 Esercizi 1 Sapendo che sin α = 5 ed <α<, determinare cos α Usando l identità fondamentale cos(α) = ± 1 sin (α) si ottiene cos(α) =± 1 9 5 = ± 5,epoiché l angolo α si trova per ipotesi nel secondo quadrante si ha che il coseno deve essere negativo e quindi cos α = 5 Qual è la misura in radianti dell angolo α = 00? [ 5 ] Calcolare sin 105, cos 105, tg105 esin 1, cos 1, tg 1 Si tenga presenta che 105 =60 +5 e 1 = 6, si possono quindi utilizzare le formule [ di addizione e sottrazione 6+, 6, ; 6, 6+, ] Semplificare l espressione sinα +cos( α) +sin( α) [tgα] cos ( + α)+cos( α) 5 In un triangolo rettangolo le misure dei cateti sono 1 e 8 Risolvere il triangolo e determinare le proiezioni dei cateti sull ipotenusa Mediante il teorema di Pitagora si calcola la lunghezza dell ipotenusa che vale 50 Utilizzando le relazioni tra i cateti e l ipotenusa di un triangolo rettangolo si ottiene che il seno dell angolo opposto al cateto minore vale sin(β) = 1 50 =08 e l angolo vale perciò 16 15 poiché il triangolo è rettangolo l angolo opposto al cateto maggiore misura 90 16 15 =75 5 Per determinare le proiezioni dei cateti sull ipotenusa è sufficiente considerare i due triangoli rettangoli in cui viene diviso il triangolo dato tracciando l altezza relativa all ipotenusa Tali triangoli sono entrambi simili al triangolo dato, hanno perciò angoli congruenti ad α e β Quindi la proiezione del cateto minore (b) sull ipotenusa èdatadab sin(β) =1 08 = 98 e analogamente la proiezione del cateto maggiore vale 60 6 Di un triangolo rettangolo ABC sono noti il cateto AB =6cm e l ipotenusa AC =1 cm Calcolare l area del triangolo e l ampiezza dei suoi angoli 11
[ 60,0 ;18 cm ] 7 Si trovino gli elementi mancanti dei seguenti triangoli qualunque: [ a =60,b=0,β =0 c =0,α=90,γ =60 ] a =50,b=50,γ =0 [c = 59,α=75,β =75 ] 8 Dato il triangolo qualunque di lati a, b, c eangoliα, β, γ, sono noti: a =1 cm, b =18cm, α =60 Calcolare gli altri lati e gli altri angoli [impossibile] 9 Calcolare l area S e il perimetro P di un triangolo isoscele in cui l angolo al vertice misura elabaseab =0 cm Si osserviche l altezzarelativa allabase AB è anche bisettrice dell angolo al vertice e divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli uguali Questo problema è risolubile anche tramite la geometria euclidea, oltre che per via trigonometrica [ P =0 ( + ) cm; S = 100 cm ] 10 Trovare la misura dei lati del triangolo rettangolo ABC avente l area uguale a 1 cm, sapendo che uno degli angoli acuti è doppio dell altro Per prima cosa si calcoli l ampiezza di tutti gli angoli del triangolo, ricordando che un angolo, ad esempio Â, èdi90 e che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 ; a questo punto tramite i teoremi sui triangoli rettangoli che coinvolgono la tangente è possibile calcolare i cateti e l ipotenusa si ottiene infine applicando semplicemente il teorema di Pitagora [ ] AB =1 6cm;AC =1 cm; ipotenusabc = cm 1