A.A. 27/28 I Esercitazione 5 maggio 28 Esercizio. Data la successione di problemi di Cauchy y n = x 2n+ arctan y n (P n ) y n () =, (a) dimostrare che per ogni n N (P n ) ammette un unica soluzione massimale y n ; (b) dimostrare che per ogni n N y n è definita globalmente; (c) dimostrare che per ogni n N y n è crescente in [, ) e decrescente in (, ]; (d) calcolare lim x ± y n (x); (f) calcolare se possibile lim n y n (x) per x [, /2]. Dire poi se tale limite è uniforme. Esercizio 2. Dato il sistema Y = AY + B, Y () = (,, 2) t, si chiede di: (a) scrivere una matrice fondamentale del sistema; (b) calcolare det e A ; (c) trovare la matrice e Ax ; (c) calcolare la soluzione del sistema. dove A = 2 e B =, 3 Esercizio 3. Risolvere y = y() =. arctan ( y x ) + y x, Esercizio 4. Risolvere x 2 y 2xy + 2y = ln x y() = 3/4, y () = /2. Esercizio 5. Considerato il problema di Cauchy u = ue u e u + sin u, (P ) u() = e, u () = π, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) (P ) ha un unica soluzione locale; (b) u è definita in tutto R; (c) u è di classe C in R; (d) u è convessa in un intorno di x =.
2 A.A. 27/28 II Esercitazione giugno 28 Esercizio. Dato il problema di Cauchy y (P ) = y3 x e y2 + ln 2 x y() =, (a) dimostrare che (P ) ammette un unica soluzione massimale y; (b) dimostrare che y è definita globalmente; (c) dimostrare che esiste x (, ) di massimo assoluto per y; (d) calcolare se possibile lim x y(x); (e) tracciare un grafico approssimativo di y. Esercizio 2. Trovare l unica funzione f C 2 (R) con f() = e f () = tale che la f.d.l. ω(x, y) = ( ye xy + f (x)f (y) ) dx + ( xe xy f(x)f(y) ) dy risulti esatta in R 2. Si chiede poi di: (a) calcolare il potenziale F tale che F (, ) = ; (b) calcolare ω, dove γ : [, π] R 2 è definita da γ(t) = (sin t π, cos t e ). γ Esercizio 3. Risolvere y = ex ln y, 2 ex y + y() = e. Esercizio 4. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di una ln(2 + cos(n!)) cos(ln(γ( n))) Γ(e n ) + sin n cos nx. cos n + n 4/7 n 3/2 n 3/2 ln n + sin e n n= n=2 Esercizio 5. Considerati i problemi di Cauchy seguenti, si dimostri o si confuti l affermazione per cui tutti ammettono una ed una sola soluzione locale, che, in caso affermativo, si chiede di scrivere esplicitamente: y = ln y + y e x + tan y, y() = ; y = y x, y() = ; n= y = y x, y() = π; y =, y + y() =.
3 A.A. 27/28 6 giugno 28 Esercizio. Dato il problema di Cauchy y = e x y (P ) 2 + e 2 y() =, (a) dimostrare che (P ) ammette un unica soluzione massimale y; (b) dimostrare che y è definita globalmente; (c) dimostrare che esiste x > di minimo assoluto per y; (d) calcolare se possibile lim x ± y(x); (e) tracciare un grafico approssimativo di y. Esercizio 2. Trovare l unica funzione continua f definita in un intorno di x = 2 tale che f(2) = e tale che per ogni x nel suo dominio risulti t 2 f(t) dt = x f(t) dt. Cosa cambierebbe se fosse sostituito da a, a? Esercizio 3. Risolvere, se possibile, e calcolare quindi div U. rot U = (2e x, ye x + z, ze x + x), Esercizio 4. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di una n sin k (cos n ) ( ln k n n= 3/4 sin 2/3 n Γ cos ) n k=2 n= (ζ(n) )(ln n ) nζ(n) ln 3 cos nx. n n=2 Esercizio 5. Dire se le funzioni f : R n R sotto definite sono convesse, e in caso affermativo scrivere l equazione di un piano di supporto in x = : e x x x ln x x f(x) = x, f(x) = x =, f(x) = x, f(x) = sin x. x =
4 A.A. 27/28 luglio 28 Esercizio. Dato il problema di Cauchy y = ln x + y() =, y y 2 +, si chiede di (a) dimostrare che esiste una ed una sola soluzione massimale globale y; (b) dimostrare che x = è l unico punto di minimo assoluto per y; (c) calcolare, se esiste, lim x y(x); (d) dimostrare che esiste lim x + y(x) = l e che risulta l [/2, ] (sugg.: si trovino un opportuna sottosoluzione e un opportuna soprasoluzione). Esercizio 2. Sia f > tale che ln f L loc (R) e tale che ln f(t) dt = f(x) x R. Dopo averne determinato la massima regolarità, si chiede di calcolarla. Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di una ln n n (ln n) /n cos n /n cos nx. n + e n sin n n cos n nπ/2 n= n= n= Esercizio 4. Data la f.d.l. ( π ω(x, y) = y 2 arctan ) ( dx + x arctan x ) x 2 ln( + x2 ) dy, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) ω è chiusa in D = (x, y) R 2 : x > }; (b) ω è esatta in D; (c) Il potenziale F tale che F (, ) = è dato da ( F (x, y) = y x arctan x ) 2 ln( + x2 ).
5 A.A. 27/28 4 luglio 28 Esercizio. Dato il problema di Cauchy y = ln y + x 2, y() =, si chiede di (a) dimostrare che esiste una ed una sola soluzione massimale locale y; (b) dimostrare che y è crescente nel suo dominio massimale; (c) dimostrare che y è definita in tutto R (sugg.: per x > cercare una soprasoluzione definita globalmente); (d) calcolare lim x ± y(x); (e) dimostrare che y è convessa in R +. Esercizio 2. Sia f tale che e f L loc (R) e tale che e f(t) dt = e f(x) a x R, per un certo a >. Dopo aver determinato la massima regolarità di f, si chiede di calcolare quest ultima. Cosa succederebbe se fosse a =? Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di una 2 n ( ) n cos 4 n Γ cos nx. n Γ(n) n + π n cos 2n n + n2 n=2 n= Esercizio 4. Sia B = x R 3 : x < } e sia u C 2 (B) C ( B) soluzione di u = e in B, u = su B. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) u(x) dx > ; B n= (b) u è convessa; u (c) (x) dσ = 4πe B ν 3 ; (d) u ammette punti interni di minimo relativo.
6 A.A. 27/28 5 settembre 28 Esercizio. Dato il problema di Cauchy ( y = e x + sin 2 y() =, y y 2 + si chiede di (a) dimostrare che esiste una ed una sola soluzione massimale globale y; (b) dimostrare che y è crescente; (c) calcolare lim x ± y(x); (d) dimostrare che per ogni x > risulta ), e x y(x) e x + 2 x; (e) tracciare un grafico approssimativo di y. Esercizio 2. Dire se esiste una funzione y di classe C che sia positiva in un intorno di x = e che risolva l equazione y(t) y (t) dt = y 2 (x) + y(t) dt. Dopo aver determinato la massima regolarità di y, si chiede di calcolarla. Cosa succederebbe se nel termine destro dell equazione scomparisse il? Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di una sin n n! + e /n cos n n3/2 Γ ( e ) /n n sin n cos ( ) cos nx. n /4 n=2 n= Esercizio 4. Considerati i problemi di Cauchy seguenti, si dimostri o si confuti l affermazione per cui tutti ammettono una ed una sola soluzione locale, che, in caso affermativo, si chiede di scrivere esplicitamente: y = x y() = ; ( e y + ln y e ), y = y /3 x, y() = ; n= y = y /3 x, y() = e; y = ln 2 (y /4 + ), y() =.
7 A.A. 25/26 22 settembre 28 Esercizio. Dato il problema di Cauchy y = x + sin y, y() =, si chiede di: a) riconoscere che ammette un unica soluzione globale y; b) studiare la monotonia di y; c) calcolare, se sistono, lim x ± y(x); d) dimostrare che y non è convessa in R cercando punti opportuni in cui y < e dedurre che lim inf x ± y (x) = ; e) tracciare un grafico approssimativo di y. Esercizio 2. Trovare l unica funzione f : R R di classe C tale che f() = e per cui la f.d.l. ω(x, y) = (y cos x + f(y)) dx + (f(x) + xf (y)) dy risulti esatta in R 2. Discutere poi l affermazione seguente: ω > ω, dove γ γ 2 γ (t) = (t e sin t, t π + cos t), γ 2 (t) = (t π sin t, t e + cos t), t [, ]. Esercizio 3. Dire quale tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di una n= [ n]! + arctan n Γ( n) + n ln n + cos n n ln 9 sin n n= n= /n 2 tan /n 2 + cos n cos nx. Esercizio 4. Data la funzione f : R n R, n, definita da x ln x x f(x) = x =, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) f è convessa in R n ; (b) f ha punti di minimo locale; (c) f ha punti di massimo locale; (d) il grafico di f ammette piano tangente in (, ).
8 A.A. 27/28 9 gennaio 29 Esercizio. Dato il problema di Cauchy y = ln y + x, y() =, si chiede di: a) riconoscere che ammette un unica soluzione locale y; b) studiare la monotonia di y; c) dimostrare che y non è definita globalmente; d) calcolare i limiti di y agli estremi del suo dominio massimale di definizione; e) tracciare un grafico approssimativo di y. Esercizio 2. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = x + y z, dire se x F ν dσ = per i =, 2, B(x i,) dove x = (,, ) e x 2 = (4, 5, 6), e ν rappresenta la normale esterna a ciascuna palla. Esercizio 3. Dire quale tra le seguenti serie trigonometriche è la serie di Fourier di una π n + sin n 4 n e π Γ ( ) sin n n e n ln n tan sin nx. n n= n= n= Esercizio 4. Data una funzione continua y definita in un intorno di, definita dall equazione ln y(x) = e y(t) dt, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: (a) y() = ; (b) y è crescente in tutto il suo dominio; (c) y è convessa in tutto il suo dominio; (d) y(x) > e x per x > nel suo dominio di definizione; (e) y è definita anche in x =.