Capitolo 9 Segnali aleatori a tempo continuo e a tempo discreto SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI Soluzione dell esercizio 9.3 Si osservi innanzitutto che, essendo il processo () t Gaussiano, anche il processo Y() t è Gaussiano poiché generato dal primo con una trasformazione lineare invariante. Si noti, inoltre, che, scelta una realizzazione x( t) x cos( π f t) x sin( π f t) del processo () t, la corrispondente realizzazione y() t del processo Y() t è data da yt () nel primo caso e yt () x() t nel secondo caso (in quanto il secondo filtro introduce una attenuazione pari ad / per f f ). Allora nel primo caso si ha che Y() t e quindi f ( yt ; ) δ ( y Y ) Nel secondo caso, invece, si ha che () Y() t t Quindi, la funzione valor medio di Y( t ) è E{ Y () t } mentre la sua potenza media statistica è data da Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 9 McGraw-Hill
Dunque, risulta t ( σ π f ) t + σ π f t 4 { Y } E ( ) cos ( ) sin ( ) fy ( y; t) e π y / Soluzione dell esercizio 9.5 Essendo e Y () t x( α) h ( t α) dα Y ( t τ ) x( β) h ( t τ β) dβ { la funzione di correlazione mutua può essere espressa come R (, t τ) E Y () t Y ( t τ) YY } { x( α) h( t α dα x β h t τ β dβ } E ) ( ) ( ) { } E x( α) x( β) h ( t α) h ( t τ β) dαdβ β α ( ) R α β h ( t α) h ( t τ β) dαdβ β α Se nell integrale del membro destro dell ultima relazione si opera un cambiamento di variabile sostituendo α con γ α β si ottiene che (, ) R ) YY t τ h ( ) ( t τ β) R γ h(( t β) γ dγ dβ β γ ( ( ) ( )) R t β h t β h ( t τ β) dβ Se in questo risultato si effettua un nuovo cambiamento di variabile sostituendo β con λ t β si ricava immediatamente che ( ( ) ( )) YY τ R (, t ) R λ h λ h ( λ τ) dλ R ( τ) h( τ) h ( τ) Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 9 McGraw-Hill
Teoria dei segnali Ciò prova che e, quindi, che R (, t τ ) R ( τ) R ( τ) h( τ) h ( τ) YY YY S ( f) S ( f) H ( f) H ( f) YY I processi Y () t ed Y () t sono pertanto congiuntamente stazionari. Essendo, inoltre, nel sistema in esame H( f), H( f), S ( f) ξ αα+ jπf ββ+ jπf si può scrivere che ξ SYY ( f ) αβ α + jπ f β jπ f ( + ) ( )( ) Scomponendo in fratti semplici l espressione di S ( ) YY f ed antitrasformando si ricava facilmente la funzione di correlazione mutua ξ R YY ( τ ) exp( ατ ) u( τ ) exp( βτ )( u( τ )) αβ α β + 3 Soluzione dell esercizio 9.7 Si indichi con Z( t) il processo di uscita del filtro avente risposta in frequenza H( f). Essendo tale filtro un passa-basso con guadagno unitario nella sua banda passante, possiamo scrivere che Z() t V + N () t dove N () t è il processo SSL generato in risposta ad Nt ( ), ed avente quindi densità spettrale di potenza S ( ) rect( ) N f ξ ft cui corrisponde la funzione di autocorrelazione τ R N ( τ) σ sinc T con σ ξ /T. Dallo schema a blocchi illustrato nella Figura si evince inoltre che Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 9 McGraw-Hill
G. Bacci e F. Zuccardi Teoria Risulta, quindi, essendo Merli dei segnali Yt () azt () + bzt ( T) + czt ( T) } E { Y ( t) } + V VE{ } {[ ] {[ ] } ε E Y( t) V Y( t) { } E az( t) + bz( t T ) + cz( t T ) + V V a + b + c { } η () t Z E Z () t V Si osservi, inoltre, che τ RZ ( τ) V + σ sinc T e che, pertanto, RZ () V + σ R ( ) per o Z kt V gni k intero Avvalendosi di questa coppia di risultati è possibile semplificare facilmente l espressione di ε, ottenendo, con qualche passaggio, ε ( a + b + c )( V + σ ) + ( ab + ac + bc) V + V V ( a + b + c) Per determinare i valori ottimi dei coefficienti { abc,, } basta calcolare le derivate parziali di ε rispetto ad essi ed uguagliarle a zero. Ciò porta al sistema di sistema di equazioni lineari av ( + σ ) + ( b+ cv ) V bv ( + σ ) + ( a+ cv ) V ( cv + σ ) + ( a+ bv ) V Per semplificare la soluzione di questo sistema, basta osservare che, se si permutano le sue incognite, la sua struttura rimane invariata. Ciò implica che a b c Sfruttando questo risultato, possiamo ricavare il valore di a (e, quindi di b e di c ) da una qualsiasi delle tre equazioni del sistema. Infatti, qualunque sia l equazione scelta, essa può essere posta nella forma av ( + σ ) + av V dalla quale si evince immediatamente che Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 9 McGraw-Hill
V a σ + 3V σ 3+ V Dunque, i valori ottimi delle prese sono espressi dalla relazione V a b c 3V + σ 4 Soluzione dell esercizio 9.9 La trasformata continua di Fourier del segnale st ( ) è data da f f f S( f) rect rect f f f f L andamento di S( f) è illustrato nella figura seguente. S( f) / f f f f Nel calcolo dell energia E occorre distinguere due casi: ) B f ; ) B f. Nel primo caso risulta 3 B B f B E S( f) df df 4 f f 3 f Il risultato relativo al secondo caso si ottiene da quello del primo ponendo B f ottiene così ; si Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 9 McGraw-Hill
Teoria dei segnali E 3 f { } E { ( )} La potenzia media statistica E N ( t ) del processo di rumore Nt () N t N B Segue che: B per B f 4 3 Nf SNR per B> f 3 fnb è data L andamento qualitativo della quantità figura seguente. SNR al variare del parametro B è illustrato nella SNR 3 N f f B Questa figura mostra che il valore massimo di SNR si consegue scegliendo B f. 5 Soluzione dell esercizio 9. Il processo aleatorio Nt ( ), Gaussiano e a valor medio nullo, viene sottoposto ad una trasformazione lineare e stazionaria che genera ( t). Pertanto, possiamo affermare che Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 9 McGraw-Hill
. anche () t è un processo Gaussiano e anche la funzione valor medio η ( t ) è identicamente nulla;. le variabili aleatorie { k }, essendo estratte dal medesimo processo Gaussiano () t, costituiscono un insieme di variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane e sono tutte a valor medio nullo. Per determinare la correlazione relativa a ciascuna coppia di variabili dell insieme { } k basta determinare la funzione di autocorrelazione R ( τ ) del processo () t. Dallo schema a blocchi del sistema che genera ( t) si evince immediatamente che la densità spettrale di potenza del processo aleatorio ( t ) è data da: S f S f H f e jπ ft ( ) N( ) ( ) jπ ft jπ ft N ( ) ( ) S f e e H f N f jπ ft jπ ft e e H( ) Antitrasformando quest ultimo risultato si ricava la funzione di autocorrelazione dove Quindi, si ha che R N R h h T h T [ ] ( τ) ( τ) ( τ ) ( τ + ) τ h( τ) Bsinc( Bτ) sinc T T N τ ( τ T) ( τ + T) ( τ ) sinc sinc sinc T T T T La correlazione fra le variabili aleatorie k ed l è espressa allora dalla relazione, per k l r E{ } ( ( ) ) k l kl R k l T N σ, per k l T Ciò prova che le variabili aleatorie dell insieme { } k sono tutte incorrelate a due a due, e, quindi, mutuamente indipendenti. Dunque, risulta Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 9 McGraw-Hill
f N ( x, x,..., xn) exp / i ( ) N N x π σ σ i 6 Soluzione dell esercizio 9.3 Da un esame dello schema a blocchi riportato nella figura si evince la funzione di trasferimento + sβ H() s + s α del sistema lineare invariante in esame. Pertanto, la relativa risposta in frequenza è data da + jπ f β H( f) + jπ f α Il processo aleatorio ( t) in ingresso al sistema è Gaussiano e stazionario; ne deriva che anche il processo di uscita Y( t ) è Gaussiano e stazionario. Pertanto, si ha che ( y η ) Y σ y fy ( y; t) e πσy Per completare la soluzione è necessario determinare i valori da attribuire ai parametri σ y e η Y. A tal fine osserviamo che la densità spettrale di potenza del processo aleatorio Y() t è data da N SY( f) S( f) H( f) + ( π f α) Quindi, antitrasformando SY ( f), si ottiene la corrispondente funzione di autocorrelazione N τ / α RY ( τ ) e α Essendo lim ( τ ) risulta Notiamo, infine, che R Y τ η Y N σ y RY() α Marco Luise Giorgio M. Vitetta,, 3 ed, 9 McGraw-Hill