Capolo Popolazon malhusane III (modello d Lesle Lews) Queso capolo è dedcao a un modello d popolazone a empo dscreo e con una scala dscrea delle eà S assumerà come ampezza dell unà d msura delle d eà quella dell nervallo d empo che separa due san successv ne qual vene camponaa la popolazone (un anno, una semana, ) Nel seguo supporremo, per semplcà d lnguaggo, che ale nervallo abba la duraa d un anno La probablà d more e l numero d fgle generae pro cape non dpendono dal parcolare sane n cu la popolazone vene descra, né dal numero d ndvdu presen nelle dverse class d eà, ma possono dfferre da un eà all alra Infne, s suppongono assen fenomen d mgrazone Class d eà e modello d LesleLews In cascun sane =,,, nel quale la valuamo, parzonamo la popolazone n class d eà: x () èlnumerodndvdu che all sane hanno un eà compresa nell nervallo [, ), coèchehannocompuounannodeà; x () èlnumerodndvducheall sane hanno un eà compresa n [, ); x n () èlnumerodndvducheall sane hanno compuo l nesmo anno d eà S pozza che gl ndvdu dell ulma classe non raggungano l (n +)esmo anno d eà La popolazone all sane èallorarappresenaadalveore d popolazone (prvo degl ndvdu d eà mnore d ): x () x () x() = Rn + Z x n () x () sarà chamaa ndfferenemene numerosà della classe esma, oppure classe esma, oppure coore esma n alernava, s può pozzare che possano raggungerla e superarla, non sano pù fecond e qund non conrbuscano alla nasca delle successve generazon In enrambe le poes x n() fornsce la numerosà della classe d eà [n, n +), ma nel secondo caso possono essere e s rascurano ndvdu che hanno ragguno o superao l (n +)esmo anno d eà 9
el obevochecproponamoèquelloddescrvernel evoluzonealcrescered Indchamo con µ,,,nla probablà che un ndvduo della classe esma al empo muoa n [, + ) equndnonapparengaallaclasse( + )esma al empo +Perle poes fae rsula µ n =esha x + ( + ) = x () µ x () =( µ )x () = x () =,,,n () dove s è ndcao con = µ l coeffcene d sopravvvenza della classe esma, ossa la quoa d ndvdu d eà che sopravvve per un anno, raggungendo l eà + Indchamo po con,,,,n,nl numero d fgle nae nell nervallo unaro ad una femmna d eà Supponamochelarproduzoneavvenganunbrevssmonervallo mmedaamene prma del censmeno auao al empo, percuall sane nuovna sono b() = x ()+ + n x n () () ealempo +,ndcandocon = µ l coeffcene d sopravvvenza de nuov na per un nervallo d ampezza unara, X n x ( + ) = x () = b() () Osservazone Con queso approcco (rproduzone mmedaamene prma del censmeno) rproduzone rproduzone?? + l veore d popolazone x() non nclude l nformazone crca b() nuov na effevamene presen, menre rpora correamene valor delle class cosue da ndvdu che al empo hanno compuo un anno, due ann, In alernava, s può supporre che la rproduzone avvenga mmedaamene dopo l sane n cu s censsce la popolazone rproduzone rproduzone? +? In queso modo all sane nuov na b() non sono ancora presen, ma alle class,, vengono arbu ndvdu che sanno per compere anno, ann,, ma non l hanno ancora compu In enramb cas x () rappresena la numerosà degl ndvdu la cu eà è molo prossma a, cens n un sane molo vcno (dopo o prma) all sane n cu la popolazone s rproduce L equazone () ene comunque cono de conrbu alle nasce dovu a ue le class d eà, poché s presume che, appena na, gl ndvdu b() d eà non sano ancora n grado d rprodurs Runendo n un unca equazone veorale le equazon scalar precedenemene nrodoe, oenamo l modello x ( + ) n n x () x ( + ) x( + ) = = x () = F x() () x n ( + ) x n () n nel quale la marce F R n n + è chamaa marce d Lesle o marce d proezone
Paramer del modello Inroducamo alcun paramer derva da ass d moralà e d naalà delle class, che rappresenano l equvalene dscreo delle grandezze consderae nel paragrafo a) Probablà d sopravvvenza: p Èlaprobablàdvverealmenofnoaransarenellaesma classe d eà Abbamo: p = p = ( µ )=p = p = ( µ ) = p = p n = ( µ n )p n = p n n = p n+ = ny = Ovvamene può essere espresso come p+ p All equazone dp dx = µ(x)p(x) del caso connuo corrsponde l equazone alle dfferenze Y Y Y p + p = p p = p ( ) = µ p = ( k ) k= k k= k = k= b) Dsrbuzone d eà alla more: La probablà (alla nasca) d morre all eà, ossa nell nervallo [, +)è daa da = p µ = p ( ) =p p = p p + S no che concde con µ è una densà dscrea d probablà Infa da = p p + segue = =(p p )+(p p )+(p p )+ +(p n p n+ )=p = c) Aesa d va alla nasca: ẽ() E l valor medo dell eà d more, valuao al momeno della nasca: ẽ() = = p p +p p +p p + +(n )p n (n )p n + np n = p + p + p + + p n (s rcord che p n+ =) Le formule corrspondono, nel caso connuo, agl negral ẽ() = R x (x) dx=r p(x) dx d) Aesa d va all eà : ẽ() La probablà d sopravvvere fno all eà + k quando s è compuo l esmo anno è p +k p, menre la +k probablà d morre all eà + k quando s è vssu fno all eà è p Allora l valor medo della va resdua aesa quando s è ragguna l eà è ẽ() = k +k p = p [(p p + )+(p + p + )+ +(n )(p n p n+ )] = p (p + p + + + p n) Tale paramero corrsponde, nel caso connuo, a ẽ(x) = R p(x) x p( ) d
e) Funzone nea d maernà: Il valore della funzone nea d maernà è l numero d fgle che, alla nasca, una femmna s aspea d generare all eà Èespressada = p Rscrvendo nella forma ( ),essospuòanchenerprearecomelnumero d fgle che una madre d eà s aspea d generare all eà echeraggungerannol eà f) Tasso neo d rproduzone: R p + + p n n = p = R = = = È la somma del numero d femmne p,,,n che una femmna genera nelle successve class d eà g) Eà meda (della madre) alla nasca delle fgle: T c La probablà d aver compuo l eà (ma non l eà +) alla nasca d una fgla è P n = qund l valore medo dell eà d una madre alla nasca d una fgla è P j, = j Come nel caso connuo, T c vene assuno come una sma della lunghezza meda d una generazone R Anals del modello d Lesle Polnomo caraersco Se s assume una nuova base nello spazo d sao prendendo p T = = p p p n p n come marce d cambameno d base, T nduce una smlarà su F,cheassumelaforma p p p p n n n ˆF = T FT = = () Osservazone Il veore d popolazone nella nuova base dvena p x () ˆx() =T p x() =p x () pn x n() Per comprendere qual è l sgnfcao delle componen del veore ˆx, s no che dalla relazone ˆx () =p p x () = x ()
segue x () = x ( ) x () = x ( ) x ( +) = x ( +) Percò ˆx () fornsce la numerosà della prma classe d eà al empo +, ossa la numerosà nzale della coore alla quale, al empo, apparengono gl ndvdu d eà Rsula qund ˆx() = x () x ( ) x ( ) x ( n +) e l equazone d aggornameno nella nuova base ˆx( +)= ˆF ˆx() rova mmedaa gusfcazone quando s enga cono d () Infa la relazone che ne rsula ˆx( +)= x ( +) x () x ( ) x ( n +) x ( n +) p p p n p n np n = x () x ( ) x ( ) x ( n +) x ( n +) () è ovva per quano rguarda le ulme n componen d ˆx( +), menre per la prma componene x ( +)= p x ()+ p x ( ) + + np nx ( n +), basa noare che p x ( +)è l numero degl ndvdu na al empo e sopravvssu fno al empo, che al empo cosuscono la esma classe d eà Poché ˆF èunamarcecompagna,lsuopolnomocaraersco(checoncdeconquello d F )èdmmedaadeermnazone: ˆF (z) = F (z) = z n p z n p z n n p n = z n z n z n n () Dnamca asnoca Nella dscussone che segue, supporremo che nella marce d Lesle essano almeno due ass d naalà non null e consecuv, =e + =,sverfcafaclmenechef èprmva Come conseguenza d ale poes, valgono alcune mporan propreà: l essenzadunauovalore(deo domnane )posvo,semplceedmodulomassmo, la posvà d ue le componen del corrspondene auoveore domnane, l allneameno asnoco del veore d popolazone x() con l auoveore domnane, qualunque sa l veore nzale d popolazone x() Le sesse conseguenze s possono rarre se F èunamarceprmva,ovverose,perqualche h>, uglelemendellamarcef h sono posv Ne paragrafo vedremo anche qual sano le caraersche dnamche asnoche della popolazone quando la marce d Lesle sa rrducble s no che una condzone necessara perché la marce d Lesle sa prmva è che n non sa nullo (e percò la F che samo qu consderando può non essere prmva) e d alra pare F può essere prmva anche se non vale la condzone + >o
a) Verfchamo anzuo che F ha un auovalore domnane posvo, semplcee maggore n modulo d ogn alro auovalore Per z =,rsolverel equazone F (z) =equvale a rsolvere l equazone = z + z + + n =: f(z) (8) zn Quando z è reale e posvo, la funzone f(z) assume valor posv, è sreamene decrescene (la dervaa è negava ovunque) e ende a + quando z! +,menreendea + quando z! + Qund l equazone =f(z) ha un unca soluzone reale e posva z =,e èunozero del polnomo caraersco F (z), ossaunauovaloredf f(z) C B B A @ HHHPPPX X` `h h fgura z Eserczo Mosrare che è uno zero semplce d F (z) ] Suggermeno Se lo zero fosse almeno doppo, s avrebbe F (z) =z n ( f(z)) = (z ) p n (z) con p n (z) polnomo d grado n Ladervaan d F (z) sarebbe nulla, qund s annullerebbe n la dervaa d f(z), ndsaccordocolfaochegladdendnonnulldf(z) hanno n dervaa negava Per verfcare che ogn alro auovalore d F ha modulo mnore d, sponga = re j L eguaglanza F ( )=s può rscrvere come =f(re j )= r e j + r e j + + n r n e nj eperch esasoddsfaasdeveavere che mplca = r cos + r cos + + n r n cos n, (9) apple r + r + + n r n = f(r) () Ma f èsreamenedecrescene,qunddeveesserer apple,ovvero apple Se fosse r = la () varrebbe come eguaglanza e, soraendo (9) da (), s oerrebbe = r ( cos )+ r ( cos )+ + n r n ( cos n ) () n cu gl addend sono non negav e qund devono essere u null Poché due valor consecuv d sono posv, per qualche deve essere cos = cos( + ) = cos = cos( + ) = =k ( + ) =h = (h k) = re j = e j(h k) =
In conclusone, ogn auovalore d F dverso da ha modulo mnore d b) L auoveore domnane v corrspondene a ha componen,,, n che soddsfano l equazone: n F v = = ovvero n n n = n, n n = n, n n = n = Poché un auoveore è defno a meno d una cosane molplcava, possamo sceglere n =rcavando n n v = o, molplcandololo per p n n = n v = n n n n, p p p p n n oancora,normalzzandolorspeoallasommadellecomponen, v = P n p p p p p n n n n () () rappresena l auoveore domnane come un veore socasco ossa come veore d dsrbuzone le cu componen esprmono le quoe dell nera popolazone che apparengono alle vare class d eà c) Verfchamo, nfne, che qualunque sa la popolazone nzale x(), asnocamene l veore d popolazone x() s allnea con l auoveore domnane v Il rsulao è affao generale, come vedremo nel paragrafo, ma c lmamo qu a supporre che F sa dagonalzzable Sa v, v,,v n una base d auoveor relav agl auovalor,,, n, dove, come s è vso, < per =,,,n esano,=,,,n le componen del veore d popolazone x() nella nuova base x() = v + v + + n v n un veore posvo con somma delle componen par a s confron la dsrbuzone dscrea () con la dsrbuzone nvarane connua del modello d Loka Von Foerser : (x) = rx R p(x)e p(x)e rx dx
Allora la componene èposva elapopolazonealempo s può esprmere nella forma x() =F x() = F v + F v + + n F v n = v + v + + n n v n = ( v + v + + n n v n ) () Rsulando lm! = per =,,,n l veore d dsrbuzone dvena parallelo a v () () x() () = := P x = P ( () x v + () n ()! N() v + + n n v n ) v () Se s prende per v un veore socasco, la dsrbuzone () ende propro a v,menrela dnamca della popolazone oale P x () =N() èapprossmaaasnocamenedauna cresca (o decresca) esponenzale N() = con asso d cresca Alcun cas parcolar Quano abbamo rcavao nel paragrafo precedene dpende foremene dall poes che c sano due ass d naalà consecuv dvers da zero (o, come vedremo pù avan, dal fao che F sa una marce prmva) Se u ass d naalà sono null, ecceo l ulmo, la marce d Lesle dvena n F = () con polnomo caraersco n F (z) =z n n, ( n = p n n ) In queso caso s ha = np n,ma non è domnane perché gl alr auovalor sono k = e j k n, k =,,,n Per l eorema d CayleyHamlon s ha F n = n I qund, per ogn, x( + n) =F +n x() = F n F x() = F n x() = n x() Écharochese x(), x() = F x(),,x(n ) = F n x() per la dmosrazone s veda l paragrafo
sono veor d popolazone ne prm n san d rlevazone, ne successv avremo x(n) = n x() x(n + ) = n x() x(n ) = n x(n ) x(n) = nx(), x(n + ) = nx() x(n ) = nx(n ) In alr ermn, l comporameno della popolazone è pseudoperodco e una cresca geomerca con asso n può essere rlevaa camponando valor d popolazone ogn n san Vedremo nel seguo come ogn marce F rrducble nduca nella popolazone un comporameno asnocamene pseudoperodco; n () la marce è un caso molo parcolare d marce rrducble, e la pseudoperodcà s nsaura fno dall sane nzale Quando s modella una popolazone bsessuaa con rapporo numerco unaro ra sess, è denca la dsrbuzone d eà ne due sess e nel modello d Lesle non è necessaro raarl separaamene Se l poes d rapporo unaro non vale, è sao proposo un modello (Wllamson 99, rporao da Pélou) che può ancora essere vso come una modesa modfca del modello d Lesle: Il veore d popolazone al empo ha dmensone n: f () m () f () m () f n () m n () dove con f econm s ndcano rspevamene le numerosà delle femmne e de masch nelle class d eà =,,,n S pozza che l numero d masch sa sempre suffcene per garanre ass d ferlà delle femmne S ndcano con (f) e (m) na,femmneemasch,aunafemmnanellaesma classe d eà e sopravvssu fno all nzo dell nervallo successvo S ndcano con (f) classe d eà oenendo f ( + ) m ( + ) f ( + ) m ( + ) = f n ( + ) m n ( + ) e (m) (f) (f) (m) (m) (f) (m) assdsopravvvenzadfemmneemaschnell esma (f) (f) (m) (m) Modello a class d cresca (f) (f) n (m) n (m) f () m () f () m () (f) n f n () (m) m n n () Quando s suda una popolazone d pane, n genere è dffcle deermnarne l eà prma dell abbameno Alre grandezze correlae con l eà, qual l damero d un albero o la
sua bomassa, possono essere valuae pù faclmene nel corso della sua va e dal puno d vsa economco n generale sono pù neressan Il modello che consdereremo n queso paragrafo e che assume come varabl d sao le class d cresca, anzché le class d eà, s basa sulle poes seguen: alla classe apparengono le pane d dmensone pù pccola, e alle class successve pane d dmenson va va crescen; con l rascorrere del empo le pane ransano araverso class d ndce crescene (non s consdera l evenualà che una pana possa rdurre le sue dmenson) nell unà d empo, una pana può ransare alla classe mmedaamene successva, oppure rmanere nella classe a cu apparene, ma non è conemplao l caso che, nell unà d empo, una pana compa l passaggo alle alre class superor Se x (), =,,n denoa l numero d pane che all sane apparengono alla classe esma, ndchamo con l asso d sopravvvenza nella classe, ossa la frazone d ndvdu che all nzo dell nervallo d empo apparengono alla classe eche,essendosopravvssudurane uo l nervallo, rsulano n va all nzo dell nervallo successvo; c,con <c apple la frazone de sopravvssu della classe esma che apparengono alla classe all nzo dell nervallo e che ransano nella classe +,apparenendov all nzo dell nervallo successvo L equazone d aggornameno è allora, per =,,n x + ( + ) = c x ()+( c + ) + x + () Per quano rguarda la classe nesma, che comprende u gl alber d dmensone massma, da essa un albero esce solo per more naurale o per aglo: x n ( + ) = c n n x n ()+ n x n () (c n = ) Infne la classe nzale x comprende al empo + gl ndvdu che al empo apparengono alla classe x () esopravvvonofnoa + senza ransare nella classe d agla successva, ovvero ( c )x (); nuovnaalempo, aquallevareclassdcrescaconrbusconoconasspro cape,,, n : la quanà x () comprende gl ndvdu genera n [, + ) dalla esma classe d cresca e che sopravvvono fno all sane + Complessvamene x ( + ) = [ ( c )+ ]x ()+ x ()+ + n x n () Il modello lneare x( + ) = F x() assume allora la forma x ( + ) ( c ) + n x () x ( + ) c ( c ) x () x ( + ) c ( c ) x () = c n n n x n ( + ) x n () per semplcà, l coeffcene è qu rassorbo ne ass d naalà 8
AdfferenzadelmodellodLesle,ladagonaledF può conenere elemen posv olre l prmo: quando un unà d empo è rascorsa, una pana può manenere nvaraa la classe d cresca (ovvamene non la classe d eà!) Inolre ass d sopravvvenza,dcresca c ednaalà sono rfer alle class d cresca, non a quelle d eà La marce F può rscrvers come combnazone d re marc, cascuna conenene paramer che caraerzzano re fenomen fondamenal della cresca, della sopravvvenza e della rgenerazone: c c c F = c c n {z } marce d cresca {z } marce d sopravvvenza Marc non negave e ssem posv + n {z } marce d rgenerazone Il modello d Lesle cosusce un esempo molo sgnfcavo d un ssema posvo Chamamo posv" ssem dnamc ne qual le varabl d sao, così come quelle d ngresso e d usca, se presen, possono assumere solano valor non negav I ssem lnear posv a empo dscreo sono descr da marc non negave e, n parcolare, l aggornameno del loro veore d sao n evoluzone lbera è ndoo da marc quadrae non negave S nusce percò che lo sudo delle propreà 8 delle marc quadrae non negave consena d rarre neressan concluson crca l evoluzone d popolazon la cu dnamca possa essere rappresenaa da un modello lneare dscreo Defnzon e noazon Nel seguo rcorreremo ad una nomenclaura apposa per marc e veor cu elemen sano non negav Se M =[m j ] R p m +, porremo M>> se m j > per ogn, j: n queso caso dremo che la marce è sreamene posva; M > se m j per ogn, j e almeno un elemeno della marce è posvo: n queso caso la marce M è posva; M se m j per ogn, j, senza escludere l caso che possa avers M =: la marce M èn queso caso non negava Se M ed N sono marc (n parcolare veor) d egual dmenson, porremo M>>N, oppure M>N, oppure M N, a seconda che M N sa sreamene posva, posva o non negava Se F è una marce n R n n +, l rcorso a rasformazon d smlarà non conserva n generale l suo caraere non negavo La classe delle rasformazon che possono applcars a F per ndagarne la sruura è percò molo meno generale del gruppo d smlarà e nclude (ma non concde con) la classe delle rasformazon ndoe da marc d permuazone Alla permuazone n n = n n s può assocare la marce d permuazone := [e e e n ], e esmo veore della base canonca d R n, che rasforma la base veccha" (v, v,,v n) nella base nuova" (v, v,,v n )=(v, v,,v n) Il veore rappresenao nella base veccha dalla colonna x = T n è rappresenao nella base nuova (o permuaa") dalla colonna n T = n T 8 per nformazon pù deaglae, per le dmosrazon de eorem e per alcun approfondmen s rnva a capol degl Appun d Teora de Ssem, che conengono anche una bblografa sull argomeno n 9
Analogamene, la rasformazone lneare rappresenaa nella base (v, v,,v n) dalla marce F =[f j ] R n n, nella base permuaa è rappresenaa dalla marce f, f, f, n T F = f, f, f, n f n, f n, f n,n oenua applcando la medesma permuazone alle colonne e alle rghe d F Due marc che dfferscono per una smlarà ndoa da una marce d permuazone (e qund per una medesma permuazone operaa sulle rghe e sulle colonne) s dcono cogreden La cogredenza preserva le propreà d non negavà, nonché l numero e l valore delle componen posve d rghe o colonne che s corrspondono nella permuazone Accennamo nfne alle marc monome (dee anche marc d permuazone generalzzae), che s oengono dalle marc d permuazone molplcandole (a desra o a snsra) per marc dagonal posve non sngolar Le smlarà ndoe da marc monome corrspondono a permuazon de veor d base accompagnae dalla molplcazone d cascuno d ess per una cosane posva, qund ad un rordno delle varabl d sao e ad un cambameno delle unà d msura ulzzae per deermnarne valor Il gruppo delle marc monome è l pù grande che preserva per smlarà la non negavà delle marc Propreà combnaore Alcune propreà de ssem posv dpendono solano dal fao che gl elemen presen nelle vare poszon delle marc sano o non sano dvers da zero, e non da parcolar valor assun dagl elemen posv Tal propreà sono dee combnaore Defnzone Una marce F n R n n + s dce prmva se esse un nero h> per cu rsula F h >>, ovvero se [F h ] rs >, 8r, s {,,,n}; rrducble se n corrspondenza ad ogn r, s {,,,n} esse un esponene h (che dpende n genere da r ed s) per cu rsula [F h ] rs > ; rducble se essono r ed s al che, per ogn h>, nf h s abba [F h ] rs =, 8h Le marc quadrae sreamene posve sono prmve, le prmve sono rrducbl e l nseme delle marc rducbl complemena quello delle marc rrducbl D alra pare apple apple F =, F = sono prmva ma non sreamene posva la prma e rrducble ma non prmva la seconda Una marce quadraa F con una rga o una colonna nulla è sempre rducble, poché la rga o la colonna rmangono nulle n ogn poenza posva della marce La seguene proposzone rpora alcune caraerzzazon della rrducblà Proposzone Sa F R n n + con n Le seguen condzon sono equvalen : ) F è rrducble; ) non esse alcuna marce d permuazone per cu s abba apple F F = T F = F F dove F e F sono soomarc quadrae non vuoe; ) la marce (I + F + + F n ) è sreamene posva Il rcorso a rasformazon d cogredenza consene d approfondre lo sudo delle marc rducbl: Proposzone Sa F R n n + una marce non negava rducble d dmensone n> Esse allora una marce d permuazone che per cogredenza pora la marce F nella seguene forma normale F = T FT = F, F, Fh,h????????? O F h+,h+??? Fk,k ()
n cu k è maggore d e cascun blocco dagonale F,,,,,k è una marce rrducble, o la marce nulla d dmensone per Inolre, se rsula h<k, n cascuna rga a blocch successva alla hesma uno almeno de blocch fuor dagonale e ndca con? è una marce posva 9 Iblocch F,, =,,,h, sono de blocch sola Propreà speral Mole propreà speral d una marce non negava dpendono dalla sua sruura combnaora Nelle proposzon a segure vedremo come esse s modfchno, ndebolendos, quando s passa dalla classe delle marc prmve a quella pù ampa delle marc rrducbl e nfne a quella delle marc non negave generche Proposzone Se F R n n + è una marce prmva, allora ) [Auoveore e auovalore sreamene posv] essono un numero reale > eun veore v >>, F v = v ; ) [Massmalà d ] per ogn alro auovalore (F ) s ha < ; ) [Spero perferco] è radce semplce del polnomo caraersco d F, ossa è un auovalore con moleplcà algebrca ; v) [Uncà dell auoveore posvo e base d Jordan] v è, a meno d un faore d proporzonalà posvo, l unco auoveore posvo della marce F Rspeo alla base d Jordan, ogn veore x > ha componene posva su v ; v) [Monooncà dell auovalore domnane] Se F è maggore d F, ossa F F>, l corrspondene auovalore posvo massmale soddsfa la dseguaglanza > Nel caso d marc rrducbl, l enuncao è pù arcolao: lo spero perferco", ovvero l nseme degl auovalor aven modulo eguale al raggo sperale, può non conenere un solo elemeno, ma ha una confgurazone assa parcolare, come assa parcolare è la sruura degl auoveor corrsponden agl auovalor perferc, secondo quano sarà precsao nella successva proposzone Proposzone Se F R n n + è una marce rrducble, allora ) [Auoveore e auovalore sreamene posv] essono un numero reale > eun veore v >> al che F v = v ; ) [Massmalà d ] per ogn alro auovalore (F ) s ha apple ; ) [Spero perferco e sruura generale dello spero] ogn auovalore con = è radce semplce del polnomo caraersco; nolre esse un nero posvo, deo ndce d mprmvà d F ", per cu gl auovalor a modulo sono u semplc e sono numer compless da da e j k, k =,,,, l nero spero d F è nvarane (moleplcà ncluse) rspeo alla molplcazone per e j ; la marce rrducble F è prmva se e solo se l suo ndce d mprmvà vale ; v) [Uncà dell auoveore posvo e base d Jordan] v è, a meno d un faore d proporzonalà posvo, l unco auoveore posvo della marce F Rspeo alla base d Jordan, ogn veore x > ha componene posva su v ; v) [Monooncà dell auovalore domnane] Se F è maggore d F, ovvero F F >, l corrspondene auovalore posvo soddsfa la dseguaglanza > Proposzone Se F R n n + è rrducble, sa de(zi F )=z n + c nk z n k + c nk z n k + + c n z n + c n z n 9 equndnonnulla de auoveore e auovalore d Perron de anch ess auoveore e auovalore d Perron
l suo polnomo caraersco, con n = n k >n k > >n >n >n Allora concdono l numero degl auovalor perferc (ossa l ndce d mprmvà ) e l massmo comune dvsore delle dfferenze d grado n n =MCD{n n, n n,, n k n k, n k n k } Quando per una marce non negava ven meno la condzone d rrducblà, vale la seguene Proposzone Se F R n n + ènonnegava, ) [Auovalore massmale non negavo, con auoveore posvo] essono un numero reale e un veore v > al che F v = v ; ) [Sruura generale dello spero] per ogn alro auovalore (F ) s ha apple ; ) [Spero perferco] essono ner,, g,gappleneradc dell unà = e j, = e j, g = e j g per cu gl auovalor perferc (coè a modulo ) sono numer compless, =,,, ;, =,,, ; ; g g, g =,,, g v) [Quando esse un auoveore massmale sreamene posvo?] l auospazo U, corrspondene all auovalore massmale, comprende un auoveore v sreamene posvo se e solo se, nella forma normale (), è auovalore d u blocch sola F,, =,,,h,manon è auovalore degl alr blocch dagonal F,, > h; v) [Monooncà dell auovalore massmale] se F è maggore d F, ovvero F F>, corrsponden auovalor massmal non negav e soddsfano la dseguaglanza L auovalore massmale d una marce non negava F è essenzale per verfcare la sablà asnoca del ssema posvo assocao Esso può essere smao, e n alun cas deermnao con esaezza, a parre dalle somme degl elemen d rga o d colonna Proposzone 8 [Somme d rga o d colonna e auovalore massmale] Se F =[f j ] R n n + e se c j = f j, j =,,n e r = f j, =,,n sono le somme degl elemen che cosuscono rspevamene la colonna jesma e la rga esma d F, allora l auovalore massmale non negavo soddsfa le dseguaglanze mn c j apple apple max c j ; j j Prova Non è resrvo supporre che l auoveore v = > n corrspondene all auovalore j= mnr apple apple max r () sa socasco, ovvero soddsf P n = Allora da f + f + + f n n = f + f + + f n n = f n + f n + + f nn n = n sommando per colonne s oene X n f + f + + f n n = c + c + + c n n = j = (8) Dalle dseguaglanze mn j c j [ + + + n] apple c + c + + c n n apple max c j [ + + + n] j enendo cono d (8) e del fao che v è socasco, segue mn c j apple apple max c j j j Analogamene, ragonando sull auoveore snsro (o consderando la marce F T ), s pervene a mn r apple apple max r j=
Esempo Nel modello d Lesle la marce ˆF n () ha ue le rghe a somma unara, ecceo la prma che ha per somma P n, ossa l asso medo d rproduzone R Qund la condzone > può essere soddsfaa solo se l asso neo d rproduzone R è maggore d Eserczo Nell esempo precedene, s verfch che R > è anche condzone suffcene per avere > ] Suggermeno: se n >, ˆF èrrducble Srducaallora n d una quanà > così pccola da manenere R > e n > La nuova marce è ancora rrducble e per essa l auovalore domnane è maggore o eguale a S applch allora la propreà (v) della proposzone Se n =e k èl ulmovaloreposvodellafunzoneneadmaernà,sparzon ˆF esene consder l sooblocco ˆF d dmensone k k Eserczo () La sma () dell auovalore massmale può essere raffnaa: max{mn c j, mn j j r }apple apple mn{max c j, max r } () In una marce non negava rsula max r mn j c j ] Suggermeno: s no che (r + r + + r n) apple n max r eche n mn j c j apple (c + c + + c n) () La dseguaglanza n () vale per anche per marc cu elemen hanno segno arbraro? Consderazon conclusve sul modello d Lesle Marce d Lesle con n = Nell poes che n F ass d sopravvvenza sano u posv, la marce d Lesle () è rrducble se e solo se n > Per quano rguarda ass d naalà, la suazone n cu n è nullo rsula è puoso comune, dal momeno che n mole popolazon le ulme class d eà sono nfeconde In queso caso, se h è l valore massmo dell ndce a cu corrsponde un asso d naalà posvo, la marce F assume la forma normale h h O h (9) h h+ n nella quale u blocch dagonal, ecceo l prmo che ha dmensone h h ed è rrducble, sono non sola, null e d dmensone Qund, per l eorema 8, lo spero della marce F possede l auovalore d Perron del prmo blocco dagonale, sreamene posvo e semplce, alr auovalor perferc del prmo blocco dagonale, se non prmvo, evenual alr auovalor a modulo mnore d del prmo blocco dagonale, l auovalore nullo con moleplcà n h, relavo a blocch scalar nlpoen non sola F ha un auoveore v sreamene posvo, unco a meno d faor molplcav essendo un auovalore semplce Se ṽ = T h R h + è l auoveore (desro) d Perron del prmo blocco dagonale d F, l auoveore (desro) v R n + èdaoda h v = () h+ n con h+ = h h, h+ = h+ h+ In modo analogo s verfca che F possede anche un auoveore snsro w T sreamene posvo
relavo all auovalore Se nolre v, v,,v n formano, nseme con v, una base d Jordan per la marce F, rsula ( w T v > se = () = se =,,,n Ogn veore nzale d popolazone x() > s esprme n modo unco come combnazone de veor della base d Jordan x() = v + v () e, premolplcando () per w T, s verfca che deve essere un numero posvo Eserczo S verfch () e s dmosr che, rspeo a una base d Jordan, la componene del veore x() > su v è posva Se n (9) l prmo blocco dagonale della marce d Lesle è prmvo, ha modulo sreamene maggore d quello degl alr auovalor, percò al dvergere d veor F v, =,,, n sono nfnesm Il veore d popolazone dvena asnocamene parallelo a v e può essere approssmao come segue x() =F x() = v + F v = ( v + F v ) v Eserczo Se due ass d naalà consecuv e + sono posv, l prmo blocco dagonale della marce d Lesle (9) è prmvo Marce d Lesle rrducble Supponamo che nella marce d Lesle s abba n >, ossa n > Allora F èrrducble e F (z) =z n z n z n n z n oenuo n () ha negavo l ermne cosane; per la proposzone, l ndce d mprmvà d F s può calcolare a parre da grad de monom non null d F (z): se,,, k = n sono valor non null della funzone nea d maernà, con < < < k = n, lpolnomocaraerscoè de(zi F )=z n z n z n k z n k edconseguenzaabbamo k z n n = MCD{n (n ), (n ) (n ), (n ) (n ), (n k ) (n k )} = MCD{,,,, k } = MCD{,,, k, k = n} () =n k n k n k n n n n k k k n k = n k k ovvero l ndce d mprmvà è l MCD (degl ndc) de ass d naalà posv La marce d Lesle è prmva se e solo se l MCD n () è unaro, qund, n parcolare, quando sono non null due due ass d naalà consecuv se sono soddsfae uleror poes, che precseremo nel seguo, F può essere anche prmva
Onde d popolazone Quando l ndce d mprmvà d F è maggore d,s nnescano,come vedremo,onde d popolazone, coèdsrbuzondpopolazoneperodche(se =)opseudoperodche Sa v èl auoveoredperrondellamarcedlesle,rrducbleeconndcedmprmvà > Ponamo := e j / endchamoconv h,h=,,,, gl auoveor corrsponden agl auovalor perferc h Denoamo con v h, h =, +,,n, gl alr auoveor e auoveor generalzza della base d Jordan, relav qund ad auovalor con modulo mnore d Qualsas sa la popolazone nzale X x() = x = h v h + h= h v h, k= la popolazone x() al dvergere del empo soddsfa la relazone x() X ' h v h h h= dal momeno che u gl addend della somma P n k= hv h vengono rasforma da F n veor d norma rascurable rspeo a quella de rasforma della somma P h= hv h Pochè rsula h = h+ per ogn nero, se èsuffcenemenegrandesha x( + ) + X X ' h v h h(+ ) = h= h= h v h h ' x() equndx( + ) ' x() Sempre per grand valor d, ncascunpseudoperododduraa veordsaodescr dalla popolazone sono proporzonal a veor X h v h, h= X h v h h, h= X h v h h,, h= X h v h ( )h, h= qund la dsrbuzone della popolazone nelle n class d eà rorna cclcamene (ogn san) nella medesma confgurazone D alra pare l lvello della popolazone complessva (e la somma degl ndvdu presen nelle n class d eà) s accresce n un perodo secondo un faore par Osservazone Sebbene l veore d popolazone e l lvello complessvo d popolazone dopo un perodo sano par a vole l veore e l lvello raggun all nzo del perodo, non è necessaramene vero che n un passo l veore o l lvello d popolazone s accrescano d un faore par a rspeo a quell del passo precedene