X Algoritmi numerici

Iormc per l Memc Gorgo Me X Algorm umerc Prerequs: successo umerche coverge e dverge equzo lgebrche e rscede geomer lc dell re e dell prbol ssem ler e mrc derv d u uzoe e uzo derve eorem relv lle uzo coue e dervbl polom u vrble egrle deo uzolà umerche, lgebrche e grche dell'mbee Derve umer, ormule e grc mbee Ecel progrmmzoe lguggo VBA/Ecel error del clcolo rmec X. Iroduzoe X. Rsoluzoe pprossm d equzo X. Rsoluzoe d ssem ler X. Ierpolzoe X.4 Dervzoe e egrzoe umerc Rerme bblogrc: - Demdovc e Mro, "Fodme d clcolo umerco", MIR, Mosc, 98 - Bevlcqu, B, Cpov e Mech, "Iroduzoe ll memc compuzole", Zchell, Bolog, 987 - Ross, "L memc dell'cerezz: ddc dell probblà e dell ssc", Zchell, Bolog, 999

Iormc per l Memc Gorgo Me X. Iroduzoe X.. X... X... Gl lgorm umerc Mole suzo rel soo rppresebl mede u modello memco relvmee semplce come u equzoe polomle, u ssem lere,, m spesso l vlore umerco che rpprese l soluzoe d u problem rele o è d semplce deermzoe. U meodo umerco cosee d pprossmre - co l grdo d precsoe rcheso dl problem specco - u vlore lrme mpossble d deermre co meod lgebrc è l cso dell soluzoe d u equzoe polomle d grdo superore l IV per l qule o esse - el cso geerle - u ormul rsoluv bs sulle comu operzo rmeche, oppure d clcolre modo semplce l'pprossmzoe umerc d u vlore l cu deermzoe es per v lgebrc rsul dcle è l cso dell soluzoe d u equzoe polomle d III grdo per l qule esse u compless ormul rsoluv che qus m vee ulzz. Come vedremo u meodo umerco è spesso crerzzo dll ecessà d eeure mol clcol relvmee semplc bse uo schem rpevo: è per queso movo che gl lgorm umerc soo qus esclusvmee mpeg per l relzzzoe d progrmm d clcolo esegu d u compuer. I lcu cs u esempo oevole è do dll rsoluzoe d ssem ler co mole equzo e mole coge: lcu problem rel ho come modello memco ssem ler co ce d equzo e ce d coge pur essedo lgorm lgebrc per l deermzoe d soluzo ese, eveulmee espresse erm d vlor rzol o d rdcl, l dmesoe del problem rede comuque ecessro l rcorso d u progrmm d clcolo: gl lgorm umerc pprossm s soo dmosr grdo d clcolre pprossmzo delle soluzo co mggore velocà e precsoe rspeo d lgorm derv dl meodo lgebrco eso. I ses u lgormo umerco pprossmo vee ulzzo: per clcolre l'pprossmzoe d u vlore umerco o lrme deermble co meod lgebrc; per clcolre l'pprossmzoe d u vlore umerco o clmee deermble orm es co meod lgebrc; per clcolre l'pprossmzoe d u vlore umerco co u precsoe mggore rspeo d u lgormo oeuo come mplemezoe d u meodo lgebrco eso. X.. X... U meodo per clcolre π L'pprossmzoe co u elevo grdo d precsoe del vlore umerco d π l rpporo r l msur dell crcoerez e l msur del relvo dmero h cosuo orse l prcple compo dell memc umerc ell'chà. Il vlore

Iormc per l Memc Gorgo Me d π è so pprossmo s d Archmede el III secolo. C., rcorredo d u lgormo che cor ogg por l suo ome, che - co u precsoe rms super per mol secol - dl memco cese Tsu Chug-ch el V secolo d. C.. Tu meod ulzz ell'chà per l clcolo del vlore d π soo bs sull'osservzoe che l msur dell crcoerez è pprossm per deo dl permero d u polgoo regolre scro e co precsoe progressvmee mglore l crescere del umero d l prcolre: l rddoppre del umero d l del polgoo regolre scro. X... Tsu Chug-ch orì per π l vlore pprossmo,49 rcorredo probblmee u meodo bso sull'pplczoe rpeu del eorem d Pgor. s l l

Iormc per l Memc Gorgo Me I, s r l rggo dell crcoerez e l l lo del polgoo d l: l'poem è d d r l l del polgoo vee l è do d ; deomdo s l derez r - sg s h che l lo l s. U semplce sosuzoe lgebrc cosee d esprmere l msur l del lo del polgoo d l uzoe dell msur l del lo del polgoo d l: l r r 4r l che, scegledo l rggo r come uà d msur r, dvee: l 4 l. Ques'ulm ormulzoe rpprese bee l crere "rpevo" del meodo che s suppoe mpego d Tsu Chug-ch: rpeedo l clcolo prre d u qudro scro ell crcoerez d rggo uro, per l qule l msur del lo l è d cle deermzoe, e clcoldo successvmee l msur del lo de polgo scr ve 8, 6,, 64, 8, 6, 4, l s cosrusce u successoe umerc cu erm l prodoo dell msur del lo per l umero d l del polgoo regolre soo pprossmzo progressvmee mglor del vlore π che esprme l msur dell crcoerez. È possble dmosrre che l lme d le successoe è esmee l vlore π, m cò che o eress - come Tsu Chugch pù d mllecqueceo - è pprossmre umercmee le vlore. X... Ulzzdo queso scopo Ecel è seso r corrspodere rghe successve dell bell co pss successv d pprossmzoe. Nelle celle dell colo A vee deermo l umero d l del polgoo regolre d vol vol preso cosderzoe zlmee è 4, po rddopp d og rg successv, elle celle dell colo B s clcol l lughezz del lo del polgoo zlmee, elle rghe successve vee clcolo ulzzdo l ormul rcorsv vs precedez, elle celle dell colo C s oee l'pprossmzoe del vlore π molplcdo l lughezz del lo per l umero d l pprossmdo l modo l lughezz dell crcoerez e dvdedo successvmee per. U

Iormc per l Memc Gorgo Me vol mpos vlor zl e le ormule è possble ulzzre le uzolà d Ecel per "copre" le ormule elle rghe soos oeedo come rsulo lo svolgmeo de clcol prevs le coloe B e C soo se precedeemee orme per vsulzzre umer co cre decml: Co pss d pprossmzoe s rrv clcolre l permero d u polgoo regolre d 48 l relzoe l qule Ecel produce u pprossmzoe del vlore d π pr,494. Sppmo - do che o smo prm clcolre l vlore d π! - che l rsulo oeuo è precso solo relvmee lle prme cque cre decml Derve orsce u vlore d,496 pprossmdo l cose π e mposdo u precsoe d cre e l uzoe PI.GRECO d Ecel resusce come rsulo l vlore,4964. Do che prm erm dell successoe geer rppreseo pprossmzo progressvmee mglor del vlore π vee spoeo pesre che l precsoe mglorerà ulerormee - se o demee, lmeo o redere ese ue le cre decml d cu dspogoo vlor umerc ulzz d Ecel - umedo l umero d pss d pprossmzoe e prededo qud cosderzoe polgo co u umero sempre mggore d l:

Iormc per l Memc Gorgo Me Osservdo co ezoe l successoe delle pprossmzo ell colo C s o che, prre dll rg, vlor, zché umere progressvmee meedo come vlore lme,496 come srebbe logco spers s r de permer d polgo regolr scr ve u umero crescee d l, dpprm dmuscoo e dopo supero ddrur le vlore corddcedo l eor, secodo l qule erm successv d u successoe crescee superormee lm rppreseo pprossmzo per deo progressvmee pù precse del lme dell successoe sess. I pss successv del procedmeo d pprossmzoe soo ddrur csroc e l'errore commesso, vece che dmure, cresce rpdmee o rggugere u speo % corrspodez dell'ullmeo dell'pprossmzoe del vlore d π: X... Che cos ccde? I coce rodo el cpolo * soo suce per cpre che s r d error dovu ll zz dell'rmec mpeg d Ecel per esegure clcol: l msur del lo del polgoo è progressvmee more e rà evblmee, qudo l msur clcol srà more del pù pccolo vlore umerco rppreseble, per provocre u codzoe d uderlow; cor prm che s verch l codzoe d uderlow l'pprossmrs dell msur del lo l del polgoo ell ormul 4 l cus ccellzoe el clcolo dell derez 4 l ; l ecessr molplczoe dell msur del lo del polgoo per l umero rpdmee crescee de l cus mplczoe dell'eveule errore presee el rsulo del clcolo dell ormul 4 l. Aggugedo elle celle dell colo D l ormul che orsce l derez r l'pprossmzoe clcol celle dell colo C e l vlore resuo dll uzoe Ecel PI.GRECO è possble bulre e rppresere grcmee l'errore commesso uzoe del umero d pss d clcolo eeu:

Iormc per l Memc Gorgo Me,,4,,,, -, 4 6 7 8 9 4678946789 L'errore relvo commesso, che è zlmee l % del vlore d π, dmusce e pss successv o rggugere u vlore mmo pr crc -9 pprossmvmee lo,4% del vlore d π corrspodez dell quordcesm erzoe del clcolo, m or crescere seguo o ll'mpe osserv elle erzo successve ll vecquesm. X...4 Queso dmeo d "U" crerzz grc dell'errore - rcc uzoe del umero d erzo eeue - d mol lgorm umerc; è cuso dl dverso compormeo de due p d errore che s sommo u meodo umerco: l'errore lco è l'errore eorco commesso rcorredo d u ecc pprossm zché d u meodo eso: queso cso dmusce progressvmee l crescere del umero d erzo ; l'errore lgormco è l'errore d clcolo commesso dll mcch che esegue u mplemezoe dell'lgormo: queso cso ume proporzolmee l umero d erzo corsdo e lvol ulldo l precsoe del rsulo. X... Il problem può essere supero operdo u mbee sowre per l clcolo smbolco come Derve? Cosderdo che l vlore d π clcolo co l meodo d Tsu Chug-ch è deo dl lme per dell successoe π l l,,,... dove l l 4 l I Derve è possble dere dremee l ormul rcorsv che esprme l msur del lo del polgoo regolre d l scro u crcoerez d rggo uro s r dell derez r erm d u successoe covergee e l lme dell successoe sess: le derez deve ecessrmee edere l crescere dell'dce de erm cosder.

Iormc per l Memc Gorgo Me ed esplcmee l ormul che desce l successoe sess L'sruzoe VECTORs,,, cosrusce u veore de vlor dell successoe s ssegdo ll vrble-dce vlor compres r l'dce zle e l'dce le clus Co l'sruzoe VECTOR è possble cosrure Derve u veore vee per eleme erm d u successoe queso cso prm l cu semplczoe orsce u veore d espresso lgebrche che pprossme producoo vlor rcerc [.88474,.646748,.44,.64849,.47,.47748,.484,.47987,.48787,.4976] L semplczoe lgebrc del veore de sol prm erm dell successoe ssolumee suce per u precsoe che s esed che solo lle cre decml ormlmee vsulzze d Derve h mpego u PC relvmee poee Peum-II MHz, 64 Mbe RAM per crc secod, m lo sesso PC mpeg pù d mu per semplcre prm erm: l v dell deermzoe smbolc de erm dell successoe s dmosr preso mprcble soo l'speo dell complessà compuzole. X...6 Imposdo Derve modlà umerc vece che smbolc è possble evre ques dcolà rucdo ll'esezz smbolc del clcolo lgebrco e, l empo sesso, selezore l umero d cre d ulzre e clcol umerc I queso uovo coeso l semplczoe del veore de erm dell successoe eseso prm erm produce dremee vlor pprossm [.88474,.646748,.44,.64849,.47,.47748,.48,.47946,.4877,.4944,.498,.499476,.4969,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ]

Iormc per l Memc Gorgo Me Smo uovmee ell suzoe verc mbee Ecel: l ezz dell'rmec mpeg e clcol produce eome d uderlow e d ccellzoe che zzero erm dell successoe prre d u cero dce po; mbee Derve è però possble ervere sul umero d cre mpege e clcol e rpeere l semplczoe [.884747469976,.64674897878,.4488,.6484949968,.469479,.477977868,.48447,.479467986,.48777797,.49499,.494779,.49768487848,.4964866,.496487769988788,.496864,.49689986,.49668,.496689964,.49666646,.49667668,.496466647,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ] Il umero de erm "zzer" è or decsmee erore e l precsoe delle pprossmzo ore scurmee mglore l'ulmo erme o ullo - che o è l pù precso quo gà rsee d error dovu l eomeo dell ccellzoe umerc - h 8 cre decml corree e prese qud u errore ssoluo erore -8. Aumedo cor le cre mpege e clcol d Derve l semplczoe del veore dmosr l permez d erm "zzer" [.88474746997677448499679,.6467489787876798749949,.4488778968484,.64849499684844469676,.469479784694,.47797786869777884488,.484476894687948,.4794679848776498,.48777797688467987949,.49499979979776748989,.4947774479947699476,.49768487666866978786,.49648698994786677967,.49648776986694879697777496,.4968694879679,.496889976794477486,.49649648489486898,.49679988877844897898,.4968968979868944,.4968868664897786967,.49689499488466479864,.4968979884764488844,.496897748798768768976889,.49689788648667944864789,.4968979999997789967889,.49689799969778876,.4968979667469667874,.496897988944787,.4968979986798699,

Iormc per l Memc Gorgo Me.4968979747448769779,.4968979889488648646,.496897989666678748,.49689798446494644,.496897984886749,.4968979846499667997,.49689798467967676,.4968979846666696676,,,,,,,,,,,,, ] che scompoo d prm solo rddoppdo ulerormee l umero d cre sgcve queso cso è s modc l'espressoe-veore d semplcre modo che Derve vsulzzsse solo l'ulmo erme clcolo [.4968979846648784877796666644448744 9994779768] Le prme 9 cre decml d ques'ulmo vlore soo ue corree: è possble vercrlo corodo l vlore clcolo co l vlore resuo d Derve semplcdo l cose π Derve ulzz u lgormo pù veloce e pù precso d quello d Tsu Chug-ch per pprossmre l vlore umerco d π. X...7 I coclusoe l rcorso u mbee d clcolo sowre cu l precsoe è soo l corollo dell'uee erm d cre d mpegre e clcol h coseo d mglorre sgcvmee l precsoe complessv dell'lgormo d pprossmzoe umerc, m o h modco l ruolo recproco goco dll'errore lco e dll'errore lgormco: l'errore s ssoluo che relvo del meodo prese comuque u dmeo d "U" uzoe del umero d erzo eeue zlmee elevo per l presez d u cosderevole errore lco e po, dopo u ro "sble" corrspodez del qule s oegoo le pprossmzo mglor, d uovo elevo cus dell comprs dell'errore lgormco dovuo eome d uderlow-overlow e/o d ccellzoemplczoe. Il grco che segue rpprese l derez r le pprossmzo successve ore dll'lgormo e l vlore d π clcolo d Derve uzoe del umero d erzo ed è so rcco mbee Derve rppresedo grcmee l rsulo del seguee comdo dopo vere uovmee mposo l precsoe 4 cre sgcve:

Iormc per l Memc Gorgo Me X.. X... U lgormo per l clcolo dell rdce qudr U clcolrce è grdo d clcolre l vlore pprossmo dell rdce qudr d u qulss umero co l'ccurezz d mole cre decml: come è possble? Esse d o u semplce lgormo umerco cpce d deermre l vlore dell rdce qudr eeudo rpeumee semplc operzo rmeche. X... Dovedo clcolre l rdce qudr d u umero posvo s scelg csulmee u umero posvo cosderdolo u prm pprossmzoe del vlore che edmo pprossmre s scelg l umero mggore d queso modo l umero Clcolmo modo che rsul scurmee, srà queso scopo sucee che l suo qudro s > cosurà u vlore pprossmo per eccesso d. ; s h che e l vlore che edmo pprossmre è l med geomerc d e : è u vlore pprossmo per deo d. Clcolmo or l med rmec d e : ; Rcorddo che l med rmec r due umer è mggore o ugule ll loro med geomerc, rsulerà compreso r e, qud srà u uovo vlore pprossmo per eccesso dell pù prossm ll, d quo o osse, e srà u'pprossmzoe mglore, coè > > : I, eedo coo che, b, s h: b b b b b 4b b b b 4 che è ver per og vlore d e b. b

Iormc per l Memc Gorgo Me Clcolmo or. Srà uovmee opermo elle sesse codzo dell se precedee, essedo comuque > e è d uovo l med geomerc r e ; srà qud u uovo vlore pprossmo per deo dell. Iolre, essedo <, s h >, coè > : che è u vlore pprossmo per deo d e rpprese u'pprossmzoe mglore rspeo. Prosegumo rpeedo pssgg svol precedez è propro l rpezoe, o "erzoe", de clcol che crerzz queso po d lgorm umerc deom meod erv. Clcolmo l med rmec r e : ess rpprese u uovo vlore pprossmo per eccesso d ed è u pprossmzoe mglore, pù prossm d quo o osse. Clcolmo po, esso srà u uovo vlore pprossmo per eccesso d, pprossmzoe mglore rspeo. X... Proseguedo queso modo rsul deo u lgormo umerco u meodo ervo che, predo d u umero rbrro >, geer u successoe d umer,,... de dll seguee ormul rcorsv, Tu vlor dell successoe soo mggor o ugul e og vlore pprossm meglo del precedee: s r d u successoe covergee perché decrescee e erormee lm. Geerlzzdo pss descr precedez è possble dmosrre per duzoe che lm X... L precedee ormul rcorsv desce u lgormo per l clcolo pprossmo dell rdce qudr che può essere clmee mplemeo mede u uzoe

Iormc per l Memc Gorgo Me codc lguggo VBA per l'mbee Ecel vee come prmer l umero e l vlore zle e che resusce come rsulo l vlore d : Publc Fuco rdce As Sgle, As Sgle As Sgle Dm As Sgle Whle * <>. * / Wed rdce Ed Fuco L crersc d rcorrez dell ormul è relzz el progrmm che codc l'lgormo mede u cclo ervo che clcol l uovo vlore prre dl precedee vlore dell sess vrble, predo dl vlore zle psso come prmero; l cclo h erme qudo l vlore pprossmo dell rdce elevo l qudro relà molplco per sé sesso è ugule l vlore d. È possble vercre l correo uzomeo dell uzoe rdce ulzzdol u ormul d cell u oglo Ecel queso scopo è sucee memorzzrl u modulo VBA: L covezoe d ssre l vlore zle dell'lgormo secodo prmero dell uzoe l vlore d cu s rchede l'pprossmzoe dell rdce prmo prmero el cso che queso s mggore d, o d ssrlo lrme, cosee d rspere l'poes d cosruzoe dell'lgormo sesso > ; ques soluzoe può essere mpleme ello sesso lgormo relzzdo u uzoe VBA che h come uco rgomeo l vlore del qule resusce l rdce qudr: Publc Fuco rdce As Sgle As Sgle Dm As Sgle I > The Else Whle * <>. * / Wed rdce Ed Fuco Il lguggo d progrmmzoe Vsul Bsc or Applcos dspoe dell uzoe sdrd Sqr che resusce l vlore pprossmo dell rdce qudr dell'rgomeo: queso coeso l lguggo vee mpego come srumeo per ormlzzre e mplemere u lgormo.

Iormc per l Memc Gorgo Me X...4 L codzoe d ermzoe del cclo dell uzoe rdce è molo cer;, se gl error d clcolo e gl error d rppresezoe umerc mpedscoo l deermzoe d u rsulo eso lmeo relvmee ll'rmec mpeg, l cclo s rpee demee sez mglorre l precsoe dell'ulmo vlore. È cò che ccde se s cerc d pprossmre co l ormul rdce;: l'ero mbee d esecuzoe Ecel s blocc perché l cclo dell uzoe rdce o h erme. Il seguee progrmm VBA - mplemeo come procedur vble mbee Ecel mede u "pulse d comdo" - relzz u codzoe d ermzoe del cclo dell'lgormo pù scur rspeo ll precedee, sscurdo l empo sesso u rsulo eo d u errore more d E, 4 l corollo dell'errore vee eeuo clcoldo l vlore ssoluo dell derez de vlor pprossm per deo e per eccesso e corodolo co l mssmo errore cceble rppreseo dll cose E: Prve Sub Rdce_Clck Dm As Ieger Dm, As Sgle Dm As Sgle Cos E As Sgle. Cos C As Ieger Cells, I > The Else / Cells, Whle Abs - > E Ad < C / / Cells, Cells, Wed Ed Sub Allo scopo d vercre l uzomeo del codce l procedur ulzz come vlore d pu l coeuo dell cell A Cells, e scrve elle celle delle coloe A e B rspevmee d dce e : Cells, e Cells, le successo delle pprossmzo per eccesso e per deo clcole per og cclo dell'erzoe l vrble er h l uzoe d coore del umero d ccl eeu e l codzoe d ermzoe del cclo comprede u corollo d le coore che mpedsce d superre le erzo che mcz d "covergez" dell'lgormo: 4 Il vlore mssmo dell'errore cceble può ovvmee essere deo dversmee, m è mpore o mposre u vlore erore ll mm derez r due vlor rppresebl el ormo umerco ulzzo dll'hrdwre per le vrbl d po Sgle del VBA. L uzoe VBA sdrd Abs resusce l vlore ssoluo dell'rgomeo.

Iormc per l Memc Gorgo Me Ecel cosee d rppresere grcmee le successo de vlor pprossm per eccesso e per deo prodoe dll'lgormo: X Y 4 Grc d covergez come queso coseoo d sudre l compormeo umerco co l qule l'lgormo cosrusce pprossmzo successvmee mglor dell rdce qudr del umero e redoo vsble l o che le successo e cosuscoo due clss d vlor co < < per og e co l derez che dmusce progressvmee d og successv erzoe: è d o ques propreà che cosee l corollo dell precsoe cossee u vluzoe cer del mssmo errore ssoluo d cu è eo l rsulo umerco oro. X... L'uso rpeuo dell procedur per l clcolo dell rdce qudr co vr vlor umerc dmosr emprcmee che l'lgormo o rsee - o lmeo o csrocmee come el precedee esempo relvo ll'pprossmzoe d π - degl error dovu ll ezz dell'rmec mpeg per clcol: s prl queso cso d sblà umerc dell'lgormo e dell su mplemezoe. L sblà umerc d u lgormo dovrebbe essere rgorosmee dmosr: c lmeremo d osservre che l ormul rcorsv che desce queso lgormo è prv d operzo poezlmee grdo d geerre codzo d uderlow/ overlow, o eome d ccellzoe/mplczoe.

Iormc per l Memc Gorgo Me X...6 L'lgormo mplemeo eeu u lmo umero d operzo elemer per og cclo: è sez'lro possble pozzre che l empo mpego per eeure quese operzo è dpedee d vlor umerc qul soo pplce ed è qud cose per uo specco mbee hrdwre/sowre d esecuzoe. L complessà compuzole dell'lgormo dpede qud esclusvmee dl umero d ccl eeu che dpede su vol, e modo o ble, dl vlore oro come pu; queso cso, come mol lr logh, è possble, se o deermre esmee l umero d ccl ecessr per cosrure u rsulo vee u precsoe sbl pror, lmeo clcolre u mggorzoe cer del umero d ccl ecessr per l ermzoe dell'lgormo uzoe dell'pu oro. Per semplcà lmeremo l osr ls l solo cso > per l qule bbmo sblo. Prededo cosderzoe l sol successoe de vlor pprossm per eccesso d o è dcle dmosrre che l'errore presee l psso è more dell meà dell'errore presee l precedee psso : < < < < < < < Teedo coo che > per og l'ermzoe d dmosrre è ver ed mplc che l'errore dmusce progressvmee pù che dmezzdos d og successv erzoe dell'lgormo; do che l umero d erzo ecessre per l ermzoe dell'lgormo è lego l mssmo errore coseo E dll relzoe < E dll qule s rcv che è l pù pccolo ero che sodds l relzoe > lg E L velocà d covergez dell'lgormo è qud leg l pù pccolo ero che sodds l precedee relzoe; sso E -6 l seguee bell rpor l mssmo umero d erzo ecessre per l ermzoe dell'lgormo uzoe d lcu vlor d 6 : 6 I relà l velocà d covergez dell'lgormo preso cosderzoe è - come è possble vercre eseguedolo mbee Ecel ell versoe che rcc rsul ermed - oevolmee mglore l umero d erzo ecessre ll ermzoe è coè molo erore: o è però cle dmosrre ormlmee u mggorzoe erore dell'errore commesso d og erzoe.

Iormc per l Memc Gorgo Me erzo 4 9 6 4 6 49 6 64 6 8 7

Iormc per l Memc Gorgo Me X.. Ses I meod umerc soo mpeg - ell orm d lgorm umerc - per produrre pprossmzo d vlor o deermbl, o dclmee deermbl, rcorredo u meodo lgebrco; mol meod umerc cossoo u successoe umerc de per rcorrez l cu lme rpprese l vlore eso d cu s ede orre u pprossmzoe clcoldo u erme per l qule l'errore l "dsz" dl lme eorco dell successoe s erore ll precsoe rches; l ormul rcorsv che desce u meodo umerco vee solmee mpleme orm lgormc mede u cclo le cu successve erzo clcolo l vlore d pprossmre uzoe dell'pprossmzoe precedee meodo ervo, l vlore zle è ormlmee sblo dll'uee del meodo; l codzoe d ermzoe del cclo è bs sul corollo dell precsoe del rsulo przle oeuo errore ssoluo e/o relvo, u ulerore codzoe d ermzoe bs sul umero mssmo d erzo può essere ggu per l gesoe o csroc delle suzo cu l meodo o coverge; l'errore complessvo d u lgormo umerco è scompoble u compoee dovu l rcorso d u meodo per su ur pprossmo errore lco e u compoee dovu gl error d rppresezoe e d clcolo evbl u coeso d rmec errore lgormco; err. lco err. lgormco err. complessvo erzo se l'mplemezoe d u lgormo umerco è mmue dlle cosegueze dell'ccumulzoe e dell'mplczoe degl error d clcolo e o roduce eome d ccellzoe umerc o poezl codzo d uderlow e overlow s prl d sblà umerc dell'lgormo; l complessà compuzole d u lgormo umerco è dremee leg l umero d ccl d eeure: l rcerc d u mggorzoe sgcv dell'errore commesso per og cclo d erzoe cosee d deermre l umero d ccl ecessro d pprossmre, co l precsoe rches, uo specco vlore velocà d covergez.

Iormc per l Memc Gorgo Me X..4 Esperme. Scrvere u uzoe VBA che bb come rgomeo l umero d erzo d eeure e resusc u pprossmzoe del vlore π clcol co l meodo d Tsu Chug-ch. Ulzzre l'mbee Ecel per deermre l umero d erzo che orsce l mglore precsoe.. # L seguee ormulzoe rcorsv rpprese erm dell successoe d Fbocc: ulzzre Ecel per sudre umercmee rppor e r due erm successv dell successoe l crescere dell'dce. Rpeere lo sudo co Derve ulzzdo l rppresezoe rzole. I bse rsul oeu deermre emprcmee le relzo esse r lm e lm?. Implemere mbee Ecel - ulzzdo esclusvmee ormule d cell - l'lgormo per l clcolo umerco pprossmo dell rdce qudr. 4. Ulzzre mbee Ecel l procedur VBA per l clcolo pprossmo dell rdce qudr propos el eso per sudre eveulmee cosruedo lcu grc d covergez l compormeo dell'lgormo l vrre del vlore zle.. D u'ls de grc d o covergez prodo guscre l compormeo dell'lgormo per l clcolo dell rdce qudr per vlor egv dell'rgomeo.

Iormc per l Memc Gorgo Me X. Rsoluzoe pprossm d equzo X.. Equzo mpossbl? Mole equzo preseo soluzo che o soo deermbl co meod lgebrc. Per esempo ulzzdo l comdo Rsolv-Algebrcmee mbee Derve per rsolvere l'equzoe rgoomerc cos l ssem o orsce l soluzoe corrspodee llo zero dell uzoe cos l cu essez è coerm dll'ls del grco prodoo co Derve sesso. Rsolvedo l sess equzoe co l comdo Rsolv-Numercmee s oee l seguee pprossmzoe dell soluzoe che è ccordo co l grco rcco e l cu precsoe può essere mglor gedo sul umero d cre sgcve ulzze d Derve: Come è so possble per l'mbee sowre deermre l soluzoe, che se orm pprossm, ssez d u procedur lgebrc d rsoluzoe? Il comdo Rsolv-Numercmee d Derve mpeg u lgormo umerco per pprossmre l soluzoe d u equzoe.

Iormc per l Memc Gorgo Me X.. X... Idvduzoe e seprzoe delle rdc d u uzoe Il comdo Rsolv-Numercmee d Derve rchede d speccre gl esrem d u ervllo che compred l suo ero l soluzoe dell'equzoe che s ede pprossmre e, possblmee, solo ess. Tu meod umerc per l rsoluzoe pprossm d equzo che prederemo esme ecesso d ques ormzoe zle. I lcu semplc cs è possble dvdure u ervllo coeee l sol soluzoe d pprossmre "scompoedo" l'equzoe u ssem equvlee clmee rsolvble co l meodo grco; l'esempo del prgro precedee è equvlee l ssem cos le cu equzo soo d mmed rppresezoe grc: Do che l soluzoe dell'equzoe zle cocde co l'scss del puo d ersezoe r le curve che rppreseo grcmee le equzo del ssem equvlee, è cle deermre come ervllo zle per l'pplczoe d u meodo umerco d rsoluzoe l'ervllo ; che comprede scurmee u e u sol soluzoe. X... I geerle le soluzo dell'equzoe corrspodoo gl zer dell uzoe l cu grco può essere clmee rcco mbee Derve l e d dvdure sgol ervll coee u e u sol

Iormc per l Memc Gorgo Me rdce dell'equzoe. Ques se prelmre - o come "seprzoe delle rdc" - è ecessr per l'mpego d u qulss meodo umerco d rsoluzoe d u'equzoe; olre ell Fesr Grc-D dell'mbee Derve è possble poszore l cursore "croce" sul puo cu l grco dell uzoe ersec l'sse creso orzzole per leggere l'scss pprossm dello zero corrspodee. Esempo Per rsolvere l'equzoe 7 s rcc co Derve l grco dell uzoe che cosee d dvdure l'ervllo d seprzoe [-;] compredee l'uc 8 rdce dell'equzoe. L coord orzzole del cursore "croce" poszoo sullo zero del grco d è -,6867; u grdmeo zoom del grco seguo dl rposzomeo dell croce-cursore cosee d leggere come pprossmzoe dell coord dello zero l vlore -,686 7 I relà esse u ormul lgebrc rsoluv per le equzo poloml d III grdo, m - d l su complessà - è preerble l'pplczoe d u meodo umerco per l deermzoe d u soluzoe pprossm. 8 U equzoe polomle d III grdo può vere o rdc rel, m l'ls del sego delle uzoe derv prm ' coerm l crescez dell uzoe per og vlore rele ssuo dll vrble e, come coseguez dell couà d sess, l'mpossblà dell'essez d lre rdc.

Iormc per l Memc Gorgo Me L'pplczoe del comdo Rsolv-Numercmee d Derve dcdo come esrem erore e superore rspevmee - e e mposdo l umero d cre sgcve d mpegre el clcolo orsce l seguee rsulo: L corre deermzoe degl ervll d seprzoe delle rdc cosee olre d pplcre u meodo umerco per pprossmre le dverse soluzo dell sess equzoe. Esempo Per deermre le rdc dell'equzoe espoezle s l'ls del grco dell uzoe che l'ls dell rppresezoe grc del ssem equvlee

Iormc per l Memc Gorgo Me permeoo d dvdure gl ervll [-;] e [;4] come ervll d seprzoe delle due rdc dell'equzoe. I mbee Derve l'pplczoe del comdo Rsolv- Numercmee due dvers ervll produce come rsulo vlor pprossm delle due soluzo rcerce relà, come è possble vercre, l secodo vlore rpprese esmee l rdce dell'equzoe: Qul meod coseoo d oeere rsul come quell prodo dl comdo Rsolv-Numercmee d Derve? I prossm prgr cosuscoo u rsseg de prcpl lgorm umerc ulzz per l rsoluzoe pprossm delle equzo. X.. X... Il meodo d bsezoe U mpore eorem relvo lle uzo rel d vrble rele eorem degl zer erm: se u uzoe è cou u ervllo [;b] e l sego d è dscorde rspeo l sego d b llor esse lmeo uo zero z dell uzoe compreso ell'ervllo [;b]. X... U meodo elemere per pprossmre l rdce c dell'equzoe cosse el dere u lgormo umerco che suddvde l'ervllo [;b] meà deermdo - b bse l sego ssuo dll uzoe el puo medo c - qule de due

Iormc per l Memc Gorgo Me sooervll è compres l rdce z; l'lgormo procede rcorsvmee suddvdedo meà l uovo ervllo così dvduo per rresrs qudo l'mpezz dell'ervllo preso cosderzoe, che s rduce progressvmee, è more del mssmo errore ollerble per l'pprossmzoe. Esempo L'equzoe sud el prgro precedee h u sol soluzoe compres ell'ervllo [-;]. L uzoe h sego egvo el puo - - - e posvo el puo b. Il puo medo dell'ervllo [-;] è c -, e -,,7: le poes del eorem degl zer dscordz del sego dell uzoe gl esrem dell'ervllo soo pplcbl l sooervllo [-;-,] l cu mpezz è l meà dell'ervllo orgle. Il puo medo dell'ervllo [-;-,] è -,7 e -,7 -,787: l uovo ervllo per l qule soo verce le poes del eorem degl zer è [-,7;-,]. Il puo medo dell'ervllo [-,7;-,] è -,6: do che -,6,897 l successvo ervllo è [-,7;-,6]. Il puo medo dell'ervllo è -,687 e -,687 -,4787: l uovo ervllo è [-,687;-,6]. Queso ervllo - che comprede l rdce dell'equzoe d pprossmre - h mpezz more d - : uo qulss de due esrem rpprese qud u pprossmzoe dell soluzoe che prese u errore ssoluo cermee more d,. L uzoe bsezoe pplc l'lgormo umerco descro u uzoe codc ello sesso modulo VBA prre d u ervllo zle [;b] cu esrem soo pss come rgome; ell'mplemezoe dell'lgormo è so gguo u corollo per vercre l'eveulà che l puo medo clcolo u delle erzo del cclo s esmee lo zero dell uzoe: Prve Cos E As Sgle. 'errore mssmo ollerble Prve Fuco As Sgle As Sgle... Ed Fuco

Iormc per l Memc Gorgo Me Publc Fuco bsezoe As Sgle, b As Sgle As Sgle Dm c As Sgle Whle Absb - > E c b / I c The bsezoe c E Fuco Ed I I * c < The b c Else c Ed I Wed bsezoe Ed Fuco L'errore mssmo ollerble E è so sso d u vlore cose predeo compble co l rsoluzoe de vlor Sgle del lguggo VBA, m è ovvmee possble pssrlo ll uzoe bsezoe come ulerore rgomeo. Esempo Per mpegre l uzoe che mpleme l'lgormo d bsezoe ell deermzoe pprossm dello zero dell uzoe è sucee codcre l'espressoe VBA che e clcol l vlore Prve Fuco As Sgle As Sgle ^ Ed Fuco e ulzzre l uzoe bsezoe u cell Ecel oredo come rgome gl esrem dell'ervllo d seprzoe dell soluzoe Osservzoe I mbee Derve è possble dere u uzoe rcorsv bsezoe che pprossm lo zero d u uzoe :

Iormc per l Memc Gorgo Me L'pplczoe rcorsv dell uzoe bsezoe s rres se è verc l codzoe b < e co e mssmo errore ollerble ell'pprossmzoe dello zero d ; cso corro l'pplczoe dell uzoe vvee co prmer dvers soo gl esrem del sooervllo preso d vol vol cosderzoe uzoe del sego d c, co b c. L'pprossmzoe dell'voczoe dell uzoe bsezoe co gl esrem dell'ervllo d seprzoe dello zero come prmer produce l rsulo eso: Osservzoe L codzoe d ermzoe dc è l'uc che grsce l corollo dell precsoe del rsulo oro. U codzoe lerv prevede d ermre l cclo qudo c < E dove E è l mssmo errore ollerble, m - come llusr l grco che segue - u vlore "pccolo" dell'ord dell uzoe o mplc che l'scss corrspodee s prossm uo zero. I og cso l vlore dell cose E o può essere rbrrmee pccolo perché gl error d clcolo e d rppresezoe umerc porebbero vldre qulss codzoe d ermzoe relv E. X... L complessà compuzole dell'lgormo d bsezoe dpede dl clcolo dell uzoe che vee vlu relzoe d u uovo vlore per og erzoe del cclo. No è però dcle sblre l'eso umero d erzo che grscoo l'pprossmzoe dello zero rcerco co u errore more del vlore E prre d u deermo ervllo d seprzoe [;b] eedo coo che d og erzoe l'mpezz dell'ervllo preso cosderzoe s dmezz rspeo ll'ervllo precedee. Dopo erzo s vrà che l'mpezz dell'ervllo cosdero è

Iormc per l Memc Gorgo Me b e, do che l ermzoe del cclo vverrà ll -esm erzoe solo se b b < E < E b log < E l umero d erzo ecessre per l ermzoe dell'lgormo è l pù pccolo ero che sodds l dsuguglz b > log E X.. X... Ierzoe uzole Se s scrve l'equzoe d cu s edoo deermre le rdc ell orm g llor le eveul soluzo soo oe come pu ss dell uzoe g e - lcu cs - possoo essere pprossme co meod erv bs sull ormul rcorsv g dove rpprese u'pprossmzoe zle. Esempo Per pplcre l meodo d erzoe uzole ll'equzoe cos è possble mposre le segue ormule Ecel l vlore ell cell A è l'pprossmzoe zle e ulzzre le uzolà dell'mbee per "coprle" elle rghe soos

Iormc per l Memc Gorgo Me oeedo come rsulo lo svolgmeo de clcol mpos L successoe d vlor s vvc progressvmee lerdo pprossmzo per eccesso e per deo l vlore dell rdce deermo el prgro roduvo co Derve,798; qudo l derez r due vlor successv dvee pù pccol dell'errore commesso dll'mbee Ecel el clcolre l vlore dell uzoe l rsulo s compor come "puo sso" dell uzoe e può essere cosdero u'pprossmzoe dell rdce dell'equzoe. Il procedmeo d erzoe uzole può essere erpreo geomercmee el dgrmm creso dove soo rppresee grcmee l uzoe g e l re :

Iormc per l Memc Gorgo Me Le lee vercl rppreseo l vluzoe dell uzoe g corrspodez de sgol vlor dell successoe, mere le lee orzzol coseoo d deermre - mede l re - l vlore successvo dell successoe; le proezo de verc dell spezz orm dlle lee d cosruzoe sull'sse delle scsse rppreseo vlor dell successoe prodo dl meodo. L'sruzoe ITERATES,, cosrusce u veore d vlor rsul dell'pplczoe er dell uzoe prre dl vlore zle per,,, vole; l'sruzoe ITERATE orsce esclusvmee l'ulmo vlore dell'erzoe. Il meodo d erzoe uzole può essere clmee mplemeo mbee Derve rcorredo ll'sruzoe ITERATES l cu semplczoe smbolc llusr peremee l'de che orm l meodo; per esempo el cso che g s cos s h: Rcorredo l comdo d pprossmzoe umerc s oee l successoe cu vlor eveulmee covergoo l puo sso dell uzoe er: L'sruzoe ITERATE resusce l'ulmo erme dell successoe cosru erdo l'pplczoe dell uzoe prre dl vlore zle: Il eorem seguee sscur, ell'poes d couà dell uzoe g, che vlor or dll'lgormo, qudo coverge, soo eevmee pprossmzo dell rdce dell'equzoe g.

Iormc per l Memc Gorgo Me Teorem Se g è cou ell'ervllo [ ;b] e l successoe de vlor de dll ormul rcorsv g è covergee e le che [ ; b] per og dce llor lm è u puo sso dell uzoe g. L dmosrzoe è u dre coseguez d u delle propreà de lm d uzo coue: Esempo lm lm g g lm g Per deermre le due soluzo e dell'equzoe mede l'lgormo d erzoe uzole è ecessro modcre l ormul dell cell B dell'esempo precedee e "coprl" elle celle soos dell colo B per oeere come rsulo l successoe delle pprossmzo. Corrmee ll'esempo precedee, dove per qulss vlore zle l successoe covergev l vlore dell rdce dell'equzoe, queso cso essu scel del vlore zle coeuo ell cell A cosee d pprossmre l vlore e solo lcu vlor do luogo u successoe covergee. Il grco che segue mosr chrmee che per qulss vlore zle posvo more d l successoe geer dll'lgormo coverge l vlore, mere per qulss vlore zle mggore d ess dverge.

Iormc per l Memc Gorgo Me X... Dmosrmo or u mpore eorem che esprme u codzoe sucee, che se o sremee ecessr, per l covergez dell'lgormo d erzoe uzole. Teorem d covergez del meodo d erzoe uzole Se è u puo sso dell uzoe g g h derv cou g ' ell'ervllo [ r; r] g ' < ell'ervllo [ r; r] è u puo dell'ervllo [ r; r] è l ormul rcorsv che desce l'lgormo ervo g llor l'lgormo coverge l puo sso dell uzoe : g lm. S dmosr per duzoe l vldà dell seguee relzoe per og dce M r

Iormc per l Memc Gorgo Me dove M > è l vlore mssmo ssuo dl modulo dell uzoe derv g ' ell'ervllo [ r; r]. Essedo M < cò mplc che lm e qud l es. Per l relzoe è ver quo per poes ppree ll'oro d rggo r del puo sso, coè ll'ervllo [ r; r]. Per > l'poes duv è M r e, per l eorem del vlor medo d Lgrge, s h g g g' ε co ε ppreee ll'ervllo d esrem [ r ; r] ; percò g' ε M < e d coseguez e e qud ll'ervllo g' ε M r. Osservzoe Le poes del eorem precedee soo d dcle verc u oro crcolre d rggo r del puo sso do che esso o è oo! Per pplcre l'lgormo d u uzoe g è sucee sscurre che l uzoe derv g' ssum vlor modulo mor d u ervllo [;b] coeee u solo puo sso e sceglere come vlore zle l'esremo pù prossmo l puo sso sesso: queso modo le poes del eorem soo verce el mssmo oro crcolre vee come cero e ermee coeuo ell'ervllo. Per ovvre ll'mpossblà d eeure l scel o cooscedo l vlore d l vlore zle può essere ssoco csulmee uo de due esrem dell'ervllo [;b]: se s verc che u vlore dell successoe è esero ll'ervllo s rpee l'esecuzoe dell'lgormo scegledo come vlore zle l'lro esremo. Il eorem precedee dvdu u cssc d covergez del meodo: g' > l meodo o coverge producedo u successoe mooo;

Iormc per l Memc Gorgo Me b < g' < l meodo coverge producedo u successoe mooo; c - < g' < l meodo coverge producedo u successoe o mooo; d g' < - l meodo o coverge producedo u successoe o mooo. Esempo Per rsolvere umercmee l'equzoe 4 che prese u sol rdce ell'ervllo [;] co l meodo d erzoe uzole è possble rscrverl come oppure come Nel prmo cso, 4 4. g 4

Iormc per l Memc Gorgo Me Derve cosee d rppresere grcmee l uzoe derv g' e d ermre che soo verce le poes del eorem d covergez ell'ervllo [;] Applcdo mbee Derve l meodo co vlore zle s oee u corre pprossmzoe dell rdce rcerc: Nel secodo cso 4 g rppresedo grcmee co Derve l uzoe derv g' s o che o soo verce le poes del eorem d covergez ell'ervllo [;]

Iormc per l Memc Gorgo Me Applcdo l meodo co vlore zle l successoe de vlor prodo o coverge: X... Nell dmosrzoe del eorem d covergez del meodo d erzoe uzole s è dmosr l vldà per og dce dell relzoe M co M vlore mssmo ssuo dl modulo dell uzoe derv g' ell'ervllo d lvoro. Nell relzoe precedee M compre come vlore mmo del rpporo d rduzoe dell'errore ssoluo u sgol erzoe del meodo: l velocà d covergez dell'lgormo dpede qud d vlor ssu dll derv dell uzoe prossmà del puo sso rcerco. U clssc codzoe d ermzoe per l cclo dell'lgormo d erzoe uzole è l seguee < E co E> cose compble co l precsoe dell'mbee d clcolo. Che relzoe esse r ques codzoe d ermzoe e l corollo dell precsoe dell soluzoe pprossm cosru dll'lgormo?

Iormc per l Memc Gorgo Me Nell dmosrzoe del eorem d covergez del meodo d erzoe uzole s è oeuo, pplcdo l eorem del vlor medo d Lgrge, l seguee rsulo g g g' ε vldo per og vlore d e co ε ppreee ll'ervllo d esrem do che e. Or, [ g' ε ] g' ε s h g' ε < E g' ε d cu s deduce che l'errore ssoluo ssoco ll codzoe d rreso è mggoro dll ollerz E solo se l vlore ssuo dll derv dell uzoe g prossmà del puo sso è more d, coè se l uzoe g è decrescee queso cso l meodo orsce u successoe o mooo cu vlor soo lervmee pprossmzo per eccesso e per deo del puo sso. I cso corro l'errore può essere o pù grde quo pù prossmo vlore mssmo compble co l covergez del meodo è l vlore ssuo dll derv dell uzoe g ell'oro del puo sso. Osservzoe Il meodo dell'erzoe uzole, qudo covergee, è esremmee sble soo l'speo umerco: l'eveule errore commesso el clcolo dell uzoe g u delle erzo perurb l successvo vlore che - codzoe che o s esero rspeo ll'ervllo cu vlgoo le poes del eorem d covergez - può essere cosdero u gl ee u uovo vlore zle e, queso seso, l meodo può essere cosdero "uocorrevo". Ovvmee, voledo mpegre l codzoe d ermzoe descr, occorre vlure che l mm derez r due vlor successv geer dll'lgormo è vcol ll precsoe co cu l'mbee d clcolo è grdo d vlure vlor ssu dll uzoe g. X..4 I meod erv delle ge e delle sec X..4. Per deermre umercmee l'uc rdce compres ell'ervllo [ ;b] dell'equzoe co l meodo d erzoe uzole è ecessro rsormrl u equzoe equvlee dell orm g

Iormc per l Memc Gorgo Me U meodo geerle vldo ell'poes che s cou e dervble co derv cou ell'ervllo [;b] cosse el deermre prre d [ ; b] come ersezoe co l'sse delle scsse dell re psse per l puo e ; vee coecee golre m dpedee dl vlore d ; l'equzoe dell re è d cu, poedo m, s rcv l ormul rcorsv m che desce l meodo ervo. z m Tr meod de d u opporu scel dell uzoe m - co m ell'ervllo [ ; b] - s rovo due pù o lgorm umerc per l'pprossmzoe delle rdc dell'equzoe : meodo delle "ge" delle "sec" m ' c c X..4. Il meodo delle ge oo che come meodo d Newo '

Iormc per l Memc Gorgo Me h u semplce erprezoe geomerc: l vlore è l'scss del puo d ersezoe co l'sse orzzole dell re gee ll uzoe el puo ;. z Esempo L uzoe prese - come è possble vercre rccdoe l grco mbee Derve - due zer sepr dgl ervll [-;] e [;4]. I Derve, rcorredo l comdo d dervzoe smbolc, o è dcle mposre l uzoe N che mpleme l meodo d Newo per l uzoe : L'sruzoe ITERATES cosee, mede l comdo APPROSSIMA, d clcolre prm vlor dell successoe geer dl meodo corrspodez degl esrem de due ervll d seprzoe degl zer rcerc s o, u cs, l rpdà co cu l meodo coverge:

Iormc per l Memc Gorgo Me I vlor pprossm degl zer soo rspevmee è prcolre possble vercre l'esezz d ques soluzoe per sosuzoe dre ell'equzoe e crc -,69. Ierpredo l meodo delle ge come cso prcolre del meodo d erzoe uzole s h g ' ' ' e [ ' g' '' ' ] ' [ [ ' ] ' ] '' '' [ ' ] d cu s desume l dcolà d vercre le poes del eorem d covergez del prgro X... ell'ervllo [;b] d seprzoe d u soluzoe dell'equzoe. I ccordo co l'erprezoe geomerc del meodo è evdee che l covergez l vlore dello zero z è gr se l successoe geer prre dl vlore zle è sempre crescee o decrescee come dmosro che lcu de cs del precedee esempo ques è u codzoe sucee, m o ecessr: uvmee cò vvee se l uzoe è cou e l suo grco h sego e cocvà cos ell'ervllo [ ;z] o [z; ]; do che l derv dell uzoe o può ssumere l vlore ello sesso ervllo quo compre l deomore ell ormul rcorsv che desce l meodo che l sego dell uzoe derv e d coseguez l crescez o decrescez dell uzoe deve essere cose ello sesso ervllo. Il seguee eorem sscur l vldà delle precede osservzo el cso che s opporuo sceglere >z e che cosegueemee l successoe de vlor geer dl meodo s decrescee l dmosrzoe è ovvmee log el cso opposo e l rsulo h qud vldà geerle.

Iormc per l Memc Gorgo Me Teorem Se z è uo zero dell uzoe h uzo derv prm e secod coue u ervllo [z;zh] e per og vlore dell'ervllo [z;zh] s h che: "> ' llor l successoe d vlor geer dl meodo d Newo g ' co z z h è decrescee e covergee z. < S dmosr per duzoe che z < < osservdo che, elle poes del eorem, se l uzoe è posv ell'ervllo [z;zh] llor è ecessrmee crescee ello sesso ervllo, vcevers se è egv [z;zh] llor è ecessrmee decrescee ell'ervllo. D coseguez l rpporo è cermee posvo per og vlore d compreso r z e zh ' e qud < ' Per l eorem del vlor medo d Lgrge, s h dove z g g z g' z ε z < ε < e g' ε ε " ε [ ' ε] Do che per poes duv z < ε < < z h s h che ε " ε > e qud che g ' ε > ; essedo scurmee z > segue che z > d cu l es z < <

Iormc per l Memc Gorgo Me Per rspere le poes del eorem precedee - che sscuro l covergez dell'lgormo d Newo per l'pprossmzoe dello zero d u uzoe cou prre d u ervllo d seprzoe [;b] cu l derv ' o s ull e l cocvà è cose - è sucee sceglere come vlore zle del meodo l'esremo dell'ervllo cu l sego dell uzoe e dell derv secod " soo cocord: uzoe decrescee co cocvà rvol verso l'lo; z b b uzoe crescee co cocvà rvol verso l bsso; z b c uzoe decrescee co cocvà rvol verso l bsso; z b

Iormc per l Memc Gorgo Me d uzoe crescee co cocvà rvol verso l'lo. z b L'mplemezoe lguggo VBA dell'lgormo d Newo rchede l dezoe, olre che dell uzoe, dell su uzoe derv d 9 ; l uzoe "pubblc" ge resusce, se voc mbee Ecel co l vlore zle come rgomeo, l'pprossmzoe dello zero dell uzoe ed voc su vol l uzoe ewo che mpleme l ormul del meodo. Il cclo che relzz l'erzoe erm qudo l derez r due pprossmzo successve è erore d u cose prede E che se ques codzoe d ermzoe o sscur, geerle, che l'pprossmzoe clcol dersc dl vlore dello zero d u errore more d E; olre per evre, el cso d o covergez dell'lgormo, che l'erzoe o bb erme l cclo vee rpeuo l mssmo vole. Prve Cos E As Sgle. Prve Fuco As Sgle As Sgle Ed Fuco Prve Fuco d As Sgle As Sgle d Ed Fuco Prve Fuco ewo As Sgle As Sgle ewo - / d Ed Fuco 9 L uzoe d vece d dere esplcmee l uzoe derv clcol smbolcmee può mplemere u ormul d dervzoe umerc; per esempo è possble pprossmre l derv u puo dell uzoe co l rpporo cremele clcolo corrspodez d u vlore predeo dell'cremeo h: Prve Fuco d As Sgle As Sgle Cos h As Sgle. d h - / h Ed Fuco

Iormc per l Memc Gorgo Me Publc Fuco ge As Sgle As Sgle Dm As Sgle Dm As Ieger ewo Whle Absewo - > E ewo I > The E Fuco Ed I Wed ge ewo Ed Fuco Esempo Il grco dell uzoe rcco mbee Derve permee d dvdure l'ervllo [-;-] come ervllo d seprzoe dell'uco zero dell uzoe. I VBA è ecessro dere s l uzoe Prve Fuco As Sgle As Sgle ^ - Ed Fuco che l relv derv Prve Fuco d As Sgle As Sgle d * ^ - Ed Fuco L'ucà dello zero è coseguez dell couà dell uzoe e dell su crescez s per <- che per > coerm dll'ls del sego dell uzoe derv prm.

Iormc per l Memc Gorgo Me Successvmee mbee Ecel è possble vocre l uzoe ge co rgomeo l vlore zle - è queso l'esremo dell'ervllo [-;-] cu l uzoe h sego cocorde co l su derv secod " per oeere u'ccur pprossmzoe del vlore dello zero: Osservzoe Il le "SOLVE.MHT" dell'mbee Derve clude u uzoe rcorsv NEWTON che pprossm lo zero d u uzoe co l meodo delle ge: L'pprossmzoe dell'voczoe dell uzoe NEWTON produce l successoe delle pprossmzo es: Osservzoe L'lgormo d Newo può - dversmee, per esempo, dl meodo d bsezoe - essere mpego per pprossmre lo zero d u uzoe che s prese sez cmbmeo d sego: le poes del eorem d covergez possoo queso cso essere soddse d ermb gl esrem dell'ervllo d seprzoe dello zero. Per esempo l uzoe h u uco zero

Iormc per l Memc Gorgo Me cu l meodo coverge s co che co : Prve Fuco As Sgle As Sgle ^ - * Ed Fuco Prve Fuco d As Sgle As Sgle d * - Ed Fuco X..4. Il meodo delle sec c c dove c è uo degl esrem dell'ervllo [;b] d seprzoe dello zero h u semplce erprezoe geomerc: l vlore è l'scss del puo d ersezoe co l'sse orzzole dell re psse per pu c;c e ;. c c z

Iormc per l Memc Gorgo Me Rsul ver l cogeur uv bse ll qule l meodo coverge - geerdo u successoe crescee o decrescee - se soo verce le segue poes: l uzoe è cou e le uzo derve ' e " soo coue co sego cose ell'ervllo [;b] d seprzoe dello zero; c " c > ; ". < I Ecel è possble mplemere l meodo delle sec codcdo lguggo VBA l uzoe, memorzzdo ell cell A l vlore cose c e ell cell A l vlore zle e ulzzdo le celle successve dell colo A per geerre l successoe de vlor clcol mede "cop" dell ormul che desce l meodo sesso. Esempo L uzoe prese u uco zero sepro dll'ervllo [-;-] e può essere mpleme mbee Ecel mede l seguee uzoe VBA: Publc Fuco F As Sgle As Sgle ^ - Ed Fuco L scel c- e - è coseguez dll cocordz r sego dell uzoe e dell relv derv secod " el puo -; l ormul che desce l meodo è ser ell cell A e "cop" elle celle soos:

Iormc per l Memc Gorgo Me I prm vlor geer dll'pplczoe del meodo delle sec soo rpprese el grco seguee che mosr l crere d covergez dell successoe: - -, -, -, -,4 4 6 7 8 9 M l rppresezoe grc de vlor geer successvmee evdez come l'errore lgormco - dovuo gl evbl error d clcolo e d rppresezoe umerc dell'mbee Ecel - mpedsc ll'errore lco d rdurs demee ll'umere del umero d erzo clcole:

Iormc per l Memc Gorgo Me 4 4 4 4 44 4 46 47 48 49 4 6 7 8 9 6 -,4779 -,4779 -,4779 -,4779 -,47794 -,4779 -,47796 -,47797 -,47798 -,47799 -,478 Osservzoe Nel cso che le poes dvdue o so verce ell'ervllo [;b] d seprzoe dello zero è possble che l successoe d vlor geer dl meodo delle sec o s covergee perché o è compreso r c e. I queso cso è possble modcre l meodo l e d oeere u successoe d pprossmzo covergee l vlore dello zero vrdo l vlore c el corso delle erzo: c c dove e c soo l che c e < c c c se se c > c Ques ecc - o come meodo d "ls poszoe" - coverge soo le sole poes d couà dell uzoe e d dscordz del sego d sess gl esrem dell'ervllo [;b] d seprzoe dello zero. Ache l meodo d "ls poszoe" può essere erpreo geomercmee:

Iormc per l Memc Gorgo Me c c z c X..4. S l'lgormo d Newo che l meodo delle sec preseo lo sesso deo: ermb cs o è possble deermre u semplce codzoe d ermzoe del cclo ervo che grsc l corollo dell precsoe dell'ulm pprossmzoe prodo. Prededo esme l cssc d pplczoe d ermb meod s scopre clmee che, rspedo relv crer d covergez, qudo uo de due produce u successoe crescee pprossmzo per deo l'lro produce sempre u successoe decrescee pprossmzo per eccesso: c z c Ques osservzoe suggersce d mpegre coemporemee due meod modo d poer sblre l codzoe d ermzoe del cclo ervo uzoe dell derez che dovrà essere more dell'errore mssmo coseo E r le ulme pprossmzo per eccesso e per deo prodoe, gredo così u rgoroso corollo sull precsoe del rsulo. L seguee procedur VBA vble mbee Ecel mede u "pulse d comdo" "legge" gl esrem dell'ervllo d seprzoe dell uzoe mpleme come uzoe VBA elle celle A e B e "scrve" le sequeze delle pprossmzo per eccesso e per deo prodoe dll'uso coguo de meod delle ge e delle sec elle successve celle delle coloe A e B: Prve Fuco As Sgle As Sgle Ed Fuco '

Iormc per l Memc Gorgo Me Prve Fuco d As Sgle As Sgle ' ' d Ed Fuco Prve Fuco d As Sgle As Sgle ' " d Ed Fuco Prve Fuco ge As Sgle As Sgle ge - / d Ed Fuco Prve Fuco secc As Sgle, As Sgle As Sgle sec - * - c / - c Ed Fuco Publc Sub Zero_Clck Cos E As Sgle. ' mssmo errore coseo Dm As Sgle ' esremo ssro ervllo d seprzoe Dm b As Sgle ' esremo desro ervllo d seprzoe Dm c As Sgle ' cose per meodo sec Dm As Sgle ' vrble per meodo ge Dm s As Sgle ' vrble per meodo sec Dm As Sgle ' coore delle erzo Cells, b Cells, I * d < The s c b b Else c s b Ed I Whle Abss - > E ge s secc, s Cells, Cells, s I > The E Sub Ed I Wed Ed Sub Esempo L uzoe dell'esempo precedee e le relve uzo derve prm e secod soo mplemee mbee Ecel dlle segue uzo VBA: Prve Fuco As Sgle As Sgle ^ - Ed Fuco Prve Fuco d As Sgle As Sgle d * ^ - Ed Fuco ' ' '

Iormc per l Memc Gorgo Me Prve Fuco d As Sgle As Sgle d 6 * Ed Fuco ' " Avdo l pulse d comdo l qule è ssoc l procedur Zero_Clck s oegoo, elle celle delle coloe A e B, le erzo przl dell'lgormo che comb l meodo delle ge co l meodo delle sec le celle dell colo C rppreseo l derez, progressvmee more, r le celle delle coloe A e B dell sess rg: I queso cso l'lgormo erm dopo 7 ccl d erzoe co l cerezz che l'ulmo vlore prodoo -,477 è eo d u errore more d E -6 s o che, cus dell'evble errore lgormco dovuo llo svolgmeo d clcol rmec, l vlore E del mssmo errore coseo o può essere rbrrmee pccolo. I segue grc delle pprossmzo per deo e per eccesso geere dll'lgormo vsulzzo l covergez dell procedur mpeg:

Iormc per l Memc Gorgo Me - -, -, -, -,4 -, -,6 -,7 -,8 -,9-4 6 7 8 9 4 6 7 8 9 -, -, -, -, -,4 -, -,6 -,7 -,8 -,9 -,4 4 6 7 8 9 4 6 7 8 9

Iormc per l Memc Gorgo Me X.. Ses gl lgorm umerc soo mpeg per l deermzoe delle rdc d equzo o rsolvbl - o o clmee rsolvbl - co meod lgebrc; l'pplczoe d u qulss meodo umerco per l'pprossmzoe dello zero d u uzoe rchede d cooscere gl esrem d u "ervllo d seprzoe" che o compred lr zer dell uzoe sess; se u uzoe cou sodds le poes prevse dl "eorem degl zer" è possble pplcre l meodo d bsezoe b c > < c se b b e c c se c b e che - prre d u ervllo [ ;b ] d mpezz - grsce u errore lco more d - erzo; l meodo d erzoe uzole g cosee d pprossmre pu ss dell uzoe g e coverge ell'poes che vlor geer pprego u ervllo cu -<g'<; l meodo delle ge o "meodo d Newo" ' e l meodo delle sec c c soo prcolr meod d erzoe uzole che geero successo coverge l vlore dello zero dell uzoe ; meod delle ge e delle sec soo spesso "comb" u uco lgormo ervo l cu codzoe d ermzoe grsce l corollo dell precsoe dell'pprossmzoe le.

Iormc per l Memc Gorgo Me X..6 Esperme. Idvdure gl ervll d seprzoe dell rdc delle segue equzo: l b e c d cos e se g 4 h l e j se k e log l. Clcolre, co u errore more d -, le rdc delle equzo dell'eserczo pplcdo l meodo umerco d bsezoe e ulzzdo l clcolrce scec; core l umero d erzo ecessre cscu cso.. Clcolre, co u errore more d -6, le rdc delle equzo dell'eserczo ulzzdo mbee Ecel l uzoe bsezoe ; clcolre per cscu cso l umero d erzo ecessre. 4. Rspodere, oredo u vld movzoe, lle segue domde dgdo mbee Ecel l uzomeo dell uzoe VBA bsezoe relzoe dverse uzo : che cos ccde se gl esrem dell'ervllo zle soo ver >b? b che cos ccde se l'ervllo specco o coee essuo zero dell uzoe? c e se l'ervllo specco coee pù zer dell uzoe?. Scrvere u uzoe VBA erzoe che mpleme l'lgormo d erzoe uzole vee come uco rgomeo l vlore zle e sscurdo comuque l'rreso del cclo cso d o covergez del meodo. L uzoe g srà de el modulo VBA d Ecel che clude l codc d erzoe. 6. Applcre, se possble, l meodo d erzoe uzole per deermre le rdc delle equzo dell'eserczo. Movre gl eveul cs d o covergez del meodo.